模糊数学方法(第七章权重)(推荐完整)

合集下载

权重的确定方法汇总

权重的确定方法汇总1.主观评估法：该方法是根据领域专家的主观判断来确定权重。

专家会根据他们的经验和知识，对不同因素的重要性进行评估，并给出相应的权重。

这种方法适用于主观性较强的问题，如风险评估等。

2.权衡矩阵法：该方法是通过创建一个矩阵来确定权重。

在矩阵中，将各个影响因素两两进行比较，并根据重要性给出分值。

然后，根据分值计算权重。

这种方法适用于多个因素相互关联的问题。

常见的权衡矩阵方法有AHP（层次分析法）和ANP（层次网络过程）。

3.数据驱动方法：该方法是通过数据分析来确定权重。

可以使用统计分析、机器学习等技术，根据历史数据和模型训练结果，计算出各个因素的权重。

这种方法适用于大数据环境下，有足够的数据支持的问题。

4.线性规划法：该方法是通过线性规划模型来确定权重。

首先需要确定目标函数和约束条件，将问题转化为线性规划问题，然后使用线性规划算法求解出最优解，从而确定权重。

这种方法适用于有明确目标和约束的问题。

5.直觉法：该方法是通过个人的直觉和经验来确定权重。

根据个人判断，给出各个因素的权重。

这种方法适用于专家经验丰富、问题较为简单的情况。

6. Delphi法：该方法是通过专家群体的意见和建议来确定权重。

专家群体通过多轮的匿名调查和讨论，逐渐达成共识，最终确定权重。

这种方法适用于问题复杂、需要多个专家意见的情况。

7.模糊数学方法：该方法是通过模糊数学理论来确定权重。

通过模糊数学的模糊相似度和模糊综合评判等方法，计算出各个因素的权重。

这种方法适用于问题涉及的因素模糊性较强的情况。

8.回归分析法：该方法是通过回归分析模型来确定权重。

将因变量和自变量之间的关系建立回归方程，然后分析回归方程中自变量的系数大小，根据系数确定权重。

这种方法适用于因变量和自变量之间存在较强关联的问题。

在实际应用中，选择何种权重确定方法，需要根据问题的具体特点和数据情况来综合考虑。

常见的权重确定方法往往是结合多种方法，通过综合评估，得出最终的权重。

数学建模方法详解--模糊数学

数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。

例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。

随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。

统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。

在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。

对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。

模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。

本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。

如果U 是论域，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。

在此，总是假设问题的论域是非空的。

为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。

于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。

模糊数学方法

2) 对称性: 若(x, y)R，则(y, x)R，即集合中(x, y)元素同属于类R 时, 则
(y, x)也同属于R；
3) 传递性: (x, y)R，(y, z)R，则有(x, z)R。
上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合R为一分类关
系。
聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并
定义3 模糊集运算定义。若A、B为X上两个模糊集，它们的和集、交集和A的余集都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：
(AB) (x)= max ( A(x), B(x) ) (AB) (x)= min ( A(x), B(x) ) AC (x)=1－A(x) 关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。
假设R2=(rij )，即rij =
(rik∧rkj )，说明xi 与xj是通过第三者K作为媒介而发生关系，rik∧rkj表示xi 与xj 的关系密切程度是以min(rik , rkj)为准则，因k是任意的, 故从一切rik∧rkj中寻求一个使xi 和xj 关系最密切的通道。Rm随m的增加，允许连接xi 与xj 的链的边就越多。由于从xi 到xj 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链，这个边长就是相当于
糊变量，相应的参数分别为
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
,
,
,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
提供了以下8种建立相似矩阵的方法：

模糊数学第七章

模糊矩阵方程有解的判断方法法-定理4
将修改系数矩阵中第j列上逐元素与 x j xj 划掉大于者，得到比较，
x1
x2 xn X
b1 b2 行简化系数矩阵 bm
得到结论：模糊矩阵方程A。X=B有解的充要条件是简化系数矩阵的所有行至少有一个非空白元素。
模糊矩阵方程法-例
P169 例1
三、模糊矩阵方程的表格法-定理3
设模糊关系方程X。R=B，其中
X=(x1,x2,…,xn),R=(rij)n×m,B=(b1,b2,…,bm) 对k(k=1,2,…,n),令
xk {b j | rkj b j }
j 1
m
则方程X。R=B有解的充要条件是
一、模糊矩阵方程
称满足模糊关系方程X。R=B的X为模糊关系方程的解.
若方程有解，则称模糊关系方程相容. 若模糊关系方程的某个解X’，对于其他任何一个解X，
均有X 包含于X’，则称X’为模糊关系方程的最大解。
二、模糊矩阵方程一般解法-定理1
（）首先考虑一元一次方程 x a b, 1 a, b [0,1]已知，x [0,1] 未知。显然，当a b时，方程无解，即 ; x 当a b时，x b是方程的解；当a b时，x [b,1], 即闭区间 b,1]上任一实数都是方程的 [ 解得集合，即解集。
X R B, 其中X ( x1 , x2 ,..., xn ), 且X为最大解
定理3表明，若模糊矩阵方程有解，则一定有最大解。
三、模糊矩阵方程的表格法-定理3
定理3给出了求最大解的方法，将这种方法用表
格的形式表现出来，如下。设模糊矩阵方程为A°X=B，其中

模糊数学方法

n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
n
f ( x1 , x2 ,, xn ) xiai
i 1
n
f 称为几何平均型模糊综合函数.其中 a i是几
何权数.
（3）单因素决定型设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是正规化权向量，
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
Bi Ai T Ri
(i ) r11 (i ) r21 (ai1 , ai 2 ,, aini ) T (i ) rni 1
r r r
(i ) 12 (i ) 22

(i ) ni 2
r r (i ) rni p
这时需采取多层次评判来解决这类问题. 多层次综合评判的步骤： 1. 因素分类
将因素集 U {u1 , u2 ,, un } 按某种属性分为s类，即满足条件：
Ui (ui1, ui 2 ,, uini ), i 1,2,, s
(1) n1 n2 ns n ;
(2) U1 U 2 U s U ;
A (a1 , a2 ,, an ) 是给定是正规化评判矩阵，
的正规化权向量，则综合评判 ( y1 , y2 ,, ym ) 也是正规化的.
（3）若 f f 是几何平均型
评判
n 元模糊
综合函数，且 R 和 A 是归一化的，而综合
( y1 , y2 ,, ym ) 未必是归一化的. 若 R 和 A 是正规化的，综合评判 ( y1 , y2 ,, ym )
在使用 M (,) 模型和
M (, T ) 模型前将
归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价正规化，最后将评价结果归一化.

模糊数学评价方法教程

模糊综合评价法（见课件）模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．一、单因素模糊综合评价的步骤 1．根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集合},,,{21m u u u U =例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}．2．给出评价等级（evaluation grade ）集合},,,{21n v v v V =如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价指标的权重（weight ）},,,{21m W μμμ =权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ．例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ．4．确定评价矩阵R请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为()1.0,2.0,4.0,3.02=R ()2.0,3.0,2.0,2.03=R那么该项成果的评价矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ：设m j W ⨯=1)(μ，n m ji r R ⨯=)(，那么()()n mn m m n n m s s s r r r r r rr r r R W S ,,,,,,2121222211121121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==μμμ其中“ ”为模糊合成算子．进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四种：(1) ),(∨∧M 算子(){}n k r r s jkj mj jk j mj k ,,2,1,,min max )(11=∧=≤≤=∨μμ＝符号“∧”为取小， “ ∨” 为取大．例如：n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()2.03.03.03.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧∨∧∨∧=S =)2.03.03.0(∨∨ =3.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (2) (M ﹒),∨算子{}n k r r s jk j mj jk j mj k ,,2,1,max )(11=⋅⋅=≤≤=∨μμ＝例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()08.012.012.015.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1⨯∨⨯∨⨯=S =)08.009.015.0(∨∨ =15.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (3) ),(⊕∧M 算子“⊕”是有界和运算，即在有界限制下的普通加法运算．对t 个实数t x x x ,,,21 有⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⊕⊕⊕∑=t i i t x x x x 121,1min ．利用),(⊕∧M 算子，有()n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧⊕∧⊕∧=S =)2.03.03.0(⊕⊕ =0.8其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (4) (M ﹒),⊕算子n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中3.0(1=S •3.0()5.0⊕•4.0()3.0⊕•)2.0 =)08.009.015.0(⊕⊕ =0.32以上四个算子在综合评价中的特点是：),(∨∧M 和(M ﹒),∨在运算中能突出对综合评判起作用的主要因素，在确定W 时不一定要求其分量之和为1，即不一定是权向量，故为主因素突出型．),(⊕∧M 和(M ﹒),⊕在运算时兼顾了各因素的作用，W 为名符其实的权向量，应满足各分量之和为1，故为加权平均型．最后通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：(1) 最大隶属原则模糊评判集S =),,,(21n S S S 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度，按最大隶属度原则作出综合结论，即),,,m ax (21n S S S M =M 所对应的元素为综合评价结果．该方法虽简单易行，但只考虑隶属度最大的点，其它点没有考虑，损失的信息较多．(2) 加权平均原则加权平均原则是基于这样的思想：将等级看作一种相对位置，使其连续化．为了能定量处理，不妨用“n ,,2,1 ”依次表示各等级，并称其为各等级的秩．然后用S 中对应分量将各等级的秩加权求和，得到被评事物的相对位置．这就是加权平均原则，可表示为∑∑==⋅=n i k ini ki iss u 11*)(νμ （12－1）其中k 为待定系数（k ＝1或k ＝2），目的是控制较大的i s 所起的作用．可以证明，当∞→k 时，加权平均原则就是最大隶属原则．例如：对()2.0,3.0,3.0,3.0=S ，评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}，各等级赋值)(i νμ分别为{4，3，2，1}，仿照普通加权平均法的计算公式，有*=1k u =2.03.03.03.02.013.023.033.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.64即该项成果的综合评价结果为好稍偏一般．(3) 模糊向量单值化如果给等级赋予分值，然后用S 中对应的隶属度将分值加权求平均就可以得到一个点值，便于比较排序．设给n 个等级依次赋予分值n c c c ,,,21 ，一般情况下（等级由高到低或由好到差），n c c c >>> 21，且间距相等，则模糊向量可单值化为∑∑==⋅=n i kini ki iss cc 11 （12－2）其中k 的含义与作用同（12－1）中的k 相同．多个被评事物可以依据（12－2）式由大到小排出次序．以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法，如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法．二、多级模糊综合评判有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分，或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类．可先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判．如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再作分类，得到三级以至更多级的综合评判模型．注意要逐级分别确定每类的权重．以二级综合评判为例给出其数学模型：设第一级评价因素集为},,,{21m u u u U =各评价因素相应的权重集为},,,{21m W μμμ =第二级评价因素集为},,,{21ik i i i u u u U = m i ,,2,1 =相应的权重集为},,,{21ik i i i W μμμ =相应的单因素评判矩阵为：[]nk jl i r R ⨯= k l ,,2,1 =二级综合评判数学模型为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mR W R W R W W B2211三、模糊综合评判应用举例某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表12-1，病人医疗质量各等级频数分布见表12—2．表12-1 很好、好、一般、差的标准指标很好好一般差疗效治愈显效好转无效住院日≤1516~2021~25＞25 费用（元） ≤14001400~18001800~2200＞2200表12-2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表指标很好质量好等级一般差疗效01年 02年 160 170380 41020 1040 60住院日01年 02年 180 200 250 310130 12040 20费用01年 02年 130 110270 320130 12070 100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价．1．据评价目的确定评价因素集合评价因素集合为U ={疗效，住院日，费用}． 2．给出评价等级集合如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价因素的权重设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即）（3.0,2.0,5.0=W4．2001年与2002年两个评价矩阵R 分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.05．综合评价作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊乘积运算．如果突出疗效，且只需对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行总体工作情况给出一个总体评价结论，可采用),(∨∧M 算子，确定模糊评判集S ，按最大隶属度原则进行评判：n k s R W S ⨯==111)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 =()117.0217.0500.0267.0n k s R W S ⨯==122)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0=()154.0185.0500.0262.0按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2001年与2002年医疗质量评价结果均为“好”．如果突出疗效，且对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行排序，也可采用),(∨∧M 算子确定的模糊评判集S ，按加权平均原则进行评判：将评价等级很好，好，一般，差分别赋值为4，3，2，1． 2001年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i ii iik ss u νμ=117.0217.0500.0267.0117.01217.02500.03267.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.8332002年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i i i i i k s s u νμ=154.0185.0500.0262.0154.01185.02500.03262.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.790 2001年的工作质量略好于2002年．以上评判结果均没有充分兼顾住院日与费用的作用，如果充分考虑各因素的作用在作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊运算的时候可以采用),(⊕∧M 算子或(M ﹒),⊕算子．。

模糊数学方法

。在实际处理过程中，R的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速
度，通常采取如下处理方法： R→R2→R4→R8→…→R2k
即先将R自乘改造为R2，再自乘得R4，如此继续下去，直到某一步出现 R2k=Rk=R*。此时R*满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R)就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R*)。
糊变量，相应的参数分别为
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
,
,
,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态根据最优分割结果分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗缓和猖獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主纯双季稻单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。

第7章模糊决策方法

7.1.3 隶属函数确定方法
（3）借用已有的“客观”尺度
在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有的尺度（经济指标）作为模糊集的隶属度。
（4）二元对比排序法
对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过两两比较，容易确定两个元素相应隶属度的大小。先排序，再用数学方法加工得到隶属函数。
隶属程度的思想是模糊数学的基本思想，应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数。
L.A.扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研究，集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思维与判断问题。
“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很大差距。”因此，必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法。这就是模糊数学产生的历史必然性。
PPT文档演模板
第7章模糊决策方法
7.1 模糊理论的基本概念
7.1.1 模糊集与隶属函数
定义7.1.1 设是论域，称映射
确定了上的模糊子集。映射称为的隶属函数，
称
为对的隶属程度。
隶属度与隶属函数的思想是模糊数学的基本思想。
PPT文档演模板
第7章模糊决策方法
7.1 模糊理论的基本概念
（2）指派方法
指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观方法，它把人们的实践经验考虑进去。若模糊集定义在实数集上，则模糊集的隶属函数便被称为模糊分布。指派方法，就是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
PPT文档演模板
第7章模糊决策方法
7.1 模糊理论的基本概念
7.1.1 模糊集与隶属函数
模糊集的表示方法（以有限论域为例）（1）扎德表示法：

模糊数学方法

O (x )
100 x
25 50 x*
6 Of 70
3.运算性质： ⑴ 对偶律：( A∪B )c = Ac ∩ Bc ；( A∩B )c ⑵ 幂等律： A∪A = A ；A∩A = A ⑶ 交换律： A∪B = B∪A ；A∩B = B∩A ⑷ 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ) ；( ⑸ 分配律：( A∪B )∩C =( A∩C )∪( B∩C ⑹ 吸收律：( A∪B )∩A = A ；( A∩B )∪A ⑺ 两极律： A∪ = A ；A∩ = ；A∪E = ⑻ 还原律：( Ac )c = A ⑼ 不满足互补律：A∪Ac ≠ E ， A∩Ac ≠ ⑽ 伪补律： A∪Ac(x) = A(x)∨Ac(x) ≥ ½
你属于“年轻”的隶属度为 : Y ( 30 ) [1 ( 30 25 2 1 ) ] 0.5 5
你属于“年老”的隶属 : O (30) 0 度为
4 Of 70
二、模糊子集的运算： Ã 仍记为 A (除非特别申明)
1.关系运算：对论域 U ⑴ 模糊空集：对xU，均有 (x)=0 ⑵ 模糊全集 E ：对xU，均有 E(x)=1 ⑶ 模糊幂集 (U) ：U 中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。 ⑷ A = B ：对xU，均有 A(x) = B(x) ⑸ A B ：对xU，均有 A(x)≤ B(x) 2.并、交、余运算：对论域 U ⑴ 并(A∪B)：设 A ,B (U),对xU，则 A∪B 是由下列隶属函数确定的模糊子集 A∪B(x) = Max{A(x),B(x)}= A(x)∨B(x） ⑵ 交(A∩B)：设 A ,B (U),对xU，则 A∩B 是由下列隶属函数确定的模糊子集 A∩B(x) = Min{A(x),B(x)}= A(x)∧B(x） ⑶ 余(Ac)：设 A (U),对xU，则 Ac 是由下列隶属函数确定的模糊子集 Ac(x) = 1 - A(x) 例2-4 商品论域 U = {X1,X2,X3,X4,X5}，表示 “商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A = {0.81,0.53,1,0,0.24} ， “商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：B = {0.05,0.21,0,0.36,0.57} 。则：①表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为： A∪B = {0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}； ②表示“商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为： A∩B = {0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}； ③表示“商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为： Ac = {1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；

模糊数学方法(第七章权重)

u3 ,u1 ,u2
如果u1，u2，u3不是三个旅游点而是三个元素，则最后的结果：
(0.3617, 0.2538, 0.3845) 就是三个元素的权重：
u1 0.3617,u2 0.2538,u3 0.3845
第七章权重的确定方法
§7.1 专家评估统计法
1. 算术平均法
设因素集U {u1,u2, ,un}
k个专家，每个专家独立给出的因素u
的权重
j
a1 j

a2
j

akj
k个专家给出所有因素的权重排成矩阵
a11 a12

a21
a22

ak1 ak1
例1 某家庭预备 “五·一”出游，手上有三个旅游点u1， u3的资料。u1景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件不十分好, 费用也较高；u2交通方便, 住宿条件很好，价钱也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错, 住宿、花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？
在这个问题中，首先有一个目标——旅游选择；其次是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。
a1n
a2n

akn
权重取加权平均：
aj
1 k
k
aij
i 1
（j 1, 2, , n)
即得权重集
A (a1, a2, , an )
2. 频数统计法
设因素集U {u1,u2, ,un} k个专家独立给出的因素ui的权重
（ai1, ai2 , , ain ) (i 1, 2, , k)
一致性指标均小于0.1，一致性满意。

第7章模糊决策方法

第7章模糊决策方法模糊决策方法是一种能够处理不确定性和模糊性问题的决策方法。

在现实生活中，很多决策问题都存在一定的不确定性，而传统的决策方法往往无法很好地解决这些问题。

模糊决策方法通过引入模糊数学理论，将决策问题中的模糊性描述为模糊集合，从而更好地处理不确定性并作出决策。

模糊决策方法的基本思想是将决策问题中的模糊性信息转化为数学模型，通过模糊数学的运算和推理，得出决策的最优方案。

在模糊决策方法中，通常使用模糊规则和模糊推理等技术。

模糊规则是指一种将模糊条件映射为模糊结果的数学表达式，而模糊推理则是根据已知的模糊规则和已有的模糊信息，推导出新的模糊结果的过程。

在模糊决策方法中，常用的模糊决策方法包括模糊层次分析法（Fuzzy AHP）、模糊关联分析法（Fuzzy Association Analysis）、模糊贝叶斯网络（Fuzzy Bayesian Network）等。

这些方法各有特点，适用于不同的决策问题。

以模糊层次分析法为例，它是一种通过构建模糊层次结构来评价和选择方案的方法。

模糊层次结构是一种将决策问题中的准则和方案按照层次结构进行划分的方法，其中每个层次都有相应的判据和权重。

通过对每个层次的判据和权重进行模糊数学运算，可以得出评估和选择方案的结果。

模糊层次分析法的步骤如下：首先，确定决策问题的目标和准则，将其按照层次结构进行划分。

然后，确定每个层次的判据和权重。

判据是指用于评估和选择方案的指标，权重是指每个判据在整个层次结构中的重要程度。

接下来，构建模糊判据矩阵和模糊权重向量。

模糊判据矩阵是指将每个判据的取值映射为模糊集合的矩阵，模糊权重向量是指将每个权重值映射为模糊数的向量。

然后，进行模糊数学运算，得到每个方案的模糊评价值。

模糊评价值是指根据已知的模糊判据矩阵和模糊权重向量，通过模糊推理，得到每个方案的评价结果。

最后，根据模糊评价值，选出最优方案。

总之，模糊决策方法是一种处理不确定性和模糊性问题的有效手段。

权重的计算方法

权重的计算方法权重是很多计算过程中都必不可少的一种重要的参数，它可以用来衡量不同因素之间的关联度，从而有效解决实际问题。

具体来看，权重的计算方法包括贝叶斯统计分析、模糊逻辑推理和启发式决策等多种工具。

现在，让我们一一展开，来了解一下这些权重的计算方法背后的原理与实现过程。

一、贝叶斯统计分析贝叶斯统计分析是一种用于计算权重的最常用统计方法。

它是基于概率论和模糊数学理论，以及贝叶斯定理为基础，通过对不同行为做出相应的推断，去度量一个行为发生的概率(即权重)。

具体来说，贝叶斯统计分析有三种基本方法：贝叶斯分类法、贝叶斯估计法和贝叶斯聚类法。

贝叶斯分类法通过将样本分类，从而计算出一个行为发生的概率。

其中，一个样本的综合概率就是它与各个类别的权重值。

贝叶斯估计法则是在贝叶斯分类法的基础上，对每一个类别，对它对整体概率变化情况进行分析，最终获得权重值。

最后，贝叶斯聚类法是利用聚类分析，将样本根据其属性进行分类，然后求出每一类的权重值，从而获得该样本的总权重。

二、模糊逻辑推理模糊逻辑推理是一种基于模糊数学理论的方法，它主要是利用模糊推理的规则去计算不同行为的关联度，来衡量行为之间的权重大小。

该方法包括一系列的步骤，简而言之，就是根据行为之间的关联性，使用模糊数学理论，计算出每一个行为发生的概率，即权重值。

三、启发式决策启发式决策可以在决策过程中计算不同行为的权重，它的效率比贝叶斯统计分析等方法要高。

它首先根据输入的复杂变量，进行分析，然后建立相应的模型，计算出权重值。

此外，它还采用了一些相关算法，比如贝叶斯网络、决策树等，去估计不同行为的权重。

综上所述，权重的计算方法包括贝叶斯统计分析、模糊逻辑推理和启发式决策等多种工具。

它们不仅有助于我们准确衡量不同行为之间的关联度，而且还可以有效解决诸如任务优化、机器学习等的实际问题。

数学建模——模糊数学方法

• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1；当aij＜时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)；包含：AB A(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4：利用模糊综合评判对20加制药厂经济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主要指标

fahp权重计算

fahp权重计算Fahp权重计算Fahp（Fuzzy Analytic Hierarchy Process）是一种基于模糊数学理论的多准则决策方法，用于确定决策问题中各准则的权重。

它通过对准则之间的两两比较，结合模糊数学的运算方法，得出一个权重向量，用于指导决策过程。

本文将详细介绍Fahp权重计算的过程和应用。

一、Fahp权重计算的基本原理Fahp权重计算的基本原理是将准则之间的两两比较转化为模糊数学中的模糊矩阵运算，通过对模糊矩阵的特征向量进行归一化处理，得到最终的权重向量。

具体而言，Fahp权重计算包括以下几个步骤：1. 构建模糊判断矩阵：根据决策问题的具体情况，建立一个n×n 的模糊判断矩阵，其中n表示准则的个数。

模糊判断矩阵的元素表示准则之间的比较关系，通常用模糊语言（如“相对重要”、“非常重要”、“非常不重要”等）进行描述。

2. 模糊矩阵的标准化：对模糊判断矩阵进行标准化处理，将模糊语言转化为数值，得到一个数值型的模糊矩阵。

3. 求解特征向量：通过求解模糊矩阵的特征向量，得到一个n维的特征向量。

4. 归一化处理：将特征向量进行归一化处理，得到最终的权重向量。

二、Fahp权重计算的应用案例为了更好地理解Fahp权重计算的应用，下面以选取旅游目的地的案例进行说明。

假设我们需要选择旅游目的地，我们可以从以下几个准则进行考虑：自然风光、文化历史、交通便利、旅游费用和安全性。

现在我们需要确定这些准则的权重，以便进行决策。

我们需要构建模糊判断矩阵，对这些准则进行两两比较。

比如，我们认为自然风光相对于文化历史来说非常重要，于是可以将其模糊判断矩阵的元素设为“非常重要”。

接下来，我们将模糊判断矩阵进行标准化处理，转化为数值型的模糊矩阵。

例如，我们可以将“非常重要”转化为0.8，将“相对重要”转化为0.6。

然后，我们求解模糊矩阵的特征向量。

通过计算特征向量，我们可以得到每个准则的权重。

我们对特征向量进行归一化处理，得到最终的权重向量。

模糊数学方法权重

模糊数学方法权重模糊数学方法权重是指利用模糊数学方法对多个指标或因素进行权重分配和评估的过程。

在现实生活中，我们常常需要根据各种指标或因素的重要性，为它们分配相应的权重，以便进行综合评价和决策。

模糊数学提供了一种有效的方法来解决这个问题。

模糊数学方法权重的计算过程主要包括指标的模糊化、成对比较和权重的计算三个步骤。

指标的模糊化是将具体的指标转化为模糊数值的过程。

在实际应用中，往往难以准确地度量和评估各种指标的重要性，而模糊数学提供了一种有效的方法来处理这种不确定性。

通过设定合适的模糊集以及相应的隶属函数，可以将具体的指标转化为模糊数值，以表示其重要程度的不确定性。

成对比较是在模糊化后的指标之间进行两两比较的过程。

通过成对比较，可以确定各个指标之间的相对重要性，从而为它们分配相应的权重。

成对比较是一个相对性的过程，即通过比较两个指标之间的差异，来判断它们的相对重要性。

权重的计算是根据成对比较的结果，通过一定的计算方法来确定各个指标的权重。

常用的方法有模糊层次分析法、模糊正态分布法、模糊相对熵法等。

这些方法都是基于模糊数学理论和原理，通过数学模型和计算公式来实现权重的计算。

模糊层次分析法是一种常用的权重计算方法，它基于模糊数学理论和层次分析法。

首先，将各个指标按照重要性划分为几个层次，形成一个层次结构。

然后，通过成对比较，得到各个指标之间的相对重要性的模糊数值。

最后，根据模糊层次分析法的计算步骤，得到各个指标的权重。

模糊正态分布法是一种基于概率统计理论和模糊数学理论的权重计算方法。

它将指标的相对重要性看作是一种随机变量，符合其中一种模糊正态分布。

通过模糊数学的方法，可以估计和计算出各个指标的权重。

模糊相对熵法是一种基于信息论和模糊数学理论的权重计算方法。

它通过计算指标之间的模糊熵和相对熵，来评估和比较它们的重要性。

模糊相对熵方法可以考虑到各个指标之间的相互关系和相互影响，从而提高权重计算的准确性和稳定性。

(最新)模糊数学方法

∨
n
k =1
( ri k ∧ r k j ) ≤ ri j ; i , j = 1 , 2 , … , n ）
则称R为模糊等价矩阵模糊等价矩阵。模糊等价矩阵注：对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵R，则
~
分别称为模糊相似关系模糊相似矩阵模糊相似关系与模糊相似矩阵模糊相似关系模糊相似矩阵。
F (U ) = { A | µ A : U → [0,1]}
注： (U ) 是一个普通集合. F
（2）模糊集的表示方法）模糊集的表示方法：对于有限论域 U = {x1 , x2 … xn }，设 A ∈ F (U ) （1）Zadeh表示法： = ∑ µ A ( xi ) = µ A ( x1 ) + µ A ( x2 ) + … + µ A ( xn ) A
第一步. 数据标准化（1）获取数据: 设论域U＝ {x1 , x2 ,… , xn } 为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即
xi = {xi1 , xi 2 , ⋯, xim }(i = 1,2,⋯, n)
于是得到问题的原始数据矩阵为 A = ( xij ) n×m （2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：
第二步. 建立模糊相似矩阵设论域U= {x1 , x2 , ⋯, xn }, xi = {xi1 , xi 2 , ⋯, xim }(i = 1,2,⋯, n) 即数据矩阵为 A = ( xij ) n×m .如果 xi 与 x j 的相似程度为相似系数。相似系数 rij = R( xi , x j )(i, j = 1,2,⋯ , n) ，则称之为相似系数。

模糊数学方法

模糊数学方法
模糊数学方法是一种处理具有不确定性或模糊性问题的数学方法。

在经典数学中，事物通常被视为确定性的，可以用精确的数值来表示。

然而，在实际生活中，很多事物是模糊的，没有明确的界限和定义，这就需要用模糊数学方法来处理。

模糊数学方法的基本思想是承认事物的模糊性，将模糊性作为事物的一种固有属性来处理，而不是试图消除它。

通过建立模糊集合和隶属函数，模糊数学方法能够描述和处理具有不确定性和模糊性的事物。

具体来说，模糊数学方法包括模糊集合理论、模糊推理、模糊控制等方面的内容。

其中，模糊集合理论是研究模糊性事物的数学理论，包括模糊集的定义、运算和性质等；模糊推理是利用模糊集合和隶属函数进行推理的方法，可以用于处理不确定性和模糊性的事物；模糊控制则是将模糊数学方法应用于控制领域，用于处理具有不确定性和非线性的控制系统。

总之，模糊数学方法是一种处理具有不确定性或模糊性问题的有效工具，可以广泛应用于各个领域，如自然语言处理、模式识别、人工智能等。

模糊数学整理

（3）有界算子：
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系

模糊数学评价方法

以DO为例，若DO指标的一级标准为8mg/L,二级标准为 6mg/L.则DO属于一级水的隶属度可用隶属函数表示为：
1 1 (u ) (u 6) 2 0 u 8 6u (k)隶属度函数并建立模糊关系矩阵R： U 作为各污染指标的集合；V为分级标准的集合；如U取{BOD,DO,COD,酚,CN}，V取{Ⅰ级, Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级，Ⅴ级}，根据隶属度计算公式，可得到5阶矩阵，即为模糊关系矩阵R(5×5)
2 U,V确定以后，因素论域(各环境因素)与评语论域(各评价标准) 之间的模糊关系用模糊矩阵R来表示
11 R 21 ... n1
12 22 n 2
... ...
1m i j 表示第i种因素的环境质量属于第j类评价标准的隶属度 ... 2 m
年轻：Y (u ) u 25 2 1 [1 ( )] 5 25 u 100
Y(23)=1,X(80)=0.97
0 u 50 0 年老：X(u) u 50 2 1 [1 ( ) ] 50 u 100 5
2 模糊评价数学模型
用隶属度刻化环境质量的分级界限
0.4
0.2
0.0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
X Axis Title
武汉市12a来的城市总体建设取得了很好的成绩，城市生态系统相对健康程度逐年上升。评价要素如人类健康、生态服务功能、社会和经济要素整体发展趋势较好，但环境要素的相对健康状态令人担忧。2004年武汉城市生态系统相对健康状态下降的原因是由于2004年人类健康、社会、环境要素的相对健康隶属度均下降造成。