复变函数听课笔记
复变函数笔记—（1）基本概念
复变函数笔记—（1）基本概念复变函数笔记—(1)基本概念复数 复数的⼤部分基础知识在中学阶段就已涉及，这⾥只是简单复述和⼀点拓展。
定义 形如z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，满⾜i2=−1，且x,y∈R。
x称为复数z的实部，记作x=Re(z)；同理，y称为复数z的虚部，记作y=Im(z)。
若两个复数实部虚部均相同，就说这两个复数相等。
众所周知，实数可以在⼀条直线——数轴 R 上表⽰，复数也可以在⼀个平⾯——复平⾯ C 上表⽰。
复数的加减乘除和实数有着⼀样的定义，同样也满⾜交换律、结合律......等⼀系列性质，在运算时只是需注意下i2=−1 即可。
对于复数的整数次幂，有着和实数⼀样的定义：z n=z·z·...·zn个z 若w n=z，则w称为z的n次⽅根，记作w=n√z。
不难看出，对于复数z≠0 的n次⽅根有n个不同的值。
表⽰ 复数除了在笛卡尔坐标中的表⽰⽅法z=x+iy以外，还可以把复平⾯放⼊极坐标中表⽰为：z=r(cosφ+i sinφ) 其中r为z的模（即复平⾯中z到原点的距离，记作r=|z|），φ为z的辐⾓（记作φ=Arg(z)）。
不难看出，⼀个复数的模是唯⼀的，但是辐⾓并不唯⼀，相互可以相差 2kπ，所以通常⽤arg表⽰辐⾓中的⼀个，并通常会给出其范围。
本⽂约定arg范围为 [0,2π]。
在极坐标中对复数的表⽰感觉略显复杂，还包括三⾓函数，但其实可以通过有名的欧拉公式（之⼀）对其化简，变为：z=re iφ 通过这个可以得到，两个复数相乘等于其模相乘、辐⾓相加。
复变函数区域 在复平⾯中的点集D满⾜：1.开集性：对于任意z∈D，都存在z的邻域U(z)⊂D。
2.连通性：对于任意z1,z2∈D，都可以⽤包含于D的折线相连。
那么称D为复平⾯上的⼀个区域。
对于区域D，如果点z的任意邻域都有属于D，也有不属于D的点，则称z为区域D的边界点。
由所有边界点组成的点集称为边界，记作 ∂D。
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换公式笔记
复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数1. 任何一个复数 z ≠0 有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z = 1+2kπ (k =0,±1,±2,…)表示 z 的全部辐角，其中满足-π＜ 0≤π的辐角 0称为辐角 Argz 的主值， 记为 0=arg z . 2. 棣莫弗公式：（cosθ + sinθ) =cosnθ + sin θ1. 柯西–黎曼方程：第二章 解析函数∂= ∂，∂= −∂ ∂∂∂∂2. 如果二元实函数 ( , )在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2 ∂2∂ 2 + ∂ 2 = 0则称 ( , )为区域 D 内的调和函数。
3. 共轭调和函数公式：( , )( , ) = ∫ − ( 0, 0) ∂ ∂d + ∂ ∂d + C其中( 0, 0)为 D 内一个定点，( , )为 D 内任一点，C 为任意常数。
该积分与路径无关。
4. 指数函数的定义5. 指数函数的性质 = + = (cos + sin )2 = 16.ln ,称为 Ln z 的主值，于是有ln = ln | | + arg而其他各支可由下式表达：Ln = ln + 2 ( = ±1, ±2, … )7.余弦函数与正弦函数：cos =sin =8.双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh =chz =+ −2 − −2− −2 + −2C C 01. 复积分的计算第三章 复变函数的积分∫ ( )d = ∫ [ ( )] ′( )dC2. 计算：C 为单位圆周| | = 1的上半部分从 1 = 1到 2 = −1的弧。
C 的参数方程为 = (0 ≤ ≤ )，d = d .3. 柯西积分公式：1( 0) = 2 ∮( ) − 0d4. 高阶导数公式:( )∮ C − 0 d = 2 ∙ ( 0)( )(0 !) =2 ( )∮ ( − ) +1d ( = 1,2, ⋯ ).( )∮ d = 2 ( )( ) ( = 1,2, ⋯ ). 0 C( − 0) +1 !1. 幂级数收敛半径公式为第四章级数∞∑=0R = lim ||.2. 幂级数基本展开公式：→∞ +111 −= 1 + + 2 + ⋯ + + ⋯ ，| | < 1； ∞11 += ∑(−1) ，| | < 1； =0 ∞= ∑ =0∞!，| | < +∞；2 +1 sin = ∑(−1) ，| | < +∞；(2 + 1)!=0∞cos = ∑ =0(−1) 2(2 )!，| | < +∞；3. 函数展开结果中可能不含 z 的负幂项，原因在于 ( )在 C 内是解析的。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ?≥=+??<=-??；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
复变函数笔记
1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想(Riemann Hypothesis):黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。
延拓的概念和例子：复变函数要点：（1）基本是三块：cauchy积分理论，weirstass级数理论，riemann映射理论？函数的局部与整体性质：复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815.10.31-1897.2.19）这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。
函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abel，Riemann 和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．？退而求其次一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．？曲面的局部与整体性质：在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质．（2）cauchy积分理论更多是方法性的东西，需要你了解解析函数到底是什么，什么是奇点，什么是单连通，复连通区域，区域有洞怎么积分,若尔当曲线的形态（3）级数部分的重点是极点（特殊的奇点），零点，留数，无穷原点的性质（转化成为零点）留数定理。
复变函数重要知识点总结
03 复变函数的级数与幂级数展开
幂级数展开
幂级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为一个无 穷级数。
幂级数展开在复变函数中具有广泛的应用，例如在求解微分方程、积分方 程以及研究函数的性质等方面。
幂级数展开的收敛性是一个重要的问题，它涉及到级数的收敛范围和条件 。
洛朗兹级数展开
01
勒让德函数
01
勒让德函数是一种在复数域上的特殊函数， 它经常用于解决物理和工程问题。
03
02
勒让德函数分为两种类型：P型和Q型，每 种类型都有其特定的定义和性质。
勒让德函数的定义基于勒让德方程，该方程 是一个二阶线性常微分方程。
04
勒让德函数具有一些重要的性质，如正交性 、积分表示、零点和无穷大行为等。
洛朗兹级数展开是复变函数的一种特殊形式的幂级数展 开，它在研究函数的奇异点和分支点等方面具有重要作 用。
02
洛朗兹级数展开可以用来求解某些具有特定性质的复数 函数的积分和微分方程。
03
洛朗兹级数展开的收敛性和奇异性是一个重要的研究课 题，它涉及到级数的收敛范围和条件以及函数的奇异性 。
欧拉公式与双曲函数
复变函数在物理中的应用
波动方程
复变函数用于描述波动现象，如 电磁波、声波等。波动方程的解 是复变函数，描述了波的传播和
变化。
电路分析
在电路分析中，电压和电流可以用 复变函数表示，从而简化计算和分 析。
量子力学
在量子力学中，波函数通常可以表 示为复变函数，描述微观粒子的状 态和行为。
复变函数在工程中的应用
欧拉公式是复变函数中的一个基本公 式，它将三角函数与复数运算联系起 来，从而将实数域上的三角函数扩展 到复数域上。
复变函数及积分变换重要知识点归纳
复变函数复习要点(一)复数的观点 1.复数的观点：z x iy ， x, y 是实数 , x Re z , yIm z .i 21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 .2.复数的表示 1）模： zx 2 y 2 ；2）幅角 ：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
3） arg z 当 x与 arctan y之间的关系以下：xy0, arg z arctan；y 0,arg z arctany当 x 0, x ；yy 0,arg zarctanx4）三角表示 ： z z cosi sin，此中arg z ；注：中间必定是“ + ”号。
5）指数表示 ： z z e i ，此中arg z 。
(二) 复数的运算1.加减法 ：若 z 1 x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则 z 1 z 2x 1 x 2 i y 1 y 22.乘除法 ：1）若 z 1x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则z 1z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 i x 2 y 1 x 1 y 2 ；z 1x 1 iy 1x 1iy 1 x 2 iy 2x 1x 2 y 1 y 2 y 1 x 2y 2x 1 。
z 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2x 22 y 22iy 22x 22）若 z 1 z 1 e i 1 , z 2 z 2 e i 2 , 则2i12； z 1 z 1i 12z 1z 2 z 1 z 2 ez 2z 2 e3.乘幂与方根1） 若 zz (cos i sin )z e i ，则 z n ni sin n )nz (cosnz e in 。
2） 若 zz (cosi sin )z e i，则n12k2k（有 n 个相异的值）nz zcosni sinn( k 0,1,2n 1)（三）复变函数1．复变函数： w f z ，在几何上能够看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映照 .2．复初等函数1）指数函数 ： e ze x cos y isin y ，在 z 平面到处可导，到处分析；且 e ze z 。
复变函数与积分变换学习笔记
复变函数与积分变换学习笔记第二章解析函数一、复变函数的导数及微分1、导数的定义2、可导与连续3、求导法则实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来4、微分的概念与一元实变函数的微分概念完全一致二、解析函数的概念1、解析函数的定义如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。
如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
或称f（z）是区域D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）2、奇点的定义如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。
根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。
但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。
函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。
定理（1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。
（2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f （h）在h平面上的区域G内解析。
如果对于D内的每个点z，函数g （z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。
根据定理可知：（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。
（2）任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。
注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。
第二节、函数解析的充要条件一、主要定理定理一：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域D内，则f（z）在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，并在该点满足柯西-黎曼方程：?u?v?u==-，x?y?y ?vx 。
根据定理一，可得函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi处的导数公式：f＇（z）u =+ix ?vx1=iu?v+y?y。
复变函数知识点梳理
复变函数知识点梳理复变函数知识点梳理第一章：复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识，加减乘除，乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章：解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是：μ对x 与ν对y 的偏微分相等且μ对y 和ν对x 的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念：调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。
和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。
第三章：复变函数的积分这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
复变函数笔记.pdf
Theorem 2.3 (Cauchy-Riemann Equation). 设f (z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y), v(x, y) ∈ C∞都定 义在区域D上，则f (z)在区域D上解析的充要条件是
∂f (z)
=0
(1)
∂z∗
这个定理说明了如果f (z)在区域D上解析，则它的表达式一定与z∗无关，也就是不显含z∗。因此我们
♣ Proposition 5：K是一个紧集，连续函数f 定义在K上，那么f (K)也是紧集。即f 把紧集映为紧 集。 ♣ 最值定理：K是一个紧集，连续函数f 定义在K上，则f 有界，并且|f |在K上达到最大最小值。（因 为f (K)是紧集，也就是有限闭区域）
• Cauchy序列： C is R2 with extra structure of complex multiplication. Cauchy序列：如果一个实序 列{xi}对于任意的 > 0，存在一个N，使得于有 |xn − xm| < ，其中n N 同时 m N ，我们称这 个序列为Cauchy序列。在实数域R上，每个Cauchy序列必收敛，这等价于实数域的完备性。 普通的连续性是针对一个点的领域而言的，是一个局部性质。如果函数f 在点x0处连续，则f 在x0附 近肯定是有界的。即使f 处处连续，但无法保证f 在整个区间有界（当然在闭区间上连续函数肯定是 有界的）。所以我们要发明一个全局性的连续概念，我们叫它一致连续。 一致连续（uniformly continuous）：函数f : A → C一致连续，如果∀ > 0, ∃δ > 0, s.t. |f (s) − f (t)| < f or ∀s, t ∈ A, and |s − t| < δ.一致连续是一个δ对区域里所有位置都适用，所以把连续性 提升为全局性质。
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结1. 复数及复平面- 复数由实部和虚部组成，形式为 `z = a + bi`，其中 `a` 为实部，`b` 为虚部，`i` 为虚数单位。
- 复平面将所有复数表示为二维平面上的点，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
- 复数可用极坐标和指数形式表示。
2. 复变函数的定义与性质- 复变函数是将复数域映射到复数域的函数。
- 复变函数的导数称为复导数，由极限定义及柯西—黎曼方程求得。
- 复变函数的连续性与分析性与实变函数类似。
3. 元素函数- 复指数函数：`exp(z) = e^z`，其中 `e` 为自然对数的底数。
- 复对数函数：`Log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2πn)`，其中 `arg(z)` 是复数 `z` 的辐角。
- 复正弦函数：`sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)`。
- 复余弦函数：`cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2`。
4. 复变函数的级数展开- 柯西—黎曼方程可推导出复变函数的泰勒级数展开。
- 复变函数的泰勒级数展开在某一区域内收敛于该函数。
5. 复积分- 路径积分：沿曲线的积分，路径可用参数方程表示。
- 狭义路径积分与宽义路径积分分别对应于可积与不可积的情况。
- 围道积分：路径围成的图形内积分。
6. 复变函数的解析性- 柯西—黎曼方程刻画了函数在一个区域内的解析性。
- 解析函数满足柯西—黎曼方程，其导函数也是解析函数。
7. 复变函数的应用- 复变函数在电路分析、流体力学、量子力学等领域具有广泛应用。
以上是对复变函数的一些知识点的总结，希望能为您提供参考。
复变函数与积分变换 课程笔记
笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。
本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。
再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】复变函数与积分变换第一课一、 复数的加减乘除举例：①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i =5+7i②(3+4i)−(2+3i)=(3−2)+(4−3)i =1+i③(2+3i)×(3+4i)=2×3+2×4i+3i×3+3i×4i =6+8i+9i −12 =−6+17i ④ 2+3i 3+4i=(2+3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=6−8i+9i+1232−(4i)2=18+i 9+16=1825+125i二、 求复数的实部与虚部例1：已知z=9−10i ，试求Re(z)，Im(z)。
Re(z)=9，Im(z)=−10例2：已知z=3+3i ，w=z−1z+i ，试求Re(w)，Im(w)。
w=z−1z+i=3+3i−13+3i+i=2+3i 3+4i=1825+125i猴博士爱讲课Re(w)=1825，Im(w)=125三、 求某复数的共轭复数例1：已知z=9−10i ，试求 z̅。
z ̅=9+10i例2：已知z=3+3i ，试求z−1z ̅+7i 。
z−1z̅+7i =3+3i−13−3i+7i =2+3i3+4i =1825+125i四、 求模、辐角和辐角主值例1：已知z=1+i ，试求z 的模、辐角、辐角主值。
∵ Re(z)=1，Im(z)=1 ∴ |z|=√12+12=√2∵ arg(z)∈(−π,π]猴博士爱讲课∴ arg(z)=π4Arg(z)=π4+2kπ，k=0,±1,±2···例2：已知w=−2+2i ，试求w 的模、辐角、辐角主值。
复变函数-复习笔记
复变函数-复习笔记第⼀章: 复数的模，三⾓表⽰法，指数表⽰法，求根与求幂，平⾯映射 复数为x + yi 复数的模为 sqrt(x2 + y2) 复数的三⾓表达式为 sqrt(x2 + y2)(cosθ + sinθ * i) 复数的指数表达式为 sqrt(x2 + y2)e iθ 求复数的n次幂可使⽤指数表达式简化计算 求复数的i次根号可使⽤sqrt(x2 + y2)e iθ + 2kπ的i次根号求得，⼀共有i个解 k = 0,1,2,,,,,,i-1 平⾯映射 w = 1/z 设w = u + i*v z = x + y*i 带⼊w = 1/z可得 x = u/(u2 + v2) y = -v/(u2 + v2) 带⼊z平⾯中的⽅程即可得到w平⾯上对应的⽅程第⼆章: 可导性，解析性，初等函数的化简 可导:从各个⽅向趋近于点p的导数相同即点p可导 可微:同⼀元函数 解析:在p和p的邻域内处处可导 可导的充要条件: f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) u,v在定义域点x+iy可微且满⾜柯西黎曼⽅程 柯西黎曼⽅程: ∂u / ∂x = ∂v / ∂y ∂u / ∂y = -∂v / ∂x 解析的充要条件: f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) u,v在定义域D内处处可微且满⾜柯西黎曼⽅程 柯西黎曼⽅程: ∂u / ∂x = ∂v / ∂y ∂u / ∂y = -∂v / ∂x 区别在于⼀个是点，⼀个是定义域 初等函数 ⼤部分初等函数服从实数域上初等函数的性质 z = x + i*y e z = e x(cosy + i siny) e z + 2kπi = e z Lnz = ln(|z|) + i Argz 因为⾓度⼜可以加2kπ 所以定义主值为 ln(|z|) + i argz chZ = (e z + e-z ) / 2 shZ = (e z - e-z ) / 2 thZ = (e z - e-z ) / (e z + e-z ) chZ' = shZ shZ' = chZ cos(Z) = (e zi + e-zi ) / 2 sin(Z) = (e zi - e-z i) / 2 a b = e blna第三章 积分的定义同实数域上的相同，但与实数域不同的是，⾯积不⼀定是实数，有可能是虚数 当f(z)解析时，积分为0，不解析时，使⽤如下解法 积分的计算⽅法1: 按照积分曲线，将x，y⽤t表⽰，将i当成常数提出来，然后就是普通的积分了，要注意的是，dz也要相应的转化为dt 柯西古萨基本定理: 若f(z)在单通区域内处处解析，那么f(z)沿B内的任何⼀条封闭曲线C的积分为0 复合闭路定理: 设C为多联通区域D的⼀条简单闭曲线，C1，，，，，Cn是在C内部的简单闭曲线，他们不包含也互补相交 并且C，C1，，，，，Cn为边界的区域全含与D，如果f(z)在D那么 ∫f(z)dz 在C上的积分=在C1，，，，，Cn上积分的和 ∫ 1 / (z-z0) dz = 2πi ∫ 1 / (z-z0)n dz = 0 n>=2 积分的计算⽅法2: 求积分时将导致函数不解析的点提取出来 将积分区域分割成⼀部分⼀部分的⼩块，每⼀⼩块包含⼀个不解析点 将函数转化为 1/(z - z0)的形式即可求得积分 积分的计算⽅法3: f(z0) = 1 / 2πi * ∫ f(z) / (z-z0) dz f n(z0) = n! / 2πi * ∫ f(z) / (z-z0)n+1 dz 由已知的调和函数求解析函数 函数是调和函数的充要条件： α2Φ / αx2 + α2Φ / αy2 = 0 若函数f(x,y) = u(x,y) + i*v(x,y)中的u， v满⾜柯西黎曼⽅程 则称u，v为共轭调和函数第四章 判断级数是否收敛 1.分别判断实部和虚部是否收敛，若均收敛则级数收敛 2.将级数⽤e来表达，若收敛，则级数收敛参见P142 1.2 判断是否收敛 把级数分为两个部分，每个部分都要满⾜收敛条件 a n+1 / a n < 1 n√￣a n < 1 满⾜这两个条件即收敛 绝对收敛性 判断n->∞|a n|是否收敛 要记住Σ 1/n发散 幂级数的收敛半径 幂级数为Σai*z i 那么收敛半径为 1/lim nΓ|a n| 若lim|c n+1 / c n|为常数u 则收敛半径为 1/u 函数的幂级数展开 常见幂级数展开有 1 / (1 - z) = 1 + z + z2 + ......+ z n 对于⼀个函数我要想办法把他转变为1 / (1 - f(z)) 这样我的幂级数展开就可以写为 在转化过程时 对于原函数g(z) 我找到距离展开点最近的奇点 在这个范围内画圆 在我对函数进⾏变形的过程时 保证在这个范围内，函数⼀直是解析的即可 1 / (1 - f(z)) = 1 + f(z) + f2(z) + ....... + f n(z) 若要求在z0处展开 则要将函数转化为 1 / (1 - f(z - z0)) 对于负⾼次函数，可通过 1 / (1 - f(z - z0))求导的⽅式来获得泰勒展开式 洛朗级数 若f(z)在z0处不解析，那就不能使⽤幂级数展开了 这个时候就可以使⽤洛朗级数展开 对于给定圆环域 我先将函数展开成f(z) = Σ g(z) * 1 / (1 - c(z)) 的形式 要求c(z) 在给定圆环域内 n ->∞时 c(z)n必须收敛 然后再按照幂级数展开的⽅式去做即可第五章 奇点，极点 若f(z) 在z0处不解析则z0为f(z)的奇点 若lim z -> z0 f(z) 为常数，则z0为f(z)的可去奇点 若lim z -> z0 f(z) = ∞，则z0为f(z)的极点 若lim z -> z0 f(z) = 不存在，则z0为f(z)的本性奇点 对于极点来说，若z0重复出现n次，则z0为n级极点 若f(z) = P(z) / Q(z) 那么 z0是Q(Z)的n级0点，是P(z)的m级0点 那么z0是f(z)的n - m级极点 留数 若z0为f(z)的⼀级奇点 Res(f(z), z0) = lim z->z0 (z - z0) *f(z) 若z0为f(z)的m级奇点 Res(f(z), z0) = lim z->z0 1/(m-1)! * ( d m-1(z-z0)m f(z) ) / dz m-1 若f(z) = P(z) / Q(z) 若z0为⼀级极点 那么Res(f(z), z0) = lim z->z0 P(z) / Q'(z) 对于f(z)其在复平⾯上所有留数的和为0，若圆周内留数过多，可求圆周外的留数的相反数来代替元周内的留数 Res(f(z), ∞) = Res(f(1/z) * 1 / z2, 0) 留数定理 ∫ f(z)dz = 2πi*Res(f(z), z0) 要求圆域内只有z0⼀个极点 求定积分 sinθ = (z2 - 1 )/ 2iz cosθ = (z2 + 1 )/ 2z dθ = dz / iz。
复变函数笔记
注意：
Solution: 这就是表情“吓得我都震荡了”的那个图。只不过这里补充定义了x = 0时，取y 轴的一段 作为点集的一部分。 显然我们无法用两个不相交的开集把这个图分为两部分， 所以E 是连通的。 但
如果对于区域d中的任意简单闭曲线l都存在d中的有界区域r就不是单连通的因为没法到一个圆环使得一条闭曲线既是它内半径的边界又是它外半径的边界
复变函数笔记
李嘉轩
1 复数与复数域上的拓扑
• 关于开集和闭集： 1) 空集∅是开集也是闭集，C既是开集也是闭集。 2) 若干闭集的交集是闭集，若干闭集的并集是闭集。 3) 若干开集的交集是开集，若干开集的并集是开集。 • 设f : C → C是一个复变函数，那么下列命题等价： i. f 是连续函数。 ii. 闭集的原像是闭集。 iii. 开集的原像是开集。 • 一个集合A ⊂ C， A的一个子集B如果满足B = A ∩ U ， 其中U是一个开集， 那么称B是相对于A开 的；如果A的一个子集B满足B = A ∩ F ，其中F是一个闭集，那么称B是相对于A闭的。 • 道路连通与连通： 我们在直观上看C上的两个点集时，对于连通这个意思有两种理解。正面的理解是： “这个集合中的 任意两个点都可以被一条线给连起来” ， 反面的理解是： “这个集合不能被直观的看成两部分” 。由 此我们有了如下概念： 道路连通(path-connected)：一个集合C中的任意两个点a, b之间可以用一条折线连接起来，且这条 折线的每个点都属于集合C。即对于集合C中的任意两个点a, b，有一个连续映射γ : [0, 1] → C, γ (0) = a, γ (1) = b. 对于另一个定义，一个集合C ⊂ C，若存在开集U, V 并满足下列条件，则称C 连通(connected)的： 1) C ⊂ U ∪ V 2) C ∩ U = ∅ and C ∩ V = ∅ 3) U ∩ V = ∅ 即连通集C 不能用两个不相交非空开集将其一分为二。 ♣ Proposition 1：一个道路连通的集合（无论是开集还是闭集）一定是连通的。 一个连通的集合不一定是道路连通的，但这句话对于开集是成立的。事实上，连通的开集中道路还 有性质。 ♣ Proposition 2：一个连通的开集一定是道路连通的，且连接任意两个点的道路γ 都是可微的。道 路γ 可微的意思是γ 的两个x分量函数与y 分量函数都是可微的。 可见，连通的开集的性质是如此好。对于连通的开集，连通和道路连通画上了等号，而且道路还是 可微的。所以我们把连通的开集叫做区域(region). 1