《函数的极值与最值》PPT课件
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函数的极值与最值PPT课件
【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值.
(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的
图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求 解.
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题6
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3 1、求出所有导数为0的点；
令f ' x 0,解得：x2或x2 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－12x2－2x＋c，
(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的
图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求 解.
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题6
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3 1、求出所有导数为0的点；
令f ' x 0,解得：x2或x2 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－12x2－2x＋c，
函数的极值与最大值最小值94806-PPT精选文档22页
其最值可能在 ①区间的端点处取得， ②区间的内部（即极值点处）取得。 极值点在驻点、不可导点处取得
一定是在所有的极值点和区间的端点处取得 .
求函数最值的方法:
（1）求出函数所有的驻点和不可导点 （2）求出函数所有的驻点、不可导点和端点的 函数值比较大小，其中最大者为最大值，最小者 为最小值
特别:
在 (3,4)内 ,f(x)的驻x 点 3;x为 1, x2为不可导点
2
例3 求函 f(x) 数 x23x2在 [ 3,4]上的
最大值 . 与最小值
在 (3,4)内 ,f(x)的驻x 点 3;x为 1, x2为不可导点
2
因为 f(3) 20; f(4)6 ,
f 3 1 ; f(1)0 ; f(2)0 ;
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函 0 f(x)数 在 x0的某U(邻 x0)内 域 有,
如果对 xU(x0),有
f(x)f(x0) (或 f(x )f(x 0 )), 则称函 f(x数 )在x0点取得 大 (极 小) 值 , y 称点 x0为f(x)的极 大 (小) 值点,
故函数在x 2x02取最9x小值12 0;0在
x1及
5 2
取最大值 5.
应用问题
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只点有 ,则唯 该一 点驻 的函数 值即为所(求 或的 最)值 最 小．
例5. 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为 每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增 加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房 子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多 少可获得最大收入？
一定是在所有的极值点和区间的端点处取得 .
求函数最值的方法:
（1）求出函数所有的驻点和不可导点 （2）求出函数所有的驻点、不可导点和端点的 函数值比较大小，其中最大者为最大值，最小者 为最小值
特别:
在 (3,4)内 ,f(x)的驻x 点 3;x为 1, x2为不可导点
2
例3 求函 f(x) 数 x23x2在 [ 3,4]上的
最大值 . 与最小值
在 (3,4)内 ,f(x)的驻x 点 3;x为 1, x2为不可导点
2
因为 f(3) 20; f(4)6 ,
f 3 1 ; f(1)0 ; f(2)0 ;
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函 0 f(x)数 在 x0的某U(邻 x0)内 域 有,
如果对 xU(x0),有
f(x)f(x0) (或 f(x )f(x 0 )), 则称函 f(x数 )在x0点取得 大 (极 小) 值 , y 称点 x0为f(x)的极 大 (小) 值点,
故函数在x 2x02取最9x小值12 0;0在
x1及
5 2
取最大值 5.
应用问题
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只点有 ,则唯 该一 点驻 的函数 值即为所(求 或的 最)值 最 小．
例5. 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为 每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增 加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房 子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多 少可获得最大收入？
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
微分应用-极值最值精品PPT课件
又 在(0, 150)中,
5 x2 400 5x2
W k
x2 400 x2 400
ห้องสมุดไป่ตู้
2000k
3 >0
(x2 400)2
故W(15)为极小值也即为最小值. 故 x =15时, 全程运费最省.
例8. 宽为2米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道, 若在其中漂运原木, 问能通过的原木的最大长 度是多少?
的点, 得系列点x1, x2,…, xn .
(3) 在 (xi, xi+1)上及分点xi 处观察 f ' (x), f '' (x) 的符号, 从而确定单调区间、极值点; 对应 曲线的凹凸区间及拐点.
: 表单增 : 表凹
: 表单减 : 表凸
(4) 确定y = f (x)的渐近线及其它变化趋势. (5) 补充一些适当的点(xi , f (xi)). (6) 用光滑的曲线连接这些点并作图.
注1. 使 f ' (x) = 0的x0称为 f (x)的驻点.
注2. f ' (x) = 0是 f (x)在x0取极值的必要条件, 非 充分条件, 比如y = x3驻点x0=0非极值点.
注3. f ' (x) 不存在的点, 也可能是极值点. 如y = | x |, x0 = 0.
定理2. 设 f (x)在x0连续, 在Û (x0)可导, (1)若xÛ(x0 ) , f ' (x) > 0 xÛ(x0 ) , f ' (x) < 0 则 f (x)在x0取得极大值.
解: 因 f (x)以2为周期, 只需考虑区间[0, 2)
由f ' (x) = sinx–cosx = 0
得驻点
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
m min{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (1) 7.
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
导数的应用函数极值与最值课件
极值计算示例
01
02
03
步骤
1. 定义域：全体实数
2. 一阶导数：f'(x)=3x^212x+9
极值计算示例
3. 二阶导数：f''(x)=6x-12
4. 令一阶导数为0，解出对应的x值：x=1或x=3
5. 判断导数在x值附近的符号变化：在x=1附近， f'(x)<0；在x=3附近，f'(x)>0
04
计算得f(-2)=0为最
小值，f(2)=16为
03
最大值
判断f(-2)和f(2)为 极值点，且为单调
性改变的点
04
导数在优化问题中的应用
优化问题的概念与分类
01
优化问题定义：在满足一定条件下，寻求某个 函数的最优值。
03
静态优化：目标函数和束缚条件都不随时间变化。
02
分类
04
动态优化：目标函数或束缚条件随时间变化。
经济模型
导数可以用于建立经济模型，例 如在需求函数中，对价格求导可 以得到需求弹性。
导数在其它领域的应用
工程领域
导数可以用于优化设计、控制过程、 预测趋势等。例如，在机械设计中， 对结构强度进行导数分析可以找到最 优设计方案。
科学计算
导数可以用于数值计算、插值、拟合 等技术中。例如，在数值积分中，对 函数进行离散化求导可以得到数值积 分的结果。
中，物体的平衡状态通常可以通过求导来找到极值点。
曲线斜率
03
导数可以用来计算曲线的斜率，例如在光学中，反射和折射定
律可以用导数来描述。
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用于边际分析，例如在 成本函数中，对产量求导可以得 到单位产量的成本变化。
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间