北京四中数学必修一【知识讲解】指数与指数幂的运算(基础)

指数与指数幂的运算

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；

(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；

4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】

要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念

()

()),0(1

010*

Z*n a a

a a a Z n a a a a n n a

n n ∈≠=

≠=∈⋅⋅⋅=-

个

2．运算法则 （1）n

m n

m

a a a +=⋅；

（2）()

mn n

m

a a =；

（3）()0≠>=-a n m a a

a n

m n m ，；

（4）()m

m m

b a ab =.

要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：

若x n

=y(n ∈N *

，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.

n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；

n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根

0=.

2．两个等式

（1）当1n >且*

n N ∈时，

n

a =；

（2）⎩

⎨⎧=)(||)

(,为偶数为奇数n a n a a n

n

要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．

要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *

，且

m

n

为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1

n

a =

m m n

a ==

-

1m n

m n

a

a

=

要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质

()Q b a ∈>>βα,00，，

(1);a a a

α

β

αβ

+⋅=

(2)();a a αβαβ

= (3)();ab a b ααα

=

当a>0，p 为无理数时，a p

是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；

(3)幂指数不能随便约分.如2

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2)4()4(-≠-. 2.指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.

【典型例题】 类型一、根式

例1.求下列各式的值：

（1

【答案】 -3

3π-；0a b b a -⎧⎪

⎨⎪-⎩

　（a>b ） （a=b ）　（a

【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （1

3=-； （2

=

（3

|3|3ππ=-=-；

（4

||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩

　（a>b ） （a=b ）　（a

【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，

2=±.

（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序

是否可换，何时可换.

举一反三：

【变式1】计算下列各式的值：

（1234. 【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)

2(2)

a a a a -≥⎧⎨

-<⎩.

例2.计算：（1 （2

.

【答案】．

【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.

（1

=

+

-

2|-|2

2-（2）

（2

11+

=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n 次方，再解答，