北京四中数学必修一【知识讲解】指数与指数幂的运算(基础)
北京四中高中数学 指数函数、对数函数、幂函数综合基础知识讲解 新人教A版必修1
指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【知识框图】【要点梳理】要点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n nn a a =；当n ,0,,0;nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)nnaa =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：要点三、对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四、对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：要点五、反函数1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 要点六、幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.化简与计算下列各式（1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--． 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】（1）1615；（2）100；(3)2a ． 【解析】 (1)原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1+11610-=1615； (2)原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=5937100331648++-+=100(3) 原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)133241116()()8()100481----+⋅；.【答案】（1）-27；（2【解析】(1)1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=-⎪⎝⎭；133⎫=1)1)=-=-=例2．已知：4x=，求：111244311422111x x xxx x x-+⋅⋅+++的值.【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法.【答案】2【解析】111244311422111x x xxx x x-+⋅⋅+++11441411122411111x xxxxx x⎛⎫+⎪-⎝⎭=⋅⋅+⎛⎫++⎪⎝⎭1111442211122211111111x x xx x xx x x--=⋅⋅+=+=-+=++∴当4x=时，111112442231142211421x x xx xx x x-+⋅⋅+===++.【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．11112222a b a b a b⎛⎫⎛⎫+-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2111122222a b a a b b⎛⎫±=±+⎪⎝⎭;112112333333a b a a b b a b⎛⎫⎛⎫±+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++． 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14．【解析】(1)原式=122221log 12log log 22-⎫===-； (2)原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++ =()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1(3)原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++=()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧. 【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）A.0B.1C.2D.4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==．【变式2】(1)2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；(2)3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 【答案】(1)2；(2)54． 【解析】(1) 原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；(2) 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 例4.已知函数3log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩ 则1(())9f f =( )A.4B.14C.-4D.-14【答案】B【解析】1)12(log )2(23=-=f ，0((2))22f f e ==.【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值. 举一反三：【变式一】已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（ ）．A.12 B. 45C. 2D. 9 【答案】C ． 【解析】1,()21,(0)2x x f x f <=+∴=，由((0))4f f a=，则有(2)4f a =．21,(),442x f x x ax a a ≥=+∴=+，2a ∴=，选C ．例5.函数1()f x x=的定义域( ) ． A.(][),42,-∞-+∞ B.()()4,00,1- C.[)(]4,00,1- D. [)()4,00,1-【答案】D【解析】220,320,340,0.x x x x x ≠⎧⎪-+≥⎪⎨--+≥>【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零． 【高清课堂：幂指对综合377495 例4】 例1-xA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出2(0)xy x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||2x y =的图象，再把||2x y =的图象右移一个单位，得到12-=x y 的图象，故选B【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】例7. 函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
人教版高中数学必修一指数与指数幂的运算课件PPT
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
引导探究一
3 3 27
2 3 8
2 5 32
2 2 4
32 9
2 4 16
n 次方根的定义：
如果一个数的 n 次方等于 a(n 1, n N ) 那么这个数叫做a 的n次方根.
数学符号表示：
若_x_n___a_(_n___1,_n___N__*)，则 x 叫做a 的 n 次方根．
课题导入
回顾初中所学的整数指数幂和根式
2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时
目标引领
1.能理解n次方根的概念，并对n次方根进 行计算；
2.理解根式的意义，能理解根式中各部分 的意义；
3.理解分式指数幂以及有理式和无理式指 数幂。
独立自学
1.a的n次方根的定义是什么？与n的奇偶性 有何关系？
2.什么是分数指数幂？有哪些注意事项？ 3.什么是无理数指数幂？
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
第三章-§1-指数幂的拓展-§2-指数幂的运算性质高中数学必修第一册北师大版
想什么
2
要证
=
2
2
1
+ ，可转化为证底数是的幂的形式，即证
1
1
1
差什么 如何用 ， ， 表示和
找什么
2 1
+
2 1
= =
1
2 1
2 1
+
2
，想到 =
1
2
= 32 × 4 = 36，即得证.
= 36，
=
2 1
+
.
4
) =
有负指数幂的形式）
=
1
1 2
−4
2
⋅
7
8
3
−
1
8
⋅
1
2
3
2
1
2
=
2
⋅
3
2
1
2
1
2
=
2
⋅
3
4
1
4
=
2
⋅
3
4
1
4
1
2
=
= .（【明易错】化简的结果中不可出现既有分式又
方法2 （由外向内化） 原式
=
1
8
3
8
1
2
2
3
7
8
1
−8
= .
6
−5
1
2
2
【解析】当是正偶数时， = ，故A错误；
2
必修一 2.1.1指数与指数幂运算
口答:
1的平方根
1
27的立方根
3
-27的立方根 -3
81的4次方根 3
口答:
5 32 = －2
3 a6 a2 4 16 = 2
4 (2)4 = 2
(n a)n a
当n为奇数时，n an a
当n为偶数时，
n
an
a,a 0 a, a 0
例1、判断下列语句是否正确： ⑴－2是16的四次方根； ⑵正数的n次方根有两个；
a=0,b=0时,m或n不是正实数时,无 意义.
整数指数幂的运算性质:
设m Z, n Z
am an amn
(a m )n a mn (ab)n anbn
a=0时,m或n不是正实成有理 数指数幂?
一. 根式
平方根: 若一个数的平方为a,则 这个数叫做a的平方根. 立方根: 若一个数的立方为a,则 这个数叫做a的立方根. n次方根: 若一个数的n次方为a,则 这个数叫做a的n次方根.
⑶a的n次方根就是 n a ；
⑷ n an a(a 0) 。
1. 化简(口答):
2
83
(
16
)
3 4
81
1
100 2
( 1 )3 4
32 2
21
11
15
(2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
2. 根式的运算:
5 a7 aa
根式的运算先化成分数指数幂, 再按照有理数指数幂的运算性质 进行运算.
例2, a 1经过计算可得: a
A) a ,
B) a,
C) a,
D) a
计算
x
xxx
1
例3， 设x 2
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
人教A版必修1指数与指数幂的运算知识点总结与典例讲解
指数与指数幂的运算知识点总结与例题讲解本节知识点 （1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一 整数指数幂1.正整数指数幂的定义:an na a a a 个⋅⋅=,其中∈n N*. 2.正整数指数幂的运算法则: （1）nm nmaa a +=⋅(∈n m ,N*);（2）nm nma a a -=÷（,,0n m a >≠且∈n m ,N*）;（3）()mn nma a=(∈n m ,N*);（4）()mm mb a ab =(∈m N*);（5）m m mb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（,0≠b ∈m N*）.3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即()010≠=a a .零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.即:()01≠=-a a a nn . 零的负整指数幂没有意义. 知识点二 根式的概念及其性质 1.n 次方根（1）定义 一般地,如果a x n=（1>n 且∈n N*）,那么x 叫做a 的n 次方根. （2）性质:①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根用na 表示;②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为na ±.负数没有偶次方根;③0的任何次方根都是0,记作00=n.2.根式的定义 形如na （1>n 且∈n N*）的式子叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数.对根式na 的理解,要注意以下几点: （1）1>n 且∈n N*; （2）当n 为奇数时,∈a R ; （3）当n 为偶数时,a ≥0.根式na （1>n 且∈n N*）的符号的确定:由n 的奇偶性和被开方数a 的符号共同确定. （1）当n 为奇数时,na 的符号与a 的符号相同; （2）当n 为偶数时,a ≥0,na 为非负数. 3.根式的性质: （1）()a a nn=;（2）对于n na ,当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn . ()nna 与nn a 的联系与区别:（1）对于()nna ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0.而对于nn a ,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性的限制,但式子的值受到n 的奇偶性的限制. （2）当n 为奇数时,()=nna a a nn =.知识点三 分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是nm nm a a =（0>a ,∈n m ,N*,且1>n ）于是在条件0>a ,∈n m ,N*,且1>n 下,根式都可以写成分数指数幂的形式.2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定nmnm nm aaa11==-（0>a ,∈n m ,N*,且1>n ）3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂nm a 不能理解为nm个a 相乘,它是根式的一种新的写法; （2）分数指数nm不能随意约分. 如()()214233-≠-,事实上,()()424233-=-,式子是有意义的;而()3321-=-在实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的()()424233-=-,但()()434355-=-没有意义.所以对于分数指数幂nm a ,当a ≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的意义时,要求0>a . 知识点四 有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）sr s r a a a +=⋅（,0>a s r ,∈Q ）;（2）()rs sra a=（,0>a s r ,∈Q ）;（3）()rr rb a ab =（0,0>>b a r ∈Q ）.有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）sr sraa a -=÷（,0>a s r ,∈Q ）;（5）r r r b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（0,0>>b a r ∈Q ）.常用结论:（1）当0>a 时,0>ba ; （2）若,0≠a 则10=a ;（3）若sr a a =（0>a ,且1≠a ）,则s r =;（4）乘法公式适用于分数指数幂.如b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22122121212121（0,0>>b a ）.知识点五 无理数指数幂一般地,无理数指数幂αa （0>a ,α是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.知识点六 运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 常用公式:（1）平方差公式 ()()b a b a b a -+=-22.（2）完全平方公式 ()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+.（3）立方和公式 ()()2233bab a b a b a +-+=+. （4）立方差公式 ()()2233bab a b a b a ++-=-.（5）完全立方和公式 ()3223333b ab b a a b a +++=+.（6）完全立方差公式 ()3223333b ab b a a b a -+-=-.常用公式变形:（1）()ab b a b a 2222-+=+,()ab b a b a 2222+-=+.（2）211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ,211222+⎪⎭⎫⎝⎛-=+x x x x .或者写成()22122-+=+--x x x x ,()22122+-=+--x x x x .（3）⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323;⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323.例题讲解例1. 已知32121=+-x x ,求32222323++++--x x x x 的值.分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:()22122-+=+--x x x x ;()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx . 解:∵32121=+-xx∴92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x ,∴71=+-x x . ∴()4727222122=-=-+=+--x x x x .()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴52502034721832222323==++=++++--x x x x .例2. 已知22121=+-a a ,求下列各式的值:（1）1-+a a ; （2）22-+a a ; （3）22--a a .分析:在求22--a a 的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出()222--a a 的值,然后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa∴42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ,∴21=+-a a ; （2）()222222122=-=-+=+--a a a a ;（3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a∴022=--a a .例3. 已知41=+-x x ,其中10<<x ,求xx x x 122+--的值.分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x∴4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴62121=+-x x . ()1424222122=-=-+=+--x x x x∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴22-<x x ,∴3819222-=-=--x x .∴24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x . 例4. （1）已知42121=+-aa ,求21212323----aa a a 的值;（2）已知9,12==+xy y x ,且y x <,求21212121yx y x +-的值;解:（1）∵42121=+-aa∴212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ,∴142161=-=+-a a . ∴()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a ; （2）∵9,12==+xy y x∴()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵y x <,∴2121y x <,∴021212121<+-yx y x∴333121212121-=-=+-yx y x . 例5. 已知3232+=a ,求31311--++aa a a 的值.分析:借助于分式的性质. 解:∵3232+=a ∴3232113232-=+==-a a,()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a .∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa ()3333333333913232347=++=++=++-++=.解法二:∵3232+=a∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a 313232132132113232=--++=-+++=-+=aa .例6. （1）当22,22-=+=y x 时,求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x 的值;（2）若122-=xa,求xx xx aa a a --++33的值. 分析: 结论 对于二次根式C B A ±,若C B A 22-是完全平方数,则C B A ±也是完全平方数. 本题中,22+=x ,被开方数22+不是完全平方数,所以x 不能化简,当确有()222222+=+=x .解:（1）∵22,22-=+=y x∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ()22122222221222+=+-+=--+=; （2）∵122-=x a∴()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x xx x a a aa a a a a a a a a a a a a 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=. 另解:解例5的解法一.题型一 整数指数幂的运算例7. 已知a x x =+-22（a 为常数,且∈x Z ）,求x x -+88的值.分析:因为()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+,所以先由条件a x x =+-22求出x x 2222-+的值.完全立方和公式 ()3223333b ab b a a b a +++=+.解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+()()a a a a a a 3312322-=-=--=.解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴()3322a x x =+-,展开得:()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---.整理得:()382238a x x x x =+++--,∴3838a a x x =++-. ∴a a x x 3883-=+-.例8. 已知3101=+-x x ,则=--22x x _________. 解:∵3101=+-x x ∴()9822310222122=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=+--x x xx ∴()()816400498242222222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=---x x xx ∴98081640022±=±=--x x . 解法二分析:使用平方差公式得()()1122----+=-x x x x x x . 解法二:∵3101=+-x x ∴()()9644310422121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=---x x xx ∴389641±=±=--x x . ∴()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x . 例9. 若31=+-x x ,求2323-+x x 的值. 解:∵31=+-x x （这里0>x ）∴3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x . ∵02121>+-x x ,∴52121=+-xx .∴()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx ()52135=-⨯=.解法二:∵31=+-x x∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴52202323==+-xx .例10. 已知41=+-x x ,则=+-2121x x【 】（A ）2 （B ）2或2- （C ）6 （D ）6或6- 分析:题目的隐含条件为0>x . 解:∵41=+-x x∴42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x ,∴622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x∴62121=+-x x.选择【 C 】.例11. 已知212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ,则()=+1x f 【 】（A ）42-x （B ）()21+x（C ）()()2111-+++-x x （D ）322-+x x解:（换元法）设t xx =+-2121,则有∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x∴()2222t t t f =+-=,∴()2x x f =. ∴()()211+=+x x f .选择【 B 】.解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f∴2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ,∴()2x x f =.∴()()211+=+x x f .题型二 根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）()a a nn=;（2）对于nna ,当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn.注意 对于()nna ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0.而对于nn a ,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性的限制,但式子的值受到n 的奇偶性的限制.例12. 化简下列各式: （1）()()222535-+-;（2）()()2231x x -+-（x ≥1）.解:（1）原式125532535=-+-=-+-=;（2）()()x x x x -+-=-+-313122.∵x ≥1∴当1≤x ≤3时,原式231=-+-=x x ; 当3>x 时,原式4231-=-+-=x x x . 例13. 化简: （1）()nnx π-; （2）62144+-a a （a ≤21）.分析:对于（1）,要对n 的奇偶性进行分类讨论. 解:（1）当n 为奇数时,()ππ-=-x x nn ;当n 为偶数时,()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn; （2）()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-.注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）223223-++;（2）347246625-+--+.分析: 结论 对于二次根式C B A ±,若C B A 22-是完全平方数,则C B A ±也是完全平方数.根据此结论,可知625+,246-,347-均可以化为完全平方的形式. 解:（1）原式()()221212*********2=-++=-++=-++=;（2）原式()()()222322232-+--+=22322232322232=-++-+=-+--+=.总结 形如n m 2±（0,0>>n m ）的双重二次根式的化简,一般是将其化为()2ba ±的形式,然后再化简.由()ab b a ba n m 222±+=±=±得:⎩⎨⎧==+nab mb a 所以b a ,是一元二次方程02=+-n mx x 的两个实数根.例15. 化简32-. 解:()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-. 例16. 计算:()()4123323-+-.解:原式()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=.注意 在利用根式的性质进行nna 的化简时,一定要注意当n 为偶数时,底数a 的符号.例17. 化简下列各式: （1）()()665544b a b a a -+++（0<<b a ）;（2）1212----+x x x x （21<<x ）. 解:（1）∵0<<b a∴原式()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2; （2）∵21<<x ,∴110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x .例18. 求值=-++335252_________. 解:令y x =-=+3352,52,则有4525233=-++=+y x ,1-=xy .∴()()422=+-+y xy x y x ,∴()()[]432=-++xy y x y x设t y x =+,则0>t ,有()432=+t t ,∴0433=-+t t ,01333=--+t t∴()()0412=++-t t t∵042>++t t ,∴01=-t ,∴1=t . ∴1525233=-++. 解法二:设=x 335252-++,则有()x x 3452523333-=-++=,∴0432=-+x x∴()()03313=-+-x x ,()()0412=++-x x x ∵042>++x x ,∴01=-x ,∴1=x ∴1525233=-++. 例19. 根据已知条件求值: （1）已知32,21==y x ,求yx y x yx y x +---+的值;（2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两根,且0>>b a ,求ba b a +-的值.解:（1）∵32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy; （2）∵b a ,是方程0462=+-x x 的两根 ∴4,6==+ab b a∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a∵0>>b a ,∴0>-b a ∴5220==-b a . ∴()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a .（2）解法二:∵b a ,是方程0462=+-x x 的两根,∴4,6==+ab b a∴()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a . ∵0>>b a ,∴b a >,∴0>+-ba b a∴5551==+-ba b a . 例20. 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n x 115521,∈n N*,求()n x x 21++的值.解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x .例21. 已知函数()53131--=x x x f ,()53131-+=x x x g .（1）证明:()x f 在()+∞,0上是增函数（已知31x y =在R 上是增函数）;（2）分别计算()()()2254g f f -和()()()3359g f f -的值,由此概括出函数()x f 和()x g 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.（1）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,31x y =在R 上是增函数 ∴312311312311,--><x x x x∴()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴()x f 在()+∞,0上是增函数; （2）解:()()()2254g f f -0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----.同样求得()()()03359=-g f f . 猜想:()()()052=-x g x f x f . 证明: ()()()x g x f x f 52-055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx .例22. 当0,0>>y x ,且()()y x y y x x 53+⋅=+时,求yxy x y xy x -+++32的值.解:∵0,0>>y x ,且()()y x y y x x53+⋅=+∴y xy xy x 153+=+,0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx∴05=-y x ,y x y x 25,5==. ∴22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x .题型三 根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:51a ,()043>a a ,36a ,()013>a a;()0>a a a .解:551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a;()4323210a a a a a a a ==⋅=>.例24. 将根式53-a 化为分数指数幂是【 】（A ）53-a （B ）53a （C ）53a - （D ）35a - 解:选择【 A 】. 例25. 化简:()()=⋅÷⋅109532a a a a _________.（用分数指数幂表示）解:由题意可知:0>a .∴原式561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=.例26. 设0>a ,化简:434334aa a a -.解:∵0>a∴611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa.例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【 】 （A ）()()0414>-=-x x x （B ）()0551≠-=-x x x（C ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x （D ）4182y y = 解:（A ）()0414>-=-x x x ,故（A ）错;（B ）()0155151≠==--x xx x,故（B ）错; （D ）4182y y =,故（D ）错. 选择【 C 】. 例28. 下列各式正确的是【 】 （A ）35531aa=-; （B ）2332x x =（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=814121814121aaa a （D ）x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）53535311aaa ==-,故（A ）错;（B ）3232x x =,故（B ）错; （C ）85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-,故（C ）错. 选择【 D 】.题型四 根式和分数指数幂有意义的条件1.对于n 次根式na ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0. 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若()4321--x 有意义,则x 的取值范围是__________.解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴021>-x ,解之得:21<x . 即x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,.例30. 函数()()2125--+-=x x y 的定义域是【 】（A ）{}2,5≠≠x x x （B ）{}2>x x（C ）{}5>x x （D ）{}552><<x x x 或 解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y∴⎩⎨⎧>-≠-0205x x ,解之得:2>x 且5≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,55,2 .选择【 D 】.题型五 幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）s r s r a a a +=⋅（∈>s r a ,,0R ）; （2）()rs sr a a =（∈>s r a ,,0R ）;（3）()r r rb a ab =（∈>>r b a ,0,0R ）.例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅;（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a . 解:（1）原式()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----;（2）原式()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=------------- 例32. 化简下列各式: （1）212121211111aaa a a++------;（2）111113131313132---+++++-x xx x x x x x .解:（1）原式()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a ; （2）原式11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 31x -=.例33. 化简:()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a. 解:原式()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------ 例34. 化简下列各式:（1）436532yx xy⋅; （2）1111212331++-+++a a a a a .解:（1）原式1212143653231--==yx yx y x ;（2）原式111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a 21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532【 】（A ）1516 （B ）30173 （C ）658- （D ）0 解:()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=.选择【 A 】.例36. 化简:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a _________.解:原式656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a ba ba b a b a .例37.=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121_________.解:原式22322322232491112=-++=-++-+=. 例38. 已知3,2==n m ,则32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 的值是_________. 解:∵3,2==n m∴原式32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m . 例39. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f _________.解:⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---4343213533353f f f f 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-. 题型六 解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x; （2）0123222=-⨯++x x .解:（1）()2224333+-=⨯x x ,424233--+=x x ∴4242--=+x x ,解之得:2-=x ;（2）()0123242=-⨯+⨯x x ,设t x =2,则0>t∴01342=-+t t ,()()0114=+-t t 解之得:1,241221-===-t t （舍去）. ∴222-=x ,∴2-=x .结论 若sr a a =（0>a ,且1≠a ）,则s r =题型七 指数幂等式的证明 设参数法例41. 设c b a ,,都是正数,且c b a 643==,求证:ba c 122+=. 证明:设t cba===643,则有cbat t t 12116,2,3===. ∵236⨯= ∴ba bacttt t 2112111+=⋅=,∴ba c 2111+= 等式两边同时乘以2得:b ac 122+=. 例42. 设m b a ==52,且211=+b a ,则=m _________.分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵m ba==52,∴bam m 115,2==. ∵211=+ba ∴2111152m m m m ba ba==⋅=⨯+,∴102=m ,10±=m .∵0>m ,∴10=m . 例43. 已知333cz by ax ==,且1111=++zy x . 求证:()31313131222c b a czby ax ++=++.证明:设t cz by ax ===333,则zt cz y t by x t ax ===222,,. ∴⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222.∵1111=++z y x ,∴t z y x t =⎪⎭⎫ ⎝⎛++111 ∴t cz by ax =++222,()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴()31313131222c b a czby ax ++=++.例44. 对于正整数c b a ,,（a ≤b ≤c ）和非零实数ω,,,z y x ,若ω70===z y x c b a ,zy x 1111++=ω,求c b a ,,的值. 解:设k c b a zyx====ω70,则有ω111170,,,k k c k b k a zyx====.∴zy x k abc 111++=∵zy x 1111++=ω,∴70=abc . ∵c b a ,,为正整数,且a ≤b ≤c ∴752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴10,7,1===c b a 或7,5,2===c b a当10,7,1===c b a 时,0===ωz y ,不符合题意,舍去. ∴7,5,2===c b a .本节易错题例45. 计算()()=-++44332121_________.分析 对于对于nna ,当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn.解:原式2212212121=-++=-++=.例46. 化简()()=-⋅-43111a a _________. 分析:题目的隐含条件为1>a . 解:原式()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a .例47. 已知1,0><<n b a ,∈n N*,化简()()nn nnb a b a ++-.解:当n 为奇数时,原式a b a b a 2=++-=; 当n 为偶数时,原式b a b a ++-=. ∵0<<b a ,∴原式a b a a b 2-=---=.其它例48. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ,则()=-)4(f f _________. 解:∵()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--f ∴()()4161616)4(21====-f f f .例49. 已知集合{}4,,2a a A -=,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33,且B A =,则=+b a _______.解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,a a -≠,∴0>a∴{}b b a a a a B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴⎩⎨⎧==421b a ,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴=+b a 3.例50. 设()244+=x xx f ,若10<<x ,则=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f _________. 解:∵()244+=x xx f∴()()=+++=+++=+++=-+--24224444444244244244111x x x xx x xx xx xx f x f 12424=++x x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f .。
指数与指数幂的运算必修一
04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加， 即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减， 即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数 的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法 则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩 固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规 律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通 过观察其图像顶点位置来判断函数的 最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交 点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再 求其交集来求解。
第2章 2.1.1指数与指数幂的运算 第2课时 指数幂及运算 课件
①3 a· a；②a· －1a；③ 3 1
.
x5 x22
(1)CD
(2)A
12 [(1)
－34＝3142＝313＝3
3，故
A
错误．
4
1
x3＋y3＝(x3＋y3)4，故
B
错误．
3
11
21 1
9＝(93)2＝(33)2＝33＝
3
3，故
C
正确．
1
3
31
3
a a＝ a·a2＝ a2＝(a2)2＝a4，故 D 正确．
1
C. 45
B
2
[45＝
5
42＝5
16，故选
B.]
5 D. 4
3．已知 a>0，则 a－23等于(
)
A. a3
1 B.
3 a2
1 C. a3
D．－3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
1
4．(m2)4＋(－1)0＝________.
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0 的任何指数幂都等于 0.
2
(2)53＝ 53.
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4
1
a2＝a2.
(4)amn可以理解为mn 个 a.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
() () ()
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
3 (3)2
6 a÷4
ab×3
b3.
指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分 数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有 分母又含有负指数.
人教A版高中数学必修一北京四中同步复习指数函数、对数函数及幂函数知识讲解指数与指数幂的运算基础,
指数与指数幂的运算编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-43421Λ个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nm a a=；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mmmb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根0=.2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.求下列各式的值：（1【答案】 -33π-；0a b b a -⎧⎪⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （13=-； （2=（3|3|3ππ=-=-；（4||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，2=±.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（12；（34. 【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1； （2.【答案】．【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1+=+-=||+|2|-|2+2-（2-=2（211-++=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（21).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a（2）3a（3；（4【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;a a a a a+=⋅==（2）2211333333a a a a a+=⋅==；（31131322224 ()()a a a a=⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂=11222y xy x ⎛⎫⋅⎪⎝⎭=54y解法二：从外向里化为分数指数幂．=12) =11222[)]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)m na a m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）52a a ⋅【答案】（1）1310102a ；（2）23x-．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1（20)a >；（3）3b ；（4．【答案】7122；34a ；113b ；35x-【解析】（1177621222⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2313224()a a ====；（3）211 3333b b b b=⋅=；（4=3591353511()xx x-===．例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--++-．【答案】 3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-.【答案】 112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例33312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++--【答案】【解析】原式+34．例5.化简下列各式.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111222m mm m--+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】1624y；1122m m-+；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21111()(1)()3322665(4)5x y-------⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭11066 2424x y y ==(2)2112211 122 111122222m mm mm m m m m m-----⎛⎫+⎪++⎝⎭==+ ++(3)10.5233277 (0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三：【变式1】化简：.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222[()]()xy x y xy x y x y⋅=⋅⋅=. 注意：当n(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333x y x yx y x y--------+--+-【答案】- 【解析】应注意到223x x --与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x y xyxy--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x xyy x x yy --------=-⋅+-++232()xy -=-=-. 【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：+【答案】；2x(x 1)2(x 1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】 (1)原式======+(2)222+=++Q0=+=+=+>=(3)x 1==-Qx 1(x 1)|x 1|x 1(x 1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩2x(x 1)2(x 1)≥-⎧+=⎨-<-⎩.■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值．【答案】13【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx 的联系，进而整体代入求值．Q 32121=+-x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245x x -+=∴23222323-+-+--x x x x =11122()(1)3472x x x x --+-+-- =3(71)315145453⨯--==【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3322x x -+及22x x -+的值，然后整体代入．举一反三： 【变式1】求值： (1)已知11225x x-+=，求21x x+的值； (2)已知a>0， b>0， 且a b=b a， b=9a ，求a 的值. 【答案】 23【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由11225x x-+=，两边同时平方得x+2+x -1=25，整理得：x+x -1=23，则有2123x x+=； (2)a>0， b>0， 又∵ a b=b a， ∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒= ∴81829993a a a =⇒=⇒=.。
《指数幂及运算》课件
生物学中的指数幂：例如，在描述生物种群数量、生物代谢速率等生物学量时，常常使 用指数幂。
经济学中的指数幂：例如，在描述经济增长率、通货膨胀率等经济学量时，常常使用指数幂。
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汇报人：
指数幂的运算技巧：掌握指数幂的运算法 则，如a^m*a^n=a^(m+n)等
数值范围：注意数值范围，如0^n=0， 1^n=1等
运算顺序：注意运算顺序，先乘方后加 减
运算技巧：掌握一些运算技巧，如 a^m/a^n=a^(m-n)等
符号问题：注意正负号的处理，如(a)^n=-a^n等
检查结果：运算完成后，检查结果是否 正确，如a^2=a*a等
同底数幂的除法
同底数幂的除 法：
a^m/a^n=a ^(m-n)
同底数幂的除 法：
a^m/a^n=a ^(m-n)
同底数幂的除 法：
a^m/a^n=a ^(m-n)
同底数幂的除 法：
a^m/a^n=a ^(m-n)
幂的乘方
幂的乘方：指 数幂的乘法运
算
运算规则：底 数不变，指数
相加
例子：2^3 * 2^4 =
2^(3+4) = 2^7
注意事项：幂 的乘方运算中， 底数必须相同， 否则无法进行
运算
积的乘方
积的乘方公式： (a^m)^n=a^(mn)
积的乘方运算： (a^m)^n=a^(mn)
积的乘方性质： (a^m)^n=a^(mn)
积的乘方应用：在数学、物理、 化学等领域广泛应用
指数幂的应用
解决实际问题中指数幂的应用
指数幂与对数之间的关系
必修Ⅰ 2.1.1 指数与指数幂的运算(第1课时)
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第二章 2.1 2.1.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
思考题2 求x，y∈R，下列等式恒成立的是( )
A．(6 x－6 y)6＝x－y
8 B.
x2＋y28＝x2＋y2
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第二章 2.1 2.1.1 第1课时
高考调研
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要点2 根式的性质 (1)当n为任何正整数时，(n a)n＝ a . (2)当n为奇数时，n an＝ a . 当n为偶数时，n an＝ |a| .
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第二章 2.1 2.1.1 第1课时
高考调研
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【解析】 原式＝
8－2 2
15＋
＝
5－ 2
3＋
5＋ 2
3＝2 5＝ 2
10.
8＋2 15 2
【答案】 10
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第二章 2.1 2.1.1 第1课时高考调研Biblioteka 新课标A版 ·数学 ·必修1
题型二 分数指数幂的概念和性质
例4 求值．
(1)10－3；
(2)(－0.25)－1；
－
(3)16
3 2
.
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C.4 x4－4 y4＝x－y
10 D.
x＋y10＝x＋y
【答案】 B
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第二章 2.1 2.1.1 第1课时
高考调研
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例3 计算 5－2 6＋ 5＋2 6. 【思路点拨】 将5－2 6和5＋2 6配成平方形式． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2ab； (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2－2ab.
指数与指数幂的运算数学高一上必修1第二章211人教版PPT课件
(1) －32的五次方根等于_－__2__. (2)81的四次方根等于_±__3_. (3)0的七次方根等于___0__.
方根的性质
1.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根 是一个负数；0的奇次方根是0.
2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数 没有偶次方根；0的偶次方根是0.
3.方根的表示方法： 当n为奇数时，xna (a0) 当n为偶数时，x n a(aR) 0的任何次方根都是0，记作 n 0 =0.
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
annam(a0 ,m ,n N *,且 n1 )
我们规定正数的负分数指数幂的意义是：
注意指 数位置
am n 1m (a0,m,nN*,且 n1) an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
思考1.分数指数幂与根式有何关系？ 提示：分数指数幂是根式的另一种形式，它们可以 互化,通常将根式化为分数指数幂的形式,方便化简 与求值. 思考2. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念 就可以从整数指数推广到了什么数集？
3
n8
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指
数幂的意义求解.
21
11
15
解：(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
熟记运 算性质
[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 6 5 4 a b 0 4 a ;
(2 )(m 1 4n 8 3)8(m 1 4)8(n 8 3)8m 2n 3m 2. n 3
10
5a105 a2 5a2a5 4 a 12 _4__a_3_4___a_3___a_142_
高中数学必修一 第4章 4.1 第2课时 指数幂及运算
第2课时指数幂及运算学习目标核心素养1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－m n＝1a m n＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n＝na m中，为什么必须规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a m n＝0，无研究价值．②若a<0，a m n＝na m不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]2．425等于()A．25 B.516 C.415 D.54B[425＝542＝516，故选B.]3．已知a>0，则a－23等于()A.a3B.1 3a2C.1a3D．－3a2B[a－23＝1a23＝13a2.]4．(m12)4＋(－1)0＝________.m2＋1[(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]根式与分数指数幂的互化【例1】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a(a>0)；(2)13x(5x2)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23(b >0)． [解] (1)原式＝a ·a 12＝a 32＝()a 3212＝a 34.(2)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95＝1()x 9513＝1x 35＝x －35. (3)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b －2314－23＝b －23×14×()－23＝b 19.根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[解] (1)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a 113.(2)a －4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13＝a －4b 2a 13b 23＝a －113b 83＝a －116b 43.利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】 化简求值：指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：3a 72a －3÷3a －8·3a 15÷3a －3·a －1(a >0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 提示：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？ 提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 【例3】 已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2. [思路点拨] a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值[解] (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.1．在本例条件不变的条件下，求a －a －1的值． [解] 令a －a －1＝t ，则两边平方得a 2＋a －2＝t 2＋2， ∴t 2＋2＝194，即t 2＝192，∴t ＝±83，即a －a －1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a 2－a －2的值．[解] 由上题可知，a 2－a －2＝(a －a －1)(a ＋a －1)＝±83×14＝±112 3.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()(4)a m n可以理解为mn个a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把根式a a化成分数指数幂是()A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a32D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]3．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1x的值为()A．5 B．23 C．25 D．27B[∵x12＋x－12＝5，∴x＋x－1＝23，即x2＋1x＝23.]。
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指数与指数幂的运算编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根0=.2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-. 2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.求下列各式的值：（1【答案】 -33π-；0a b b a -⎧⎪⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （13=-； （2=（3|3|3ππ=-=-；（4||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，2=±.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（1234. 【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1 （2.【答案】．【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1=+-2|-|22-（2）（211+=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n 次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1；（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a2）3a3；（4【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;a a a a a+=⋅==（2）2211333333a a a a a+=⋅==；（31131322224 ()()a a a a=⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂=11222yxyx⎛⎫⋅⎪⎝⎭=5 4 y解法二：从外向里化为分数指数幂．12) =11222[)]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)m naa m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）52a a ⋅【答案】（1）1310102a ；（2）23x-．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（120)a >；（3）3b 4．【答案】7122；34a ；113b ；35x-【解析】（1177621222⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2313224()a a ====；（3）2113333b b b b =⋅=； （4=3591353511()xx x-===．例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--+【答案】 3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-.【答案】 112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例330312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++-- 【答案】21+4【解析】原式+34=21+4． 例5.化简下列各式.(1)2132111136251546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)111222m m mm--+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】 1624y ；1122m m -+；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111()(1)()3322665(4)5x y-------⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭110662424x y y ==(2)2112211122111122222m m m m m m m m m m -----⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+++ (3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三：【变式1】化简：【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222[()]()xy x y xy x y x y⋅=⋅⋅=.注意：当n(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333x y x yx y x y--------+--+-【答案】-【解析】应注意到223x x--与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x yx y x y--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x x y y x x y y--------=-⋅+-++232()xy-=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：+【答案】；2x(x1)2(x1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】(1)原式===26+===(2)22244(18+=+==>=(3)33x3x x1-==-x1(x1)|x1|x1(x1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩2x(x1)2(x1)≥-⎧+=⎨-<-⎩.■高清课程：指数与指数运算例4例6．已知32121=+-xx，求23222323-+-+--xxxx的值．【答案】13【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx的联系，进而整体代入求值．32121=+-xx，∴129x x-++=，∴17x x-+=∴22249x x-++=，∴2245x x-+=∴23222323-+-+--xxxx=11122()(1)3472x x x x--+-+--=3(71)315145453⨯--==【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3322x x-+及22x x-+的值，然后整体代入．打印版高中数学举一反三：【变式1】求值：(1)已知11225x x -+=，求21x x+的值； (2)已知a>0， b>0， 且a b =b a ， b=9a ，求a 的值.【答案】 23【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.(1)由11225x x -+=，两边同时平方得x+2+x -1=25，整理得：x+x -1=23，则有2123x x +=； (2)a>0， b>0， 又∵ a b =b a ， ∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒=∴81829993a a a =⇒=⇒=。