4 印度与阿拉伯的数学

印度－阿拉伯数字
9世纪的印度数码 15世纪在欧洲使用 的印度数码
4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号
五个商人合买一批珠宝，各带不 同的款项。珠宝的价格等干第一人所 持款项的二分之一与其他人款项的总 和，或第二人所持款项的三分之一与 其他人款项的总和，或第三人所持款 项的四分之一与其他人款项的总和， 或第四人所持款项的五分之一与其他 人款项的总和，或第五人所持款项的 六分之一与其他人款项的总和。求价 格与各人所持款项。
《绳法经》中的二次方程
1 1 m 2 方程 7 x x 7 m 的近似答案x 1 2 2 7 1 猜测，印度人先用求根公式解得x 841 112m 1 28 b 2 设 m 相当小，再用近似公式 a b a 算得 2a 56 2 2 841 112m 29 112m 29 m，于是x 1 m. 29 29
印度数学
“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数学
最早的印度数学家：
阿耶波多（476－约 550年）
499年《阿耶波多
历数书》(圣使天文 书)
π的近似值3.1416 “阿耶波多号”人造卫星（印度，1975） 建立了丢番图方程求
解的“库塔卡”法
圆周率
阿耶波多明确指出：
100加上4，乘以8，再加上 62000，就得到直径为20000的圆 周长的近似值. 即
手稿取 m 467 168 （没有取最小公倍数），
4.1.3
“悉檀多”时期的印度数学
悉檀多时期是印度数学的繁荣鼎盛 时期，出现了一批著名数学家。
阿耶波多 婆罗摩笈多 马哈维拉
婆什迦罗
4.1.3
“悉檀多”时期的印度数 学
一 阿耶波多（476—约550） 著《阿耶波多历数书》（499），其 主要贡献是： 圆周率 对希腊三角学的改进 建立解一次不定方程的“库塔卡”方 法
665年）
628年《婆罗摩修正体
系》(宇宙的开端)
零的运算法则,
乌贾因天文台
丢番图 方程求解的“瓦格布拉蒂” 法
4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学
三 马哈维拉（9世纪 ，一说814—880） 著《计算方法纲要》，全书分九部分： 算术术语 算术运算 分数运算 各种计算问题 三率法问题 混合运算 面积计算 土方工程计算 测影计算 马哈维拉改进和推广前人的许多结果， 如 关于零的运算 二次方程 利率计算 整数性质 排列组合 单分数法则
《绳法经》中的“圆周率”


36 22

2
3.0883
2
1 1 1 1 4 1 8 8 29 8 29 6 8 29 6 8 3.0883 5 4 1 3.004 12 8 4 3.169 9
4 印度与阿拉伯的数学
4.1 印度数学
古代《绳法经》 “巴克沙利手稿”与零号 “悉檀多”时期的印度数学

4 印度与阿拉伯的数学
4.1 印度数学
地理范围 南亚次大陆 时间跨度 三个时期 达罗毗荼人时期 BC 3000 — BC 1400 吠陀时期 BC 1000 — BC 300 悉檀多时期 AD 400 — AD 1200 印度受宗教影响较深 多元文化影响
2 2
《绳法经》中
2
的近似值
1 1 1 2 1 1.414215 3 3 4 3 4 34 一种猜测是印度人掌握了算法，用 an 1
2 N an an 2an
计算 N的近似值.
1 如N 2，取a1 1 代入递推式得 3 a2，将a2再代入递推式得a3， 而 1 1 1 a3 1 3 3 4 3 4 34
古印度简况
• 婆罗门教起源于公元前2000年的吠陀教，形成 于前7世纪，鼎盛于前6－4世纪。 • 4世纪后，婆罗门教开始衰弱。 • 8、9世纪，婆罗门教逐渐发展 成为印度教。 • 印度教与婆罗门教没有本质区 别，都信奉梵天、毗湿奴、湿 婆三大神，主张善恶有报、人 生轮回，只有达到“梵我同一” 婆罗门教、印度教的创造神梵天 方可获得解脱，修成正果。
二次方程
旷野骆驼不知总，四分之一在林中； 全数方根之两倍，漫步山坡各西东；
另有骆驼三乘五，散在岸边迎水中； 林坡岸边三处共，恰为总数之合拢。
二次方程
x 设 x 是骆驼总数，则 2 x 15 x. 4 马哈维拉研究这一类型的一般方程： a x c x d x. b 并给出了正确的解法：
解一次不定方程的“库塔卡”方法
例 求 8x=29y+4
1
的所有整数解.
29 5 1 1 1 3 3 3 3 8 3 1 8 8 1 1 5 5 5 3 1 1 1 3 3 3 . 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 2 2 1 11 略去最后 ，化简即得最后一个渐近分数 . 2 3
4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号
例
甲有7匹好马，乙有9匹次马， 丙有10峰骆驼。假如每人都向 另外两人各赠送一匹（峰）牲 口，则三人拥有的财富相等， 求各种牲口的价格。
设x1，x2，x3是好马，次马，骆驼每匹的价格， 则 5x1 x2 x3 x1 7 x2 x3 x1 x2 8 x3 . 可得 4 x1 6 x2 7 x3 m. 若要求整数解，可令m为4，，的公倍数. 67 所给答案是x1 42，x2 28，x3 24.
1 2 3 4 5 由方程组得 x1 x2 x3 x4 x5 =B， 2 3 4 5 6 377 从而 B A. 答案不定. 60 若要求整数解，可设B 60m m为正整数 ， 于是A 377m. 手稿的答案相当于取m 1，即A 377.
x1，x2，x3，x4，x5分别为120，90，80，75，72.
4.1 印度数学
4.1.1 古代《绳法经》
《绳法经》约公元前八世纪至公元前 二世纪作品，其中有一些几何，代数 内容，如 勾股定理 矩形对角线的性质 相似直线形的性质 作图法 一、二次代数方程问题 圆周率的近似值
印度数学
《吠陀》印度雅利安人的
作品，婆罗门教的经典
《绳法经》（前8－前2世 纪）：庙宇、祭坛的设计 与测量，包含几何、代数 知识，如毕达哥拉斯定理 等 印度数学 《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980） 吠陀时期(公元前10-前3 世纪) 悉檀多时期(公元5-12世 纪)
诗歌体算题
孔雀与毒蛇
柱高九尺上端平，孔雀栖息在柱顶， 柱脚下面有蛇洞，乱叶遮蔽看难清。 蛇离柱脚两丈七，直奔洞口不稍停， 孔雀瞥见猛扑下，袭取毒蛇不留情， 二者速度恰相等，何处遭遇算分明？
莲花问题
平平池水清可鉴，面上半尺生红莲， 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 花触水面半浸没，偏离原位二尺远， 能算诸君请解题，池水如何知深浅？
直径 2r 即 圆面积 A 周长 2 r r 2； 4 4 球表面积 S A 4 4 r 2； 球体积 直径 4 3 2 2r V=S 4 r r . 6 6 3
印度数学的特点 发明印度数码与零 承认负数，并给出正确的运算法则
100 4 8 62000 3.1416
20000
三角学
古希腊的托勒玫将圆周分成360度，阿耶波多将每 度再分为60分，以分为度量弧长以及线段的单位 整个圆周长是2 r 21600分，
于是r 3437.747 分. 凑整，定半径为r 3438分. 1 取直角的 ，得3 45 225. 24 根据小角度弧长与弦长近似相等， 阿耶波多规定sin3 45 225， 实际上己有弧度制的思想. 阿耶波多给出间隔为3 45的正弦表.
4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学
二 婆罗摩笈多（598—665） 著《婆罗摩修正体系》（628） 《肯德卡迪亚格》（约665） 其主要成就： 0作为一个数及零的运算法则 正负数乘除法则 二次方程求根公式 解佩尔方程的“瓦格布拉蒂”解法 正弦函数表 四边形面积公式
印度数学
婆罗摩笈多（598－约
印度数学
婆什迦罗（1114－1188年） 古印度数学最高成就《天
文系统之冠》（1150年）
《莉拉沃蒂》《算法本源》
“婆什迦罗号”人 造卫星 （1979）
带着微笑眼睛的美丽少女， 请你告诉我，按照你理解 的正确反演法，什么数乘 以3，加上这个乘积的3/4， 然后除以7，减去此商的 1/3，自乘，减去52，取平 方根，加上8，除以10，得 2？
古印度简况
古印度是指南亚次大陆及 其邻近的岛屿
• 文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上 • 数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛
264－1：
棋盘上的麦粒 “河内塔”游戏 ，世界的末日 ！
古印度简况
• 史前时期：公元前2300年前 • 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期 国家 • 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度 • 后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成， 婆罗门教形成 • 列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称 霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生 • 帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国 • 强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王 朝（公元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受 到宗教的影响
2


4 2 x 1 m m ，忽略m的二次幂，再将29调为28， 29 29 m 2 得 x 1 7
2
2
4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号
“巴克沙利手稿”于1881年在巴克 沙利村发现，大约是八、九世纪时转 抄三、四世纪时的数学书。内容涉及： 分数 平方根 数列 收支与利润计算 比例算法 级数求和 代数方程 数学符号 十进制数码 零号
解一次不定方程的“库塔卡”方法
29 11 与 交叉相乘，两个积之差必为 1. 8 3 即8 11=29 3+1，与8x=29y+4 1比较， 上式两边同乘4，得 844=29 +4. 12 即得 1的特解 x0 44，y 0 12， 从而 1的所有整数解为： x 44 29t ，t 0， 1， 2， y 12 8t
例
设x1，x2，x3，x4，x5为各人所持款项， A为珠宝价格，则 1 2 x1 x2 x3 x4 x5 x 1 x x x x 3 4 5 1 3 2 1 x1 x2 x3 x4 x5 4 1 x1 x2 x3 5 x4 x5 x x x x 1 x 2 3 4 5 1 6 A A A A A
蜜蜂问题
素馨花开香扑鼻，诱得蜜蜂来采蜜。 一群飞入花丛里，试问此群数有几？ 全体之半平方根，另有两只在一起。 总数的九分之八，盘旋在外做游戏。
球体积
印度直到婆什迦罗，才得到完全正确的球 体积及表面积的正确公式. 婆什迦罗在《莉拉沃蒂》中写道：在圆 中，周长乘以直径的四分之一就是面积； 这个面积乘以4，是球的表面积；这个表面 积乘以直径再除以6，就是球体积.
2 c c 2 2 d x a a a 1 1 1 b b b 此例答案是x 36.
.
2
4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学
四 婆什迦罗（1114—约1185） 著《莉拉沃蒂》13章 1 名词术语定义 2 算术运算 3 各种计算法则与技巧 4 有关利率等应用问题 5 算术及几何数列问题 6 平面几何学 7-10 立体几何学 11 测量问题 12 代数问题 13wenku.baidu.com组合问题 著《算法本源》