4 印度与阿拉伯的数学

4.1 印度数学
4.1.1 古代《绳法经》
《绳法经》约公元前八世纪至公元前 二世纪作品，其中有一些几何，代数 内容，如 勾股定理 矩形对角线的性质 相似直线形的性质 作图法 一、二次代数方程问题 圆周率的近似值
印度数学
《吠陀》印度雅利安人的
作品，婆罗门教的经典
《绳法经》（前8－前2世 纪）：庙宇、祭坛的设计 与测量，包含几何、代数 知识，如毕达哥拉斯定理 等 印度数学 《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980） 吠陀时期(公元前10-前3 世纪) 悉檀多时期(公元5-12世 纪)
印度数学
婆什迦罗（1114－1188年） 古印度数学最高成就《天
文系统之冠》（1150年）
《莉拉沃蒂》《算法本源》
“婆什迦罗号”人 造卫星 （1979）
带着微笑眼睛的美丽少女， 请你告诉我，按照你理解 的正确反演法，什么数乘 以3，加上这个乘积的3/4， 然后除以7，减去此商的 1/3，自乘，减去52，取平 方根，加上8，除以10，得 2？
印度数学
“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数学
最早的印度数学家：
阿耶波多（476－约 550年）
499年《阿耶波多
历数书》(圣使天文 书)
π的近似值3.1416 “阿耶波多号”人造卫星（印度，1975） 建立了丢番图方程求
解的“库塔卡”法
圆周率
阿耶波多明确指出：
100加上4，乘以8，再加上 62000，就得到直径为20000的圆 周长的近似值. 即
诗歌体算题
孔雀与毒蛇
柱高九尺上端平，孔雀栖息在柱顶， 柱脚下面有蛇洞，乱叶遮蔽看难清。 蛇离柱脚两丈七，直奔洞口不稍停， 孔雀瞥见猛扑下，袭取毒蛇不留情， 二者速度恰相等，何处遭遇算分明？
莲花问题
平平池水清可鉴，面上半尺生红莲， 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 花触水面半浸没，偏离原位二尺远， 能算诸君请解题，池水如何知深浅？
例
设x1，x2，x3，x4，x5为各人所持款项， A为珠宝价格，则 1 2 x1 x2 x3 x4 x5 x 1 x x x x 3 4 5 1 3 2 1 x1 x2 x3 x4 x5 4 1 x1 x2 x3 5 x4 x5 x x x x 1 x 2 3 4 5 1 6 A A A A A
古印度简况
• 婆罗门教起源于公元前2000年的吠陀教，形成 于前7世纪，鼎盛于前6－4世纪。 • 4世纪后，婆罗门教开始衰弱。 • 8、9世纪，婆罗门教逐渐发展 成为印度教。 • 印度教与婆罗门教没有本质区 别，都信奉梵天、毗湿奴、湿 婆三大神，主张善恶有报、人 生轮回，只有达到“梵我同一” 婆罗门教、印度教的创造神梵天 方可获得解脱，修成正果。
665年）
628年《婆罗摩修正体
系》(宇宙的开端)
零的运算法则,
乌贾因天文台
丢番图 方程求解的“瓦格布拉蒂” 法
4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学
三 马哈维拉（9世纪 ，一说814—880） 著《计算方法纲要》，全书分九部分： 算术术语 算术运算 分数运算 各种计算问题 三率法问题 混合运算 面积计算 土方工程计算 测影计算 马哈维拉改进和推广前人的许多结果， 如 关于零的运算 二次方程 利率计算 整数性质 排列组合 单分数法则
4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学
二 婆罗摩笈多（598—665） 著《婆罗摩修正体系》（628） 《肯德卡迪亚格》（约665） 其主要成就： 0作为一个数及零的运算法则 正负数乘除法则 二次方程求根公式 解佩尔方程的“瓦格布拉蒂”解法 正弦函数表 四边形面积公式
印度数学
婆罗摩笈多（598－约
2 2
《绳法经》中
2
的近似值
1 1 1 2 1 1.414215 3 3 4 3 4 34 一种猜测是印度人掌握了算法，用 an 1
2 N an an 2an
计算 N的近似值.
1 如N 2，取a1 1 代入递推式得 3 a2，将a2再代入递推式得a3， 而 1 1 1 a3 1 3 3 4 3 4 34
《绳法经》中的二次方程
1 1 m 2 方程 7 x x 7 m 的近似答案x 1 2 2 7 1 猜测，印度人先用求根公式解得x 841 112m 1 28 b 2 设 m 相当小，再用近似公式 a b a 算得 2a 56 2 2 841 112m 29 112m 29 m，于是x 1 m. 29 29
1 2 3 4 5 由方程组得 x1 x2 x3 x4 x5 =B， 2 3 4 5 6 377 从而 B A. 答案不定. 60 若要求整数解，可设B 60m m为正整数 ， 于是A 377m. 手稿的答案相当于取m 1，即A 377.
x1，x2，x3，x4，x5分别为120，90，80，75，72.
2 c c 2 2 d x a a a 1 1 1 b b b 此例答案是x 36.
.
2
4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学
四 婆什迦罗（1114—约1185） 著《莉拉沃蒂》13章 1 名词术语定义 2 算术运算 3 各种计算法则与技巧 4 有关利率等应用问题 5 算术及几何数列问题 6 平面几何学 7-10 立体几何学 11 测量问题 12 代数问题 13 组合问题 著《算法本源》
Байду номын сангаас
解一次不定方程的“库塔卡”方法
例 求 8x=29y+4
1
的所有整数解.
29 5 1 1 1 3 3 3 3 8 3 1 8 8 1 1 5 5 5 3 1 1 1 3 3 3 . 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 2 2 1 11 略去最后 ，化简即得最后一个渐近分数 . 2 3
手稿取 m 467 168 （没有取最小公倍数），
4.1.3
“悉檀多”时期的印度数学
悉檀多时期是印度数学的繁荣鼎盛 时期，出现了一批著名数学家。
阿耶波多 婆罗摩笈多 马哈维拉
婆什迦罗
4.1.3
“悉檀多”时期的印度数 学
一 阿耶波多（476—约550） 著《阿耶波多历数书》（499），其 主要贡献是： 圆周率 对希腊三角学的改进 建立解一次不定方程的“库塔卡”方 法
蜜蜂问题
素馨花开香扑鼻，诱得蜜蜂来采蜜。 一群飞入花丛里，试问此群数有几？ 全体之半平方根，另有两只在一起。 总数的九分之八，盘旋在外做游戏。
球体积
印度直到婆什迦罗，才得到完全正确的球 体积及表面积的正确公式. 婆什迦罗在《莉拉沃蒂》中写道：在圆 中，周长乘以直径的四分之一就是面积； 这个面积乘以4，是球的表面积；这个表面 积乘以直径再除以6，就是球体积.
二次方程
旷野骆驼不知总，四分之一在林中； 全数方根之两倍，漫步山坡各西东；
另有骆驼三乘五，散在岸边迎水中； 林坡岸边三处共，恰为总数之合拢。
二次方程
x 设 x 是骆驼总数，则 2 x 15 x. 4 马哈维拉研究这一类型的一般方程： a x c x d x. b 并给出了正确的解法：
直径 2r 即 圆面积 A 周长 2 r r 2； 4 4 球表面积 S A 4 4 r 2； 球体积 直径 4 3 2 2r V=S 4 r r . 6 6 3
印度数学的特点 发明印度数码与零 承认负数，并给出正确的运算法则
《绳法经》中的“圆周率”


36 22

2
3.0883
2
1 1 1 1 4 1 8 8 29 8 29 6 8 29 6 8 3.0883 5 4 1 3.004 12 8 4 3.169 9
4 印度与阿拉伯的数学
4.1 印度数学
古代《绳法经》 “巴克沙利手稿”与零号 “悉檀多”时期的印度数学

4 印度与阿拉伯的数学
4.1 印度数学
地理范围 南亚次大陆 时间跨度 三个时期 达罗毗荼人时期 BC 3000 — BC 1400 吠陀时期 BC 1000 — BC 300 悉檀多时期 AD 400 — AD 1200 印度受宗教影响较深 多元文化影响
古印度简况
古印度是指南亚次大陆及 其邻近的岛屿
• 文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上 • 数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛
264－1：
棋盘上的麦粒 “河内塔”游戏 ，世界的末日 ！
古印度简况
• 史前时期：公元前2300年前 • 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期 国家 • 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度 • 后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成， 婆罗门教形成 • 列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称 霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生 • 帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国 • 强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王 朝（公元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受 到宗教的影响
2


4 2 x 1 m m ，忽略m的二次幂，再将29调为28， 29 29 m 2 得 x 1 7
2
2
4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号
“巴克沙利手稿”于1881年在巴克 沙利村发现，大约是八、九世纪时转 抄三、四世纪时的数学书。内容涉及： 分数 平方根 数列 收支与利润计算 比例算法 级数求和 代数方程 数学符号 十进制数码 零号
4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号
例
甲有7匹好马，乙有9匹次马， 丙有10峰骆驼。假如每人都向 另外两人各赠送一匹（峰）牲 口，则三人拥有的财富相等， 求各种牲口的价格。
设x1，x2，x3是好马，次马，骆驼每匹的价格， 则 5x1 x2 x3 x1 7 x2 x3 x1 x2 8 x3 . 可得 4 x1 6 x2 7 x3 m. 若要求整数解，可令m为4，，的公倍数. 67 所给答案是x1 42，x2 28，x3 24.
100 4 8 62000 3.1416
20000
三角学
古希腊的托勒玫将圆周分成360度，阿耶波多将每 度再分为60分，以分为度量弧长以及线段的单位 整个圆周长是2 r 21600分，
于是r 3437.747 分. 凑整，定半径为r 3438分. 1 取直角的 ，得3 45 225. 24 根据小角度弧长与弦长近似相等， 阿耶波多规定sin3 45 225， 实际上己有弧度制的思想. 阿耶波多给出间隔为3 45的正弦表.
印度－阿拉伯数字
9世纪的印度数码 15世纪在欧洲使用 的印度数码
4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号
五个商人合买一批珠宝，各带不 同的款项。珠宝的价格等干第一人所 持款项的二分之一与其他人款项的总 和，或第二人所持款项的三分之一与 其他人款项的总和，或第三人所持款 项的四分之一与其他人款项的总和， 或第四人所持款项的五分之一与其他 人款项的总和，或第五人所持款项的 六分之一与其他人款项的总和。求价 格与各人所持款项。
解一次不定方程的“库塔卡”方法
29 11 与 交叉相乘，两个积之差必为 1. 8 3 即8 11=29 3+1，与8x=29y+4 1比较， 上式两边同乘4，得 844=29 +4. 12 即得 1的特解 x0 44，y 0 12， 从而 1的所有整数解为： x 44 29t ，t 0， 1， 2， y 12 8t