新课程背景下数学分析教学研究

新课程背景下数学分析教学研究
数学分析是数学专业最重要的基础课程之一。

2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》增加了一些数学分析中的内容，如定积分，零点存在定理等。

但是高中增加的内容并不是大学内容的直接下放，经过了化简，并且更注重数学思想的渗透。

为此大学数学分析教学应该针对新课改的情况作出适当调整，以便更好的促进学生的学习。

本文将结合极限、泰勒公式、导数的应用等具体内容的教学设计，分析如何在新课程背景下进行数学分析教学。

标签：数学分析；教学；极限；泰勒公式；导数
2003年《普通高中数学课程标准（实验稿）》（一下简称《课标》）颁布以来，已经逐步在全国范围内推广，到2012年广西壮族自治区也采用了课标版教科书，从此全国范围内均采用课标版教科书。

与之前的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，课标增加了很多新的学习内容，如积分、合情推理、数学史等，同时对以往的内容，如导数、极限等进行了重新定位。

这样进入大学学习数学专业的学生已经对数学分析的有些内容有了初步了解，但是大学的数学分析教材并没有改变，这就要求教师在教学中应当做适当调整，以更好的促进学生的学习，提高学习效果。

另外，《课标》非常强调数学思想方法的教学，数学模型的应用价值等。

那么大学数学专业课程的教学中，教师要继续发扬《课标》中的理念，不但教会学生知识，更要教会学生方法，这才是使得学生受益终身的内容。

本文将结合一些具体教学内容，如极限、泰勒公式、导数等，谈谈如何在新课程背景下进行大学数学分析教学。

1 极限教学
2000年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》已将极限内容下放到中学，虽然《课标》中又删除了极限内容，但是在讲导数时还要用到极限的概念，所以很多中学老师依然补充了这部分知识，很多中学生都会计算一些简单的数列极限与函数极限。

但是中学生所接触的极限都是很直观初等的。

并没有精确的给出极限的概念。

而很多学生进入大学学习数学分析，就要接触、语言，这是中学数学完全没有接触过的。

学生往往感到困惑，为何要这样定义极限，这是因为中学所学的都是从直观角度入手，要引发学生的认知冲突，如果不向学生展示引出极限概念的必要性，而直接给出严格定义，学生陷于形式化的符号中，容易丧失学习的兴趣。

学生经过计算讨论后，自然可以发现有些数列随着增大会趋于稳定，而有的则不是定值。

但是对于最后一个数列学生会得出不同的结论，在教师引导下学生们自然会发下，以高中知识无法解决这个问题，引发了认知冲突，这样就引出了精确定义极限概念的必要性。

学生才会明白中学里没有精确给出极限定义，这样
有些数列是否有极限是不能确定的。

这样的教学设计充分体现了学生在学习中的主体作用，由教师的教转向学生的学，学生既感受到学习新知识的原因，同时也体会到了归纳在数学学习中的重要作用，这样安排教学比直接给出极限定义要好得多。

2 实数连续性定理教学
实数连续性六大定理（闭区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则）历来是教学难点。

造成教学困难的有如下几点。

首先学生在初中就学习到了无理数，但是初中的无理数引入主要是通过“开方不尽数”的，这种引入很自然，符合学生的认知规律。

但是这种引入方式虽然简单，但是“开方不尽数”只有极为少数的无理数，是可数的，而我们知道无理数是不可数的。

但是初中生还没有接触这些概念，他们就会认为无理数就是“开方不尽数”。

而这时又从另外一个角度来定义无理数，学生在心理上是没有准备的，因此很难理解。

第二个原因在于这六大定理过于形式化，充满了精确的数学语言，如确界、聚点等，又有大量抽象的符号等，学生在理解这些名词符号上就好花费很多时间，自然也影响了对于定理所表达的实质内容的理解。

因此教师在教学时，要进行学情分析，要清楚的了解学生学习的难点困惑所在。

为次考虑到高中已经开设了数学史选讲，并且“类比”这一重要的数学思想方法已经进入了教科书，结合这些特点，进行如下教学设计。

实数理论的奠基是与微积分的严密化紧密联系在一起的。

而中学已经简单的介绍了数系扩充的历史，并且简要介绍了微积分的发展历程。

因此教师在教学时不妨先让学生回顾为什么数系要扩充，学生很容易回答出是运算的封闭性要求数系要扩充。

然后再引导学生考虑无理数是如何扩充的？学生自然会想到开方运算，但是教师还要引导学生去思考是如何计算出来的，还是利用开方运算吗？这样就引起了学生的认知冲突，教师再引导学生回忆重要极限，这样学生会发现很多无理数其实是有理数列的极限，因此极限运算是无理数的重要来源。

然后再指出，从运算角度来看，实数集关于极限运算是封闭的。

而这个性质就是实数的连续性，因此要对实数集连续性的定理进行严格证明。

这样进行教学设计，充分考虑了学生的认知特点与学习心理，有借助类比的方法，让学生与以前所学内容进行比较，降低了学习难度，比一开始就讲解定理的证明效果要好。

3 泰勒公式教学
泰勒公式在函数值的近似计算中有重要作用，是一个非常重要的数学工具。

但在教学中，泰勒公式繁琐的推导过程会占用大量的数学课堂时间，反而其重要的应用例子，教师可能简单一带而过，有心理学中的注意理论可知，学生一节课上的能集中注意力的时间一般为20分钟左右，因此学生在复杂的推导论证之后，很可能难以去认真学习泰勒公式的应用价值了。

因此教学时以问题为中心，通过问题来引出泰勒公式的重要性。

可进行如下的教学设计。

借助函数重要的函数模型。

让学生自己归纳出引出泰勒公式的必要性。

因此先以问题为引导，提出如下的问题。

要求学生计算分别取1，1.2，1.21时候三个函数值，学生很快就可以发现，不利用计算器，也很容易求出第一个函数的值，但对于第二、三个函数不借助计算器是很难算出的。

此时在要求学生观察这3个函数的特点，学生很容易发现这3个函数分别是多项式函数、三角函数、对数函数，这些函数都是学生熟悉的。

而且学生也知道对于后两个函数，只能计算自变量为特殊值的函数值。

这样学生才会体会出多项式函数在计算上的优点。

教师再进一步指出多项式函数是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。

〔1〕《课标》指出学习函数要掌握重要的函数模型，多项式函数就是一个重要的函数模型。

再由此引导学生去思考是否能将无理函数和初等超越函数转化为多项式函数，将一个要解决的问题转化为已经解决的问题。

这就是数学上重要的化归思想。

然后便是严密的推理论证过程。

这样的教学，不但传授了知识，更重要的是给出了学习数学、研究数学的方法。

4 导数在研究函数上的应用
导数是研究函数性态的重要工具，在高中课程中增加了导数的内容，主要利用导数来判断函数的单调性。

但是并没有给严格证明，而要证明则要用到微分学基本定理，由此引出学习本章内容的必要性。

另外，罗尔定理、拉格朗日定理的引出也要充分借助几何背景。

高中课程中已经增加了合情推理的内容，但是合情推理的能力不是一朝一夕形成的，要不断地在教学中渗透。

而微分学中值定理的发现就是一个很好的素材。

教师教学时要引导学生对函数图像进行观察，进而得出猜想，猜想的过程更重要，只有提出猜想，数学才能进步。

如果课上只是进行证明，那么学生学到的只是解决问题，而不是提出问题。

高考题中很多压轴题都是要利用导数，并结合具体函数模型来讨论解决的。

例如2014年数学高考题大纲卷第22题第1问：函数，讨论f（x）的单调性。

该题思路很明显，要对函数f（x）求导，得到f。

可以看出导函数分母恒大于0，因此要讨论分子的正负。

而分子有事一个二次函数，并且是二次项系数为1，常数为0的二次函数。

学生只要熟练掌握了二次函数模型，就会通过对参数a的讨论得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性。

因此在教学中，不防结合某些高考题，让学生了解数学分析在解决初等问题中的强大作用，提高学生的学习兴趣。

5 常用不等式
高中课程中增加了柯西不等式、琴生不等式等常用的不等式。

而数学分析会对这些不等式进行进一步的深入研究和推广。

例如数学分析中的赫尔德不等式：
当p=q=2时，就是柯西不等式。

可以看出赫尔德不等式就是柯西不等式的推广。

因此教学时教师可以从中学所学的柯西不等式入手，这样既降低了教学难
度，也使得学生理解了各个不等式之间的关系。

同时也给出了学生创造新的数学结论的方法，即从已有结论出发，进行推广。

不等式一直是中学教学的重难点，《课标》降低了不等式证明的技巧，但是更加突出不等式的几何背景。

所以在数学分析教学中，既要继承几何背景在学习不等式的作用，引导学生通过不等式的几何解释去理解不等式。

柯西不等式，琴生不等式经常在竞赛和自主招生考试中出现，教师在教学过程中也可以结合具体的题目来帮助学生去理解应用这些不等式。

而这个是在数学分析中一个重要的内容，另外2010年湖北数学高考题，也是以此为背景命题的。

在进行欧拉常数教学时，教师可以结合这类高考题来讲解，这样学生就可以体会到数学分析在指导中学数学教学中的应用，让学生学以致用，不再认为数学是枯燥无味的。

总之，在数学分析教学中，要深入分析学生在高中学习的情况，精心进行教学设计，选取合适的材料，提高学生学习的兴趣，提高其学习效果。

〔参考文献〕
〔1〕刘玉琏.数学分析讲义（上册）.北京：高等教育出版社，2008：264.。