圆锥曲线--椭圆解题公式

圆锥曲线--椭圆解题公式

一．椭圆性质：

1.无论焦点在轴上，

轴上还是y x a 2叫做椭圆的长轴长，a 叫做椭圆的长半轴长；2b 叫做椭圆的短轴长，b 叫做椭圆的短半轴长。

2顶点：()()()()0000，，，轴：；，，，轴：b a y b a x ±±±±焦点：()()c y c x ±±，轴：轴：0;0,。

3.范围：b x b a x a x ≤≤-≤≤,-轴：；.,b x b a y a y ≤≤-≤≤-轴：

4.椭圆方程：1122

222222=+=+b x a y y b y a x x 轴：，轴：)0(>>b a

5.准线方程：c

a y y c a x x 2

2±

=±=轴：，轴：

6.焦半径：

()-+-=+=-+-=+=下上，

轴：，右左，轴：02010201)(ey a MF ey a MF y ex a MF ex a MF x

7.离心率：

()()2

222

2222,1011b a c e a b a b a a c a c e -=<<⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-===；

21e a

b

-=

()到焦点距离。是点到准线的距离，为其中定义：P PF P d d

PF e a

c e ,;222=

=焦

半径即可：ed PF =

动点轨迹为椭圆；,2.821F F a >2121,2F F F F a 轨迹为线段=轨迹不存在,2;21F F a <

9.椭圆焦点永远在长轴上；

10焦点不定(过定点)的椭圆方程可：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+

轴在轴，在x n m y n m ,,<>⇒。

11.焦点三角形：已知椭圆上一点P 与两焦点21,F F 构成一个

21PF F ∆若,21θ=∠PF F 则

()a PF PF 212

1=+；

()θcos .242212

22

12PF PF PF PF c -+=

（余弦定理）

()2

tan

sin 2

1

322121θ

θb PF PF PF F S =∙∙=∆

()为两个焦半径的夹角θθ

,cos 1242

21+=b PF PF

12.离心率：e 的取值范围：10<

13.焦半径求弦长：设弦AB ，其中()()2211,,,y x B y x A ，

（1）若AB 过左焦点1F ,则：()21112x x e a BF AF AB ++=+=；若AB 过右焦点2F ,则：()212

22x x e a BF AF AB +-=+=（左加右减）

； （2）若AB 过上焦点2F ，则:()21222y y e a BF AF AB ++=+=，若

AB 过下焦点1F ,则:()211

12y y e a BF AF AB +-=+=（上加下减）

。 14.直线与椭圆位置关系：椭圆与直线联立解，消去一个变量，得到另一个变量的一元二次方程：

()01>∆时：两个不等实根，必有两个公共点，定相交。 ()02=∆时：两个相等实根，必有一个公共点，定相切。 ()03<∆时：无实根，必无公共点，定相离。

15.准线距：即两准线距离：

c

a 2

2

16.焦准距：即焦点到准线距离：

c

b 2

17.通径长：过焦点垂直于长轴的弦，即

a

b 2

2

18.椭圆上的横纵坐标：中点弦斜率：

()的中点是弦的其中AB y x y a x b k 000202,,-=，焦点x 轴上：⎪⎭⎫ ⎝⎛+±2020,x a a b x ,焦点在y 轴上：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+±

02

02,y x b b a

19.椭圆参数方程：{

{

θθ

θ

θ

cos sin cos sin a y b x a x b y ====或

20.设二次曲线的方程为B A n y m x ny mx ,,11222

2

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=+=+或两点在曲线上，M 是弦的中点，O 为坐标原点，⎪⎭

⎫

⎝⎛--

=m n n m k k OM AB 或，特别地，m=n>0时，曲线是圆，1-=OM

AB k k .

21.推论：若

A,B 是椭圆122=+ny mx 上关于中心对称的两个点，

P 是椭圆上任意一点，当PA,PB 斜率存在时，有n

m k k PB PA -=

22.共焦点的椭圆系方程：122222=-+c a y a x x 轴：1:222

22=-+c a x a y y 轴

23.焦点不定椭圆设：),0,(12

2

B A B A By Ax ≠>=+)(12222

22n m n

y m x ≠=+

24.直线与椭圆相交，椭圆一点M （00,y x ）处切线：

120

20=+b

yy a xx 25.22

222 1.x y m c m

-=-双曲线系方程是

26.椭圆其他形式方程：

1.离截式方程：()22221b x e y +∙-=或()()2222211a e x e y -+∙-=

2.点离式方程：()()20222021x x e y y -∙-=-

3.两点式方程：2

1

2

22

1

221222

12x x x x y y y y --=-- 4,.一般式方程：022=++C By Ax 或122=+By Ax

27.椭圆是黄金椭圆的充要条件：2

1

522-=a b 或ac b =2

二：双曲线性质

1.无论焦点在轴上，

轴上还是y x a 2叫做椭圆的实轴长，a 叫做椭圆的实半轴长；2b 叫做椭圆的虚轴长，b 叫做椭圆的虚半轴长。

2顶点：()()a y a x ±±，轴：；，轴：00焦点：()()c y c x ±±，轴：轴：0;0,。

3.范围：R y a x a x x ∈≥-≤,,轴：；R x a y a y y ∈≥-≤,,轴：

4.双曲方程：1122

222222=-=-b x a y y b y a x x 轴：，轴：)0,0(>>b a

5.准线方程：c

a y y c a x x 2

2±

=±=轴：，轴：

6.焦半径：