圆锥曲线--椭圆解题公式

圆锥曲线--椭圆解题公式
一．椭圆性质：
1.无论焦点在轴上，
轴上还是y x a 2叫做椭圆的长轴长，a 叫做椭圆的长半轴长；2b 叫做椭圆的短轴长，b 叫做椭圆的短半轴长。

2顶点：()()()()0000，，，轴：；，，，轴：b a y b a x ±±±±焦点：()()c y c x ±±，轴：轴：0;0,。

3.范围：b x b a x a x ≤≤-≤≤,-轴：；.,b x b a y a y ≤≤-≤≤-轴：
4.椭圆方程：1122
222222=+=+b x a y y b y a x x 轴：，轴：)0(>>b a
5.准线方程：c
a y y c a x x 2
2±
=±=轴：，轴：
6.焦半径：
()-+-=+=-+-=+=下上，
轴：，右左，轴：02010201)(ey a MF ey a MF y ex a MF ex a MF x
7.离心率：
()()2
222
2222,1011b a c e a b a b a a c a c e -=<<⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-===；
21e a
b
-=
()到焦点距离。

是点到准线的距离，为其中定义：P PF P d d
PF e a
c e ,;222=
=焦
半径即可：ed PF =
动点轨迹为椭圆；,2.821F F a >2121,2F F F F a 轨迹为线段=轨迹不存在,2;21F F a <
9.椭圆焦点永远在长轴上；
10焦点不定(过定点)的椭圆方程可：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+
轴在轴，在x n m y n m ,,<>⇒。

11.焦点三角形：已知椭圆上一点P 与两焦点21,F F 构成一个
21PF F ∆若,21θ=∠PF F 则
()a PF PF 212
1=+；
()θcos .242212
22
12PF PF PF PF c -+=
（余弦定理）
()2
tan
sin 2
1
322121θ
θb PF PF PF F S =∙∙=∆
()为两个焦半径的夹角θθ
,cos 1242
21+=b PF PF
12.离心率：e 的取值范围：10<<e ，e 越接近1，c 越接近a ，从而b 越小，椭圆越扁；e 越接近0，c 越接近0，从而b 越接近a ，椭圆接近圆。

13.焦半径求弦长：设弦AB ，其中()()2211,,,y x B y x A ，
（1）若AB 过左焦点1F ,则：()21112x x e a BF AF AB ++=+=；若AB 过右焦点2F ,则：()212
22x x e a BF AF AB +-=+=（左加右减）
； （2）若AB 过上焦点2F ，则:()21222y y e a BF AF AB ++=+=，若
AB 过下焦点1F ,则:()211
12y y e a BF AF AB +-=+=（上加下减）。

14.直线与椭圆位置关系：椭圆与直线联立解，消去一个变量，得到另一个变量的一元二次方程：
()01>∆时：两个不等实根，必有两个公共点，定相交。

()02=∆时：两个相等实根，必有一个公共点，定相切。

()03<∆时：无实根，必无公共点，定相离。

15.准线距：即两准线距离：
c
a 2
2
16.焦准距：即焦点到准线距离：
c
b 2
17.通径长：过焦点垂直于长轴的弦，即
a
b 2
2
18.椭圆上的横纵坐标：中点弦斜率：
()的中点是弦的其中AB y x y a x b k 000202,,-=，焦点x 轴上：⎪⎭⎫ ⎝⎛+±2020,x a a b x ,焦点在y 轴上：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±
02
02,y x b b a
19.椭圆参数方程：{
{
θθ
θ
θ
cos sin cos sin a y b x a x b y ====或
20.设二次曲线的方程为B A n y m x ny mx ,,11222
2
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=+或两点在曲线上，M 是弦的中点，O 为坐标原点，⎪⎭
⎫
⎝⎛--
=m n n m k k OM AB 或，特别地，m=n>0时，曲线是圆，1-=OM
AB k k .
21.推论：若
A,B 是椭圆122=+ny mx 上关于中心对称的两个点，
P 是椭圆上任意一点，当PA,PB 斜率存在时，有n
m k k PB PA -=
22.共焦点的椭圆系方程：122222=-+c a y a x x 轴：1:222
22=-+c a x a y y 轴
23.焦点不定椭圆设：),0,(12
2
B A B A By Ax ≠>=+)(12222
22n m n
y m x ≠=+
24.直线与椭圆相交，椭圆一点M （00,y x ）处切线：
120
20=+b
yy a xx 25.22
222 1.x y m c m
-=-双曲线系方程是
26.椭圆其他形式方程：
1.离截式方程：()22221b x e y +∙-=或()()2222211a e x e y -+∙-=
2.点离式方程：()()20222021x x e y y -∙-=-
3.两点式方程：2
1
2
22
1
221222
12x x x x y y y y --=-- 4,.一般式方程：022=++C By Ax 或122=+By Ax
27.椭圆是黄金椭圆的充要条件：2
1
522-=a b 或ac b =2
二：双曲线性质
1.无论焦点在轴上，
轴上还是y x a 2叫做椭圆的实轴长，a 叫做椭圆的实半轴长；2b 叫做椭圆的虚轴长，b 叫做椭圆的虚半轴长。

2顶点：()()a y a x ±±，轴：；，轴：00焦点：()()c y c x ±±，轴：轴：0;0,。

3.范围：R y a x a x x ∈≥-≤,,轴：；R x a y a y y ∈≥-≤,,轴：
4.双曲方程：1122
222222=-=-b x a y y b y a x x 轴：，轴：)0,0(>>b a
5.准线方程：c
a y y c a x x 2
2±
=±=轴：，轴：
6.焦半径：
()().,;02010201a ex PF a ex PF P a ex PF a ex PF P x --=+-=-=+=在左支上，，在右支上，轴：()
()a ey PF a ey PF P a ey PF a ey PF P y --=+-=-=+=2121;，在下支上，，在上支上，轴：7.离心率：()2222
22),1(,11b a c e a b a b a a c e +=>=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+==；12-=e a b ；
()到焦点距离。

是点到准线的距离，为其中定义：P PF P d d
PF e a
c e ,;222=
=焦半
径即可：ed PF =。

8.轨迹是双曲线；,22c a <为端点的两条射线；21,,22F F c a =轨迹不存在；
,22c a >迹是双曲线一支。

去掉定义中绝对值，轨
9.渐近线：x b
a y y x a b
y x ±=±=轴：轴：;
10.双曲线焦点永远在实轴上；
11.已知过两点的双曲线可设：)0(122>=-AB By Ax
12.焦点位置不确定的双曲线可设：)0(12
2>=-mn n
y m x
28.如图
1，焦点三角形：设若双曲线方程为22
22x y 1a b
-=，F 1,F 2分
别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，构成一个21PF F ∆,若
,21θ=∠PF F 则 ()a PF PF 2121=-；
()θcos .242212
22
12PF PF PF PF c -+=
（三角形余弦定理）
()()()2
2212122
2121212221212221222
12232PF PF cos |PF ||PF |2c 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF |2c 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )b b PF PF 21cos sin 2
θ=+-⇔
θ=-+-⇔θ=+-⇔θ-=-⇔==⇔
θ
-θ焦点三角形面积推导：
12
F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θ 22b 2sin cos 222sin 2θθ=⋅θ22b b cot 2tan
2
θ==θ
特别地，
90=θ时，122F PF S b =
()22
122b b 4PF PF 2
1cos sin 2
==θ-θ 为两个焦半径的夹角θ,。

29.离心率：e 的取值范围：1>e ，e 越接近
1，双曲线开口越小；
e 越接近∞+，双曲线开口越大。

30.图2双曲线离心率为e ，焦点三角形PF 1F 2旁心为A ，线段PA 延长线
交
F
1
F
2
延长线于点B 则
|BA |
e |AP |
=
14、双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β 当点P 在双曲线右支上时，有e 1
tan cot ;2
2
e 1
α
β-⋅=
+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1
cot tan 22e 1
α
β-⋅=
+
15.直线与双曲线位置关系：双曲线与直线联立解，消去一个
变量，得到另一个变量的一元二次方程：
()01>∆时：两个不等实根，必有两个公共点，定相交。

()02=∆时：两个相等实根，必有一个公共点，定相切。

()03<∆时：无实根，必无公共点，定相离。

16.准线距：即两准线距离：
c
a 2
2
17.焦准距：即焦点到准线距离：
c
b 2
18.通径长：过焦点垂直于长轴的弦，即
a
b 2
2
19.双曲参数方程： a 实半轴长b 虚半轴长
α=∠AOX
设
20.（中点弦斜率公式）：设()1,222200=-b
y a x y x M 为双曲线弦AB （AB 不平
行于y 轴）的中点，则有22
a
b k k OM
AB = 21.若A,B 是双曲线122
22=-b
y a x 上关于中心对称的两点，P 是双曲线上
任意一点，当PA ，PB 的斜率PB PA k k ,的斜率都存在时，有22
a
b k k OM
AB = sec ()tan x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数3[,2)22
o ππ
ϕπϕϕ∈≠≠通常规定且，。

例2、 22
22100x y M a b O a b
M A B MAOB -=>>(,)如图，设为双曲线任意一点，为原点，
过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。

探求平行四边形的面积.O B
M
A
x
y
MAOB 的面积为
MAOB α∙ S =|OA||OB|sin2=ααα
∙A B x x sin2cos cos ϕϕαα∙2222
a (sec -tan )=sin24cos tan .2
b ab a α∙=∙=22a a =22
22.双曲线焦半径公式
（圆锥曲线上任意一点P(x,y ）到焦点距离） 左焦半径：r=│ex+a│ 右焦半径：r=│ex -a│
23.共同渐近线的双曲线的方程设为：()022
22≠=-λλb
y a x
24.与双曲线共焦点的双曲线系方程设：()
222
2
221a k b k
b y k a x <<-=+-- 25.等轴双曲线：时的双曲线即当双曲线中b a =，标准方程：222a y x =-或
222a x y =-，其中2=e ，渐近线：x y ±=
26.共轭双曲线：即实轴与虚轴互换的两个双曲线。

27.双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 与()0,0122
22>>=-b a a
x b y 互为共轭双曲
线，有共同渐近线，四焦点共圆2222b a y x +=+，离心率21,e e 有11
122
21=+e e 28.直线与双曲线相切，双曲线上一点M （00,y x ）处切线方程120
20=-b
yy a xx 29.过定点双曲线：)0(122>=-AB By Ax
30.与椭圆共焦点的双曲线方程：()
222
2
221a k b k
b y k a x <<=++- 与已知双曲线渐近线方程为)(0x a
b y b y a x
±==±或与已知双曲线有共同
渐近线的方程设：()022
22≠=-λλb
y a x λ>0表示焦点在x 轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y 轴上的双曲线。

31.双曲线的其他形式方程：
1.离截式方程：()22221b x e y -⋅-=或()()2222211a e x e y --⋅-=
2.点离式方程：()()20222021x x e y y -∙-=-
3两点式方程：2
1
2
22
1
221222
12x x x x y y y y --=-- 4一般式方程：022=+-C By Ax 或122=-By Ax
32.双曲线为黄金双曲线充要条件：2
1
522+=a b 或ac b =2。