几种常见的概率分布教学教材
第三章几种重要的概率分布PPT课件
再计算数学期望 E(X2 )
n
n
n
n
E (X 2 )i2 p i[i2 ( i) i] p i( i2 i)p iiip
i 0
i 0
i 0
i 0
i n 0 (i2 i)C n ip iq n i E (X ) i n 0 i(i 1 )i!(n n !i)p ! iq n i np
质：
性质1 pi iei!0(i0,1,2, )
性质2 i 0pi i 0ie i!ei 0 i!i ee1
泊松分布是一种常见的分布，在二项分布中，当试 验次数很大时，而在每次试验中事件A发生的概率
又很小时，即当n ,np 时就是泊松分布。
即有
P X iC inpiqn i i!ie (当 n )
所以台秤不够用的概率为5%。
§3.2 泊松分布
一、泊松分布 定义3.3 若离散型随机变量X的概率分布为
P Xiie (0 )i(0 ,1 ,2 , )
i!
则称离散型随机变量X服从参数为 0 的泊松 （Poisson）分布,记作
X~P()
利出用泊幂 松级 分数 布展 满开 足式离散ex型随 i机0 xi变!i (量 概x率分布) 的，基容本易性看
所以发生交通事故的概率为0.3935。
在计算泊松分布的概率时，可以查泊松分布概率值表 （附表一）。
§3.3 均匀分布
一、均匀分布的概念 定义3.3 若连续型随机变量X的概率密度为
(x)
b
1
a
,
axb
0,
其它
则称连续型随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作
X~U[a,b]
均匀分布显然满足连续型随机变量概率密度的基本性质：
几种常见的概率分布律
的概率，其值为 ϕ4
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞4 ⎟⎠
=1 16
。
ϕ 3 (1 − ϕ ) 表示有三个显性基因和一个隐性基因组合出现的概率。其中
显形基因有三个，隐性基因一个，该项的系数表示这样的组合共有四种。
它们是RRYy，RRyY，RrYY和rRYY。这四种组合的概率均为
•
ϕ
3
(1
−
ϕ
)
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞3 ⎟⎠
上式正是二项式展开式的第x+1项，因此产生理论分布中“二项分布”这一名 称。故该式称为二项分布的概率函数。
• 二项展开式，
⎡⎣ϕ +(1−ϕ)⎤⎦n =Cn0ϕ0 (1−ϕ)n +Cn1ϕ1 (1−ϕ)n−1 +"+Cnxϕx (1−ϕ)n−x +"+Cnnϕn (1−ϕ)0 = p(0) + p(1) + p(2) +"+ p( x) +"+ p(n)
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞10 ⎟⎠
=
2−10
=
0.0009766
( ) p(1)
=
10! ⎛
1!(10 −1)!⎜⎝
1 2
⎞1 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞9 ⎟⎠
=
10
2−10
= 0.0097656
( ) p(2) =
10! ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞8
2!(10 − 2)!⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
= 45
2−10
(1) 二项分布图形的形状取决于P 和 n 的大小； (2) 当P = 0.5时，无论 n 的大小， 均为对称分布； (3) 当P ≠ 0.5，n 较小时为偏态分 布，n 较大时逼近正态分布。
《几种常见的分布》课件
性质
总结词
二项分布具有可加性、可分解性和独立性等性质。
详细描述
二项分布的可加性是指，如果两个独立的随机试验分别服从参数为n1和p1的B(n1,p1)和参数为n2和p2的 B(n2,p2)，则这两个试验的和服从参数为n1+n2和p的B(n1+n2,p)。可分解性是指，如果一个随机试验服从参数 为n和p的B(n,p)，则可以将其分解为若干个独立的伯努利试验的和。独立性是指，如果一个随机试验服从参数为 n和p的B(n,p)，则可以将其分解为若干个独立的二项分布的和。
应用场景
总结词
二项分布在统计学、生物学、医学等领 域有广泛的应用。
VS
详细描述
在统计学中，二项分布在样本比例、成功 率等问题的研究中有着重要的应用。在生 物学中，二项分布可以用于描述生物种群 遗传学中的基因频率变化等问题。在医学 中，二项分布可以用于描述疾病的发病率 、流行病学中的病例数等问题。此外，二 项分布还在金融、保险等领域数，表示在一定区间内随机事件发生的可能性是恒 定的。
均匀分布的期望值和方差取决于区间的长度，而不是具体的取值。
应用场景
均匀分布在现实生活中广泛存在，如 测量误差、随机试验中的随机误差等 。
在概率论中，均匀分布是概率空间的 基本构成元素之一，用于描述随机变 量的取值范围和概率关系。
在统计学中，泊松分布常用于 计数数据分析和生存分析等领 域。
在计算机科学中，泊松分布在 算法设计和数据结构分析中有 广泛应用。
03
二项分布
定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述的是在n次独立重复的伯努利试验中成功 的次数。
详细描述
二项分布适用于描述那些只有两种可能结果的随机试验，例如抛硬币、射击等 。在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数服从参数为n和p的二项分布， 记作B(n,p)。
《几种常见的分布》课件
在统计学中，有几种常见的分布模型，包括均匀分布、正态分布、伯努利分 布、泊松分布和指数分布。本课件将详细介绍这些分布的定义、概率密度函 数、特点和示例。
均匀分布
定义
所有取值可能都有相同的概率。
特点
平均数和中位数相等。
概率密度函数
在取值范围内的每个值都有相等的概率。
示例
投掷均匀骰子，每个面的点数是等概率的。
2
布。
表示事件发生等待时间的概率分布。
3
特点
等待时间越长，概率越小。
参数含义
4
参数表示平均等待时间的倒数。5示例连续时间的电话呼叫间隔时间。结语
1 小结
不同的分布模型适用于不同的情况和问题。
2 相关资源
进一步学习更多关于概率分布的知识。
3 Q&A
回答观众的问题，进一步讨论。
正态分布
定义
连续型分布模型，以钟形曲线表示。
标准正态分布
均值为0，标准差为1的正态分布。
Z 分数
用于表示正态分布中的相对位置。
示例
人类身高和智力分布近似于正态分布。
伯努利分布
1
定义
二元分布，仅有两个可能结果。
概率密度函数
2
取值为0或1，表示事件发生成功或失败
的概率。
3
参数含义
概率函数中的参数表示事件成功的概率。
示例
4
抛硬币的结果为正或反。
泊松分布
定义
用于描述单位时间（或单位空间）上某个事件 发生次数的概率模型。
参数含义
参数表示在单位时间（或单位空间）内发生事 件的平均次数。
概率密度函数
描述事件发生次数的概率分布。
几种常见概率分布
• P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005
• P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063
• P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133
P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
k=0Βιβλιοθήκη 项分布的性质Today: 2019/10/13
m
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) =
C
k n
p
k
q
n
k
k=0
n
P(X ≥m) = Pn (k ≥m) = Ckn pkqn-k
k=m
P(m1 ≤X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
m2
Cnk pk qn-k (m1 ≤m2 ) k m1
χ服从正态分布,记为χ～(µ,σ2).相应的概率分布函
数为
F(x) = 1
e x
－(x－μ) 2 2σ2
σ 2 π －∞
（二）特征 正态分布密度曲线是以χ =µ
为对称轴的单峰、对称的悬 钟形； f(x)在χ =µ处达到极大值,极 大值为 f（μ）= 1
σ 2π
f(x)是非负数，以x轴为渐进 线；
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。因 此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
Today: 2019/10/13
（二）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如
阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类 资料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。
几种常见的概率分布率分解课件
均匀分布的定 义
均匀分布是一种概率分布，其特点是随机变量在一定区间内取值的可能性是等可 能的。
在数学表达上，如果一个随机变量X服从某个区间[a, b]上的均匀分布，则其概率 密度函数f(x)可以表示为f(x)=1b−a，当x∈[a,b]时，f(x)=0，当x∉[a,b]时。
均匀分布的特点
均匀分布的期望值E(X)和方差Var(X) 分别为(a+b)/2和(b-a)^2/12。
泊松分布在生活中的应用
02
01
03
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变过程中粒 子发射的次数。
在统计学中，泊松分布常用于二项分布的近似，当试 验次数很大而事件发生的概率很小时。
在计算机科学中，泊松分布在处理网络流量和计算机 系统中的任务调度等问题时非常有用。
04
二项分布
二项分布的定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试 验中成功的次数。
指数分布的期望值和方差是有限的，分别为1/λ和1/λ^2，其中λ是概率密度函数的 参数。
指数分布在生活中的应用
指数分布在可靠性工程中广泛应 用，用于描述产品寿命、故障间
隔时间等。
在排队论中，指数分布用于描述 顾客到达和服务时间等随机变量。
在保险精算中，指数分布用于计 算保费和准备金。
06
均匀分布
几种常见的概率分布率分解课 件
CONTENCT
录
• 概率分布率概述 • 正态分布 • 泊松分布 • 二项分布 • 指数分布 • 均匀分布
01
概率分布率概述
概率分布率的定 义
概率分布率
表示随机变量取值的概率规律。
定义方式
对于离散随机变量，概率分布律为P(X=xi)=pi，i=1,2,3...；对于连续随机变量， 概率分布函数为P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为概率密度函数。
常用概率分布【优质课件】
特选课件
52
例 如：
已知某地120名20岁男大学生身高均数
＝172.90cm，标准差s=4.09cm。
（1）身高在182cm以上者占该地20岁男 大学生总数的百分数？
（2）身高在165－175cm者占该地20岁男 大学生总数的百分数？
一共有C1300次摸到黄球
100次摸到3次黄球的概率
C3 100
0.430.697
特选课件
8
n次实验中摸到x次黄球的概率：Cnx 0.4x0.6nx
三个特点： ①二分类：每次摸球只有二种可能的结果，
或黄球或白球； ②独立：各次摸球是彼此独立的； ③重复：每次摸到黄球（或摸到白球）的概
特选课件
19
2、二项分布的均数与方差、标准差
特选课件
20
(1)以阳性数计算：
已知二项分布的π ，n，则阳性事件的
均数 µ＝ nπ
方差 б 2 ＝ nπ (1-π )
标准差 б ＝ n (1 )
特选课件
21
(2)以率计算
则平均阳性率 µ＝π
（即样本率的均数为总体率π ）
方差б 2＝π (1-π )/n
2.这个变量可能值的出现各具有一定的
概率。
特选课件
5
概 念与定理：
组合(combination):从几个元素中抽取 x个元素组成一组（不考虑其顺序） 的组合方式个数，记Cnx
几个相互独立事件同时发生的概率 等于各独立事件的概率之积。
特选课件
6
1. 摸球模型
一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球， 我们进行摸球游戏，每次摸1球，然后放回再摸。 先后摸100次，摸到零次黄球的概率？
《常用概率分布》PPT课件
n=20，π=0.5
π=0.5时,不同n值对应的二项分布
n=5，π=0.3
n=10，π=0.3
n=30，π=0.3
π=0.3时,不同n值对应的二项分布
二项分布图的形态取决于π和n,高峰在µ= πn处
➢ 当π=0.5,图形是对称的； ➢ 当π≠0.5,图形不对称；π离0.5愈远,对称性愈差,
但随着n的增大,分布趋向于对称.
〔2〕其中最少有2人感染的概率有多大？
解：P(x ≥ 2)= x1=5∑02 C150x 0.13x(0.97)150-x
= 1 -（C1500 0.130 × 0.97150 +C1501 0.131 × 0.97149） ≈1
〔3〕其中最少有20人感染的概率有多大？
解：P(x ≥
150
20)=
∑C150x
第一节 二项分布及其应用
1.1 二项分布的概念和函数 1.2 二项分布的特征 1.3 二项分布的应用
一、二项分布的概念 和概率函数
摸球模型
一个袋子里有5个乒乓球,其中2个黄球、3个白球, 我们进行摸球游戏,每次摸1球,放回后再摸.先后摸 100次,请问：
⑴摸到0次黄球的概率是多大？
解：① 每次摸到白球的概率 =0.6
〔1〕至多有4人患先天性心脏病的概率是多少？ 〔2〕至少有5人患先天性心脏病的概率是多少？
举例2：实验室显示某100cm2的培养皿中平均菌落数为6
个,试估计<1>该培养皿中菌落数小于3的概率,
<2>大于1个的概率.
解析：菌落长、不长
二项分布
长概率很小, n很大
Poission分布
故:
=nπ=6 (1) P(x＜3)=
第章几种常见的概率分布律
3
4
12 36 0.218750 7.000000
4
12
48 192 0.273437 8.749984
5
6
30 150 0.218750 7.000000
6
5
30 180 0.109375 3.500000
7
2
14 98 0.031250 1.000000
8
0
0 0 0.003906 0.124992
总数
14.04.2020
N＝32
139 665 0.999999 31.99968
.
16
3.1.3 二项分布应用实例
样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方
差如下：
x
fx
139
4.343750
N 32
n
8
1 2
4.000000
2
fx2
fx
665 1392
s2
N
32 1.974798
在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次
14.04.2020 数恰好等于指定数值的. 概率；填入1（或TRUE）表 14
3.1.3 二项分布应用实例
例1 以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，隐性纯合 子小鼠wvwv为母本杂交（wv波浪毛，Wv直毛）， 后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选8只 的，多于8只和少于8只的都淘汰。利用下面的公式 或者Excel 可以计算直毛后代出现的概率：
第2步：在Excel表格界面中，直接点击“f(x)”(插入函数)命 令
第3步：在复选框“函数分类”中点击“统计”选项，在 “函数名”
中点击“BINOMDIST”选项，然后确定
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。
比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。
均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。
2. 正态分布正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。
正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。
正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。
在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。
泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。
4. 指数分布指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。
指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。
这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。
在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。
除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种分布都有其独特的特点和应用领域。
在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。
概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。
通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
第4章 几种常见的概率分布
6. 正态分布的单双侧临界值
面积为，已知 上侧临界值 P(U> u )= α ，下侧临界值 P (U <- u )= α (附表 3 上侧临界值)
若将一定曲线下面积α，平分到两侧尾区，则每侧曲线下面积为α/2,
即 P(
U U 2
)=
α,
U 这时的
U
2
称为α的双侧临界值。
面积为，已知
u 称为的上侧临界值。 附表3 （256页）给出了u的值。
N(0，1)
x=0 时，φ(x) 达到最大值
(1) 关于点（0，0.5）对称，该点也
是它的拐点
(2)x 取值离原点越远，φ (x) 值越小 (2) 曲线以 y = 0 和 y = 1 为渐近线；
(3)关于 y 轴对称，即φ(x)= φ (- x)
(3) Ф(1.960)－Ф(－1.960) = 0.95
种变量有它各自的概率而组成一个分布。这个分布就叫做二项概率分布，或简称二项分布
（binomial distribution) 由此得到计算二项分布任何一项概率的通式为：p(x) =Cnx φ
x(1- φ)n-x
二项分布是一种离散型随机变量的概率分布
性质
n
Cnx x (1 )nx 1
x0
m
一指定时间范围内或在指定的面积或体积内某一事件出现的个体数的分布 泊松分布是一种离散型随机变量的概率分布
实例 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形数，共记录 200 窝， 畸形仔猪数的分布情况如下表所
示。试判断畸形仔猪数是否服从泊松分布。 畸形仔猪数统计分布
解：根据泊松分布的平均数与方差相等这一特征，若畸形仔猪数服从泊松分布，则由观察数 据计算的平均数和方差就近于相等。样本均数和方差 S2 计算结果如下：
2第四章 常用概率分布PPT课件
P(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x n=20,π=0.3
图4-2 π=0.3时, 不同n值对应的二项分布
二项分布的特征
1．二项分布的图形特征：取决于 与 n 均数在 = n 处 接近0.5时，图形是对称的； 离0.5愈远，对称性愈差
至少有2名感染钩虫的概率有多大？
P ( X 2 ) 1P 5 ( X 0 ) 150 1!50 .1 0 X ( 1 3 0 .1 ) 1 3 X 50
X 2
X 2 X ! ( 1 5 X )0 !
1 [ P ( X 0 ) P ( X 1 ) 1 ] [ 8 .4 1 7 10 0 1 .8 1 0 8 ] 0 1
随着n的增大，分布趋于对称
n→∞时，只要 不太靠近0或1，二项分布 近似于正态分布（n 和 n(1－) 都大于5时）
２．二项分布的均数和标准差 B(n,π)
出现阳性结果的次数 X
总体均数
n
总体方差
2n(1)
总体标准差 n(1)
出现阳性结果的频率 p
X n
总体均数
p
总体标准差
p
(1)
n
二、二项分布的应用
第2次摸到白球的概率 = 0.6 ……
第100次摸到白球的概率 = 0.6 (3) 100次摸到零次黄球的概率 =(0.6)(0.6)…(0.6)
= (0.6)100
摸球模型
先后100次，摸到3次黄球的概率有多大？ (1)每次摸到黄球的概率= 0.4 (2)黄黄黄白白白白白白…白 概率= (0.4)3(0.6)97
x n=3,π=0.3
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几种常见的概率分布
一、 离散型概率分布
1. 二项分布
n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布
应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的
平均数： (Y)np X E μ==
方差与标准差：2(1)X np P σ=-
;X σ=特例：（0-1）分布
若随机变量X 的分布律为
1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0<p<1,
则称X 服从参数p 的（0-1）分布
2. 泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间和时间里稀有事件发生次数的概率分布
泊松分布变量x 只取零和正整数：0、1、2…..其概率函数为：
(x)!x
p e x μμ-=
泊松分布的平均数：(x)E μμ==
泊松分布的方差和标准差：2σμ=
、σ=
3. 超几何分布 P(X=k)=k n k M N M n N C C C -- 记X~（N ，M ，n ） P=M N
期望：E(X)=np
方差：D(X)=np(1-p)1
N n N -- 适用范围：多次完全相同并且相互独立的重复试验，如果在有限总体中不重
复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票
二、 连续型概率分布
1. 均匀分布
若随机变量X 具有概率密度函数
(x)f =
则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b)
在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为
0F(x),1
x a x a a x b b a b x ⎧<⎪-⎪=≤<⎨-⎪≤⎪⎩
2指数分布
若随机变量X 具有概率密度函数,0(x)0,0
x e x f x λλ-⎧≥=⎨<⎩ 其中0λ> 是常数，
则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为
1,0(x)0,0
x e x F x λ-⎧-≥=⎨<⎩
3.正态分布
正态随机变量X 的概率密度函数的形式如下：
22(x )2(x),f x μδ--=-∞<<∞
式中，μ 为随机变量X 的均值；2δ 为随机变量X 的方差。
通常对具有均值μ，方差为2δ的正态概率分布，记为N （μ，2δ）。
于是有正态随机变量X~N （μ，2δ）。
1,;0,a x b b a ⎧<<⎪-⎨⎪⎩其他
4.2χ 分布
如果从标准正态分布N （0，1）的总体中得到n 个随机变量分别为12n ,....,X X X ，
时，则由2i X ∑ 得到的分布叫做自由度为n 的2χ 分布，记为2~n X χ（）
2~n X χ（） 。
2χ分布的数学期望和方差分别为：
E （X ）= n ，D （X ）=2n
关于2χ分布的加法定理。
设12,....k X X X ，
，是相互独立的随机变量，且2~(n ),i 1,2,....,i i X k χ=则
2121~(n n ...n )k i
k i X χ=++∑
2χ分布与N （0，1）分布有如下关系：
设12n ,....X X X ，是相互独立的随机变量，并且i X ~（0，1），i=1，2，…n ，则 221~(n)n
i
i X χ=∑ 5.t 分布
设X~N （0,1），2~(n)Y χ ，X 与Y 相互独立，则随机变量
t =
遵从n 个自由度的t
分布，记为~(n)t t =。
t 分布的数学期望和方差如下：
当n>2时，E(t)=0,D(t)=2
n n - t 分布的图形是对称的。
当n<30时，t 分布的分散程度比标准正态分布大，密度函数曲线比较平缓，随着n 的增大，t 分布逐渐逼近标准正态分布。
当n →∞ 时，t 分布渐近标准正态分布。
6.F 分布
设随机变量21~(n )X χ ，22Y ~(n )χ，且X 与Y 相互独立，则称随机变量
12
//X n F Y n 遵从自由度为12(n ,n ) 的F 分布，记作F~F 12(n ,n )
F 分布的形状为正偏态分布状，但随着12n ,n 的增大，其概率密度曲线的偏斜度虽有所缓减却仍保持偏态分布，并不以正态分布为其极限分布形式。
如果~(n)t t ，则2~(1,n)t F 如果12211~F(n ,n ),~F F
F
则（n ,n ） 。