苏州市高三教学调研数学试卷及答案
2024届苏州高三上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题+答案

苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学模拟试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 1Ax x =≤,{}2,2x B y y x ==≤,则( )A. A B B ∪=B. A B A ∪=C. A B B =D. ()A B R ∪=R 2.已知复数z 满足i 13i z =+(其中i 是虚数单位),则z 的虚部是( ) A .-1B .1C .i −D .i5.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为*,,,n S m r t ∈N ,记p :,,m r t S S S 为等差数列;q :对任意6.在平面直角坐标系xOy 中,设,αβ都是锐角,若,,αβαβ+的始边都与x 轴的非负半轴重合,终边分7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线1x my =+与C 交于A ,B 两点,与其准线交于点D ,若A .0B .1C .2D .3二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知一组样本数据12,,,n x x x 为不全相等的n 个正数,其中4n ≥,若由()321,2,,k k y x k n =−= 生成一组新的数据12,,,n y y y ,则这组新数据与原数据中可能相等的量有( ) A .极差B .平均数C .中位数D .标准差A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④12.下列物体,能够被半径为2m 的球体完全容纳的有( )A .所有棱长均为3m 的四面体B .底面棱长为1m ,高为3.6m 的正六棱锥C .底面直径为1.6m ,高为3.8cm 的圆柱D .上、下底面的边长分别为1m,2m ,高为3m 的正四棱台三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.如图所示,四边形ABCD 为圆柱ST 的轴截面,点Р为圆弧BC 上一点(点P 异于B ,C ). (1)证明:平面P AB ⊥平面P AC ;(2)若26AB BP PC ===,AM AC λ=(01λ<<),且二面角P BM C −−的λ的值.20.某公司为激励员工,在年会活动中,该公司的()3n n ≥位员工通过摸球游戏抽奖,其游戏规则为:每位员工前面都有1个暗盒,第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球,这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球,并将这个球放入第2个暗盒里,第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里,依次类推,第n 1−位员工再从第n 1−个暗盒里面取出1个球并放入第n 个暗盒里.第n 位员工从第n 个暗盒中取出1个球,游戏结束.若某员工取出的球为红球,则该员工获得奖金1000元,否则该员工获得奖金500元.设第()1i i n ≤≤位员工获得奖金为i X 元.(1)求21000X =的概率;(2)求i X 的数学期望()i E X ,并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大. 21.已知函数2()(1)e x f x x ax =−+,a ∈R . (1)讨论()f x 的单调性;(2)当1a <−时,若()f x 的极小值点为0x ,证明:()f x 存在唯一的零点1x ,且10ln 2x x −≥.22.设函数()()1e xf x k x x =−+,其中e 为自然对数的底数,k ∈R(1)若()f x 为R 上的单调增函数,求实数k 的取值范围; (2)讨论()f x 的零点的个数.苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学模拟试卷参考答案1【答案】A【分析】根据对数函数的性质求出集合A ,由指数函数的性质求出集合B ,即可得到A B ⊆,即可得解. 【详解】由2log 1x ≤,则22log log 2x ≤,所以02x <≤,所以{}{}2log102Ax x x x =≤=<≤,又{}{}2,204x By yx y y ==≤=<≤,所以A B ⊆,则A B B ∪=,A B A = .故选:A .112422S AB CD d =⋅=⋅−222对于B,底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆的半径为并设此时的外接球的半径为对于C,圆柱的底面半径为所以22R0.8 1.9 4.25=+=对于D,正四棱台中,上底面的对角线长为下底面的对角线长为22m当球心在下底面上或下方时,球心到下底面的距离为2故选:ABD.【点睛】思路点睛:本题解题的思路是利用空间几何体的结构特征、外接球结合每个选项的条件,逐一对因为I 为12MF F 的内心,由角平分线的性质可知||||MA MB =,11||||F A F D =,22||||F D F B =,所以212211|||||||||||||2|||MB F B M MF MF A F A F D F D a +−−−−===,因为12||2F F c =,所以1||F D c a =−,2||F D a c =+,所以1212211||tan ||||121||tan ||11ID IF F F D F D c a e ID IF F F D c a e e λ∠++======+∠−−−,19.【答案】(1)证明见解析(2)23λ=【解析】【分析】(1)先根据直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质得出:PC PB ⊥,AB PC ⊥;再根据线面垂直的判定定理证得:PC ⊥平面P AB ;最后根据面面垂直的判定定理即可证明.(2)先建立空间直角坐标系,写出点的坐标,依据向量共线求出点()000,,M x y z ;再求出平面PBM 与平面BMC 的法向量;最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解.【小问1详解】证明:∵ P 为圆弧BC 上一点,BC 为圆S 直径,∴PC PB ⊥,∵在圆柱ST 中,AB ⊥平面BCP ,PC ⊂平面BCP ,∴AB PC ⊥,∵PB AB B ∩=,PB ⊂平面P AB ,AB ⊂平面P AB ,∴PC ⊥平面P AB ,∵PC ⊂平面P AC ,∴平面PAB ⊥平面P AC .【小问2详解】以点B 为坐标原点,BC 、AB 所在直线分别为y 轴、z 轴,在平面BCP 以过点B 且垂直于BC 的直线为x 轴、建立空间直角坐标系,如图所示:因为26AB BP PC ===,sin PBC∠==所以()0,0,0B,()0,0,6A,()C,()6,6sin cos,0PBCP PBC∠∠,即P设()000,,M x y z,由AM ACλ=得:()()000,,66x y zλ−=−,即66xyzλ===−,∴BP=,(),66BMλ=−.设平面PBM的一个法向量()1111,,n x y z=,∴()1111660x yy zλ+=+−=,令11y=−,得12,n=−.∵x轴⊥平面BMC,∴平面BMC的一个法向量()21,0,0n=,∴1212n nn n⋅=,解得:23λ=.由22128y kx x y =− −= ,得(22k −2)的一元二次方程,必要时计算;。
2024届苏州高三上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题答案

苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学模拟试卷参考答案1【答案】A【分析】根据对数函数的性质求出集合A ,由指数函数的性质求出集合B ,即可得到A B ⊆,即可得解. 【详解】由2log 1x ≤,则22log log 2x ≤,所以02x <≤,所以{}{}2log 102Ax x x x =≤=<≤,又{}{}2,204x By yx y y ==≤=<≤,所以A B ⊆,则A B B ∪=,A B A = .故选:A .3.【答案】D 【分析】根据向量垂直得到9a b ⋅=−,再根据投影向量的公式计算得到答案.【详解】()a a b ⊥+ ,则()290a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= ,故9a b ⋅=−,b 在a 方向上的投影向量299a b a a a a⋅−⋅=⋅=−.一定不在()f x 上,y x =+为112422S AB CD d =⋅=⋅−2对于B,底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆的半径为并设此时的外接球的半径为对于C,圆柱的底面半径为所以22R=+=0.8 1.9 4.25对于D,正四棱台中,上底面的对角线长为下底面的对角线长为22m当球心在下底面上或下方时,球心到下底面的距离为2故选:ABD.因为I 为12MF F 的内心,由角平分线的性质可知||||MA MB =,11||||F A F D =,22||||F D F B =,18.【答案】(1)2(1)n n a n n =+−;(2)3045 【详解】(1)2(1)n n n b a n =−−,可得111b a =+,224b a =−,代入111a b +=,228a b +=中, 可得11b =,22b =,而数列{}n b 是等差数列,所以{}n b 公差21211d b b =−=−=, 所以数列{}n b 的通项公式1(1)1(1)1n b b n d n n =+−=+−⋅=, 所以22(1)(1)n n n n a b n n n =+−=+−; 即{}n a 的通项公式2(1)n n a n n =+−; (2)由(1)可得2(1)n n a n n =+−,10a =, 所以222212(2)21(21)0n n a a n n n n ++=+++−+=,可得211232221().....()00....00n n n S a a a a a −−−=+++++=+++=, 所以当n 为奇数时,0n S =,故1,3,5,....109都是集合A 中的元素, 由2221202(2)2(21)n n n S S a n n n n −=+=++=+, 所以当n 为偶数时(1)n S n n =+,{|110A n n = 且100}n S ,所以(1)100n n + ,可得9n ,所以2,4,6,8为集合A 中的元素,19.【答案】(1)证明见解析 (2)23λ= 【解析】【分析】(1)先根据直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质得出:PC PB ⊥,AB PC ⊥;再根据线面垂直的判定定理证得:PC ⊥平面P AB ;最后根据面面垂直的判定定理即可证明.(2)先建立空间直角坐标系,写出点的坐标,依据向量共线求出点()000,,M x y z ;再求出平面PBM 与平面BMC 的法向量;最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解. 【小问1详解】证明:∵ P 为圆弧BC 上一点,BC 为圆S 直径,∴PC PB ⊥, ∵在圆柱ST 中,AB ⊥平面BCP ,PC ⊂平面BCP ,∴AB PC ⊥, ∵PB AB B ∩=,PB ⊂平面P AB ,AB ⊂平面P AB , ∴PC ⊥平面P AB ,∵PC ⊂平面P AC , ∴平面PAB ⊥平面P AC . 【小问2详解】以点B 为坐标原点,BC 、AB 所在直线分别为y 轴、z 轴,在平面BCP 以过点B 且垂直于BC 的直线为x 轴、建立空间直角坐标系,如图所示:因为26ABBP PC ===,则BC =sin PBC ∠==所以()0,0,0B ,()0,0,6A,()C ,()6,6sin cos ,0PBC P PBC ∠∠,即P设()000,,M x y z ,由AM AC λ=得:()()000,,66x y z λ−=−,即000066x y z λ== =−,∴BP =,(),66BMλ=− .设平面PBM 的一个法向量()1111,,n x y z =,∴()11110660x y y z λ+= +−=,令11y =−,得12,n =−. ∵x 轴⊥平面BMC ,∴平面BMC 的一个法向量()21,0,0n =, ∴1212n n n n ⋅=,解得:23λ=.20.【详解】(1)设每件产品的销售利润为ξ元,则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5, 由直方图可得,A ,B ,C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4, 所以,( 1.5)0.15P ξ==,( 3.5)0.45P ξ==,( 5.5)0.4P ξ==, 所以随机变量ξ的分布列为:ξ1.5 3.5 5.5 P0.150.450.4所以, 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=×+×+×=,故每件产品的平均销售利润为4元;(2)()i 由b y a x =⋅得,()b lny ln a x lna blnx =⋅=+,令u lnx =,lny υ=,c lna =,则c bu υ=+,由表中数据可得,0.41ˆ0.251.64b ==, 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955c buυ=−=−×=, 所以,ˆ 4.1590.25u υ+,即14.1594ˆ 4.1590.25()lny lnx ln e x =+=⋅,因为 4.15964e=,所以14ˆ64yx = ()ii 设年收益为z 万元,则14()256z E y x x x ξ=⋅−=−,设14t x =,4()256f t t t =−, 则33()25644(64)f t t t ′=−=−,当(0,4)t ∈时,()0f t ′>,()f t 在(0,4)单调递增, 当(4,)t ∈+∞时,()0f t ′<,()f t 在(4,)+∞单调递减, 所以,当4t =,即256x =时,z 有最大值为768,即该厂应投入256万元营销费,能使得该产品一年的收益达到最大768万元.由22128y kx x y =− −= ,得(22k −。
2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期开学调研数学试题及答案

2025届高三年级期初阳光调研试卷数学2024.9注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本卷共4页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题).本卷满分150分,答题时间为120分钟.答题结束后,请将答题卡交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若i 是虚数单位,则2i i -=A.12i - B.12i -- C.12i + D.12i-+2.已知集合{}26A x x =≤<,{}240B x x x =-<,则A B =A.()0,6B.()4,6C.[)2,4D.()[),02,-∞+∞ 3.将函数()sin f x x =的图象先向左平移4π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12,得到函数()y g x =的图象,则2g π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.1 D.-14.已知向量()1,1a =- ,()22,b x x =- ,则“2x =-”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心,人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛,共500人参加,若参赛学生成绩的第60百分位数是80分,则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为B.127.已知函数()()e e 1x f x x a =+--(e 为自然对数的底数),()()ln ex g x x a =-的零点分别为1x ,2x ,则12x x 的最大值为 B.A.e 1e D.C.12e 8.在平面直角坐标系xOy 中,A ,B 为双曲线22:1C x y -=右支上两点,若6AB =,则AB 中点横坐标的最小值为A.D.163二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研考试数学试题

苏州市2023~2024学年第一学期高三期中调研试卷数 学2023.11一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.下列条件中,使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A .>a bB .11>a bC .22>a bD .ln ln >a b2.已知集合2{650}=-+<A x x x ,{}=<B x x a ,且=A B A ,则实数a 的取值范围为3.已知4cos 35-πα(=,则sin 6+πα()的值为A .45-B .35-C .35D .455.在△ABC 中,3=A π,AB AB ,则sin =C A B C D注 意 事 项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本卷共6页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题).本卷满分150分,答题时间为120分钟.答题结束后,请将答题卡交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.6.已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ,则A .1e ,1-==-a bB .1e ,1-==a bC .e,1==-a bD .e,1==a b7.满足2{}{,}==x m x n y y x m x n …………的实数对m ,n 构成的点(,m n )共有二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,都有多个选项是正确的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.10.函数()tan 4=-f x x π(2),则A .()f x 的一个周期为2πB .()f x 是增函数C .()f x 的图象关于点3π(,0)8对称 D .将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象 11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱AB ,1AA 的中点,点P 在对角线1A B 上,则A .三棱锥-P CEF 体积为16 B .点P 到平面CEF 的距离为23C .1APD P +的最小值为 D .四面体BCEF 外接球的表面积为14π12.对于数列{}n a ,若存在正数M ,使得对一切正整数n ,都有n a M ≤,则称数列{}n a 为有界数列;若这样的正数M 不存在,则称数列{}n a 为无界数列.下列说法正确的有三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上. (第14题图)(第15题图).如图,一个半径为3的半圆,C 、两点为直径AB 的三等分点,E 、F 两点为弧等分点,则⋅CF DE= ▲ .已知函数2()33=--f x x ,若m 的取值范围为 ▲ . (本小题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .(1)求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合;(2)若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数,求m 的最小值.▲▲▲18. (本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65;②D 为BC 中点,AD ;③AH 为BC 边上的高,AH 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题. △ABC 中,角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,已知b =2,2cos 3cos =-A a B . (1)求c ; (2)若,求∠BAC 的大小.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.▲▲▲19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥-P ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AD BC ∥,2=AD BC ,090∠=DAB ,平面⊥PDB 平面ABCD ,⊥AC BD ,⊥AB PD ,1=BC ,2=PD . (1)求证:⊥PD 平面ABCD ; (2)求二面角--D PC B 的余弦值.▲▲▲20.(本小题满分12分)▲▲▲21.(本小题满分12分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11=a ,21221++=++n n S S n n . (1)求{}n a 的通项公式;(2)若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ,求数列{}n b 的前n 项和n T .▲▲▲22.(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x .(1)若()f x 在区间(1,2)上有极值,求实数a 的取值范围;(2)当01<<a 时,求证:()f x 有两个零点1x ,2x 12()≠x x ,且12()()0''+<f x f x .▲▲▲2023~2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案DCDBDACB二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.题 号 9 10 11 12 答 案ADACBCDABD三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.13.20 ; 14; 15.12; 16.( ,(3,3)-四、解答题:本大题共6小题,共计70分.17.(本小题满分10分)解:(1)因为()sin 2sin()2223π==+x x x f x ,…………………………………………… 2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时,f (x )取得最小值-2, ……………… 4分 所以f (x )的最小值为-2,此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z . ……………… 5分(2)设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ,则()2sin(23-π=+x m g x ,因为()g x 为偶函数,所以()()-=g x g x ,即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ,所以sin cos(0223π-+=x m 恒成立,所以,232ππ-+=+π∈m k k Z , ……………………… 8分所以2,3π=--π∈m k k Z , ………………………………………………………………… 9分又因为0>m ,所以min 53π=m . …………………………………………………………… 10分18.(本小题满分12分)解:(1)由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-,即cos cos 3+=b A a B ,……… 2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac, (4)分所以3c =. …………………………………………………………………………………… 5分 (2)若选①,记∠BAC=2θ,∠BAC 的平分线交BC 于D ,则有=+ABC ABD ACD S S S △△△, ………………………………………………………………………………………… 6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ, (7)z分即12186sin 2sin sin 55=+θθθ 即sin 2sin =θθ,所以2sin cos sin =θθθ, ……………… 9分因为(0,2∈πθ,所以sin 0≠θ 从而1cos 2=θ即3=πθ,………………………………… 11分所以23∠=BAC π. …………………………………………………………………………… 12分若选②,由于D 为BC 中点,所以1()2=+AD AB AC , ………………………………… 6分即22242=+⋅AD AB AC, ………………………………………………………… 7分又因为= AD ,3=AB ,2=AC ,所以3⋅=-AB AC , …………………………… 9分即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC,所以1cos 2∠=-BAC , …………………………………… 11分又因为(0,)∠∈BAC π,所以23∠=BAC π. ……………………………………………… 12分若选③,由于AH 为BC 边上的高,在t R BAH △中,2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ,所以=BH ,…………… 7分在t R CAH △中,222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ,所以=CH …………… 9分所以=+=BC BH CH由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC ,………………………… 11分又因为(0,)∠∈BAC π,所以23∠=BAC π. ……………………………………………… 12分19.(本小题满分12分)解:(1)因为平面⊥PDB 平面ABCD ,平面PDB 平面ABCD =BD ,⊥AC BD ,⊂AC 平面ABCD所以AC ⊥平面PDB ,………………………………………………………………………… 1分 又因为⊂PD 平面PDB ,所以AC ⊥PD , ………………………………………………… 2分 又因为⊥AB PD ,=AC AB A ,⊂AC 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,所以PD ⊥平面ABCD ,……………………………………………………………………… 4分 (2)由(1)知PD ⊥平面ABCD ,又AD ⊂平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , 所以PD ⊥AD ,PD ⊥AB ,过A 引AZ PD ∥,则有AZ ⊥AD ,AZ ⊥AB , 又因为090∠=DAB ,即AD AB ⊥,以A 为原点,以AB 为x 轴,以AD 为y 轴,以AZ 为z 轴建立空间直角坐标系, …… 5分设(0)=>AB t t ,则)0,0,0(A ,)0,0,(t B ,)0,1,(t C ,(0,2,0)D ,(0,P , 所以)0,1,(t AC =,)0,2,(t BD -=,)2,0,0(=DP , 由于⊥AC BD ,所以⋅AC 0=BD ,所以22=t ,即=t ,……………………………………………………………………… 7分 从而)0,1,2(C ,则)0,1,2(-=DC ,……………………………………………………… 8分设平面PDC 的一个法向量为),,(z y x n =,则有00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DP n DC ,,即00=-=y ,,取1=x ,解得⎧=⎨⎩y z即0)=n , ……………………………………………… 9分同理,可求得平面PBC 的一个法向量为)1,0,1(=m , ………………………………… 10分所以|cos ,||<>==m n ………………………………………………………… 11分 设二面角B PC D --的平面角为θ,θ为钝角,所以二面角的平面角余弦值为. ………………………………………… 12分20.(本小题满分12分)解:(1)因为2()2=-+x f x e x x ,所以()22'=-+xf x e x , ……………………………………… 1分()()22'==-+x m x f x e x 令,则()2'=-x m x e ,当(,ln 2)∈-∞x 时,()0'<m x ;当(ln 2,)∈+∞x 时,()0'>m x .所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减,在(ln 2,)+∞上单调递增.所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m , ………………………………………………………… 3分 即()0'>f x 恒成立,所以()f x 的单调递增区间为()-∞+∞,无单调递减区间.………………………………… 5分(2)由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立, 即2221-+>-+xe x x x ax 恒成立,即1e>+-xa x x x 在区间(0,)+∞上恒成立,……………… 6分 令1e()=+-xg x x x x ,(0,)∈+∞x ,只需max ()>a g x ,…………………………………………… 7分 有222(1)(1e )1e e ()1-+--'=-+-=xx x x x g x x x x ,(0,)∈+∞x ,…………………………………… 8分令()1e =+-x h x x ,[0,)∈+∞x ,有()1e 0'=-xh x ≤,从而()(0)0=h x h ≤, ………………… 9分所以当(0,1)∈x 时,()0'>g x ;当(1,)∈+∞x 时,()0'<g x ,所以()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减, …………………………………… 10分 所以()(1)2e ==-g x g m ax , ………………………………………………………………… 11分 所以2>-a e . ………………………………………………………………………………… 12分B PCD --21.(本小题满分12分)解:(1)法一: 当1n =时,215S S +=,即2125a a +=,由11a =,得23a =,由21221n n S S n n ++=++,得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥,两式相减得:14(2)++=n n a a n n ≥.又214a a +=,满足上式.所以当*n N ∈时,14n n a a n ++= ,………………………………………………………… 1分又当2n ≥时,14(1)n n a a n -+=-,两式相减得:114(2)+--=n n a a n ≥,………………………………………………………… 2分所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项,4为公差的等差数列,所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n (n 为奇数), …………………………………… 3分 数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项,4为公差的等差数列,所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n (n 为偶数), …………………………………… 4分 所以21=-n a n ,即{}n a 的通项公式是21n a n =-.………………………………………… 5分法二:因为21221++=++n n S S n n ,所以22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- nn n S n S n S , ……… 2分因为2110-=S ,所以20n S n -=,即2n S n =,……………………………………………… 3分当2n ≥时,221(1)21nn n a S S n n n -=-=--=- ,………………………………………… 4分 当1=n 时,11a =适合上式,所以{}n a 的通项公式是21n a n =-. ………………………… 5分 (2)因为1(1)n n n n b b a ++-=,所以:当*21()n k n N =-∈时,221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-……①当*2()n k n N =∈时,212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-……②①、②两式相减得:21212(1)+-+=k k b b k ≥,………………………………………………… 6分因为11b =,312b b +=,所以31b =,因为21212(1)+-+=k k b b k ≥,所以当n 为奇数时,1n b =,………………………………… 7分当n 为偶数时,112(1)123n n n b b a n n ---==--=-,所以1123122n n b a n n -=+=-+=-,………………………………………………………… 8分 所以1,22,n n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数, ………………………………………………………………… 9分(i)当n 为偶数时,213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n .………… 10分 (ii)当n 为奇数时,2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122=-+n n . ……… 11分 综上, 22111,221122⎧-+⎪=⎨+⎪⎩n n n n T n n n 为奇数,为偶数. ……………………………………………………… 12分22.(本小题满分12分)解:(1)因为2()(2)ln f x ax a x x =+--,(1,2)x ∈ 所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x, ………………………… 1分 ①当0a ≤时,()0f x '<所以()f x 在(1,2)上单调递减,所以()f x 在(1,2)上无极值点,………………………… 2分②当0a >时,当1(0,∈x a 时,()0f x '<;当1(,)∈+∞x a 时,()0g x '>, 所以()f x 在1(0,)a 上单调递减,在1(,)+∞a 上单调递增. 所以()f x 的极小值点为1a ,无极大值点, 因为()f x 在(1,2)上有极值,所以1(1,2)∈a , 所以 112<<a . …………………………………………………………………………… 4分 (2)当01a <<时,(21)(1)()+-'=x ax f x x ,0x > 由(1)知:111()()ln 1==--+f x f a a a 极小,01a <<,11>a令1=t a ,1t >,则()ln 1f t t t =--+ 因为1()10'=--<f t t ,(1,)t ∈+∞恒成立,所以()f t 在(1,)+∞上单调递减 所以()(1)0f t f <=即1()(0=<f x f a 极小, ………………………………………………… 5分 因为221212()ln 10-=+-=++->a a a a f e e e e e e e ,由(1)知:()f x 在1(0,a 上单调递减,且11()()0⋅<f f e a ,所以()f x 在1(0,)a 上存在唯一的零点1x ,使1()0f x =,…………………………………… 6分因为3(2)39333(ln 3ln -=+-=+-a f a aa a a a , 又33ln 1,01<-<<a a a,所以3()3140>+=>f a , 由(1)知()f x 在1(,)+∞a 上单调递增,且13()(0⋅<f f a a ,所以()f x 在1(,)+∞a 上存在唯一的零点2x ,使2()0f x =.所以()f x 有两个零点1x ,212()x x x ≠. ……………………………………………………… 7分下面证明12()()0f x f x ''+<:设120x x <<,则22111111112222222222()(2)ln ()2ln 0()(2)ln ()2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎨=+--=+--=⎩. 两式相减:2212121212[()()]2()(ln ln )0-+-----=a x x x x x x x x即11212122()(1)2()ln0-++---=x a x x x x x x x 所以112212122()ln ()(1)-+=-++x x x x a x x x x , ……………………………………………………………… 8分 因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a x x所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)(4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln2ln ()(1)(11112(1)(4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x ,…………… 9分 要证:12()()0f x f x ''+<,即证:1211212211()0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x , 只要证:122211112ln ((0)--+>x x x x x x ,即证:12212102ln -+>x x x x x x . …………………… 10分 令12,(0,1)=∈x t t x ,即证:1ln 02-+>t t t ,(0,1)t ∈. 令()2ln 1-=+m t t t t ,(0,1)t ∈,则22(1)112(0)----='=<m t t t t t ,(0,1)t ∈恒成立 所以()m t 在(0,1)上单调递减,所以()(1)0m t m >=. 即12212102ln -+>x x x x x x 成立,故()f x 有两个零点1x ,2x 12()≠x x ,且12()()0''+<f x f x . …………………………… 12分。
苏州市二区高三调研测试数学试题

苏州市二区高三调研测试数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题给出的四个选相中只有一个项是符合题目要求的) 1、︒︒165sin 75cos 的值是 ( ) (A)41 (B)41- (C)43 (D)43-2、已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x,则B A ⋂等于 ( )(A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210|y y (B){}10|<<y y (C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121|y y (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|y y 3、函数()x f y =的图像经过点()1,2,则的反函数的图象必过点 ( ) (A)()2,1 (B)()1,2- (C)()1,1- (D)()1,2- 4、βα、是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定平面α与β平行的是 ( ) (A)m,n 是α内的两条直线,且ββ//,//n m (B)βα、都垂直于平面γ(C)α内不共线三点到β的距离相等(D)m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n nn a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( )(A)一定是等差数列 (B)一定是等比数列(C)或者是等差数列、或者是等比数列 (D)等差、等比数列都不是 6、给出下列命题:(1)设21,e e 是平面内两个已知的向量α,则对于平面内任意的两个向量,都存在唯一的实数y x ,,使21xe xe +=α成立;(2)若定义域为R 的函数()x f 恒满足()()x f x f =-,则()x f 或为奇函数,或为偶函数。
判断下列说法正确的是 ( ) (A)(1)、(2)均为假命题 (B)(1)、(2)均为真命题 (C)(1)为真命题,(2)均为假命题 (D)(1)为假命题,(2)均为真命题7、若O 为坐标原点,抛物线x y 22=与过其焦点的直线交于A 、B 两点,则B O A O⋅等于( )(A)43 (B)43- (C)3 (D)4 8、在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5,然后把它们混合,再任意排成一行,则得到的书能被5或2整除的概率是 ( ) (A)0.8 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.2 9、已知()()4123'23=-++=f x ax x f ,若,则a 的值等于 ( )(A)319 (B)316 (C)310 (D)313 10、设n 为满足4502210<+⋅⋅⋅+++nn n n n nC C C C 的最大自然数,则n 等于 ( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 11、椭圆的一个焦点是(2,1),相应的准线方程是01=++y x ,椭圆的短轴长为24,则椭圆的另外一个焦点为 ( ) (A)(6,5) (B)()241,242++ (C)()241,242-- (D)()124,224-- 12、设函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2ππx x f ,若对任意R x ∈都有()()()321x f x f x f ≤≤成立,则21x x -的最小值 ( )(A)4 (B)2 (C)1 (D)21二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分。
江苏省苏州高三(数学)2019-2020学年第二学期调研试卷含附加题(word版含答案)

2019—2020学年苏州第二学期调研试卷高三(数学)试卷2020.03一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题..卡相应位置上....... 1.已知{1,3,4}A =,{3,4,5}B =,则A B ⋂=_______.2.若复数z 满足(12)34i z i +=-+(i 是虚数单位),则||z =_______. 3.执行如图所示的算法流程图,输出的S 的值是________.4.若数据2,x ,2,2的方差为0,则x =_________.5.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是_______.6.先把一个半径为5,弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥,再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内(假设圆锥的侧面不渗漏,且不计损耗),正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥,则此球的半径为________.7.若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为_______. 8.在ABC V 所在的平面上有一点P ,满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则PA PBPB PC⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r _______. 9.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切,则实数k 的值为________.10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,直线y =与椭圆C 交于,A B 两点,若OA OB ⊥,则椭圆离心率的值等于________.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,212a =,且当2n ≥时,1na 为n S 和1n S -的等差中项,则32S 的值为________.12.设α,θ为锐角,tan tan (1)a a θα=>,若θα-的最大值为4π,则实数a 的值为________.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点,且AB =若直线:l y x =-上存在点P ,使得PA PB OC +=u u u r u u u r u u u r,则实数a 的取值范围为________.14.已知函数()xf x e =,若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点,则实数a 的取值范围为________.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin()sin 1A B C -+=. (1)求sin cos A B 的值; (2)若2a b =,求sin A 的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ABC ︒∠=,1AB AA =,,M N 分别是AC ,11B C 的中点.求证:(1)//MN 平面11ABB A ; (2)1AN A B ⊥. 17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ,并且点⎛ ⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设斜率为k (k 为常数)的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,交x 轴于点(,0)P m ,Q 为直线2x =上的任意一点,记QA ,QB ,QP 的斜率分别为1k ,2k ,0k .若1202k k k +=,求m 的值. 18.(本小题满分16分)如图,PQ 为某公园的一条道路,一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切,记其圆心为O ,切点为G .为参观方便,现新修建两条道路CA 、CB ,分别与圆O 相切于D 、E 两点,同时与PQ 分别交于A 、B 两点,其中C 、O 、G 三点共线且满足CA CB =,记道路CA 、CB 长之和为L .(1)①设ACO θ∠=,求出L 关于θ的函数关系式()L θ; ②设2 AB x =米,求出L 关于x 的函数关系式()L x .(2)若新建道路每米造价一定,请选择(1)中的一个函数关系式,研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.19.(本小题满分16分)设()xf x ae a =-,2()g x ax x =-(a 为与自变量x 无关的正实数).(1)证明:函数()f x 与()g x 的图象存在一个公共的定点,且在公共定点处有一条公切线;(2)是否存在实数k ,使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立,若存在,求出k 的取值范围,否则说明理由. 20.(本小题满分16分)定义:对于一个项数为()*2,m m m N∈…的数列{}na ,若存在*k N∈且k m <,使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等(若仅为1项,则和为该项本身),我们称该数列是“等和数列”.例如:因为321=+,所以数列3,2,1是“等和数列”.请解答以下问题:(1)判断数列2,4-,6,8-是否是“等和数列”,请说明理由;(2)已知等差数列{}n a 共有r 项(3r …,且r 为奇数),11a =,{}n a 的前n 项和n S 满足1(1)(1)(1)n n nS n S n n n r +=+++-….判断{}n a 是不是“等和数列”,并证明你的结论.(3){}n b 是公比为q 项数为()*,3m m N m ∈…的等比数列{}n b ,其中2q ≥.判断{}n b 是不是“等和数列”,并证明你的结论.高三数学练习卷附加题21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 选修4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中,直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=,求矩阵A .B .选修4-4:极坐标与参数方程 在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程为2sin ,1cos2x y αα=⎧⎨=-⎩(α为参数).求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标.C .选修4-5:不等式选讲 已知,,x y z 均为正数,且1113112x y y z +++++…,求证:4910x y z ++…. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在三棱锥D ABC -中,DA ⊥平面ABC ,90CAB ︒∠=,且1AC AD ==,2AB =,E 为BD 的中点.(1)求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值; (2)求二面角A CE B --的余弦值. 23.(本小题满分10分)在自然数列1,2,3,…,n 中,任取k 个元素位置保持不动,将其余n k -个元素变动位置,得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . (1)求3(1)P ; (2)求440()k P k =∑;(3)证明11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑,并求出0()n nk kP k =∑的值.参考答案与评分标准一、填空题1.{3,4} 2 3.7 4.2 5.310 6 7.6 8.12- 9.1ln2+ 10 11.812.3+ 13.[22---+ 14.2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭二、解答题15.(1)因为A B C π++=,所以sin()sin A B C +=, 从而1sin()sin sin()sin()A B C A B A B =-+=-++(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )A B A B A B A B =-++2sin cos A B =,故1sin cos 2A B =; (2)由2a b =及正弦定理得,sin 2sin A B =,故1sin cos 2sin cos sin 22A B B B B ===, 且sin 2sin 1A B =…,所以1sin 2B …, 又易得a b >,从而A B >,故0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,即20,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以26B π=, 即12B π=,此时sin 2sin2sin 2sin cos cos sin 12464646A πππππππ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 16.(1)证明:取AB 的中点P ,连结PM ,1PB . 因为M ,P 分别是AB ,AC 的中点, 所以//PM BC ,且12PM BC =. 在直三棱柱111ABC A B C -中,11//BC B C ,11BC B C =, 又因为N 是11B C 的中点,所以1//PM B N ,且1PM B N =. 所以四边形1PMNB 是平行四边形, 所以1//MN PB ,而MN ⊄平面11ABB A ,1PB ⊂平面11ABB A , 所以//MN 平面11ABB A .(2)证明:因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,所以1BB ⊥面111A B C , 又因为1BB ⊂面11ABB A , 所以面11ABB A ⊥面111A B C ,又因为90ABC ︒∠=,所以1111B C B A ⊥,面11ABB A ⋂面11111A B C B A =,11B C ⊂平面111A B C , 所以11B C ⊥面11ABB A ,又因为1A B ⊂面11ABB A , 所以111B C A B ⊥,即11NB A B ⊥,连结1AB ,因为在平行四边形11ABB A 中,1AB AA =, 所以11AB A B ⊥,又因为111NB AB B ⋂=,且1AB ,1NB ⊂面1AB N , 所以1A B ⊥面1AB N , 而AN ⊂面1AB N , 所以1A B AN ⊥.17.解:(1)因为椭圆C 的两个焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F,点2⎛⎫⎪⎝⎭在此椭圆上.所以21a c ===所以1,1c a b ====所以椭圆方程为2212x y += (2)由已知直线:()l y k x m =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,()02,Q y ,由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222124220k x mk x k m +-+-=. 所以222121222422,1212mk k m x x x x k k -+==++.因为1020012012,,222y y y y yk k k x x m--===---且1202k k k +=, 所以10200122222y y y y y x x m--+=---,整理得()01221120222k km y m x x ⎛⎫--++=⎪---⎝⎭, 因为点()02,Q y 不在直线l 上,所以020k km y --≠, 所以122110222m x x ++=---,整理得()12122(2)40x x m x x m -+++=, 将2122412mk x x k +=+,221222212k m x x k -=+代入上式解得1m =,所以1m =.18.解:(1)①在Rt CDO V 中,ACO θ∠=,所以20sin CO θ=, 所以2020sin CG θ=+ 在Rt AGC V 中,20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===, 所以4040sin ()2sin cos L AC θθθθ+==其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②设AC y =,则在Rt AGC V中CG =Rt CDO V 与Rt AGC V 相似得,CO ODCA AG=,20x=,即2020x y =,即20()x y =+,即=即2()400()x y x x y -=+,化简得32400400x x CA y x +==-,322800()2400x xL x CA x +==-其中(20,)x ∈+∞(2)选择(1)中的第一个函数关系式4040sin 40(1sin )()2sin cos sin cos L AC θθθθθθθ++===研究. ()()223222240cos sin cos (1sin )cos sin 40sin sin cos ()(sin cos )(sin cos )L θθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-+-+-⎣⎦'==()()()32322222240sin 2sin 140sin sin sin 140(sin 1)sin sin 1(sin cos )(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθθθθθθθ+-++-++-===令()0L θ'=,得1sin 2θ=.令0sin θ=,当()00,θθ∈时,()0L θ'<,所以()L θ递减; 当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0L θ'>,所以()L θ递增,所以当1sin 2θ-=时,()L θ取得最小值,新建道路何时造价也最少(说明;本题也可以选择(1)中的第二个函数关系式322800()400x xL x x +=-求解,仿此给分)19.(1)证明:因为0(0)0,(0)0f ae a g =-==,所以2(),()xf x ae ag x ax x =-=-的图像存在一个公共的定点(0,0)O .因为()xf x ae '=,()2g x a x '=-,所以(0)f a '=,(0)g a '=,所以在定点(0,0)O 处有一条公切线,为直线y ax =.(2)假设存在实数k ,使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立, 即存在实数k 使得ln xk e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立. 令1()ln ,,2xh x e x x x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭,则1()ln 2,,2xh x e x x ⎡⎫'=--∈+∞⎪⎢⎣⎭,令1()ln 2,,2xm x e x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭,则111(),,2x xxe m x e x x x -⎡⎫'=-=∈+∞⎪⎢⎣⎭, 因为0,0x x e >>,且,xy x y e ==在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增, 所以xy xe =在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增, 因为112121210,11022e e e --=<⋅->, 所以存在唯一实数01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得0010x x e -=,即()00m x '=,且00x x e -=, 所以()h x '在0x 处取得最小值()00000ln 2ln 2xxx h x e x e e-'=--=--1201322022x e x e =+->+-==>, 所以()ln xh x e x x x =--在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增,所以1ln 21()22h x h -⎛⎫>=⎪⎝⎭,因为ln xk e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立,所以ln 212k -≤,所以存在ln 212k -⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立. 20.解:(1)∵2(4)6(8)+-=+-, ∴数列2,4-,6,8-是“等和数列”.(2)由*1(1)(1),n n nS n S n n n N +=+++∈,两边除以(1)n n +,得111n n S S n n +=++,即111n n S Sn n+-=+, 所以,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111S =,11n S n n n =+-=,所以,2n S n =假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等,即k r k S S S =-,所以2k r S S =∴222k r =*在*中,因为r 为奇数,所以等式的右边一定是奇数;而等式的左边22k 一定是偶数, 所以*不可能有解,从而假设错误,{}n a 不是“等和数列”.(3)设n B 为{}n b 的前n 项和假设{}n b 是“等和数列”,则存在*k N ∈且k m <,使得k m k B B B ==成立,即2k m B B =,于是()()1121111k m b q b q q q --=--成立,即21k mq q -=因为2q …,所以1212k k k q q q +-<…,又m k >,即1m k ≥+,所以1k m q q +…,所以21k m q q -<,与21k m q q -=产生矛盾.所以假设不成立,即{}n b 不是“等和数列”.21.A 解:设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点,其在矩阵2aa A b⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上,所以得220x ay bx y +++-=,与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩,解得01b a =⎧⎨=-⎩,故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.B 解:直线l的普通方程为y =,①曲线C 的直角坐标方程为21([2,2])2y x x =∈-,② 联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故P 点的直角坐标为(0,0).C 证:因为, , x y z 均为正数,所以1x +,1y +,1z +均为正数,由柯西不等式得2111[(1)4(1)9(1)](123)36111x y z x y z ⎛⎫+++++++++= ⎪+++⎝⎭…, 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时,等式成立. 因为11131112x y z +++++…, 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++⨯=…, 所以4910x y z ++…. 22.解:因为DA ⊥平面ABC ,90CAB ︒∠=,所以可以以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为1AC AD ==,2AB =,所以(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)A C B D ,因为点E 为线段BD 的中点, 所以10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)10,1,,(1,2,0)2AE BC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,所以4cos ,5||,|AE BC AE BC AE BC ⋅〈〉===-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45(2)设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =u r , 因为1(1,0,0),0,1,2AC AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r , 所以10n AC ⋅=u r u u u r ,10n AE ⋅=u r u u u r ,即0x =且102y z +=,取1y =,得0,2x z ==-, 所以1(0,1,2)n =-u r 是平面ACE E 的一个法向量.设平面BCE 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ,因为(1,2,0)BC =-u u u r ,10,1,2BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r , 所以20n BC ⋅=u u r u u u r ,20n BE ⋅=u u r u u u r,即20x y -=且102y z -+=,取1y =,得2,2x z ==, 所以2(2,1,2)n =u u r 是平面BCE 的一个法向量.所以121212cos ,n n n n n n ⋅===u r u u r u r u u r u r u u r ‖. 所以二面角A CE B --的余弦值为5- 23.(1)因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2成3,2,1或2,1,3,所以3(1)3P =;(2)44444440()(0)(1)(2)(3)(4)k P k P P P P P ==++++∑ 011112433424019860124C C C C C C =++++=++++=;(3)把数列1,2,…,n 中任取其中k 个元素位置不动,则有k n C 种;其余n k -个元素重新排列,并且使其余n k -个元素都要改变位置,则有()(0)k n n n k P k C P -=, 故00()(0)n n k nn n k k k kP k kC P -===∑∑,又因为11k k n n kC nC --=, 所以111110000()(0)(0)()n nn n k k n n n k n n k n k k k k kP k kCP n C P n P k -------=======∑∑∑∑, 令0()nn n k a kP k ==∑,则1n n ana -=,且11a =.于是23411231234n n n a a a a a a a a na --=⨯⨯⨯⨯L L , 左右同除以2341n a a a a -L ,得234!n a n n =⨯⨯⨯⨯=L 所以0()!n nk kP k n ==∑。
2024届江苏省苏州市重点中学高三调研考试数学试题

2024届江苏省苏州市重点中学高三调研考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( ) A .向左平移6π个单位长度 B .向右平移6π个单位长度 C .向左平移12π个单位长度D .向右平移12π个单位长度2.如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ,线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱AB ,且2,4AB AC BD ===,则CD 的长为( )A .4B .25C .2D .233.点M 在曲线:3ln G y x =上,过M 作x 轴垂线l ,设l 与曲线1y x =交于点N ,3OM ONOP +=,且P 点的纵坐标始终为0,则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”,则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A .0B .1C .2D .34.已知点P 在椭圆τ:2222x y a b+=1(a>b >0)上,点P 在第一象限,点P 关于原点O 的对称点为A ,点P 关于x 轴的对称点为Q ,设34PD PQ =,直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ,若PA ⊥PB ,则椭圆τ的离心率e =( ) A .12B .22C 3D 35.已知抛物线24y x =的焦点为F ,P 为抛物线上一点,(1,1)A ,当PAF ∆周长最小时,PF 所在直线的斜率为( ) A .43-B .34-C .34D .436.用一个平面去截正方体,则截面不可能是( ) A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形7.已知集合{}2|230A x x x =--<,集合{|10}B x x =-≥,则()A B ⋂=R( ).A .(,1)[3,)-∞+∞B .(,1][3,)-∞+∞C .(,1)(3,)-∞+∞D .(1,3)8.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=,当01x <<时,()0f x <.若()42f =,则函数()f x 在[]1,16上的最大值为( ) A .4B .6C .3D .89.函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为( ) A .23,-2 B .23-,-9 C .-2,-9 D .2,-210.已知函数())33x x f x x -=+-,不等式()2(50f f x ++对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围为( ) A .[2,)-+∞B .(,2]-∞-C .5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D .5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦11.若0,0x y >>,则“2x y +=”的一个充分不必要条件是 A .x y = B .2x y = C .2x =且1y =D .x y =或1y =12.下列函数中,图象关于y 轴对称的为( )A .()f x =B .)(f x =,[]1,2x ∈-C .si 8)n (f x x =D .2()x xe ef x x -+=二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2024届苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研(二)数学答案

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学(参考答案) 2024. 5一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A B C D A D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 题号9 10 11 答案 BCD ABD AC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1y =或3450x y ++= 1314.4,1四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.(13分) 【法一】(1)证明:在直棱柱111C B A ABC −中,1B B ⊥面ABC ,则面11BB CC ⊥面ABC , ……2分面11BB CC 面ABC BC =,AB ⊂面ABC ,BC AB ⊥,所以⊥AB 面11B BCC ……4分因为11//B A AB ,所以⊥11B A 面11B BCC . 则1A C 在面11B BCC 的射影为1B C , 在正方形11B BCC 中,有.11C B BC ⊥所以由三垂线定理得:.11C A BC ⊥ ……6分(2)解:直三棱柱111ABC A B C 的体积为111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=, 则11AA =. ……7分由(1)⊥11B A 平面11B BCC ,1BC ⊂平面11B BCC ,则⊥11B A 1BC , 在正方形11B BCC 中,1B C ⊥1BC ,且111A B B C ⊂,平面C B A 11, 1111A B B C B = ,所以⊥1BC 平面C B A 11.……8分设11B C BC O = , 在△11A B C 中,过O 作C A OH 1⊥于H ,连接BH . 因为OH 为BH 在面11A B C 的射影,由三垂线定理得:⊥C A 1.BH 所以BHO ∠为二面角11B A B C −−的平面角. ……10分 因为Rt △COH ∽Rt △11CA B ,111B A CA OH CO =,得33=OH , 又在Rt △BOH 中,22=BO ,得630=BH , ……12分 .51063033cos ===∠BHOHBHO所以二面角B C A B −−11的余弦值为.510……13分【法二】直三棱柱111ABC A B C 的体积为:111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=,则11AA =. ……1分(1)证明:直棱柱111ABC A B C −,1BB ⊥平面ABC ,又AB BC ⊥,以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系.…2分 (0,0,0)B ,1(0,0,1)B =,(1,0,0)C ,1(0,2,1)A ,1(1,0,1)C .1(1,0,1)BC =,1(1,2,1)A C =−− , ……4分11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=,所以.11C A BC ⊥ ……6分(2)(0,0,0)B ,1(0,0,1)B =,(1,0,0)C ,1(0,2,1)A ,1(1,0,1)C .(1,0,0)BC =,1(0,2,1)BA = ,设平面1BCA 的法向量1η111(,,)x y z =,则111111020BC x BA y z ⋅==⋅+,,ηη取11y =,得1η(0,1,2)−. ……8分1(1,0,1)B C=−,11(0,2,0)B A = ,设面11B CA 的法向量2η222(,,)x y z =, 则21222112020B C x z B A y ⋅=−= ⋅== ,,ηη 取21x =,得2η(1,0,1)=. ……10分 设二面角11B A B C −−的大小为θ,则:121212|||cos ||cos ,|⋅=<>==ηηθηηηη. ……12分 因为θ为锐角,所以二面角11B A B C −−余弦值为510. ……13分16.(15分) (1)提出假设0H :是否喜爱阅读与性别没有关系. ……3分根据列联表的数据,可以求得:2250(10121315)0.725 2.70625252327χ×−×=≈<×××,……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分 (2)随机变X 服从超几何分布(3,2,6)H ,X 可能取0,1,2. ……8分……2分0324361(0)5C C P X C ===,1224363(1)5C C P X C ===,2124361(2)5C C P X C ===. ……11分……14分答:抽取男生人数的数学期望为1. ……15分17.(15分)解:(1)因为函数的定义域为(0,)+∞,当0a =时,e 1()x f x x−=.要证()1f x >,只需证:当0x >时,e 1x x >+. ……1分令()e 1x p x x =−−,则()e 10x p x ′−>,则()p x 在(0,)x ∈+∞单调递增,……3分 所以()(0)0p x p >=,即e 1x x >+. ……5分 (2)2(1)e 1()x x a f x x x −+=+′1(1)e 1x x a x x −+=⋅+, ……6分令(1)e 1()(1)x x g x a x x−+=+>, 则()2222e (1)1(1)110x x x x x x g x x x x ′−+−−+−−=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增,()(1)1g x g a >=+, ……8分 ①当1a − 时,()(1)10g x g a >=+ ,()0f x ′>. 则()f x 在(1,)+∞为增函数,()f x 在(1,)+∞上无极值点,矛盾. ……11分 ②当1a <−时,(1)10g a =+<. 由(1)知,e 1x x x >+>,(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x xg x a a a x a x x x−+−−=+>+>+=−+,则(1)0g a −>,则0(1,1)x a ∃∈−使0()0g x =. ……14分 当0(1,)x x ∈时,()0g x <,()0f x ′<,则()f x 在0(1,)x 上单调递减; 当0(),x x ∈+∞时,()0g x >,()0f x ′>,则()f x 在0(,)x +∞上单调递增. 因此,()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点,所以a 的取值范围为(,1)−∞−. ……15分18. (17分)(1)解: F (0,2p),设A (211,2x x p ),则FA = 211(,)22x p x p−1)4−,……1分所以1211224x x p p = −=−,得:2260p p −−=,解得2p =或32p =−(舍), 所以抛物线C 的方程为24x y =①. ……4分(2)设直线MN :y kx m =+②, M (11,x y ),N (22,x y ), 联立①②,得2440x kx m −−=. 所以216()0k m ∆=+>③,121244x x k x x m +=⋅=−,④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+,222222222y kx m m k k x x x ++++===+,则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m+−+=+++=++⋅=, ……5分 121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++=−. ……6分因为12123()24k k k k +−=,即:22(2)8(2)32404k m k m m m−++×−×−=−, 即:(22)(42)0k m k m +−+−=, 则22m k =−或24m k =−,能满足③式. ……8分则MN :22(2)2y kx k k x =+−=−+,或MN :24(4)2y kx k k x =+−=−+, 所以定点Q 的坐标为(2,2)或(4,2),……10分(3)如MN 过(4,2)点,当122k k ==时, 12123()24k k k k +−=,但此时M ,N 重合,则||MN 无最小值,所以MN 只能过(2,2)点,此时||MN 有最小值. ……11分 由(2),在④中,令22m k =−得:1212488x x k x x k +=⋅=−,,MN 2x −===. ……13分令432()2322f k k k k k =−+−+,则32246622(21)(1)0()k f k k k k k k ′=−+−=−−+=,12k =. ……15分当12k <时,()0f k ′<,()f k 在1(,)2−∞上为减函数, 当12k >时,()0f k ′>,()f k 在1(,)2+∞上为增函数, ……16分所以当12k =时,()f k 有最小值,MN 有最小值.min5MN =. ……17分19.(17分)(1)解:第1行最后两数0101C C 1==,第2行的最后两数120233C C C 2=−=. ……1分 第m (3m )行的第m 个数为132222C C m m m m −−−−−,第1m +个数为22121C C m m m m −−−−,猜测:132********C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−. ……2分【法一】即证:12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−,……3分 因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m −−−−−−−−−−−+−=+−,……5分只要证明22222C C m m m m −−−=,该式显然成立,所以12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−,所以每行最后两个数相等.……6分【法二】因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−=−−−+[](21)!(1)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m −=++; ……4分 又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−−=−−−−+[](22)!(1)(1)(2)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−−−+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m −−=−+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m −=−++. 即:13222222121C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−.所以每一行的最后两个数相等. ……6分(2)第1行所有数之和为0101C C 2+=,第2行的最后一个数为0323312C C =−−=, 此时结论成立. ……7分因为11C C C k k k n n n −++=,第m (2m )行的1m +个数之和为:0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m −−++++−−++−+−++−01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −−+−++−=++++−+++0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −+−++−=++++−+++1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m −++−++−=+++−+++222C C m m m m −==− . ……10分而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m −−,由(1)得每行最后两个相等,所以结论得证. ……11分(3)当1n =,3k =时,1111C 1S a ===,11341S =−,当4k ≥时,此时显然不成立. 猜测:存在正整数k ,使得41n n kS − 恒成立,k 的最大值为3. ……12分 下证:当2n 时,341n n S <− 恒成立. 由(1)知,(2)!!(1)!n n n a n +=,则1(22)!(1)!(2)!n a n n n +=+++,因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)())(12n n a n n n n n n n a n n n +++++++=++×=2(21)4(2)6644222n n n n n ++−===−<+++. ……14分又0n a >,当2n 时,2111214444n n n n n a a a a −−−−<<<<= . ……15分当2n 时,211241...144 (4)3n n n n S a a a −−=+++<++++=,所以341n n S <−. 综上:存在正整数k ,k 的最大值为3,使得41n n kS − 恒成立. ……17分。
2025届苏州市高三数学上学期11月期中调研试卷分附答案解析

2024~2025学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本卷共6页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题).本卷满分150分,答题时间为120分钟.答题结束后,请将答题卡交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效,作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内,若i 是虚数单位,复数z 与21i -关于虚轴对称,则z =( )A. 1i +B. 1i-- C. 1i-+ D. 1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】()221i 21i 1i 1i+==+--,复数z 与21i-关于虚轴对称,故1i z =-+.故选:C2. 若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立,则θ的值可能是( )A.π4B. π2-C. π4-D. 0【答案】A 【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】cos()sin cos cos sin sin()sin(2)x x x x x θθθθθθ-=+=+=-+,故π22π,Z 2k k θ=+∈,即ππ,Z 4k k θ=+∈,当0k =时,π.4θ=故选:A3. 下列说法中不正确的是( )A. “1a >”是“2a >”的必要不充分条件B. 命题“R x ∀∈,2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈,2220x x ++<”C. “若a ,R b ∈,8a b +<,则4a <且4b <”是假命题D. 设m ,R n ∈,则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD ;利用命题的否定即可判断选项B ;利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A, “1a >”是“2a >”的必要不充分条件,故A 正确;对于B ,命题“R x ∀∈,2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈,2220x x ++≤”,故B 错误;对于C ,当5,1a b ==时,满足8a b +<,不满足4a <且4b <,故“若a ,R b ∈,8a b +<,则4a <且4b <”是假命题,故C 正确;对于D ,“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件,故D 正确.故选:B4. 在数列{}n a 中,12n n a a n ++=,则数列{}n a 前24项和24S 的值为( )A. 144 B. 312C. 288D. 156【答案】C 【解析】【分析】根据题意,结合12n n a a n ++=,将{}n a 前24项和24S 转化为等差数列求和问题.【详解】因为12n n a a n ++=,所以()2412324122462610462882S a a a a ⨯+=++++=++++== ,故选:C.5. 已知实数0x y >>,则223x x y xy y +-的最小值为( )A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】B 【解析】【分析】将xy看成一个整体,然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】22233,1x y x x x x y xy y y y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+--设1xt y=-,0x y >>,故0t >,()()222131314559t x x t t y xy ytt ++=++=++≥=-,当且仅当14t t =,即12t =时,等号成立.故选:B6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱,若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积,则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为( )A.14B.C.12D.【答案】D 【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ,R ,由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程,求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ,R,设圆柱高为h ,则h R r R R-=,=-h R r ,由题,()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-,得r R =.故选:D .7. 已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅,若存在常数R a ∈,使得()y f x a =+为偶函数,则ω的值可以为( )A.3π8B.π3C.π4D.π2【答案】A 【解析】【分析】求出()y f x a =+的解析式,得()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数,然后根据偶函数的定义分析求解.详解】由()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅,得()()()24sin x a x f a a x ω+-⋅=++⎡⎤⎣⎦是偶函数,因为()24y x a =+-不可能是奇函数,所以()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数,()()()2224244y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数,则40a -=,即4a =,()()sin 4sin 4y x x ωωω⎡⎤=+=+⎣⎦为偶函数,则π4π2k ω=+,Z k ∈,ππ48k ω=+,Z k ∈,只有1k =时,3π8ω=,故选:A8. 已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>,若()0f x ≥,则1b a-最大值为( )A. 2e -B. 1e - C. eD. 2e 【答案】A 【解析】【分析】将()0f x ≥转化为函数y x b =-和e x y a =-的零点相同,然后利用ln b a =,构造函数()ln 1a g a a-=求最值即可.【详解】()()()e e e xxxf x x ax b ab x b a =--+=--,因为0a >,且函数y x b =-和e xy a =-都是增函数,故若()0f x ≥恒成立,则函数y x b =-和e xy a =-的零点相同,即ln b a =.故1ln 1b a aa--=,设()ln 1,a g a a -=则()22ln ,ag a a-'=【故在()20,e,()0g a '>,()g a 单调递增;在()2e ,∞+,()0g a '<,()g a 单调递减.故()()22max e e,g a g -==故1b a-最大值为2e -.故选:A二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知向量(),2a x x =-,()1,b x =-- ,则下列说法中正确的是( )A. 若a b∥,则2x =-或1 B. 若a b ⊥,则0x =或-3C. 若a b =,则1x =或3D. 若1x =-,则向量a ,b【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行求参判断A 选项,根据向量垂直求参判断B 选项,应用模长相等计算判断C 选项,根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D 选项.【详解】A 选项,若//a b,有()22x x --=-,解得1x =或2x =-,A 选项正确;B 选项,若a b ⊥,有()20x x x ---=,解得0x =或3,B 选项错误,;C 选项,若a b =,有=,解得1x =或3x =,C 选项正确;D 选项,当=1x -时,()1,3a =-,()1,1b =-,a =,b = ,4a b ⋅= ,向量a ,b 夹角的余=D 选项错误.故选:AC10. 已知ABC V 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列四个命题中正确的是( )A. 若ABC V 为锐角三角形,则sin cos B A >B. 若60B =︒,2b ac =,则ABC V 是直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=,则ABC V 是等腰三角形.D. 若ABC V 为钝角三角形,且3AB =,5AC =,13cos 14C =,则ABC V 【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A 选项;利用余弦定理即可判断B 选项;利用正弦定理边化角即可判断C 选项;利用余弦定理求出7a =或167a =,再进行分类讨论即可判断D 选项.【详解】对于A, 若ABC V 为锐角三角形,则π,2A B +> 即ππ22B A >>-,故πsin sin cos 2B A A ⎛⎫>-=⎪⎝⎭,故A 正确;对于B ,若60B =︒,2b ac =,则222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-=,即()22220,0a c ac a c +-=-=,故a c =,且60B =︒,故ABC V 是等边三角形,故B 错误;对于C ,若cos cos b C c B b +=,则sin cos sin cos sin ,B C C B B +=即()sin sin ,B C B +=即s s n n ,i i A B =故A B =,ABC V 是等腰三角形.故C 正确;对于D ,222225913cos 21014a b c a C ab a +-+-===,解得7a =或167a =,且sin C ==,当7a =时,cos 0A <,A 为钝角,故1sin 2ABC S ab C ==△,当167a =时,cos 0B <,B 为钝角,故1sin 2ABC S ab C ==V D 错误.故选:AC11. 已知α,()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++,(),a b ∈R 两个不同的零点,且1αβ⋅=,1x ,2x 是函数()f x 两个极值点,则( )A. a b =B. 3a >或2a <-C.22(2)a b +-值可能为11D. 使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由,αβ是()f x 的零点且1αβ=得()()()(1)f x x x x αβ=--+,展开后与已知比较可得1a b αβ==--,可判断A ,由2()()(1)10x x x a x αβ--=+-+=有两个不等实解,得a 的范围,可判断B ,直接解方程22(2)11a a +-=可判断C ,由韦达定理得出1212,x x x x +,代入124()()3f x f x +=,化为关于a 的方程,引入函数32()299g a a a =-+,由导数确定它的单调性,结合零点存在定理得零点范围,结合B 中范围可判断D .【详解】由已知2()32f x x ax b '=++有两个零点,24120a b ∆=->,又α,()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++两个不同的零点且1αβ⋅=,所以()()()(1)f x x x x αβ=--+,即32()(1)()f x x x x αβαβαβαβ=+--+--+32(1)(1)1x x x αβαβ=+--+--+所以1a αβ=--,1b αβ=--,即a b =,A 正确;224124120a b a a ∆=-=->,解得3a >或0a <,(0)10=>f ,322()1(1)[(1)1]f x x ax ax x x a x =+++=++-+,由已知2(1)10x a x +-+=有两个不等实根,αβ,所以21(1)40a ∆=-->,解得3a >或1a <-,所以3a >或1a <-,B 错;222222(2)(2)2442(1)211a b a a a a a +-=+-=-+=-+=,解得1a =-或1a =+,满足3a >或1a <-,C 正确;由2()320f x x ax a '=++=,得1223a x x +=-,123ax x =,322212121212()()()()2f x f x x x a x x a x x +=++++++32121212121222()3()[()2]()2x x x x x x a x x x x a x x =+-+++-+++322282422()2273933a a a a a a =-++--+23422273a a =-+,由2342422733a a -+=整理得322990a a -+=,设32()299g a a a =-+,则2()6186(3)g a a a a a '=-=-,0a <或3a >时,()0g a '>,0<<3a 时,()0g a '<,()g a 在在(,0)-∞和(3,)+∞上递增,在(0,3)上递减,又(0)90,(3)180g g =>=-<,(1)20g -=-<,33(9)29990g =⨯-+>,所以()g a 在(1,0)-,(0,3),(3,)+∞上各有一个零点,又1a <-或3a >,因此()0g a =只在(3,)+∞上在一个解,D 正确.故选:ACD .【点睛】方法点睛:本题考查用导数研究函数的零点,极值,对计算要求较高,对多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ,如果α是它的一个零点,则121210()()()n n n n f x x b x b x b x b α----=-++++ ,因此本题中在已知()f x 有两个乘积为1的零点时,结合常数项可设()()()(1)f x x x x αβ=--+,展开后得出,a b 与,αβ的关系,从而使得问题可解.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ,且3n m -=,则ω的值为______.【答案】11π12【解析】【分析】利用整体代入法,结合正弦函数的图像求解即可.【详解】[]0,1x ∈,故πππ,444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,因为π()2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,1]上的值域为[],m n ,且3n m -=,故必有2,1,n m ==-,如图所示,则π7π,46ω+=故11π.12ω=故答案为:11π1213. 如图,边长为1的正ABC V ,P 是以A 为圆心,以AC 为半径的圆弧 BC上除点B 以外的任一点,记PAB 外接圆圆心为O ,则AO AB ⋅=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用三角形外心的性质将AO AB ⋅转化为()AD DO AB +⋅ 即可.【详解】取AB 的中点D ,因为ABC V 为正三角形,故CD 为AB 的中垂线,则PAB 外接圆圆心O 一定在CD 上,如图所示,,故()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅== .故答案为:1214. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立,则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈,1()(0)g x x x=<,若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+,则实数b 的范围是______.【答案】[]4,0-【解析】【分析】结合函数图像,利用临界情况,y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切求解即可.【详解】()()f x kx b g x ≥+≥恒成立,即y kx b =+的图像一直在()f x 和()g x 之间,,当y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切时,方程2()f x x kx b ==+和方程1()g x kx b x==+均只有一个解,即20x kx b --=和210kx bx +-=均只有一个解,故224040k b b k ⎧+=⎨+=⎩或2400k b k ⎧+=⎨=⎩,解得0b =或4-,结合图像可知,“媒介直线”y kx b =+的截距[]4,0b ∈-.故答案为:[]4,0-【点睛】思路点睛:本题考查函数新定义,注意理解新定义,然后数形结合,利用临界情况求解即可.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列,23a =,且11a +,31a -,63a -成等比数列,若数列{}n b 前n 项和为n S ,并满足2n n S b n =+,*n N ∈.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式.(2)若()()11n n n c a b =--,求数列{}n c 前n 项的和n T .【答案】(1)21n a n =-;12nn b =-(2)()2228.n n T n +=--【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量可求出n a ;利用n S 和n b 的关系,构造出()1121n n b b --=-即可求出n b ;(2)利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ,由23a =,且11a +,31a -,63a -成等比数列知:()()()12111315321a d a a d a d +=⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩,整理得:251240d d -+=,即2=d 或者25d =,因为公差大于1,故2=d .且131a d =-=,故21n a n =-.数列{}n b 前n 项和n S ,并满足2n n S b n =+ ①,且11121b S b ==+,解得11b =-,故当2n ≥时,1121n n S b n --=+- ②,①式减②式得:11221n n n n n S S b b b ----==+,即()1121n n b b --=-,故{}1n b -是公比为2的等边数列,则()111122n n n b b --=-⨯=-,故12nn b =-【小问2详解】()()()()()11122212n n n n n c a b n n +=--=--=--,故()345102223212,n n T n +=--⨯-⨯---……则()4562202223212,n n T n +=--⨯-⨯---……故()()3234512222222221212,12n n n n n n T T n n ++++--=-----+-=-+--……故()2228,n n T n +-=-+则()2228.n n T n +=--的为16. 已知向量(sin ,cos )a x x =,,cos )b x x = ,()21f x a b =⋅-.(1)求函数()f x 解析式,写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.(2)试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图(要求列表,描点,连线画图).(3)根据(2)中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.【答案】(1)见解析 (2)见解析(3)见解析【解析】【分析】(1)利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,然后利用整体代入法求解即可;(2)利用五点作图法求解即可;(3)根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量(sin ,cos )a x x =,,cos )b x x = ,则2ππ2T ==,)2π()212cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭,故()f x 的最小正周期2ππ2T ==,当 ππ2=π,62x k k ++∈Z 时,ππ,62k x k =+∈Z ,当 π2=π,6x k k +∈Z 时,ππ,122k x k =-+∈Z ,故()f x 的对称轴方程为ππ,62k x k =+∈Z ,对称中心为ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】列表:π26x +π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0202-0描点,连线,画图得:【小问3详解】由图可知,()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ;最小值为2-;取最小值时相应x 值的集合为:2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .17. 如图①,在平面四边形ABCD 中,CB CD ==,tan CDB ∠=,O 为对角线BD 中点,F为BC 中点,E 为线段AD 上一点,且BE AO ⊥,CO AB =,AB BD ⊥.(1)求AE 的长.(2)从下面(i )与(ii )中选一个作答,如果两个都作答,则只按第一个解答计分.(i )在平面四边形ABCD 中,以BD 为轴将BCD △向上折起,如图②,当面CBD ⊥面ABD 时,求异面直线OF 与BE 所成角余弦值.(ii )在平面四边形ABCD 中,以BD 为轴将BCD △向上折起,如图③,当60COE ∠=︒时,求三棱锥C ABD -的体积.【答案】(1 (2)见解析【解析】的【分析】(1)利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可;(2)若选(i ),利用空间向量求解即可;若选(ii ),利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为CB CD == O 为对角线BD 中点,故CO BD ⊥,因为tan CDB ∠=故sin CDB CDB ∠=∠=,即sin CO DO CDB CDB CD CD ∠==∠==,解得2CO DO ==,故24,BD DO AB CO ====,则AD ==,AO ==,因为AB BD ⊥,BE AO ⊥,则π2ABE EBO ∠+∠=,π2AOB EBO ∠+∠=,所以ABE AOB ∠=∠,所以sin sin AB ABE AOB AO ∠=∠==cos ABE ∠=且sin sin BD BAD ABE AD ∠===∠,故ABEBAD ∠=∠,则在等腰ABE 中,由正弦定理得:sin sin AB AEAEB ABE=∠∠,sin AEABE=∠,则AE ===.【小问2详解】若选(i ):当面CBD ⊥面ABD 时,因为CO BD ⊥,面CBD ⋂面ABD BD =,CO ⊂面CBD ,故CO ⊥面ABD ,又AB BD ⊥,故以点B 为坐标原点,BD 为x 轴,BA 为y 轴,过点B 做CO 的平行线为z 轴,可以建如图所示空间直角坐标系,由(1)知,12AE AD ==,故E 为AD 中点,则易得()(())0,2,0,,0,0,0,2,0,O F B E则()0,,2,0,OF BE =-=设异面直线OF 与BE 所成角为θ,则cos cos ,OF θ= .若选(ii ):由(1)知,12AE AD ==,故E 为AD 中点,故12OE BA ==,当60COE ∠=︒时,1sin 602COE S CO OE =⋅⋅= ,因为//OE BA ,BD BA ⊥,故BD OE ⊥,且BD CO ⊥,OE CO O ⋂=,故BD ⊥面COE ,因为E 为AD 中点,O 为BD 中点,故4ABD DOE S S = ,则三棱锥C ABD -的体积:14443C ABD C DOE D COE COE V V V S OD ---===⨯⨯= .18. 已知函数()ln(1)f x a x =-,2()2g x x x =-.(1)如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线,也是()g x 的切线,求实数a 的值.(2)若()()()F x g x f x =-在11,e 1e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ,试求()0F x 的范围.(3)是否存在实数a ,使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点,若存在,求出所有实数a 的取值集合,若不存在,请说明理由.【答案】(1)2 (2)(2e 1,0⎤--⎦ (3)()0,1【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可;(2)利用极值点的定义,得出()2021a x =-,然后构造函数求出()0F x 的范围即可;(3)根据G()x 的单调性对a 进行分类讨论,注意1G(G()0x x+=,然后转化为G()x 在()1,+∞上有唯一零点求解即可.【小问1详解】(2)0f =,(),(2)1af x f a x ''==-,故()f x 在(2,(2))f 处的切线为()2y a x =-,()2y a x =-也是()g x 的切线,故方程()222x x a x -=-只有一个解,即()2220x a x a -++=只有一个解,()2280a a +-=,解得2a =.【小问2详解】()2()()()2ln 1F x g x f x x x a x =-=---,()221()2211x a a F x x x x --'=--=--,当0a ≤时,()0F x '>,()F x 无极值点,不符合题意;当0a >时,在1,1⎛+ ⎝上,()0F x '<,()F x 单调递减;在1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上,()0F x '>,()F x 单调递增;故()F x的极小值点01x =+,则()2021a x =-,故()()()02020002112ln F x x x x x =----,设01t x =-,011,e 1e x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦,则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,此时()2201ln 2F x t t t =--,设()221l 2n h t t t t =--,则()4ln h t t t '=-,1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '>,()h t 单调递增;()1,e t ∈时,()0h t '<,()h t 单调递减;()()22131,e e 1,10e eh h h ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭,故()(2e 1,0h t ⎤∈--⎦,即()(20e 1,0F x ⎤∈--⎦【小问3详解】2(1)1G()(1)2ln 2(1)1g x x x f x a x x x +-=+-=-++,0x >,()()()222144()11a x x a G x x x x x +-'=-=++, 当0a ≤时,()0G x '<,G()x 在()0,∞+单调递减,不存在3个零点;当1a ≥时,()()()()22221414()011a x x x x G x x x x x +-+-'=≥≥++,G()x 在()0,∞+单调递增,不存在3个零点;当01a <<时,()()221414()112a x x G x a x x x x x ⎛⎫⎪+-'==- ⎪+ ⎪++⎝⎭,因为12y x x=++在()1,+∞上单调递增,设()412q x a x x=-++,则()q x 在()1,+∞上也是单调递增,且()110q a =-<,当x →+∞,(),0q x a a →>,故存在唯一一个()01,x ∈+∞,使()00q x =,即在()01,x ,()4012q x a x x=-<++,14()012G x a x x x ⎛⎫ ⎪'=-< ⎪ ⎪++⎝⎭,G()x 单调递减;在()0,x +∞,()0q x >,()0G x '>,G()x 单调递增;且G(1)0=,故0G()G(1)0x <=,且224G(e )0e 1aa=>+,故G()x 在()1,+∞有唯一零点,1G()ln 21x x a x x -=-+,故1G()G()0x x+=,当1x >时,101x<<,因为G()x 在()1,+∞有唯一零点,故G()x 在()0,1也有唯一零点,故当01a <<,G()x 有3个零点;综上所述,所有实数a 的取值集合为()0,1.【点睛】关键点点睛:本题的解题过程中,需通过导数分析函数的性质,并将问题转化为函数零点的讨论,充分体现了数学思想方法的应用.在解题时,要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响,确保分类讨论的全面性和严谨性.19. 对于任意*N n ∈,向量列{}n a 满足1n n a a d +-=.(1)若1(0,3)a =- ,(1,1)=d ,求n a 的最小值及此时的n a .(2)若(),n n n a x y = ,(,)d s t =,其中n x ,n y ,s ,t R ∈,若对任意*n ∈N ,120n x x x +++≠ ,设函数()||f x x x =,记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ,试判断()F n 的符号并证明你的结论.(3)记1(0,0)a = ,0d ≠,n n c a = ,对于任意*m ∈N ,记123()m S m c c c c =+++ ,若存在实数1c =和2,使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立,且有()507S m =成立,试求m 的最小值.【答案】(1)min ||n a = ()22,1a =- 或()321,a =-(2)()0F n >,证明见解析 (3)30【解析】【分析】(1)利用累加法求出()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--,进而得到答案;(2)分别在各项均为0的常数列,非零常数列,公差不为0的数列,结合题意证明即可;(3)根据题意构造函数,根据函数的性质建立不等关系,进行求解.【小问1详解】因为1n n a a d +-=对任意*N n ∈成立,所以有21a a d -= 23a a d-= L L L L 1n n a a d--= 将上述各式相加得()11n a a n d =+- ,又因为1(0,3)a =- ,(1,1)=d ,所以()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--,所以有n a === ,又*N n ∈,当2n =或3n =时,min ||n a = ()21,2a =- 或()32,1a =-.【小问2详解】可判定()0F n >,(1)因为*N n ∈,120n x x x +++≠ 所以数列{}n x 不可能是各项均为0的常数列;(2)当数列{}n x 为非零常数列时,任意*N n ∈,10n x x =≠若1>0x ,则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++===>+++ ,若10x <,则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++-===->+++ ,故当数列{}n x 为非零常数列时,()0F n >.(3)当数列{}n x 为公差不为0的数列时,因*N n ∈,120n x x x +++≠ ,若()11202n n n x x x x x ++++=> ①,由等差数列性质有1213210n m n n n m x x x x x x x x --+-+=+=+==+> ,其中2,1,,m n= 又()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数,且在R 上单调递增,则由10m n m x x +-+>可得1n m m x x +->-,所以有()()()11m n m n m f x f x f x +-+->-=-,即()()10m n m f x f x +-+->,2,1,,m n = ,所以有()()()()()()()()()12121120n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,即()()()120n f x f x f x +++> ②,所以由①②知()0F n >.同理可证明若()11202n n n x x x x x ++++=< ,利用函数()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数,且在R 上单调递增,可证()()()120n f x f x f x +++< ,所以有()0F n >.综上可知()0F n >恒成立.【小问3详解】()()111n a a n d n d =+-=-,所以()1n n c a n d ==- ,即{}n c 为等差数列,所以()()()12310212mm m S m c c c c d d m d d -=+++=++++-=,由题意知()1231231111m m S m c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 123|2||2||2||2|507m c c c c =-+-+-+-= ,构造函数()23507f x x d x d x d x m d =-+-+-++-=,则()1215070m m m m f c d c c c c --+=++++-=,()121111115070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--=,()121222225070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ,所以函数()f x 至少有三个零点: ||,||,1,||2m m m c d c d c d ++-+- 若使得()f x 有三个零点,则存在区间,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ,使得()f x 为常数,且三个零点均在,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 内,所以m 必为偶数,且||2d ≥ , 于是有21122(1)02m m m m m d c d c d c d d m d f ⎧⎛⎫≤+-≤+-≤+≤+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫+⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎩ , 故有225074d m d ⎧≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,其中()()()2(1)132150722224m dm d m d m m d m f d ⎛⎫+---- ⎪=+++=- ⎪⎝⎭ ,实际上2(1)15072224m d m m m f f d f d d ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,化简得224507m ≤⨯,解得31m ≤,又m 为偶数,故m 的最大值为30.【点睛】关键点点睛:本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点,包括数列的通项公式以及求和公式,难度较大,解得本题的关键在于理解题意,然后结合数列的相关知识解答.。
江苏省苏州市高三数学调研测试试题 文(含解析)新人教A版

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.)1.已知集合A= { x | x < 2 },B= { -1,0,2,3 },则A∩B=▲ .2.已知i为虚数单位,计算2(12i)(1i)+-= ▲ .3.若函数()sin()f x xθ=+(π2θ<<)的图象关于直线π6x=对称,则θ=▲ .4.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S5 = 5,S9 = 27,则S7 = ▲ .5.若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为▲ .6.运行右图所示程序框图,若输入值x∈[-2,2],则输出值y的取值范围是▲ .7.已知π3sin()45x+=,π4sin()45x-=,则tan x= ▲ .8.函数e lny x x=-的值域为▲ .9.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c = t a +(1 - t )b ,若b ·c = 0,则实数t的值为 ▲ .10.已知m ∈{-1,0,1},n ∈{-1,1},若随机选取m ,n ,则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ .考点:古典概型概率,直线方程中斜率与系数关系.11.已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥,则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ .12.在直角坐标系xOy 中,已知A (-1,0),B (0,1),则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为 ▲ .13.已知正实数x,y满足24xy x y++=,则x+y的最小值为▲14.若211m xmx-<+(m≠ 0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是▲【答案】12 m<-【解析】二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本题满分14分)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且1cos2a C c b+=.(1)求角A的大小;(2)若15a=4b=,求边c的大小.(2)用余弦定理,得2222cos.=+-a b c bc A16.(本题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M为PC中点.求证:(1)PA∥平面MDB;(2)PD⊥BC.17.(本题满分14分)甲、乙两地相距1000km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过80km/h ,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的14倍,固定成本为a 元. (1)将全程运输成本y (元)表示为速度v (km/h )的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?18.(本题满分16分)如图,已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A(2,0),点P(2e,12)在椭圆上(e为椭圆的离心率).(1)求椭圆的方程;(2)若点B ,C (C 在第一象限)都在椭圆上,满足OC BA λ=,且0OC OB ⋅=,求实数λ的值.得222(14)4,14c k x x k+=∴=+19.(本题满分16分)设数列{a n}满足a n+1 = 2a n+ n2 - 4n+ 1.(1)若a1= 3,求证:存在2()=++(a,b,c为常数),使数列{ a n+f(n) }是等比数列,并f n an bn c求出数列{a n}的通项公式;(2)若a n是一个等差数列{b n}的前n项和,求首项a1的值与数列{b n}的通项公式.20.(本题满分16分)已知a ,b 为常数,a ≠ 0,函数()()e x b f x a x=+. (1)若a = 2,b = 1,求()f x 在(0,+∞)内的极值;(2)① 若a > 0,b > 0,求证:()f x 在区间[1,2]上是增函数; ② 若(2)0f <,2(2)e f --<,且()f x 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积.域.由所有点),(b a 形成的平面区域为OAB (如图所示),。
2023届江苏省苏州市、无锡市、常州市、镇江市四市高三3月教学调研(一)数学试卷

2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数 学 2023.03注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答字写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |log 2x <1},B ={x |x >1},则A ∪C R B =A .{x |x <2}B .{x |0<x ≤1}C .{x |x ≤1}D .R2.两个粒子A ,B 从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为s A =(4,3),s B =(-2,6),则s B 在s A 上的投影向量的长度为A .10B .102C .1010D .2 3.“绿水青山,就是金山银山”,随着我国的生态环境越来越好,外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游,他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”,事件B 为“两位游客选择的景点不同”,则P (B |A )=A .79B .89C .911D .10114.已知正四面体P -ABC 的棱长为1,点O 为底面ABC 的中心,球O 与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点,且公共点非该正四面体的顶点,则球O 的半径为A .612B .69C .29D .235.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ≥0时,f (x )=e x +sin x ,则不等式<e π的解集是A .(1+π2,+ )B .(0,1+π2)C .(0,1+e π2)D .(1-π2,1+π2) 6.在△ABC 中,∠BAC =2π3,∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ,△ABD 的面积是△ADC面积的3倍,则tan B =A .37B .35C .335D .6-333 7.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (c ,0),点P ,Q 在直线x =a 2c上,FP ⊥FQ ,O 为坐标原点,若→OP ·→OQ =2→OF 2,则该椭圆的离心率为A .23B .63C .22D .328.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,若对任意正整数n ,S n +1=-3a n +1+a n +3,S n +a n >(-1)n a ,则实数a 的取值范围是A .(-1,32)B .(-1,52)C .(-2,52) D .(-2,3) 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),分数不低于X 即为优秀,已知优秀学生有80人,则(第9题图)A .a =0.008B .X =120成绩(分)C .70分以下的人数约为6人D .本次考试的平均分约为93.610.已知正数a ,b 满足ab =a +b +1,则A .a +b 的最小值为2+2 2B .ab 的最小值为1+2C .1a +1b的最小值为22-2 D .2a +4b 的最小值为162 11.已知函数f (x )=sin(ωx +π6)+sin(ωx -π6)+cos ωx (ω>0),则下列结论正确的有 A .将函数y =2sin ωx 的图象向左平π6个单位长度,总能得到y =f (x )的图象B .若ω=3,则当x ∈[0,2π9]时,f (x )的取值范围为[1,2] C .若f (x )在区间(0,2π)上恰有3个极大值点,则136<ω≤196D .若f (x )在区间(π3,5π12)上单调递减,则1≤ω≤16512.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3,E ,F 分别是棱B 1C 1,C 1D 1上的动点,满足D 1F =C 1E ,则A .BF 与DE 垂直B .BF 与DE 一定是异面直线C .存在点E ,F ,使得三棱锥F -A 1BE 的体积为154D .当E ,F 分别是B 1C 1,C 1D 1的中点时,平面AEF 截正方体所得截面的周长为313+322三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.......... 13.(2-1x)(x -2)5的展开式中x 2的系数为 ▲ . 14.在△ABC 中,已知→BD =2→DC ,→CE =→EA ,BE 与AD 交于点O .若→CO =x →CB +y →CA (x ,y ∈R ),则x +y = ▲ .15.已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0,过点T (2,0)的直线l 交圆C 于A ,B 两点,点P 在圆C上,若CP //AB ,→P A ·→PB =12,则|AB |= ▲ . 16.已知函数f (x )=x e x -e x -x 的两个零点为x 1,x 2,函数g (x )=x ln x -ln x -x 的两个零点为x 3,x 4,则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4= ▲ . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2+a 3+a 4=39,a 5=2a 4+3a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)数列{b n }满足b n =n a n,求{b n }的前n 项和T n . ▲ ▲ ▲在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,1+sin2A =(3tan B +2)cos2A .(1)若C =3π4,求tan B 的值; (2)若A =B ,c =2,求△ABC 的面积.▲ ▲ ▲19.(12分)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ,侧面A 1B 1BA 为菱形,∠ABB 1=π3,A 1B ⊥AC ,AB =AC =2,E 是AC 的中点.(1)求证:A 1B ⊥平面AB 1C ;(2)点P 在线段A 1E 上(异于点A 1,E ),AP 与平面A 1BE 所成角为π4,求EP EA 1的值.(第19题图)▲ ▲ ▲某小区有居民2000人,想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者,为此需对小区全体居民进行血液化验,假设携带病毒的居民占a%,若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量,随机按n人-组进行分组,将各组n个人的血液混合在一起化验,若混合血样呈阴性,则这n个人的血样全部阴性;若混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若a=0.2,n=20,试估算该小区化验的总次数;(2)若a=0.9,每人单独化验一次花费10元,n个人混合化验一次花费n+9元.求n为何值时,每位居民化验费用的数学期望最小.(注:当p<0.01时,(1-p)n≈1-np.)▲ ▲ ▲21.(12分)已知直线l与抛物线C1:y2=2x交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线C2:y2=4x交于两点C(x3,y3),D(x4,y4),其中A,C在第一象限,B,D在第四象限.(1)若直线l过点M(1,0),且1|BM|-1|AM|=22,求直线l的方程;(2)①证明:1y1+1y2=1y3+1y4;②设△AOB,△COD的面积分别为S1,S2(O为坐标原点),若|AC|=2|BD|,求S1 S2.▲ ▲ ▲已知定义在(0,+∞)上的两个函数f (x )=x 2+14,g (x )=ln x . (1)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最小值;(2)设直线y =-x +t (t ∈R )与曲线y =f (x ),y =g (x )分别交于A ,B 两点,求|AB |的最小值.▲ ▲ ▲。
江苏省苏州市届高三教学调研测试数学试卷答案0121

苏州市届高三教学调研测试参考答案:一、选择题: ABDDDC ACDCBB二、填空题: 240x y +-=;2C ; 35; 2; 8-; 12k ≤< 三、解答题:19、解:(1)2122223()22sin 2cos 2sin(2)222224cos x f x x x x x π+=-+=--=- 3222,242k x k k Z πππππ∴-+≤-≤+∈ ∴ 函数()y f x =的单调增区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈ (2)图象(略)20、(1)1()()1g x f x x ==+,21()(())(1)(1)12g x f g x f x x x ∴==+=++=+ 32()(())(2)(2)13g x f g x f x x x ==+=++=+,∴猜想()n g x x n =+(2)()n g x x n =+,121(1)()()()()2n i n i n n g x g x g x g x nx =+∴=+++=+∑ 22221(1)2()()224n i i n n n n n y x g x x nx x =++∴=+=++=++∑ (1)当12n -≥-,即2n ≤时,函数222()24n n n y x +=++在区间(,1]-∞-上是减函数 ∴ 当1x =-时,2min 262n n y -+==,即2100n n --=,该方程没有整数解 (2)当12n -<-,即2n >时,2min 264n n y +==,解得4n =,综上所述,4n = 21、(1)连结AC 交DE 于F ,连结PF ,//CD AB ,BAC ACD ∴∠=∠,又AD CD =,DAC ACD ∴∠=∠,BAC DAC ∴∠=∠,即CA 平分BAD ∠,ADE ∆是正三角形, AC DE ∴⊥,即PF DE ⊥,CF DE ⊥,DE PCF ∴⊥面,DE PC ∴⊥(2)过P 作PO AC ⊥于O ,连结OD ,设AD DC CB a ===,则2AB a =,DE PCF ⊥面,DE PO ∴⊥,PO BCDE ∴⊥面,PDO ∴∠就是直线PD 与平面BCDE 所成的角。
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苏州市2009届高三教学调研测试数 学(正题) 2009.1注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分,共160分.考试用时120分钟.2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效..........本卷考试结束后,上交答题纸. 3.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 4.文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔. 5.作图题可使用2B 铅笔,不需要用签字笔描摹.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应.....位置上.... 1. 集合{1,0,1}-的所有子集个数为_________.82. 已知复数112i z =+,21i z a =+(i 是虚数单位),若12z z ⋅为纯虚数,则实数a =_________.123. 直线x +ay +3=0与直线ax +4y +6=0平行的充要条件是_________.a =-2.4. 函数11()2x y -=的值域是_________.(0,+∞) 5. 如图,程序执行后输出的结果为_________.64.6. 椭圆2214x y m+=的一条准线方程为m y =,则=m ________.57. 已知n m ,是两条不同的直线,βα,为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若βα⊥⊥n m ,,m ⊥n ,则βα⊥;②若n m n m ⊥,//,//βα,则βα//; ③若n m n m ⊥⊥,//,βα,则βα//; ④若βαβα//,//,n m ⊥,则n m ⊥.其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)_______________.①④8. 在△ABC 中,AB =2,AC =1,D 为BC 的中点,则AD BC ⋅u u u r u u u r =_________.32-9. 一颗正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数之和等于16的概率为_________.13610. 设等差数列{}n a 的公差为d ,若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1,则d =_________. 11. 已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为_________.=32,PC 12. 已知一个正三棱锥P -ABC 的主视图如图所示,若AC =BC_________.13. 在锐角△ABC中,b =2,B =π3,sin 2sin()sin 0A A C B +--=,则△ABC 的面积为_________14. 已知命题:“在等差数列{}n a 中,若()210424a a a ++=,则11S 为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为_________.18C BA P二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数()22sin cos 3cos f x x x x x =++.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间;(Ⅱ)已知()3f α=,且()0,πα∈,求α的值.15.解:(Ⅰ)()2cos22f x x x ++=π2sin(2)26x ++.………… 4分 由πππ2π22π262k x k -+++≤≤,得ππππ36k x k -++≤≤.∴函数()f x 的单调增区间为 ()ππ[π,π]36k k k -++∈Z .………… 7分(Ⅱ)由()3f α=,得π2sin(2)236α++=.∴π1sin(2)62α+=. ………………………………………… 10分∴1ππ22π66k α+=+,或2π5π22π66k α+=+()12,k k ∈Z ,即1πk α=或2ππ3k α=+()12,k k ∈Z .∵()0,πα∈,∴π3α=. …………………………………………… 14分16. (本小题满分14分)已知数列(){}f n 的前n 项和为nS,且22n S n n =+.(Ⅰ)求数列(){}f n 通项公式;(Ⅱ)若()11a f =,()()1*n n a f a n +=∈N ,求证数列{}1n a +是等比数列,并求数列{}n a 的前n 项和n T .16.解:(Ⅰ)n ≥2时,1()21n n f n S S n -=-=+. ………………… 4分n =1时,1(1)3f S ==,适合上式,∴1()21n n f n S S n -=-=+()*n ∈N . ………………… 5分 (Ⅱ)()113a f ==,()121*n n a a n +=+∈N . ………………… 8分即112(1)n n a a ++=+. ∴数列{}1n a +是首项为4、公比为2的等比数列. ………………… 10分1111(1)22n n n a a -++=+⋅=,∴121n n a +=-()*n ∈N .……………… 12分T n =231(222)n n ++++-L =224n n +--. ………………… 14分 17. (本小题满分15分)在四棱锥P -ABCD 中,∠ABC =∠ACD =90°,∠BAC =∠CAD =60°,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点,PA =2AB =2.(Ⅰ)求四棱锥P -ABCD 的体积V ;(Ⅱ)若F 为PC 的中点,求证PC ⊥平面AEF ; (Ⅲ)求证CE ∥平面PAB .17.解:(Ⅰ)在Rt △ABC 中,AB =1,∠BAC =60°,∴BC=AC =2. 在Rt △ACD 中,AC =2,∠CAD =60°,∴CD =AD =4.∴S ABCD =1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯ 3分 则V=123= ……………… 5分 (Ⅱ)∵PA =CA ,F 为PC 的中点,∴AF ⊥PC . ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥CD . ∵AC ⊥CD ,PA ∩AC =A , ∴CD ⊥平面PAC .∴CD ⊥PC . ∵E 为PD 中点,F 为PC 中点,∴EF ∥CD .则EF ⊥PC . ……… 9分 ∵AF ∩EF =F ,∴PC ⊥平面AEF .…… 10分 (Ⅲ)证法一:取AD 中点M ,连EM ,CM .则EM ∥PA . ∵EM ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB , ∴EM ∥平面PAB . ……… 12分在Rt △ACD 中,∠CAD =60°,AC =AM =2, ∴∠ACM =60°.而∠BAC =60°,∴MC ∥AB . ∵MC ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB , ∴MC ∥平面PAB . ……… 14分 ∵EM ∩MC =M , ∴平面EMC ∥平面PAB . ∵EC ⊂平面EMC ,∴EC ∥平面PAB . ……… 15分 证法二:延长DC 、AB ,设它们交于点N ,连PN . ∵∠NAC =∠DAC =60°,AC ⊥CD , ∴C 为ND 的中点. ……12分NF EDCB APMF EDBAPPABCDEF∵E 为PD 中点,∴EC ∥PN .……14分 ∵EC ⊄平面PAB ,PN ⊂平面PAB ,∴EC ∥平面PAB . ……… 15分18. (本小题满分15分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数,且销售量近似满足g (t )=80-2t (件),价格近似满足1()20|10|2f t t =--(元). (Ⅰ)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值. 18.解:(Ⅰ)1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分 =(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤ …………………… 8分(Ⅱ)当0≤t <10时,y 的取值范围是[1200,1225],在t =5时,y 取得最大值为1225; …………………… 11分 当10≤t ≤20时,y 的取值范围是[600,1200],在t =20时,y 取得最小值为600. …………………… 14分(答)总之,第5天,日销售额y 取得最大为1225元;第20天,日销售额y 取得最小为600元. …………………… 15分19. (本小题满分16分)已知点P (4,4),圆C :22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A (3,1),F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF 1与圆C 相切.(Ⅰ)求m 的值与椭圆E 的方程;(Ⅱ)设Q 为椭圆E 上的一个动点,求AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围.19.解:(Ⅰ)点A 代入圆C 方程,得2(3)15m -+=.∵m <3,∴m =1. …… 2分 圆C :22(1)5x y -+=. 设直线PF 1的斜率为k , 则PF 1:(4)4y k x =-+, 即440kx y k --+=. ∵直线PF 1与圆C 相切,∴解得111,22k k ==或. …………………… 4分 当k =112时,直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611,不合题意,舍去.当k =12时,直线PF 1与x 轴的交点横坐标为-4,∴c =4.F 1(-4,0),F 2(4,0). …………………… 6分2a =AF 1+AF 2==a =a 2=18,b 2=2.椭圆E 的方程为:221182x y +=. …………………… 8分(Ⅱ)(1,3)AP =u u u r ,设Q (x ,y ),(3,1)AQ x y =--u u u r,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r. …………………… 10分∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴-18≤6xy ≤18. …………………… 12分 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0,36]. ……… 14分3x y +的取值范围是[-6,6]. ∴36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r的取值范围是[-12,0]. …………………… 16分20. (本小题满分16分)已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P (2,f (2))处的切线方程为22ln 23++-=x y .(Ⅰ)求b a ,的值;(Ⅱ)若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中e 为自然对数的底,e 2.7≈);(Ⅲ)令()()gx f x nx =-,如果()x g 图象与x 轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <,AB 中点为()0,0x C ,求证:()00g x '≠.20.解:(Ⅰ)()2a f x bx x '=-,()242af b '=-,()2ln 24f a b =-. ∴432ab -=-,且ln2462ln22a b -=-++. …………………… 2分 解得a =2,b =1. …………………… 4分 (Ⅱ)()22ln f x x x =-,令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x =1(x =-1舍去).在1[,e]e 内,当x ∈1[,1)e时,()0h x '>,∴h (x )是增函数;当x ∈(1,e]时,()0h x '<,∴h (x )是减函数. …………………… 7分则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤……10分 即21e 2m <-≤. …………………… 12分(Ⅲ)()22ln gx x x nx =--,()22g x x n x'=--. 假设结论成立,则有2111222212002ln 0,2ln 0,2,220.x x nx x x nx x x x x n x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④①-②,得221121222ln()()0x x x n x x x ----=. ∴12012ln22x x n x x x =--.由④得0022n x x =-, ∴12120ln1x x x x x =-.即121212ln 2x x x x x x =-+. 即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ …………………… 14分令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+(0<t <1), 则22(1)()(1)t u t t t -'=+>0.∴()u t 在0<t <1上增函数.()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴()00g x '≠. ………………………………… 16分数 学(附加题)21.(选做题)从A ,B ,C ,D 四个中选做2个,每题10分,共20分.A .选修4—1 几何证明选讲如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的圆 交AC 于D .求证:22BC CD AC =⋅. B .选修4—2 矩阵与变换已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,求A 特征值λ1,λ2及对应的特征向量α1,α2.C .选修4—4 参数方程与极坐标已知直线cos()14πρθ-=和圆)4πρθ=+,判断直线和圆的位置关系. D .选修4—5 不等式证明选讲若21,32x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭<。