苏州市高三教学调研数学试卷及答案

苏州市2009届高三教学调研测试数 学（正题） 2009．1注意事项：1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸． 3．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 4．文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔． 5．作图题可使用2B 铅笔，不需要用签字笔描摹．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1． 集合{1,0,1}-的所有子集个数为_________．82． 已知复数112i z =+，21i z a =+（i 是虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则实数a ＝_________．123． 直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是_________．a ＝－2．4． 函数11()2x y -=的值域是_________．（0，＋∞） 5． 如图，程序执行后输出的结果为_________．64．6． 椭圆2214x y m+=的一条准线方程为m y =，则=m ________．57． 已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥；②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//； ④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．①④8． 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅u u u r u u u r ＝_________．32-9． 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．13610． 设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =_________． 11． 已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________．＝32，PC 12． 已知一个正三棱锥P －ABC 的主视图如图所示，若AC ＝BC_________．13． 在锐角△ABC中，b ＝2，B ＝π3，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC 的面积为_________14． 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．18C BA P二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）已知函数()22sin cos 3cos f x x x x x =++．（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）已知()3f α=，且()0,πα∈，求α的值．15．解：（Ⅰ）()2cos22f x x x ++＝π2sin(2)26x ++．………… 4分 由πππ2π22π262k x k -+++≤≤，得ππππ36k x k -++≤≤．∴函数()f x 的单调增区间为 ()ππ[π,π]36k k k -++∈Z ．………… 7分（Ⅱ）由()3f α=，得π2sin(2)236α++=．∴π1sin(2)62α+=． ………………………………………… 10分∴1ππ22π66k α+=+，或2π5π22π66k α+=+()12,k k ∈Z ，即1πk α=或2ππ3k α=+()12,k k ∈Z ．∵()0,πα∈，∴π3α=． …………………………………………… 14分16． （本小题满分14分）已知数列(){}f n 的前n 项和为nS，且22n S n n =+．（Ⅰ）求数列(){}f n 通项公式；（Ⅱ）若()11a f =，()()1*n n a f a n +=∈N ，求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和n T ．16．解：（Ⅰ）n ≥2时，1()21n n f n S S n -=-=+． ………………… 4分n ＝1时，1(1)3f S ==，适合上式，∴1()21n n f n S S n -=-=+()*n ∈N ． ………………… 5分 （Ⅱ）()113a f ==，()121*n n a a n +=+∈N ． ………………… 8分即112(1)n n a a ++=+． ∴数列{}1n a +是首项为4、公比为2的等比数列． ………………… 10分1111(1)22n n n a a -++=+⋅=，∴121n n a +=-()*n ∈N ．……………… 12分T n ＝231(222)n n ++++-L ＝224n n +--． ………………… 14分 17． （本小题满分15分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．17．解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC＝AC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝AD ＝4．∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯ 3分 则V＝123= ……………… 5分 （Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分 （Ⅲ）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ． ∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB ． ……… 12分在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ， ∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ， ∴C 为ND 的中点． ……12分NF EDCB APMF EDBAPPABCDEF∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分18． （本小题满分15分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）． （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 18．解：（Ⅰ）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分 ＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤ …………………… 8分（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 11分 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． …………………… 14分（答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． …………………… 15分19． （本小题满分16分）已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围．19．解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． …… 2分 圆C ：22(1)5x y -+=． 设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：(4)4y k x =-+， 即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C 相切，∴解得111,22k k ==或． …………………… 4分 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）． …………………… 6分2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =a 2＝18，b 2＝2．椭圆E 的方程为：221182x y +=． …………………… 8分（Ⅱ）(1,3)AP =u u u r ，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--u u u r，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r． …………………… 10分∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． …………………… 12分 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． ……… 14分3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分20． （本小题满分16分）已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底，e 2.7≈）；（Ⅲ）令()()gx f x nx =-，如果()x g 图象与x 轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <，AB 中点为()0,0x C ，求证：()00g x '≠．20．解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln2462ln22a b -=-++． …………………… 2分 解得a ＝2，b ＝1． …………………… 4分 （Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x -'=-=，令()0h x '=，得x ＝1（x ＝－1舍去）．在1[,e]e 内，当x ∈1[,1)e时，()0h x '>，∴h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时，()0h x '<，∴h (x )是减函数． …………………… 7分则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤……10分 即21e 2m <-≤． …………………… 12分（Ⅲ）()22ln gx x x nx =--，()22g x x n x'=--． 假设结论成立，则有2111222212002ln 0,2ln 0,2,220.x x nx x x nx x x x x n x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④①－②，得221121222ln()()0x x x n x x x ----=． ∴12012ln22x x n x x x =--．由④得0022n x x =-， ∴12120ln1x x x x x =-．即121212ln 2x x x x x x =-+． 即11212222ln 1x x x x x x -=+．⑤ …………………… 14分令12x t x =，22()ln 1t u t t t -=-+（0＜t ＜1)， 则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在0＜t ＜1上增函数．()(1)0u t u <=，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴()00g x '≠． ………………………………… 16分数 学（附加题）21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分．A ．选修4—1 几何证明选讲如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的圆 交AC 于D ．求证：22BC CD AC =⋅． B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求A 特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．C ．选修4—4 参数方程与极坐标已知直线cos()14πρθ-=和圆)4πρθ=+，判断直线和圆的位置关系． D ．选修4—5 不等式证明选讲若21,32x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭<。