曲线的轨迹方程的求法

圆锥曲线的轨迹方程的求法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点
重难点归纳
一、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 二、跟踪应用
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)
和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：2
12(4)(34)y x x =--≤≤或
24(03)y x x =≤<）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：2
2y x =）；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P 向圆22
1x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600
，
则动点P 的轨迹方程为
（答：22
4x y +=）；（2）点M 与点F(4,0)
的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：2
16y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：12
2
=+y x 和⊙N ：01282
2=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P 是抛物线122
+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→
−PA 所成的比
为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3
1
62-=x y ）；
⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，
使||||OP MN =，求点P 的轨迹。

（答：2
2
||x y a y +=）；（2）若点),(11y x P 在圆1
2
2=+y x
上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：2
121(||)2
y x x =+≤）；（3）过抛物线y x 42
=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：2
22x y =-）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴
子”转化。

如已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分
别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.
2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足
.0||,022≠=⋅TF TF （1）设x 为点P 的横坐标，证明
x a
c
a F +=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若
不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）222
x y a +=；（3）当2b a c >时不存在；当2b a c
≤时存在，此时∠F 1MF 2＝2）
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
例2设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
命题意图本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托直线与抛物线的位置关系
错解分析当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论 技巧与方法 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系
解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a
由OM ⊥AB ，得m =－y
x
由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0
所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22
122
()(4)y y a p =
所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以2
44a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－
y
x
代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，
N
A
M B
o
y
x
去掉坐标原点
解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(
,)p p A k k
则OB 的方程为1
y x k =-
，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2
(2)1k
y x p k =--，过定点(2,0)N p ，
由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外） 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点
解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，
代入y 2=4px 得222(,)p p A k k
则OB 的方程为1
y x k
=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -
由OM ⊥AB ，得
M 既在以OA 为直径的圆 22
2220p p x y x y k k
+-
-=……①上， 又在以OB 为直径的圆 22
2
220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外），
①2
k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)
故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点
6 双曲线22
22b
y a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q
⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程 解设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)
由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 2
2000000
0)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2
即b 2(－x 2)－a 2(
y
a x 22-)2=a 2
b 2
化简得Q 点的轨迹方程为 a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )
例2．（2001上海，3）设P 为双曲线-4
2x y 2
＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段
OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。

解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）
∴2,20
0y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴4
42
x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1
点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。

题型1：求轨迹方程
例1．（1）一动圆与圆2
2
650x y x +++=外切，同时与圆2
2
6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

（2）双曲线2
219
x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。

解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，
将圆方程分别配方得：2
2
(3)4x y ++=，2
2
(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ①
当M 与2O 相切时，有2||10O M R =-
②
将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，
即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③
移项再两边分别平方得：
222(3)12x y x ++=+ ④
两边再平方得：2
2
341080x y +-=，
整理得
22
13627
x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是
22
13627
x y +=，轨迹是椭圆。

（法二）由解法一可得方程2222
(3)(3)12x y x y +++-+=，
由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，
∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，
∴2
36927b =-=，
∴圆心轨迹方程为
22
13627
x y +=。

x
y
1O
2O
P
（2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，
∴c =
=
∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ∆存在，∴10y ≠
由三角形重心坐标公式有100
3x y y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
，即1133x x y y =⎧⎨=⎩ 。

∵10y ≠，∴0y ≠。

已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有2
2(3)(3)1(0)9
x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2
2
91(0)x y y -=≠。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。

例3．（1）设AB 是过椭圆x a y b
a b 222210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为
F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）
A. bc
B. ab
C. ac
D. 2
b
（2）已知双曲线x a y b
a b 222
2100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲
线的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A.
4
3
B.
53
C. 2
D.
72
（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆
x y 22
259
1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10
B. 105-
C. 105+
D. 1025+
解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。

又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为
1
2
cb 。

所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。

点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。

（2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，
又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223
=
由双曲线的第二定义可得
||PF x a
c
c
a 22
-
=， 所以x a c =532。

又x a a c a ≥≥，即
532，从而e c a =≤5
3。

故选B 。

点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532
a c
a ≥成立的条件。

利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。

（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。

连PB ，PF 。

由椭圆的定义知：
||||PB PF +=10，
所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。

由平面几何知识，
||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，
而||()()AF =
-+-=3420522，
所以(||||)min PA PB +=+105。

点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。

例4．（1）（06全国1文，21）设P 是椭圆()22
211x y a a
+=>短轴的一个端点，Q 为椭
圆上的一个动点，求PQ 的最大值。

（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为(3,0)F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
①求该椭圆的标准方程；
②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。

（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。

解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2， =(1－a 2)(y －
11－a 2 )2－1
1－a
2+1+a 2 。

因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=1
1－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ，
若1<a<2,则当y=－1时, |PQ|取最大值2。

（2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，
又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14
22
=+y x 。

②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)，
由 x=2
10+x
得
x 0=
2x －1
y=
2
210+
y y 0=2y －
2
1 由,点P 在椭圆上,得
1)2
1
2(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4
1(4)2
1
(2
2
=-+-y x 。

③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。

当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14
22
=+y x , 解得B(
1
422
+k ,
1
422
+k k ),C (－
1
422
+k ,－
1
422
+k k )，
则2
24114
k
k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d=
2
12
1k
k +-
，
∴△ABC 的面积S △ABC =
2411221
k
k d AB +-=
⋅。

于是S △ABC =1
44114144222+-
=++-k k
k k k 。

由
1
442+k k ≥－1,得S △ABC ≤
2,其中,当k=－21
时,等号成立。

∴S △ABC 的最大值是2。

（3）解：设椭圆方程为22
221()x y a b c a b
+=>>
（Ⅰ）由已知得222224b c
a
c a b c =⎧⎪⎪=⇒
⎨⎪⎪=+⎩
2222
11
a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
∴所求椭圆方程为22
12x y +=。

（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+
由22
212
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得关于x 的方程：22
(12)860k x kx +++=，
由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，22
06424(12)0k k ∴>⇒-+>，解得2
32
k >。

又由韦达定理得122
122812612k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=
⎪+⎩
，
12|||AB x x ∴=-=
= 原点O 到直线l
的距离d =。

1||2AOB
S
AB d =⋅==. 解法1
：对S =两边平方整理得：
2422244(4)240S k S k S +-++=（*），
∵0S ≠，22222
2
22
16(4)44(24)0,4024
04S S S S S
S S ⎧
⎪--⨯+≥⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪
⎩，整理得：2
12S ≤。

又0S >，
02
S ∴<≤
AOB S
的最大值为2S =
， 此时代入方程（*）得 42
428490k k -+=
，2
k ∴=±。

所以，所求直线方程为：240y -+=。

解法2
：令0)m m =>，则2
2
23k m =+。

2442
S m m m
∴=
=≤++
当且仅当4
m m
=
即2m =
时，max S =
，此时k =±
所以，所求直线方程为14240y += 解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。

设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+，
则直线l 与x 轴的交点2
(,0)D k
-
，
由解法一知2
32k >且12
2122812612k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪
⋅=⎪+⎩
，
解法1：1212112
|||||||22|22AOB
S OD y y kx kx k
=
⋅-=⋅+-- =12||x x -
22212()4x x x x =+-
21624k -=
22223k -=. 下同解法一.
解法2：AOB
POB
POA
S
S
S
=-211
2||||||2
x x =⨯⨯-21||
x x =-22223k -。

下同解法一。

点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。

处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。

题型3：证明问题和对称问题
4．（2004年高考福建卷文科（21））如图，P 是抛物线C ：y=
2
1x 2
上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q.
（Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离.
解：（Ⅰ）把x =2代入221x y =
，得y=2， ∴点P 坐标为（2，2）. 由 22
1x y =， ① 得x y ='， ∴过点P 的切线的斜率k 切=2， 直线l 的斜率k l =－
切k 1=,21- ∴直线l 的方程为y －2=－21(x －2)， 即 x +2y －6=0. （Ⅱ）设.2
1),,(20000x y y x P =则 ∵ 过点P 的切线斜率k 初=x 0，当x 0=0时不合题意，
.00≠x ∴ 直线l 的斜率k l =－切
k 1=01x -， 直线l 的方程为 ).(12100
20x x x x y --=- ② 方法一：联立①②消去y ，得x 2+
02x x －x 02－2=0. 设Q ).,(),,(11y x M y x ∵M 是PQ 的中点， ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=+---=-=+=.12121)1(1,12202020000010x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2+1212+x
(x ≠0)就是所求的轨迹方程. 由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>x
x x x y x 上式等号仅当21,2142
2±==
x x x 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+ 方法二： 设Q ).,(),,(11y x M y x 则
由y 0=21x 02，y 1=2
1x 12，x =,210
x x +
∴ y 0－y 1=
21x 02－21x 12=21(x 0+x 1)(x 0－x 1)=x (x 0－x 1)， ∴,101010x k x x y y x l -==--= ∴,10x
x -= 将上式代入②并整理，得 y=x 2+
1212+x (x ≠0)就是所求的轨迹方程. 由x ≠0知.121212121,02
2222+=+⋅≥++=∴>x x x x y x 上式等号仅当21,21422±==x x
x 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+ 说明：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基
本思想和综合解题能力。

3 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, OQ OP //, 1=⋅OQ OP , 求Q 点的轨迹方程.
解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由// 得: x ay =, 即 y x
a =
, 由1=⋅得: 1=+y ax , 将y x
a =代入得: y y x =+22, 且0>y .
∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(022>=-+y y y x .。