高等数学大纲详解模块一_极限与连续
高等数学第1章 函数、极限与连续PPT科技
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
高等数学第一章函数极限和连续讲义
第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()yf x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法 （1）函数的显式表示法（显函数）：()yf x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出31y x =-，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩ 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x 在X 上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M大的数都是函数()f x 的界．2．单调性 设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性 设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sin x 、cos x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算 设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算： （1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈． 2．反函数（函数的逆运算）对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()yf x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数()y f u =的定义域为fD ，函数()ug x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f的定义域fD 内，即gf R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数 幂函数：yx μ=（R μ∈是常数）； 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）；对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）；三角函数：sin yx =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记． （1）反正弦函数arcsin yx =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-． （2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π． （3）反正切函数arctan yx =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-． （4）反余切函数cot yarc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π． 2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，22y x =-，2ln(1)y x x =++，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n→+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界． 说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的． 性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim nn x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）． （二）函数的极限1．函数极限的定义 （1）0xx →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）．说明：函数的左极限lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x 当x大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）．说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0xx →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）． （三）极限运算法则1．如果0lim()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±； （2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x fx g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；（3）000lim ()()lim()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B→→→==，其中0B ≠； （4）0lim[()]lim ()x x x x cfx c f x →→=，其中c 为常数；（5）0lim[()][lim ()]n n x x x x fx f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim nn x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有（1）lim()nn n x y A B →∞±=±； （2）lim()nn n x y A B →∞⋅=⋅；（3）lim n n nx Ay B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n =）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A→=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈时，有()g x u ≠，则lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==．说明：本法则以0xx →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim nn y A →∞=，lim n n z A →∞=，那么数列{}n x 的极限存在，且lim nn x A →∞=．准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈（或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=，那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ．说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．0sin lim1x xx→=，可引申为()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)xx x e →+= 或 1lim(1)x x e x→∞+=，可引申为1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x ex ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）． 说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)nn e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n→∞时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义． （2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； （2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小； （4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ；（5）如果lim0k c βα=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小． 3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小． （2）常数与无穷小的乘积是无穷小． （3）有限个无穷小的乘积是无穷小． （4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，limβα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，tan ()~()x x ϕϕ；0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ； 0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-；0x →时111~n x x n +-，可引申为()0x ϕ→时，11()1~()n x x nϕϕ+-；0x →时1~x e x -，可引申为()0x ϕ→时，()1~()x e x ϕϕ-；0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()yf x =在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）． 连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()yf x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续 （1）左连续：lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x 在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0xx =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值． 2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=． 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数． 1．设()12xf x x =-，求[()]f f x ． 解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x 然后化简，得12[()]122141212xx xx f f x x x x x x -===----⋅-． 2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ．解：当01xe ≤≤即0x ≤时，22[()]()x xfg x e e ==， 当12xe <≤即0ln 2x <≤时，[()]3xfg x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩ ．【例1-2】求函数的定义域． 1．()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由arcsin(21)x -可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由l n (1)x -可得10x->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．21()arccos(2)2x f x x x x -=+---． 解：由1x -可得10x -≥，即1x ≥；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3]．【例1-3】判断函数的奇偶性． 1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性． （1）()()()()f x f x g x g x +-++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数． （2）()()()()f x f x g x g x --++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数2()ln(1)f x x x =++的奇偶性．解：因2()ln(()1)f x x x -=-+-+2ln(1)x x =-++21ln 1x x=++2ln(1)()x x f x =-++=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n nn n n→∞+++．解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：222221(1)121212lim()lim lim 2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++++===． 2．222111lim()12n n n n n→∞++++++． 解：因22222111121nn n n n n n nn <+++<+++++，并且2l i m1n nn n→∞=+，2lim 11n nn →∞=+，故原极限值为1．（夹逼准则）3．222lim(1)nn n n→∞++．解：22(22)222222222222lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n n n e n n n n+⋅+→∞→∞→∞++++=+=+=．4．23lim()21nn n n →∞-+．解：21424212344lim()lim(1)lim(1)212121n nn n n n n n n e n n n +-⋅--+→∞→∞→∞---=+=+=+++． 【例1-5】计算下列极限． 1．sin limx xx→∞．解：当x →∞时，1x为无穷小，sin x 虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得sin lim0x xx→∞=．说明：本极限与01lim sin x x x →意义是一样的．2．21lim 1n x x x x nx →+++--．解：2211111lim lim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--2121lim[1(1)(1)(1)]n n x x x x x x x --→=+++++++++++(1)1232n n n +=++++=． 说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：2111(1)lim lim(12)12n n x x x x x n n n x nx x -→→+++-+=+++=-．3．0sin(1)lim 3x x e x→-．解：因当0x →时，sin(1)~1xx ee --，1~x e x -，故 00sin(1)11limlim 333x x x x e e x x →→--==． 说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：00sin(1)cos(1)1lim lim 333x x x x x e e e x →→--⋅==． 4．sin 0limsin x x x e e x x→--．解：sin sin sin 00(1)lim lim 1sin sin x x x x x x x e e e e x x x x-→→--==--（0x →时，sin ~sin x x e x x --）．5．23lim()2xx x x→∞++． 解：2(2)2222311lim()lim(1)lim(1)222x x x x xx x x x e x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=+=+++． 6．11lim(sincos )x x x x→∞+． 解：111(sin cos 1)11sin cos 11111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-211111sin cos 1sincos 12limlim lim 1lim 111110x x x x x x x x x xx xxe e e e e →∞→∞→∞→∞-+--+++=====．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ． 解：利用前一极限式可令32()22f x x x ax b =+++，再利用后一极限式，得 00()3lim lim()x x f x ba x x→→==+，则 3a =，0b =，故32()223f x x x x =++．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x -．解：因 22002limlim 211cos 2x x x x x x →→==-，故2x 与1cos x -是同阶无穷小． 2．2x 比11x +-．解：因 220limlim 01112x x x x x x→→==+-，故2x 是比11x +-高阶的无穷小． 3．11x x +--比x ．解：因 0011(11)(11)lim lim (11)x x x x x x x x x x x x →→+--+--++-=++-2lim 1(11)x x x x x →==++-，故11x x +--与x 是等价无穷小． 4．2x 比tan sin x x -．解：因 2220002cos limlim lim 1tan sin sin (1cos )2x x x x x x x x x x x x x →→→===∞--⋅， 故2x 是比tan sin x x -低阶的无穷小． 说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解． 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．2,01()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处的连续性． 解：因(1)1f =，11(1)lim ()lim 22x x f f x x ---→→===， 11(1)lim ()lim(1)2x x f f x x +++→→==+=，从而1lim ()2(1)x f x f →=≠，故函数在1x =处不连续．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．解：因(0)0f =，1(0)lim ()lim 0xx x f f x e ---→→===，(0)lim ()lim ln(1)0x x f f x x +++→→==+=，从而0lim ()0(0)x f x f →==，故函数在0x =处连续．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处连续？解：因(0)f a =-，0(0)lim ()lim(2)x x f f x x a a ---→→==-=-，10000ln(1)1(0)lim ()lim lim ln(1)lim ln(1)1xx x x x x f f x x x xx +++++→→→→+===+=+=，故由连续性可得，(0)(0)(0)f f f -+==，即1a -=，故1a =-．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()xf x e= ．解：所给函数在0x =处无定义，故0x =是间断点．又1lim x x e +→=+∞，10lim 0xx e -→=，故0x=是()f x 的第二类间断点．2．()sin xf x x= ．解：所给函数在x k π=（0,1,2,k =±±）处无定义，故0x =、x k π=（1,2,k=±±）是间断点．又0lim1sin x xx→=，故0x =是第一类间断点，且是可去间断点；lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=是第二类间断点，且是无穷间断点．3．111()1xxe f x e -=+ ．解：所给函数在0x=处无定义，故0x =是间断点．又111(0)lim 11xx xe f e ++→-==+，111(0)lim 11xx xe f e --→-==-+，故0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ． 解：该题是分段函数的连续性问题，因0x ≠时1arctanx 是初等函数，故1arctan x在0x ≠时是连续的，所以该题主要考虑分界点0x =处的连续性．由1(0)lim arctan 2x f x π++→==，01(0)lim arctan 2x f x π--→==-，可知0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．证：函数32()41f x x x =-+在闭区间[0,1]上连续，又(0)10f =>，(1)20f =-<，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即32410ξξ-+= （01ξ<<），该等式说明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根是ξ．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根．证：由题意，函数()21x f x x =⋅-在区间[0,1]上连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即210ξξ⋅-= （01ξ<<），该等式说明方程21x x ⋅=在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根ξ．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数211arccos 2x y x +=--的定义域是（ ）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-解：因 2101112x x ⎧-≥⎪⎨+-≤≤⎪⎩，故 11212x x -≤≤⎧⎨-≤+≤⎩ ， 1131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ，所以 11x -≤≤，故选（D ）． 2．（2010年，1分）极限0sin3lim x xx→等于（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）13（D ）3 解：00sin33limlim 3x x x xx x→→==，故选（D ）． 3．（2009年，1分）极限(1)limnn n n→∞+-=（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在解：(1)(1)(1)lim lim[1]1lim 101n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+---=+=+=+=，故选（A ）．4．（2009年，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在解：因00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-，0lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故0lim ()x f x →不存在，选（D ）． 5．（2009年，1分）2x π=是函数tan xy x=的（ ） （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点解：因 2lim 0tan x x x π→=，故2x π=是函数tan xy x =的可去间断点，选（B ）． 6．（2008年，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（ ）（A ）0 （B ）不存在 （C ）∞ （D ）1解：1sin1lim ()lim sin lim11x x x x f x x x x→∞→∞→∞===，故选（D ）．7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sinx 的（ ）（A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价 （C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小解：因 22220033lim lim 3sin x x x x x x→→==，故选（B ）．8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin3x 高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小 （C ）与sin3x 同阶的无穷小 （D ）与sin3x 等价的无穷小解：因0tan 222limlim sin333x x x x x x →→==，故选（C ）． 9．（2006年，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x - 解：当0x ≤时，[()]()sin()sin()sin f g x f x x x x πππ=-=-=--=-；当0x>时，[()]()sin()sin f g x f x x x ππ=+=+=-，故选（C ）． 10．（2005年，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（ ）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）12解：由11()20lim(1)lim[1()]m m xmxx x mx mx e e ⋅---→→-=+-==，得2m =-，选（C ）．11．（2005年，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞解：0x +→时，1x →+∞，1x-→-∞，10x e -→；0x -→时，1x →-∞，1x-→+∞，1x e -→+∞；故选（B ）． 二、填空题1．（2010年，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处连续，则a = ．解：11lim()lim(21)1x x f x x --→→=-+=-，11lim ()lim()1x x f x x a a ++→→=-=-，因()f x 在点1x =处连续，故11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即11a -=-，2a =． 2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x=的第 类间断点．解：因1lim ()lim cos0x x f x x x→→==，故0x =是函数()f x 的第一类间断点．3．（2009年，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(l n 2)]g f = ．解：因0ln 21<<，故 (ln 2)1f =，所以 1[(ln 2)](1)g f g e e ===．4．（2009年，2分）1sin y x=在0x =处是第 类间断点．解：因0x →时，1x→∞，1sin x 没有极限，故 0x = 是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数ln arcsin yx x =+的定义域为 ．解：由题意，011x x >⎧⎨-≤≤⎩ ，故原函数的定义域为 (0,1]．6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．解：数列可看作特殊的函数，因数列n x 有界，数列n y 为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，lim 0n nn x y →∞=．7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为 ．解：由31yx =+可得，31y x =+，31x y =-，故反函数为 31y x =-．8．（2007年，4分）函数21arcsin 3x y -=的定义域为 ．解：由21113x --≤≤得，3213x -≤-≤，即12x -≤≤，所以定义域为[1,2]-． 9．（2007年，4分）21lim()xx x x→∞-= ．解：22(2)2111lim()lim(1)lim(1)x x x x x x x e x x x-⋅--→∞→∞→∞---=+=+=．10．（2006年，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x xx a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．解：0lim()lim(2)x x f x x a a --→→=-=-，22211221(3)3322000123lim ()lim()lim(1)11x x x x x x xx f x e xx+++++⋅---→→→--==+=++， 因()f x 在0x =处连续，故0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即3a e --=，故3a e -=-． 三、计算题1．（2010年，5分）求极限lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．解：22222lim lim 1lim 1x c cxxxc x cc x x x x c c c e x c x c x c -⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2010年，5分）求极限3tan limx x xx→-． 解：22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x →→→--===． 说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：232000tan sec 12sec sec tan 1lim lim lim 363x x x x x x x x x x x x →→→--⋅===． 3．（2009年，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ． 解：此题为“∞-∞”型的极限，解法如下：23321111313(1)(2)lim lim lim 1111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→++--+⎛⎫-===- ⎪----++⎝⎭． 4．（2009年，5分）求极限 0limsin x x x e e x-→- ．解：002limlim 2sin cos 1x x x x x x e e e e x x --→→-+===．5．（2008年，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．解：22sin 22cos2limlim 2cos()sin()(1)x x x x x x ππππ→→==----⋅-．6．（2007年，5分）求极限011lim()1x x x e →-- ． 解：20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x x x x x x e x e x e x e x e x x →→→→------====--． 说明：0x →时，1~xex -．7．（2006年，4分）求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．解：2300011cos (sin )sin limcot ()lim lim sin sin x x x x x x x xx x x x x x→→→---== 2220011cos 12lim lim 336x x xx x x →→-===．8．（2006年，4分）设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x xg x =+，求0()lim()x f x g x →． 解：因0x →时，1cos 20()sin 0xf x t dt -=→⎰，56()056x xg x =+→，且1cos 220()(sin )sin sin(1cos )xf x t dt x x -''==-⎰，45()g x x x '=+，故 2245450000()()sin sin(1cos )(1cos )lim lim lim lim ()()x x x x f x f x x x x x g x g x x x x x →→→→'--==='++224454500011()124lim lim lim 041x x x x x x x x x x x x x→→→⋅====+++．9．（2005年，5分）求极限111lim()1ln x x x→-- ．解： 1111111ln 1lim()lim lim 11ln (1)ln ln x x x x x xx x x x x x x→→→--+-==---+11111limlim ln 1ln 112x x x x x x x →→--===-+-++．。
高数上册函数极限与连续课件
定积分及其应用
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是 函数在区间上积分和的极限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加 性、常数倍性质、比较性 质等。
定积分的几何意义
定积分在几何上表示曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的计算方法
微积分基本定理
微积分基本定理是计算定积分的 基础，它将定积分转化为不定积
高数上册函数极限与 连续课件
• 函数的概念与性质 • 极限的概念与性质 • 连续函数 • 导数的概念与性质 • 原函数与不定积分 • 定积分及其应用
目录
函数的概念与性质
函数的性质（奇偶性、周期性、单调性等）
奇偶性
如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于 函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
原函数与不定积分
原函数的概念与性 质
总结词
理解原函数的概念和性质是学习高数的重要基础。
详细描述
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，即如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 原函数具有一些重要的性质，例如，如果F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为常数）也是f(x)的原函数。
唯一性
若函数在某点的极限存在， 则该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在， 则该点的函数值是有界的。
局部保号性
若函数在某点的极限大于 0，则该点的函数值也大 于0；反之亦然。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值趋近于0的量。
高等数学_第一讲__极限与连续
如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n
1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
高等数学课件 极限与连续
第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时，是的间断点? 是什么间断点? 四、主要解题方法求函数极限方法***** 1. 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．例如习题二P31 2 2. 利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(2) (3) (4) (1) 小结(1) 应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（2）求函数极限时，经常出现等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。
《高等数学》的极限与连续
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。
是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
一，极限的概念从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。
通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。
这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。
现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。
我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。
这基本上时可以直接套用的。
1，连续函数的极限这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。
2，不定型我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。
那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。
等价代换的公式主要有六个：需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。
特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。
专升本高数-第一章极限与连续
求曲线的长度。利用连续函数的性质，可以求出曲线 的长度。
03
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义与性质
无穷小量
在自变量趋于某点或无穷的过程中，函数值趋于0 的变量。
性质
无穷小量不是0，但比任何有限小的数都更接近0。
举例
当x→0时，x是无穷小量。
无穷大量的定义与性质
无穷大量
在自变量趋于某点或无穷的过程中，函数值趋于无穷大的变量。
04
函数的极限与连续性之 间的关系
极限存在与连续性的关系
极限存在不一定连续
一个函数在某点的极限存在，并不意味着该函数在该点连续。 例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为0，但在该 点是不连续的。
连续不一定极限存在
如果一个函数在某点连续，则在该点的极限一定存在。但反 之不一定成立，例如函数$f(x) = left{ begin{matrix} x,x geqslant 0 0,x < 0 end{matrix} right.$在$x=0$处是连续 的，但在该点的极限不存在。
性质
无穷大量不是无穷，但其绝对值可以任意大。
举例
当x→∞时，x^2是无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关系
01
无穷小量是趋于0的变量，而无穷大量是趋于无穷的变量。
02
无穷小量乘以无穷大量可能为无穷大量，也可能为无穷小量，
还可能为有限常数。
无穷小量除以无穷大量可能为0，也可能为无穷小量，还可能为
03
有限常数。
极限的计算方法
直接代入法
01
对于简单的初等函数，可以直接将自变量的值代入函数表达式
中计算极限。
商的极限法则
高等数学第-讲极限与连续PPT课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
高等数学-极限与连续
Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
第六节 函数的连续性
二、函数的连续
第六节 函数的连续性
第七节 连续函数的性质
一、连续函数的和、差、积、商的连续性 性质1 如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续，那么它们的和 、差、积、商(分母在x0处不等于零)也都在x0处连续.即
第三节 无穷小与无穷大
二、函数极限与无穷小的关系 定理1 在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，limf(x)=A 的充分必要条件是：f(x)=A+α，其中A为常数，α为无穷小. 注意：在“lim”符号下面不标x→x0或x→∞，表示所述结果 对两者都适用，以后不再说明.
第三节 无穷小与无穷大
第一节 函数极限的运算法则
二、数列极限的运算法则 前面我们介绍了数列极限的定义，并通过观察求出了一些 简单数列的极限.但对于数列极限的计算问题，通常需要用到数 列极限的运算法则.
法则(1)和法则(2)可以推广到有限个具有极限的数列的情形.
第二节 函数的极限
一、当x→x0时函数f(x)的极限 定义1 设函数y=f(x)在x0的某空心邻域内有定义，如果当x 无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫作函 数f(x)当x→x0时的极限，记作
三、无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质： 性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小. 性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小.
第三节 无穷小与无穷大
四、无穷小的比较 定义2 设α与β是同一变化过程中的两个无穷小，即limα=0， limβ=0. (1) 如果limα/β=0，那么称α是比β高阶的无穷小； (2) 如果limα/β=∞，那么称α是比β低阶的无穷小； (3) 如果limα/β=c≠0，那么称α与β是同阶无穷小.特别是当 c=1，即当limα/β=1时，则称α与β是等价无穷小，记作α～β. 由定义可知，当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小，而3x是比x2 低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小.
高等数学第1章 一元函数的极限与连续
值域为: Rf og = R.
第一节 一元函数
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
第一章
一、主要内容
（一）函数的概念及图形
1. 函数的概念
定义1 设数集 D ⊆ R , 则称映射 f : D → R 为定义在
D 上的一元函数 , 记为 y = f ( x), x ∈ D .
9. 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类 型。
10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函 数的介值定理与最大值、最小值定理。
预备知识
一、主要内容 二、典型例题
一、主要内容 (一) 平面点集
1. 集合的概念 定义 1 具有某种特定性质的事物所组成的总体称为集合. 集合中的每个事物称为该集合的元素. 不含任何元素的集合称为空集 ,记作 ∅ . 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈ M .
称由映射g和f 构成的映射为复合映射 , 记作 f o g,
二、典型例题
例1 f : R → R1 = { y y ≥ 0 }, f ( x ) = x2 .
Q f ( X ) = R f = R1
y
∴ 映射 f 是满射 . 不是单射.
y
y = x2
例2 f : R → R, f ( x ) = x2 .
第一章 一元函数的极限 与连续
本章基本要求
1. 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数 概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性 和有界性）的了解。
2. 理解复合函数的概念,了解反函数的概念。 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
4. 理解极限的概念，了解极限的定义（不要
求学生做给出ε求δ或N 的习题）。
（完整版）大一高数第一章函数、极限与连续
（完整版）⼤⼀⾼数第⼀章函数、极限与连续第⼀章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为⾃然科学的中⼼问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进⼊了⼀个被称为“⾼等数学时期”的新时代，这⼀时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究⽐“形”更重要，以积极的态度开展对“⽆限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创⽴更是这⼀时期最突出的成就之⼀.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的⼀种基本⽅法，⽽连续性则是函数的⼀种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍⾼等数学的⼀些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作⽤的⽆穷⼩量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运⽤极限的概念引⼊函数的连续性概念，它是客观世界中⼴泛存在的连续变化这⼀现象的数学描述.第⼀节变量与函数⼀、变量及其变化范围的常⽤表⽰法在⾃然现象或⼯程技术中，常常会遇到各种各样的量.有⼀种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这⼀类量叫做变量；另⼀类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这⼀类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如⾃然数由⼩到⼤变化、数列的变化等，⽽更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何⼀个数.变量取值范围常⽤区间来表⽰.满⾜不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ，即 ,{|}a b x a x b =≤≤；满⾜不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即(,){|}a b x a x b =<<；满⾜不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即(,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a ，b 称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有⽆限区间：(){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ，，(,{|}b x x b -∞=-∞<≤??，(,){|}b x x b -∞=-∞<<， ){|}a x a x +∞=≤<+∞??，， (){|}a x a x +∞=<<+∞，，等等. 这⾥记号“-∞”与“+∞”分别表⽰“负⽆穷⼤”与“正⽆穷⼤”.邻域也是常⽤的⼀类区间.设0x 是⼀个给定的实数，δ是某⼀正数，称数集:{}00|x x δxx δ-<<+为点0x 的δ邻域，记作0(,)U x δ.即(){}000,|U x δx x δx x δ=-<<+称点0x 为该邻域的中⼼，δ为该邻域的半径(见图1-1).称{}00(,)U x δx -为0x 的去⼼δ邻域，记作0(,)x δoU ，即{}00(,)|0U x δx x x δ?=<-<图1-1下⾯两个数集(){}000,|U x δx x δx x ?-=-<<，(){}000,|U x δx xx x δ?+=<<+，分别称为0x 的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们⽤0()U x ，0()x oU 分别表⽰0x 的某邻域和0x 的某去⼼邻域，(),x δ-oU ，(),U x δ?+分别表⽰0x 的某左邻域和0x 的某右邻域.⼆、函数的概念在⾼等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同⼀个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复⼒与它的形变，等等.我们关⼼的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的⼀类依赖关系，称为函数关系.定义 1 设A ，B 是两个实数集，如果有某⼀法则f ，使得对于每个数x A ∈，均有⼀个确定的数y B ∈与之对应，则称f 是从A 到B 内的函数.习惯上，就说y 是x 的函数，记作()y f x = ()x A ∈其中，x 称为⾃变量，y 称为因变量，()f x 表⽰函数f 在x 处的函数值.数集A 称为函数f 的定义域，记为()D f ；数集{}()|(),f A y y f x x A B ==∈?称为函数f 的值域，记作()R f .从上述概念可知，通常函数是指对应法则f ，但习惯上⽤“() ,y f x x A =∈”表⽰函数，此时应理解为“由对应关系()y f x =所确定的函数f ”.确定⼀个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表⽰使函数有意义的范围，即⾃变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t 的函数()f t 中，t 通常取⾮负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的⾃变量x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表⽰两个变量之间的⼀种对应关系.例如，⽓温曲线给出了⽓温与时间的对应关系，三⾓函数表列出了⾓度与三⾓函数值的对应关系.因此，⽓温曲线和三⾓函数表表⽰的都是函数关系.这种⽤曲线和列表给出函数的⽅法，分别称为图⽰法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数与反三⾓函数都是⽤公式法表⽰的函数.从⼏何上看，在平⾯直⾓坐标系中，点集()(){(,)|,}x y y f x x D f =∈称为函数()y f x =的图像（如图1-2所⽰）.函数()y f x =的图像通常是⼀条曲线，()y f x =也称为这条曲线的⽅程.这样，函数的⼀些特性常常可借助于⼏何直观来发现；相反，⼀些⼏何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举⼀个具体函数的例⼦.图1-2例1求函数y . 解要使数学式⼦有意义，x 必须满⾜> ,240,10x x ?-≥??-??即 >2,1.x x ?≤由此有 12x <≤，因此函数的定义域为(12??，.有时⼀个函数在其定义域的不同⼦集上要⽤不同的表达式来表⽰对应法则，称这种函数为分段函数.下⾯给出⼀些今后常⽤的分段函数.例2 绝对值函数<,0,,0.x x y x x x ≥?==?-? 的定义域()()D f =-∞+∞，，值域()[0,)R f =+∞，如图1-3所⽰. 例3 符号函数<>1,0,sgn 0,0,1,0x y x x x -??===的定义域()()D f =-∞+∞，，值域()11{0}R f =-，，，如图1－4所⽰.图1-3 图1-4例4 最⼤取整函数y x =，其中x 表⽰不超过x 的最⼤整数.例如，113??-=-，00=，12??=??，π3=等等.函数y x =的定义域()()D f =-∞+∞，，值域(){}R f =整数.⼀般地，y x n ==，1n x n ≤<+，120,,n =±±L ，，如图1-5所⽰.图1-5在函数的定义中，对每个()x D f ∈，对应的函数值y 总是唯⼀的，这样定义的函数称为单值函数.若给定⼀个对应法则g ，对每个()x D g ∈，总有确定的y 值与之对应，但这个y 不总是唯⼀的，我们称这种法则g 确定了⼀个多值函数.例如，设变量x 与y之间的对应法则由⽅程2225x y +=给出，显然，对每个55[,]x ∈-，由⽅程2225x y +=可确定出对应的y 值，当5x =或5-时，对应0y =⼀个值；当55(,)x ∈-时，对应的y 有两个值.所以这个⽅程确定了⼀个多值函数.对于多值函数，往往只要附加⼀些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分⽀.例如，由⽅程2225x y +=给出的对应法则中，附加“0y ≥”的条件，即以“2225x y +=且0y ≥”作为对应法则，就可以得到⼀个单值分⽀()2125y g x x ==-；附加“0y ≤”的条件，即以“2225x y +=且0y ≤” 作为对应法则，就可以得到⼀个单值分⽀22()25y g x x ==--.关系的，如⾼度为⼀定值的圆柱体的体积与其底⾯圆半径r 的关系，就是通过另外⼀个变量其底⾯圆⾯积S 建⽴起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2 设函数()y f u =的定义域为()D f ，函数()u g x =在D 上有定义，且()()g D D f ?.则由下式确定的函数()()y f g x =，x D ∈称为由函数()y f u =与函数()u g x =构成的复合函数，记作()()()()y f g x f g x =?=，x D ∈，它的定义域为D ，变量u 称为中间变量.这⾥值得注意的是，D 不⼀定是函数()u g x =的定义域()D g ，但()D D g ?.D 是()D g 中所有使得()()g x D f ∈的实数x 的全体的集合.例如，()y f u u ==， ()21u g x x ==-.显然，u 的定义域为(),-∞+∞，⽽()(0,)D f =+∞.因此，11,D -＝，⽽此时1()0,R f g =.两个函数的复合也可推⼴到多个函数复合的情形.例如， log a µxu y x a ==()10a a >≠且可看成由指数函数u y a =与log a u µx =复合⽽成.⼜形如()log ()()()a v x u x v x y u x a ==()0u x ＞()10a a >≠且的函数称为幂指函数，它可看成由wy a =与()log ()a w v x u x =复合⽽成. ⽽y =可看成由y =sin u v =，2v x =复合⽽成.例5 设()1xf x x =+()1x ≠-，求()()()f f f x解令()y f w =，()w f u =，()u f x =，则()()()f f f x 是通过两个中间变量w 和u 复合⽽成的复合函数，因为()111121x x x x uxw f u u x ++====+++，12x ≠-；()2121,1131x x x x wxy f w w x ++====+++13x ≠-，所以 ()()()31x f f f x x =+，111,,23x ≠---.定义3 设给定函数()y f x =，其值域为()R f .如果对于()R f 中的每⼀个y 值，都有只从关系式()y f x =中唯⼀确定的x 值与之对应，则得到⼀个定义在()R f 上的以y 为⾃变量，x 为因变量的函数，称为函数()y f x =的反函数，记为()1x fy -=.从⼏何上看，函数()y f x =与其反函数()1x f y -=有同⼀图像.但⼈们习惯上⽤x 表⽰⾃变量，y 表⽰因变量，因此反函数()1xf y -=常改写成()1y f x -=.今后，我们称()1y f x -=为()y f x =的反函数. 此时，由于对应关系1f-未变，只是⾃变量与因变量交换了记号，因此反函数()1y fx -=与直接函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，如图 1 - 6所⽰.图1-6值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数2y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为，但)0+∞??，对每⼀个()0y ∈+∞，，有两个x 值即1x =和2x =因此x 不是y 的函数，从⽽2y x =不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若f 是从()D f 到()R f 的⼀⼀映射，则f 才存在反函数1f -.例6 设函数(1)1xf x x +=+ ()1x ≠-，求()11f x -+.解函数()1y f x =+可看成由()y f u =，1u x =+复合⽽成.所求的反函数()11y f x -=+可看成由()1y fu -=，1u x =+复合⽽成.因为()11x u f u x u-==+，0u ≠，即1u y u -=，从⽽，()11u y -=-， 11u y=-，所以 ()111y f u u-==-，因此 ()1111,01(1)f x x x x-+==-≠-+.三、函数的⼏种特性1. 函数的有界性设函数()f x 在数集D 上有定义，若存在某个常数L ，使得对任⼀x D ∈有()f x L ≤（或()f x L ≥），则称函数()f x 在D 上有上界（或有下界），常数L 称为()f x 在D 上的⼀个上界（或下界）；否则，称()f x 在D 上⽆上界（或⽆下界）.若函数()f x 在D 上既有上界⼜有下界，则称()f x 在D 上有界；否则，称()f x 在D 上⽆界.若()f x 在其定义域D f （）上有界，则称()f x 为有界函数.容易看出，函数()f x 在D 上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任⼀x D ∈，都有()f x M ≤.例如，函数sin y x =在其定义域()-∞+∞，内是有界的，因为对任⼀()x ∈-∞+∞，都有sin 1x ≤，函数1y x=在()10,内⽆上界，但有下界. 从⼏何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间.2. 函数的单调性设函数()f x 在数集D 上有定义，若对D 中的任意两数12,x x 12()x x <，恒有()()12f x f x ≤ [或()()12f x f x ≥]，则称函数()f x 在D 上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所⽰.图1-7例如，函数()3f x x =在其定义域()-∞+∞，内是严格单调增加的；函数()cos f x x =在π0,（）内是严格单调减少的.从⼏何上看，若()y f x =是严格单调函数，则任意⼀条平⾏于x 轴的直线与它的图像最多交于⼀点，因此()y f x =有反函数.3. 函数的奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 关于原点对称（即若()x D f ∈，则必有()x D f -∈.若对任意的()x D f ∈，都有()()f x f x -=-[或()()f x f x -=]，则称()f x 是()D f 上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所⽰.图1-8例7 讨论函数()(ln f x x =的奇偶性. 解函数()f x 的定义域()-∞+∞，是对称区间，因为()(lnln f x x ??-=-= (()ln x f x =-+=-所以，()f x 是()-∞+∞，上的奇函数. 4. 函数的周期性设函数()f x 的定义域为()D f ，若存在⼀个不为零的常数T ，使得对任意()x D f ∈，有x T D f ±∈（）（），且f x T f x +=（）（），则称()f x 为周期函数，其中使上式成⽴的常数T 称为()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最⼩正周期，即：使上式成⽴的最⼩正数T T （如果存在的话）.例如，函数sin f x x =（）的周期为π2；()tan f x x =的周期是π. 并不是所有函数都有最⼩正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数为数为⽆数10 ,) (,x D x x ?=??有理，理.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最⼩正周期.四、函数应⽤举例下⾯通过⼏个具体的问题，说明如何建⽴函数关系式.例8 ⽕车站收取⾏李费的规定如下：当⾏李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的⾏李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解当500x <≤时，150.y x =；当50x >时，1552550.00.(0)y x =?+-. 所以函数关系式为：0.15, 050;7.50.25(50),50.x x y x x <≤?=?+->?这是⼀个分段函数，其图像如图1－9所⽰.图1-9例9 某⼈每天上午到培训基地A 学习，下午到超市B ⼯作，晚饭后再到酒店C 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或⼯作的地⽅吃.A B C ，，位于⼀条平直的马路⼀侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打⼯者在这条马路的A 与B 之间何处找⼀宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短. 解如图1-10所⽰，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），⽤f x （）表⽰每天往返的路程函数.图1-10当D 位于A 与C 之间，即30x ≤≤时，易知()()8823222f x x x x x =++-+-=-（），当D 位于C 与B 之间，即38x ≤≤时，则()882312()()0.f x x x x x =++-+-=+ 所以22,03;()102,38.x x f x x x -≤≤?=?+≤≤?这是⼀个分段函数，如图1-11所⽰，在30,上，()f x 是单调减少，在38,上，()f x 是单调增加.从图像可知，在3x =处，函数值最⼩.这说明，打⼯者在酒店C 处找宿舍，每天⾛的路程最短.图1-11五、基本初等函数初等数学⾥已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数、反三⾓函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的⽅便，下⾯我们再对这⼏类函数作⼀简单介绍.1. 幂函数函数µy x = (µ是常数)称为幂函数.幂函数µy x =的定义域随µ的不同⽽异，但⽆论µ为何值，函数在()0+∞，内总是有定义的. 当0µ>时，µy x =在)0+∞??，上是单调增加的，其图像过点0,0（）及点()1,1，图1-12列出了12µ=，1µ=，2µ=时幂函数在第⼀象限的图像. 当0µ<时，µy x =在()0+∞，上是单调减少的，其图像通过点()1,1，图1-13列出了12µ=-，1µ=-，2µ=-时幂函数在第⼀象限的图像.图1-12 图1-132. 指数函数函数x y a =(a 是常数且10a a >≠，)称为指数函数.指数函数x y a =的定义域是()-∞+∞，，图像通过点()10,，且总在x 轴上⽅. 当时1a >，x y a =是单调增加的；当10a <<时，x y a =是单调减少的，如图1-14所⽰.以常数e 271828182.=L 为底的指数函数e x y =是科技中常⽤的指数函数.图1-143. 对数函数指数函数x y a =的反函数，记作log a y x =（a 是常数且10,a a >≠)，称为对数函数.对数函数log a y x =的定义域为()0+∞，，图像过点()1,0.当1a >时，log a y x =单调增加；当10a <<时，log a y x =单调减少，如图1-15所⽰.科学技术中常⽤以e 为底的对数函数e log y x =，图1-15它被称为⾃然对数函数，简记作ln y x =.另外以10为底的对数函数1log 0y x =，也是常⽤的对数函数，简记作g l y x =.4. 三⾓函数常⽤的三⾓函数有正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =，正切函数tan y x =，余切函数 cot y x =，其中⾃变量x 以弧度作单位来表⽰.它们的图形如图1-16，图1-17，图1-18和图1-19所⽰，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线.图1-16图1-17正弦函数和余弦函数都是以π2为周期的周期函数，它们的定义域都为(),-∞+∞，值域都为1,1-.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.图1-18 图1-19由于πcos sin 2x x ??=+ ??，所以，把正弦曲线sin y x =沿x 轴向左移动π2个单位，就获得余弦曲线cos y x =.正切函数sin tan cos xy x x==的定义域为()21{|(),}D f x x x n n =∈≠+R ，整为数. 余切函数cos cot sin xy x x==的定义域为 ()π{,}D f x x x n n =∈≠R ｜，整为数.正切函数和余切函数的值域都是()-∞+∞，，且它们都是以π为周期的函数，且都是奇函数.另外，常⽤的三⾓函数还有正割函数sec y x =；余割函数cscy x =.它们都是以π2为周期的周期函数，且1sec cos x x=； 1csc sin x x =.5. 反三⾓函数常⽤的反三⾓函数有反正弦函数 arcsin y x = (如图1-20)；反余弦函数 arccos y x = (如图1-21)；反正切函数 arctan y x = (如图1-22)；反余切函数arccot y x = (如图1-23).它们分别称为三⾓函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =的反函数.这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三⾓函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =在其定义域内不存在反函数，因为对每⼀个值域中的数y ，有多个x 与之对应.但这些函数在其定义域的每⼀个单调增加（或减少）的⼦区间上存在反函数.例如，sin y x=在闭区间,22ππ??-上单调增加，从⽽存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsin x 的主值，记作y =arcsin x .通常我们称arcsin y x =为反正弦函数.其定义域为11,-，值域为,22ππ??-.反正弦函数arcsin y x =在11,-上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所⽰. 类似地，可以定义其他三个反三⾓函数的主值arccos arctan ,y x y x ==和arccot y x =，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数.反余弦函数arccos y x =的定义域为1,1-，值域为π0,，在1,1-上是单调减少的，其图像如图1-21中实线部分所⽰.反正切函数arctan y x =的定义域为(),-∞+∞，值域为ππ22??-，，在()-∞+∞，上是单调增加的，其图像如图1-22中实线部分所⽰.反余切函数arccot y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为π0,（），在()-∞+∞，上是单调减少的，其图像如图1-23中实线部分所⽰.图1-20 图1-21图1-22 图1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能⽤⼀个式⼦表⽰的函数，称为初等函数.例如，23sin4y x x =+，(ln y x =+，3arctan22sin 1xy x x =+等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同⼦集⽤不同表达式来表⽰对应关系的，有些分段函数也可以不分段⽽表⽰出来，分段只是为了更加明确函数关系⽽已.例如，绝对值函数也可以表⽰成y x =1,,()0,x a f x x a ? 也可表⽰成1()12f x ? = ??.这两个函数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数双曲函数是⼯程和物理问题中很有⽤的⼀类初等函数.定义如下：双曲正弦 sh e e 2x xx --= ()x -∞<<+∞，双曲余弦 ch e e 2x xx -+= ()x -∞<<+∞，双曲正切 th e e e e sh ch x xx x+ ()x -∞<<+∞，其图像如图1-24和图1-25所⽰图1-24 图1-25.双曲正弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内单调增加.双曲余弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是偶函数，其图像通过点()10,且关于y 轴对称，在(),0-∞内单调减少；在()0+∞，内单调增加. 双曲正切函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内是单调增加的.由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成⽴.()sh sh ch ch sh x y x y x y ±=±，()ch ch ch sh sh x y x y x y ±=±，sh22sh ch x x x =，2222ch2ch sh 12sh 2ch 1x x x x x =+=+=-，22ch sh 1x x -=.2. 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数，sh y x =，ch y x =和th y x =的反函数，依次记为反双曲正弦函数 a rsh y x =，反双曲余弦函数 arch y x =，反双曲正切函数 a rth y x =.反双曲正弦函数a rsh y x =的定义域为()-∞+∞，，它是奇函数，在()-∞+∞，内单调增加，由sh y x =的图像，根据反函数作图法，可得a rsh y x =的图像，如图1-26所⽰.利⽤求反函数的⽅法，不难得到(a rsh ln y x x ==+.反双曲余弦函数arch y x =的定义域为)1+∞??，，在)1+∞??，上单调增加，如图1-27所⽰，利⽤求反函数的⽅法，不难得到(arch ln y x x ==.图1-26 图1-27反双曲正切函数a rtanh y x =的定义域为11()-，，它在11()-，内是单调增加的.它是奇函数，其图像关于原点(00)，对称，如图1-28所⽰.容易求得a rth 1ln 1xy x x+==-.第⼆节数列的极限⼀、数列极限的定义定义1 如果函数f 的定义域()*{}D f N ==L ，，，123，则函数f 的值域()(){}**|f N f n n N =∈中的元素按⾃变量增⼤的次序依次排列出来，就称之为⼀个⽆穷数列，简称数列，即()()()12,,f f f n L L ，，.通常数列也写成12,n x x x L L ，，，，并简记为{}n x ，其中数列中的每个数称为⼀项，⽽()n x f n =称为⼀般项.对于⼀个数列，我们感兴趣的是当n ⽆限增⼤时，n x 的变化趋势.我们看下列例⼦：数列 12,,,,231nn +L L (1－2－1) 的项随n 增⼤时，其值越来越接近1；数列 2462 n L L ，，，，， (1－2－2)的项随n 增⼤时，其值越来越⼤，且⽆限增⼤；数列 1111(1)0,n n-+-L L ，，，， (1－2－3)的各项值交替地取1与0；数列 ()11111,,,,,23n n---LL (1－2－4) 的各项值在数0的两边跳动，且越来越接近0；数列 2222L L ，，，，， (1－2－5)各项的值均相同.在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义，即“如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列{}n x 的⼀般项n x ⽆限地趋近于某⼀个常数a （即n x a -⽆限地接近于0），那么就说a 是数列{}n x 的极限”.于是我们⽤观察法可以判断数列{}1n n -，1(1)n n -??-，{}2都有极限，其极限分别为1,20，.但什么叫做“n x ⽆限地接近a ”呢？在中学教材中没有进⾏理论上的说明.我们知道，两个数a 与b 之间的接近程度可以⽤这两个数之差的绝对值b a -来度量.在数轴上b a -表⽰点a 与点b 之间的距离，b a -越⼩，则a 与b 就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为111n x n n-=-=，我们知道，当n 越来越⼤时，1n 越来越⼩，从⽽n x 越来越接近1.因为只要n ⾜够⼤， 11n x n-=就可以⼩于任意给定的正数，如现在给出⼀个很⼩的正数1100，只要n 100>即可得11100n x -<，11120,0,n =L如果给定110000，则从10001项起，都有下⾯不等式1110000n x -<成⽴.这就是数列1n n x n-=12 (,,)n =L ，当n →∞时⽆限接近于1的实质.⼀般地，对数列{}n x 有以下定义.定义2 设{}n x 为⼀数列，若存在常数a 对任意给定的正数ε(⽆论多么⼩)，总存在正整数N ，当n N >时，有不等式n x a ε-<即(,)n x U a ε∈，则称数列{}n x 收敛，a 称为数列{}n x 当n →∞时的极限，记为lim n n x a →∞=或n x a →()n →+∞.若数列{}n x 不收敛，则称该数列发散.定义中的正整数N 与ε有关，⼀般说来，N 将随ε减⼩⽽增⼤，这样的N 也不是唯⼀的.显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则⽐这个N ⼤的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如⽆特殊声明，N 均表⽰正整数.此外，由邻域的定义可知，()n x U a ε∈，等价于n x a ε-<.我们给“数列{}n x 的极限为a ”⼀个⼏何解释：将常数a 及数列123,,,,,n x x x x L L 在数轴上⽤它们的对应点表⽰出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(,)a εa ε-+，如图1-29所⽰图1-29因两个不等式 ||n x a ε-<， n a εx a ε-<<+等价，所以当n N >时，所有的点n x 都落在开区间(,)a εa ε-+内，⽽只有有限个点（⾄多只有N 个点）在这区间以外.为了以后叙述的⽅便，我们这⾥介绍⼏个符号，符号“?”表⽰“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每⼀个”；符号“?”表⽰“存在”；符号“{}ax m X ”表⽰数集X 中的最⼤数；符号“{}min X ”表⽰数集X 中的最⼩数.数列极限lim n n x a →∞=的定义可表达为：lim n n x a →∞=0ε??>，?正整数N ，当n N >时，有n x a ε-<.例1 证明 1lim 02n n →∞=.证 0ε?>(不防设1ε<)，要使11022nn ε-=<，只要21nε>，即ln ln21/n ε>（）. 因此，0ε?>，取ln /ln21N ε= ???，则当n N >时，有102n ε-<.由极限定义可知1lim 02n n →∞=. 例2 证明π1lim cos04n n n →∞=. 证由于ππ111cos 0cos 44n n n n n -=≤，故0ε?>，要使π1cos 04n εn -<，只要1εn <，即1n ε>.因此，0ε?>，取1N ε??=，则当n N >时，有π1cos 04n εn -<.由极限定义可知π1lim cos 04n n n →∞=. ⽤极限的定义来求极限是不太⽅便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的⽅法.⼆、数列极限的性质定理1（惟⼀性）若数列收敛，则其极限惟⼀. 证设数列{}n x 收敛，反设极限不惟⼀：即lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，且a b ≠，不妨设a b <，由极限定义，取2b a ε-=，则10N ?＞，当1n N >时，2n b ax a --<，即 322n a b a bx -+＜＜，（1-2-6） 20N ?>，当2n N >时，2n b ax b --<，即322n a b b ax +-＜＜， (1-2-7) 取{}12m ,N ax N N =，则当n N >时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成⽴，显然⽭盾.该⽭盾证明了收敛数列{}n x 的极限必惟⼀.定义3 设有数列{}n x ，若存在正数M ，使对⼀切12,,n =L ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称它是⽆界的.对于数列{}n x ，若存在常数M ，使对12n =L ，，，有n x M ≤，则称数列{}n x 有上界；若存在常数M ，使对12,,n =L ，有n x M ≥，则称数列{}n x 有下界.显然，数列{}n x 有界的充要条件是{}n x 既有上界⼜有下界. 例3 数列{}211n +有界；数列{}2n 有下界⽽⽆上界；数列{}2n -有上界⽽⽆下界；数列{}11nn --（）既⽆上界⼜⽆下界.定理2（有界性）若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界.证设lim n n x a →∞=，由极限定义，0ε?>，且1ε<，0N ?>，当n N >时，1||n x a ε-<<，从⽽<1n x a +.取{}12m 1,,,,N M ax a x x x =+?，则有n x M ≤，对⼀切123,,,n =L ，成⽴，即{}n x 有界.定理2 的逆命题不成⽴，例如数列{}1()n -有界，但它不收敛.定理3（保号性）若lim n n x a →∞=，0a >（或0a <），则0N ?>，当n N >时，0n x >（或0n x <）.证由极限定义，对02aε=>，0N ?>，当n N >时，2n a x a -<，即322n a x a <<，故当n N >时，02n ax >>.类似可证0a <的情形.推论设有数列{}n x ，0N ?> ，当n N >时，0n x > (或0n x <)，若lim n n x a →∞=，则必有0a ≥ (或0a ≤).在推论中，我们只能推出0a ≥ (或0a ≤)，⽽不能由0n x > (或0n x <)推出其极限(若存在)也⼤于0(或⼩于0).例如10n x n=>，但1lim lim 0n n n x n →∞→∞==.下⾯我们给出数列的⼦列的概念.定义4 在数列{}n x 中保持原有的次序⾃左向右任意选取⽆穷多个项构成⼀个新的数列，称它为{}n x 的⼀个⼦列.在选出的⼦列中，记第1项为1n x ，第2项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{}n x 的⼦列可记为{}k n x .k 表⽰k n x 在⼦列{}k n x 中是第k 项，k n 表⽰k n x 在原数列{}n x 中是第k n 项.显然，对每⼀个k ，有k n k ≥；对任意正整数h ，k ，如果h k ≥，则h k n n ≥；若h k n n ≥，则h k≥由于在⼦列{}k n x 中的下标是k ⽽不是k n ，因此{}k n x 收敛于a 的定义是：0ε?>，0K ?>，当k K >时，有k n x a ε-<.这时，记为lim k n k x a →+∞= .定理4 lim n k x a →∞=的充要条件是：{}n x 的任何⼦列{k n x }都收敛，且都以a 为极限. 证先证充分性.由于{}n x 本⾝也可看成是它的⼀个⼦列，故由条件得证. 下⾯证明必要性.由lim n k x a →∞=，0ε?>，0N ?>，当n N >时，有n x a ε-<.今取K N =，则当k K >时，有k K N n n n N >=≥，于是k n x a ε-<.故有lim k n k x a →∞=.定理4⽤来判别数列{}n x 发散有时是很⽅便的.如果在数列{}n x 中有⼀个⼦列发散，或者有两个⼦列不收敛于同⼀极限值，则可断⾔{}n x 是发散的.例4 判别数列{}*πsin ,8n n x n N =∈的收敛性.解在{}n x 中选取两个⼦列：{}*8πsin ,8k k N ∈，即{}πππ8168sin ,sin ,sin ,888k ； ()*164πsin ,8k k N +??∈，即()ππ16420sin ,sin ,88k ??+??. 显然，第⼀个⼦列收敛于0，⽽第⼆个⼦列收敛于1，因此原数列{}πsin 8n 发散.三、收敛准则定义5 数列{}n x 的项若满⾜121n n x x x x +≤≤≤≤≤L L ，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满⾜121n n x x x x +≥≥≥≥≥L L ，则称数列{}n x 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成⽴时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明.例5 证明数列11nn ??+?? ??收敛.证根据收敛准则，只需证明11nn ??+?? ??单调增加且有上界（或单调减少且有下界）.由⼆项式定理，我们知道1221111(1)1n n n n n n nx C C C n n n n =+=++++L 11112112111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n -=++-+--++---L L ，11211111211111(1)111(1)(1)n n n n n n n x C C C n n n n +++++++=+=++++++++L 1111211(1)(1)(1)2!13!11n n n =++-+--++++L1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+--++-+++L 112(1)(1)(1)(1)!111n n n n n +--++-++++L ，逐项⽐较n x 与1n x +的每⼀项，有1n n x x +<，1,2,.n =L这说明数列{}n x 单调增加，⼜111112!3!!n x n <+++++L 211111222n <+++++L。
高等数学-极限与连续
四、 数列极限的性质
第二章 极限与连续
定理2(极限的唯一性) 数列 不能收敛于两个不同的极限.
数列 有界是指存在 ， 使一切 满足
.
定理 3 ( 收敛数列的有界性 ) 如果数列 收敛， 则该数列一定有界.
如果数列无界， 则其一定发散； 如果数列有界， 则其未必收敛.
数列
有界
，但发散.
34
四、 数列极限的性质
3
一、数列的概念 １. 数列的定义
第二章 极限与连续
数列 :
我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，
其中 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或称为数列的一般项
(通项). （1） ， ， ，…， ，…;
（2） （3） （4）
， ， ，…， ， ， ，…， ， ， ，…，
，…; ，…; ，…;
4
极限的定义只能用来验证极限， 而不能计算数列的极限， 所以下面给出数 列极限的运算法则.
定理(数列极限的运算法则) 若
，
，则
（1
；(加减法则)
）（2
；(乘法法则)
）（3
；(交换法则)
）（4
；(除法法则)
）
25
三、数列极限的计算
第二章 极限与连续
例3 求下列函数的极限：
（1
（2
）
）
（3
（4
）
）
（5
（6
y y=x+1
1
-1
O
1
x
-1
y=x-1 图2-6
56
二、自变量趋于有限值时的极限 例2 设 解 因为
第二章 极限与连续
求
即有 所以
不存在.
高等数学第1章 函数 极限 连续
吴新民
-9-
第一节 映射与函数
4 映射
定义3 设 A, B 是两个非空集合, 若对每个 x A,
第 一
按照某个确定的法则 f , 有唯一确定的 y B 与它对应,
章
则称 f 是 A 到 B 的一个映射,记作
函 数
f : A B, 或 f : x y f ( x), x A.
值域
y
C {( x, y) y f ( x), x D}
(x, y)
称为函数 y f ( x) 的图形. o
x
x
定义域
吴新民
- 18 -
第一节 映射与函数
3 函数的表示法
函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法.
第
一 章
几种常用的函数
函
数
(1) 符号函数
极
限 连 续
1 当x 0
第 一 章
解 当 t [0, ] 时,
2
U
E t
2
2E t;
函 数
当t ( , ]时,
2
极
U
E 0 (t )
2
2E (t )
限 当 t ( ,) 时, U 0. 由于U U (t) 是分段函数，所
连 续
以 U(t)
函 则称函数f ( x)为偶函数.
数
极
y
限
y f (x)
连 续
f (x)
吴新民
-x o x
x
偶函数
- 25 -
第一节 映射与函数
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x)
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足 0 | x x 0 | ( x 0 x x 0 , x 0 x x 0 ) .
x ( , ) 的量化: | x | 很大很大, 即 | x | X ( x X , x X ) , X 存在.
D [1,2] 上有界, 而在 D (0,1) 上无界, 究其原因是 x 0 为 f ( x ) 的无穷间断点.
例 1. 选择题. 函数 f ( x ) (B) (1,2)
sin x 在区间( )内有界. x ( x 1)( x 2)
(D) (3,4) .
(A) (0,1) 例 2. 例 3. 例 4.
反三角函数 y arcsin x ， arccos x ， arctan x ， arc cot x . 基本不用 arc sec x 与
arc csc x 这两个函数.
指数函数, 对数函数,三角函数, 反三角函数统称超越函数. 注意: 所有反三角函数均为单值函数, 不用加 k 或 2k . 其中 arcsin : [ 1,1] [
(u ( x ) 0) , 若 u ( x ), v ( x ) 均为初等函数, 则 u ( x ) v ( x ) 也为初 x 1 nx 2
x 1 x
2
, 求 f n ( x ) f ( f ( f ( x ))) .(答案: f n ( x )
n次
.)
例 8. 将半径为 R 的圆剪下一个顶角为 扇形, 再叠成母线为 R 的圆锥, 求圆锥的体 积与 的关系式. 例 9. 利用正弦定理证明三角形的面积与三边 a , b, c 的关系: 海伦公式
f ( x) A ⑦ ⑤ lim f ( x ) A ⑥ lim
x x0 x x0
x x0
定义证明: ① lim 常见数列极限(需要背诵)
n
n 1 ② lim arctan x ③ lim( 2 x 1) 3 . x 1 x n 1 2
3
三角函数把数变成角. 例如 tan( 45 ) 1 , arctan 1 45 (故意不用弧度制). 例 7. 画出函数 f ( x ) e x 的大致图像. 7. 初等函数 的函数. 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合且仅用一个式子来表示
v( x) 1
例如, 幂指函数 u ( x ) 等函数. 例 8. 设 f 1 ( x ) 8. 函数关系的建立
S
p ( p a )( p b)( p c ) ,其中 p a b c .
9. 数列极限与函数极限的定义及其性质 无限趋近的量化: a n a ( n ) | a n a | , f ( x ) A | f ( x ) A | . 其中 0 是任意小给定的数(注意它与自变量 n , x 无关), 它反映了近似值与准确值 的绝对误差的上界.
考试内容 1. 函数的概念及表示法 函数是特殊的映射 f : D R R , x y f ( x ) ,若 n 1 , 则称 f 为一元函数; 若 n 2 , 则称 f 为多元函数. 本章只研究一元函数.函数的本质是抽象的对应法则, 即对于 x D ,有唯一的 y 与之对应. 用符号 D f (Domain of f)表示 f 定义域, R f (Range of f)表示 f 的值域. 一元函数的表示法共有十种:
1
n
① 列表法 ② 图像法 ③ 解析式(公式)法, 一般用 y f ( x ) 显式表示 ④ 隐函数: 由方程 F ( x , y ) 0 确定的(隐)函数,一般没有显式表示,不要试图解出 y f ( x ) ⑤ 由参数方程
x (t ) ( t 为参数)确定的函数 y f ( x ) ⑥ 由函数列极限表示的函数 y (t )
n 0
2. 函数的四大性质(有界性、奇偶性、单调性和周期性) 有界性. 有上界(下界): f ( x ) 在数集 D 上有上界 存在常数 K ( L ), 使得对
x D ,有 f ( x ) K ( f ( x ) L ). 若 f ( x ) 在 D 既有上界又有下界, 则称 f ( x ) 在 D 上有界, 即存在常数 M 0 , 使得对任意 x D , 有 | f ( x ) | M (即 M 为下界, M 为上界). 注意函数的有界性随数集 D 的改变而变化. 例如 f ( x ) 1 在区间 x
, ] 单调增加; arccos : [ 1,1] [0, ] 单调减少; 2 2 arctan : ( , ) ( , ) 单调增加; arc cot : ( , ) (0, ) 单调减少. 2 2 特别地, arctan( ) , arctan( ) . 通俗地讲, 三角函数把角变成数, 反 2 2
x 1 x 1
, ( x)
x 2, x 1,
2
x0 x0
, 求 f [ ( x )] .
函数 f : D R f 存在反函数 f 为单射. 即 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x 2 .
1
反函数反的是对应法则, 即由 y f ( x ) 形式上解得 x g ( y ) f
2018 年数学考试大纲基础详解
考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 高等数学 约 56% 线性代数 约 22% 概率论与数理统计 四、试卷题型结构 单选题 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 填空题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 解答题（包括证明题） 9 小题，共 94 分
(C) ( 2,3)
判定函数 f ( x ) ln( x
3
x 2 1) , g ( x )
1 1 ( x 0) 的奇偶性. e 1 2
x
证明 f ( x ) x 在 ( , ) 上是单调函数. 证明 f ( x ) | sin x | 的最小正周期为 .
3. 复合函数 设 u ( x ) , y f (u ) , 若 的值域是 f 的定义域的子集, 即 R D f , 则复合函数 f (不是乘法 f )有意义, 且 ( f )( x ) f [ ( x )]
v( x) u( x)
f ( x ) lim f n ( x ) ⑦ 变限积分表示的函数 ( x )
n
f (t )dt ⑧含参量积分
( x)
v( x)
u( x)
f ( x, t )dt (较之变限积分复杂)⑨ 由幂级数(数学一、三)表示的函数
s ( x ) a n x n ( x I , I 为收敛域) ⑩ 由微分方程表示的函数.
x 2 1 ) 的反函数.
5. 分段函数 分段函数是一个函数, 其定义域是各段函数定义域的并. 概率统计中分布函数与密度 函数经常是分段函数. 注意不要将分段函数与积分的可加性混淆(考研阅卷中的常见 错误).二重积分
| f ( x, y ) | dxdy
D D
D { f ( x , y ) 0}
( y)
为什么是形式上的呢? 因为绝大部分情况下,由 y f ( x ) 是解不出 x g ( y ) 的. 例如
y f ( x) x
1 1 sin x ( x ( , )) , 则 y 1 cos x 0 , 则 y 为单调增加函数 2 2
显然有反函数 x g ( y ) , 但是得不到 g ( y ) 的具体解析式. 例 6. 求 f ( x ) ln( x
注意: 极限 lim f ( x ) A 是等式, 但用不等式来刻画(基本的哲学思想). 七种极限的定义(要求熟练背诵定义,主要是①②⑤) ① lim a n a ② lim f ( x ) A ③ lim f ( x ) A ④ lim f ( x ) A
n x x x
是指分段函数. 6. 基本初等函数的性质及其图形 幂函数 y x ，注意 y
x p
指数函数 y a ，对数函数 y log a x . 三角函数 y sin x , y csc x
y tan x, y cot x
1 . tan x
1 1 ， y cos x , y sec x ， sin x cos x
约 22%
高等数学
模块一 函数、极限与连续
考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右 极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的 方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求 极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型． 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性， 理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、 最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质．
f (u ) , 称 x 为自变量, u 为中间变量, y 为因变量. 注意函数与字母的采用无关,
若 f ( x ) sin x , 则 f (u ) sin u , f (ln x ) sin(ln x ) .