广西玉林市2020年高三数学(文)第一次模拟试题【含答案】

(x)
2 cos(x
2 3
)
1(
0)
的一个零点是
x
4
，则当
取最小值时，函数
f (x) 的一个单调递减区间是 ( )
[ ] A. 3 ， 6
7 ] 12
【答案】D
[
]
B. 12 ， 6
[
]
C. 12 ， 3
[ D. 3 ，
【解析】
【分析】
根据函数零点关系，求出 的取值，利用函数的单调性进行求解即可．
因为
cos
FAA
3 5
，设 |
AB
|
3x
，则可得 |
AA
||
AF
|
5x
，由抛物线的性质可得
| AB || AA | | AB | 5x 2 ，
所以 3x 5x 2 解得 x 1 ，所以| AF | 5 ，
故选：D ．
【点睛】本题考查余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题.
11.已知函数
f
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
由 1
ix
1
yi
，其中
x,
y
是实数，得：
x 1 x
y
,
x y
1 1，所以
x
yi
在复平面内所
对应的点位于第四象限.
本题选择 D 选项.
3.已知
(0, ) ， cos
3 5
sin( ，则
)
6
的值为 (
)
4 33 A. 10
3 34 B. 10
7 C. 10
23 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合同角平方关系可求 sin ，然后结合两角差的正弦公式即可求解．
【详解】解：
(0,
)
cos
，
3 5
，
sin 4 5，
sin( ) 3 sin 1 cos 4 3 3 1 4 3 3
则
62
2
5 2 5 2 10 ．
故选：A． 【点睛】本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题. 4.PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35μg/m3 以下空气质量为一级，在 35μg/m3～75μg/m3 之间空气质量为二级， 在 75μg/m3 以上空气质量为超标.如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位： μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
9.已知 a 为正实数，若函数 f (x) x3 3ax2 2a2 的极小值为 0，则 a 的值为 ( )
1
A. 2
B. 1
3
C. 2
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由于 f (x) 3x(x 2a) ，而 a 0 ，可求得 f (x) 在 x 2a 处取得极小值，即
f (x)极小值 f 2a 0 ，从而可求得 a 的值．
的余弦值．
【详解】解：如图，连结 BE ， BF 、 D1F ，
由题意知 BED1F 为平行四边形， D1E / /BF ，
异面直线 D1E 与 A1F 所成角为 A1F 与 BF 所成锐角，即 A1FB ，
连结 A1B ，设 AB 2 ，则在△ A1BF 中， A1B 2 2 ， BF 5 ，
r ur b e1
得
r ur b e2
0
，由
e1,
e2
是方向相反的单位向量得
e1
e2
0
，
e1e2 1 ，然后即可算出答案
r ur r ur r ur r ur
【详解】由 b e1 b e2 得 b e1 b e2 0
2
b
即
e1 e2
b e1e2 0
【详解】作出可行域如图所示：
作直线 y 2x z ，再将其平移至 A1, 2时，直线的纵截距最小
z 的最小值为 4 故选：B 【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单.
6.已知圆 x2 y2 4ax 2ay 0 与直线 2x y 10 0 相切，则圆的半径为 ( )
A. 5wk.baidu.com
A x x 1 0 x x 1 B x 1 x 2
【详解】因为
，
所以 A B [1, )
故选：B
【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.
2.设 (1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
a 的值即可．
【详解】解：因为
AF1 AF2
0
，所以
AF1
AF2
，
又因为 kAF2
3
AF1F2
，所以
6
，则由
AF1
3c ，
c 2( 3 1) 2
根据双曲线的定义可得 3c c 2a ，则
3 1 ，
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题.
8.如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1B1，CD的 中点，则异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为（ ）
因为 e1, e2 是方向相反的单位向量，所以 e1 e2 0 ， e1e2 1
2 所以 b
1
0 ，即
b
1
故答案为：1
【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.
14.设 a，b，c 分别为三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知三角形 ABC 的面积等于
B. 2
C. 2 5
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可.
【详解】解：圆 x2 y2 4ax 2ay 0 的圆心 (2a, a) ，半径为： 5a2 ， 圆 x2 y2 4ax 2ay 0 与直线 2x y 10 0 相切，
| 2 (2a) (a) 10 | 5a2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.在平面上， e1, e2 是方向相反的单位向量，若向量 b 满足
r ur b e1
r ur b e2
b
，则 的值
____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
r ur
b e1
由
r ur b e2
【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题.
x 1 x y 1 0 5.若实数 x, y 满足 2x y 2 0 ，则 z 2x y 的最小值为（ ）
A2
B. 4
C. 5
D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
作出可行域，作直线 y 2x z ，再将其平移至 A1, 2时，直线的纵截距最小
【详解】解：由已知 f (x) 3x2 6ax 3x(x 2a) ，
又a 0，
所以由
f
( x)
0
得
x
0
或
x
2a
,0 2a,
，即函数在
和
上单调递增，
由
f
(x)
0
得
0
x
2a
，函数在
0,
2a 上单调递减，
所以 f (x) 在 x 2a 处取得极小值 0，
即 f (x)极小值 f 2a (2a)3 3a(2a)2 2a2 4a3 2a2 0 ，
f log2 3
log2 3
所以
g
sin
8
g
log4
6
g
log2
3
，即
c
b
a
故选：C
【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关 键，属于中档题.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
5 A. 5
5 B. 6
3 C. 3
3 D. 6
【答案】A 【解析】
【分析】
连结 BE ， BF 、 D1F ，推导出 BED1F 为平行四边形，从而 D1E / /BF ，异面直线 D1E 与 A1F 所成角为 A1F 与 BF 所成锐角，即 A1FB ，由此能求出异面直线 D1E 与 A1F 所成的角
0, +¥
上单调递增，然后即可比较出
a,b, c 的大小
g x
【详解】设
f
x x ，因为 f (x) 是奇函数，所以 g x是偶函数
当x
g x
0时
xf
x
x2
f
x
0
，所以
g
x
在
(0,
+¥
) 上单调递增
0
因为
sin
8
1
log2
6 log4 6 log2 3 a
，
f ( log2 3) log2 3
可得：
22 12
，
解得 a 1 ．
所以圆的半径为： 5 ．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程求解圆的圆心以及半径，考查 转化思想以及计算能力，属于基础题.
x2 y2 7.已知双曲线 a2 b2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为
1 2
k
12
，
k
Z
，
当
k
1
时，
f
(x)
[ 的一个单调递减函数区间为 3
，
7 12
]
，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性 是解决本题的关键.属于中档题
12.已知定义域为 R的 奇函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，当 x 0 时， xf (x) f (x) .若
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
A
x
x
1
0, B
x
1
x
2 ，则
A
B =（
）
A. (1, )
B. [1, )
C. [1,1]
D. [1, 2]
【答案】B 【解析】
【分析】
解出集合 A 中的一次不等式即可.
又a 0，
a1 解得 2 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题.
10.已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ， l 与 x 轴的交点为 P ，点 A 在抛物线 C 上，
过点
A
作
AA
l
，垂足为
A
．若
cos
FAA
3 5
，则
|
AF
|
(
)
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
过
F
做
FB
AA
于
B
，可得 |
AB
|
2
|
OF
|
2
，因为
cos
FAA
3 5
，可得 |
AF
|，|
BA
|
，
| AB | 的关系，进而求出 | AF | 的值．
【详解】解：由题意如图过 F 做 FB AA 于 B ， | AB | 2 | OF | 2
A1F AA12 AD2 DF 2 3 ，
cos A1FB
A1F 2 BF 2 A1B2 2 A1F BF
958 23 5
5 5．
5
异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为 5 ．
故选： A ．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
A. 这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标 B. 这 10 天中有 5 天空气质量为二级 C. 从 5 日到 10 日，PM2.5 日均值逐渐降低 D. 这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47 【答案】C 【解析】 【分析】 先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解. 【详解】解：由图表可知，选项 A，B，D 正确， 对于选项 C，由于 10 日的 PM2.5 日均值大于 9 日的 PM2.5 日均值， 故 C 错误， 故选：C.
a
f ( log2 3) ,b log2 3
f (log4 6) , c log4 6
f (sin )
8
sin 8
，则 a, b, c 的大小关系为（
）
A. a b c
B. c a b
C. c b a
D.
bca
【答案】C
【解析】
【分析】
( ) g x
设
f x x ，由条件可得出 g x是偶函数且在
【详解】解：
f
(
x)
的一个零点是
x
4
，
由
f
() 4
0
cos((
得4
2 3
)
1 2
，得 4
2 3
2k
3
，即
8k
4或
8k
4 3
，
kZ ，
0 ， 的最小值为 4 ，
f (x) 2 cos(4x 2 ) 1
此时
3，
2k 由
0„
4x 2 „ 3
2k
，
k
Z
，得
1 2
k
„ 6
x„
3 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且 AF1 • AF2 0，若 a 3 1，则 F2 的坐标
为（ ）
A. （1，0）
B. （ 3 ，0）
C. （2，0）
D.
（ 3 1，0）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件可得
AF1
AF2
AF1F2
，
6
，进而根据双曲线的定义可得
3c c 2a ，带入
广西玉林市 2020 年高三数学（文）第一次模拟试题
（考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必 将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.