人教版必修三高中数学 1.3 算法案例课件

研探新知
辗转相除法与更相减损术的比较: （1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到.
开始
输入m，n
n=r
m=n 求m除以n的余数r n>0？ 否 输出m 结束
是
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《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等 数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
•第一步,给定两个正数m,n •第二步,计算m除以n所得到余数r •第三步,m=n,n=r
• 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则，返回第二步
[问题4]:该算法的程序框图如何表示？
新课讲解
开始
输入m，n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0？ 是
否
输出m 结束
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问题5:如果用当型循环结构构造算法， 求两个正整数m，n的最大公约数的程序 框图如何表示？
∴18和90的最大公约 数是2×3×3=18.
[问题2]:求8251与6105的最大公约数?
新课讲解
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商 和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的 公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出 6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813 的最大公约数。
• 以下再求25与75的最大公约数： • 75＝25×3 • ∴25和75的最大公约数是25. • 故 25 是 75 和 25 的最大公约数，也就是 175 、 100 、 75 的最大公约数．
1.3算法案例
复习引入 表示算法的三种方式：
算法步骤（自然语言）
程序框图（图形语言）
计算机程序（程序语言）
新课讲解
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与90的最大公约数吗？ 2 18 90 3 9 45 3 3 15 1 5 先用两个数公有的质因数 连续去除,一直除到所得 的商是互质数为止,然后 把所有的除数连乘起来.
新课讲解
完整wk.baidu.com过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105 的最大公约数
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一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义：
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2、更相减损术
（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给 定的两个数，用较大的数减去较小的数，然 后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
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例 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数 减小数，并辗转相减， 即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7. 所以，98与63的最大公约数是7。 练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大 公约数。 (12)
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3求三个数175、100、75的最大公约数． • 分析：求三个数的最大公约数时，可以先求出其中 两个数的最大公约数，用这个最大公约数再与第三 个数求最大公约数，所得结果就是这三个数的最大 公约数． • 解： 解法 1( 辗转相除法 ) ：先求175与100的最大公 约数： • 175＝100×1＋75， • 100＝75×1＋25， • 75＝25×3. • ∴175与100的最大公约数是25.
练习:用更相减损术求两个正整数m，n的最大公 约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤 如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m-n所得的差k. 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示， 小者用n表示. 第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步. 讨论:该算法的程序框图如何表示？
课堂测试
2、分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约 数. 辗转相除法：168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6.
更相减损术:168-93=75， 75-18=57， 39-18=21， 18-3=15， 12-3=9， 6-3=3. 93-75=18， 57-18=39， 21-18=3， 15-3=12， 9-3=6，
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个 数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将除数变被除数，余数变除数，继续 上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时 最后的除数就是原来两个数的最大公约数。
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的算法
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[问题]你能把辗转相除法写成算法步骤吗？
研探新知 辗转相除法求最大公约数算法步骤：
开始 输入m，n m≠n？ 是 k=m-n n>k？ 是 m=n n=k 否
m=k
否
输出m 结束 讨论:该程 序框图对应的程 序如何表述？
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• 1 ： 用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数，并 用更相减损术检验所得结果． • 分析：将80作为大数， 36作为小数，执行辗转 相除法和更相减损术的步骤即可． • 解：用辗转相除法： • 80＝36×2＋8， • 36＝8×4＋4， • 8＝4×2＋0. • 故80和36的最大公约数是4.