60、级数--8页 文字版

2、若幂级数 an (x 1)n 在 x 1 处条件收敛，则级数 an （ ）
n0
n0
( A ) 条件收敛；( B )绝对收敛； ( C )发散； ( D )敛散性不能确定．
3、求幂级数的收敛域
（1）
n1
3n
(1)n x2n1 (2n 1)
；
（2） (2x 1)n ；（3） (x 5)n .
（2）因为， ax exlna ,且 ex xn x (,) ,
n0 n!
所以， ax exlna
(x ln a)n
lnn a xn ,
x (,) ．
n0 n!
n0 n!
2．将函数 f (x) 1 展开成 (x 3) 的幂级数 x
解
因为， 1 x
1 1 3 x 3 3 1
n1
n
n1
n
解
（1）因为
lim
n
|
un1 ( x) un (x)
|
lim
n
|
(1)n1 x2n3 3n1(2n 3)
3n (2n 1) (1)n x2n1
| 1 3
x2
所以，①当 1 x 2 1时，即 3 x 3 时，幂级数收敛. 3
②当 1 x 2 1时，即 x 3 时，幂级数发散. 3
0
x sin nxdx =
4 n
[x cosnx n
0
cosnx dx]
0n
=
4 n
{
cosn n
[
sin n
nx
2
]0
}
4 n2
(1) n
(n 1,2,3,)
又因为， f (x) 在 (,) 上连续，
故，
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
12 3
n1
4 n2
1 x3
1 n (1)n ( x 3)n , (1
3 n0
3
x 3 1) ， 3
3
所以， 1 1 n (1)n ( x 3)n
x 3 n0
3
n (1)n 3n1
n0
(x 3)n
,(0
x 6) ．
三、傅里叶级数
设 f x 是以 2 为周期的函数，称三角级数
a0 2
an
n1
cosnx bn
所以，
s
x
x 1
x
1 (1 x)2
,(1 x 1) .
（2）因为
lim
n
un1 un
lim n
x 2 n 1
2n 1
2n 1
x 2 n 1
x2
，所以，当
x2
1 ，即 1
x
1 时，级数收
敛；当 x 1或x 1 时，级数发散.又因为，当 x 1 时，
x2n1 发散；所以，级数的收
n1 2n 1
敛域为 (1,1) ，设 s(x)
x2n1 , x (1,1) ，则 s(0) 0 .
n1 2n 1
s(x)
n1
x2n1
2n
1
n1
x2n1 2n 1
n1
x2n2
x2
n1
x2n
1 1 x2
所以， s(x)
x
s(x)dx+s(0)
x
1
dx 1 ln 1 x ,(1 x 1) .
n1
n
（3）令 t x 5 ,则原级数变为
t n ；因为，lim | an1 | lim
n1 n
a n n
n
径R 1.
n 1 故收敛半 n 1
所以级数的
t n 收敛区间为 1, 1 ，故原级数的收敛区间为 4, 6 .
n1 n
2、和函数 方法：（1）先求导再积分；（2）先积分再求导
例 1（1） nxn1 ； （2） x x3 x5 x2n1 .
③当 a 1 时， un1 e e 1
e
un (1 1 )n e
(1
1 )n n
e
，原级数发散.
n
4、
1 , (a 0)
n1 1 an
解
①当 0 a 1时，因为通项 un
1 1 an
1 11
1 2
，所以
lim
n
un
0 ，因此，
1 发散.
n1 1 an
②当 a 1时，
un
1
第十二章 级数
一、 常数项级数
级数收敛的定义 1、 正项级数
如果
lim
n
s
n
s ，则称无穷级数 un
n1
收敛于 s .
（1）正项级数 un 收敛 sn 有上界. n1
（2）比较判别法
①（一般形式）设 un 和 vn 都是正项级数，且 un vn (n 1, 2, ) .若 vn 收敛，
1、
n
n1 (n 1)!
解
因为
un
(n
n 1) !
1 n!
(n
1 1) !
所以
11
sn
( 1!
) 2!
( 1 1 ) 1 1 ， n! (n 1)! (n 1)!
即
lim
n
sn
lim
n
1
(n
1 1)!
1，
2、
2n 9
n1 n 3n 2
(2n 9)
解 因为 lim un lim
v n
n
n1 n
a n n
n n 1
以， R 1 1，
当 t 1时，级数 tn (1)n 收敛，
n1 n n1 n
当 t 1时，级数 tn 1 发散，
n1 n n1 n
所以，当 1 t 1时幂级数 t n 收敛，从而，当 1 2x 11 时原级数收敛，所以，
n1 n
(2x 1)n 的收敛域为1, 0 .
n1
n 1
n 1
则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
n 1
②（极限形式）设 un 和 vn 都是正项级数，
n 1
n 1
（ⅰ）如果 lim un
n vn
l 0 l
，且级数 vn 收敛，则 un 收敛；
n 1
n1
（ⅱ）如果 lim un l
v n n
1 an
1 an
而这时 0
1 a
1
，级数
n1
1 an
收敛所以，
n1
1
1 a
n
收敛.
5、
n1
2n n! nn
解
因为 lim un1 u n
n
lim
n
2n1 (n
(n 1)! 1)n1
nn 2n n!
2 lim( n )n n n 1
1 2 lim
n (1 1 )n
2 1, e
n
所以， 2n n! 收敛.
(ii)
lim
n
u
n
0 ，则级数
1
u n1 n
收敛．
n1
3、任意项级数
（1）若正项级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n1
n 1
【注】若级数 un 绝对收敛，则级数 un 必定收敛.
n 1
n1
（2）如果级数 un 收敛，而级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛．
n 1
n1
35
2n1
解
（1）因为 lim an1
lim
n
1
1
，且
nxn1
在
x
1
均发散，所以，级数的收敛域
a n n
n n
n1
为 (1,1) .
设 s(x) nxn1, x (1,1) ，则
x
s(x)dx
x nxn1dx
x nxn1dx xn
x，
n1
0
0 n1
0 n1
n1
1 x
0
0 1 x2
2 1 x
3、 函数展开成幂级数
方法：直接展开法；间接展开法
常用的麦克劳林展开式
1 1 x x2 x3 xn , (1 x 1) 1 x
1 1 x x2 x3 1n xn , (1 x 1)
1 x
e x 1 x x2 x n , x
(1)n
cos nx, x R
.
例 2 已知 f (x) x 1, x [0,1] ， S(x) 是 f (x) 的周期为 1 的三角级数的和函数，
S(0) ______, S(1 ) ________. 2
求幂级数的收敛半径的方法
（1）阿贝尔定理（适用于完全项幂级数）
（2）比值法（完全项、缺项） （3）换元法 例题
lim an1 ，收敛半径为 R 1 .
n an
1、若幂级数 an (x 2)n 在 x 2 处收敛，则此级数在 x 5 处（ ） n0
( A ) 发散； ( B ) 条件收敛； ( C )绝对收敛； ( D )敛散性不能确定．
nn
n 1
6、 (1)n1 ln n
n1
n
解 因为当 n 3 时， ln n 1 ，而 1 发散，所以 (1)n1 ln n ln n 发散，
nn
n1 n
n1
n
n1 n
又因为，①
lim
n
ln n n
0
，②令
y
ln x x
,
则
y
1 ln x2
x
,
所以，当
x
e
时，
y
0
，
y
为
单 调 递 减 函 数 ， 故 当 n 3 时 ， ln n 为 单 调 递 减 数 列 ， 即 ln(n 1) ln n ， 所 以
当 x
3 时，级数
n1
3n
(1)n (2n
1)
x
2n1
n1
(1)n1 2n 1
3
收敛，
当 x
3 时，级数
n1
3n
(1)n (2n
1)
x
2n
1
n1
(1)n 3 2n 1
收敛，
故原幂级数的收敛域为 3, 3 .
（2）令 t 2x 1，则原幂级数变为 t n ，因为，lim | an1 | lim n 1 ，所
解
（1）
因为，
f
'(
x)
arctan
x
1
x x2
1 2
1
2
x x2
arctan x
f ''(x)
1
(1)n x2n ,
1 x2 n0
x (1,1)
x
所以， f '(x) f ''(x)dx
x (1)n x2ndx (1)n
1
x2n1
0
0
n0
n0
2n 1
f (x)
n1
n 1
4、几个常用级数的敛散性
（1）几何级数： aqn n0
当 q 1时， aqn 收敛于
a
；当 q 1 时， aqn 发散．
n0
1 q
n0
（2） p 级数：
1
np
n1
当
p
1时，级数
n1
1 np
收敛；当
p
1时，级数
n1
1 np
发散．
（3）调和级数： 1 发散.
n1 n
题型：判断常数项级数的敛散性
sin nx
为函数 f x 的傅里叶级数．其中
1
a0
f x dx,
an
1
f x cos nxdx, n 1, 2,3,
bn
1
f
xs i n n x d,x
n
1 , 2 , 3 ,
狄利克雷（Dirichlet）收敛定理 设 f x 是周期为 2 的周期函数，如果它满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， （2）在一个周期内至多只有有限个极值点，
则 f x 的傅里叶级数收敛，并且
当 x 是 f x 的连续点时，级数收敛于 f x ；
当 x 是 f x 的间断点时，级数收敛于 1 f x f x ． 2
例 1 已知 f (x) 是以 2 为周期的函数，它在 ( , ] 上的表达式为 y
f (x) x2 ,将 f (x) 展成傅立叶级数.
2
解 因为 f (x) 是偶函数，
所以， bn 0, (n 1, 2,3, )
2
a0
2
f (x)dx
0
x2dx 2 2
0
3
O
x
an
2
0
f (x) cosnxdx 2
0
x2
cosnxdx
2
{[ x 2
sin nx n
]0
2x sin nxdx}
0
n
= 4
n
n
n
3n 2
2
，且
1
3
n1
n
1
发散，所以
2n 9 发散.
n
n1 n 3n 2
3、 n!( a )n (a 0) . n1 n
解
因为 lim un1 u n
n
lim
n
Leabharlann Baidu
(1
a 1
)n
a e
，所以，
n
①当 a 1 时，即 0 a e 时，原级数收敛； e
②当 a 1 时，即 a e 时，原级数发散； e
0 l
，且级数 vn 发散，则 un 发散.
n 1
n1
（3） 比值判别法
设 un 为正项级数，如果
n1
lim un1 ，则 n un
当 1时级数收敛；1 时级数发散； 1时级数可能收敛也可能发散.
2、交错级数
莱布尼兹定理： 若交错级数 1 n1 un 满足： n1
(i) un un1 n 1,2,3, ，
n
n1 n
(1)n1 ln n 收敛；故 (1)n1 ln n 条件收敛.
n1
n
n1
n
二、幂级数
1、收敛域
阿贝尔定理 1 对于幂级数 an xn n0
（ⅰ）若当 x x0 x0 0 时收敛，则对任意 x：x x0 ， an xn 绝对收敛； n0
（ⅱ）若当 x x0 x0 0 时发散，则对任意 x：x x0 ， an xn 发散． n0
x
f '(x)dx
x
[
(1)n
1
x2n1]dx (1)n
x2n2
0
0 n0
2n 1
n0
(2n 1)(2n 2)
因为，当 x 1时 (1)n
x 2n2
收敛，且 f (x) 在 x 1连续，所以，
n0
(2n 1)(2n 2)
f x (1)n
x2n2
, x 1,1
n0
(2n 1)(2n 2)
2!
n!
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
1 n1
x 2n1
2n 1!
,
x
cos x 1 x2 x4 2! 4!
1n
x2n
2n!
, x
ln 1 x x x2 x3 x4 1n xn1
234
n 1
例1 把下列函数展开为 x 的幂级数：
, ( 1 x 1)
（1） f (x) x arctan x ln 1 x2 ；（2） ax ．