圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
4.1 圆的对称性(2)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系课件 (青岛版九年级上)
化心动为行动
驶向胜利 的彼岸
AB • 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 ⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案: (1)是轴对称图形但不是中心对称图形; (2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
练习：
结束寄语
下课了!
•你做成功一件事,千万 不要等待着享受荣誉, 应该再做那些需要做的 事.
圆的对称性
---圆心角、弧、弦之间的关系
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 一个圆绕着它的圆心旋转任意一 个角度,都能与原来的图形重合.
●
O
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
5
拓展与深化
驶向胜利 的彼岸
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,你能得出 什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
D
A
D
●
A
B
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ②AB=A′B′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′
想一想
2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).
驶向胜 利的彼 岸
A
D
B
●
O
想一想
3
圆心角
• 圆心角, 弧,弦之间的关系定理
圆心角弧弦弦心距之间的关系PPT教学课件
课前阅读识记——了解文学常识
张孝祥 (1132－ 1170)，南宋著名词人。 字安国， 号于湖居士。 乌江 (今安徽和县乌江 镇)人。 他的词风格豪 迈，多感怀时事之作。 有《于湖词》存世。
课前阅读识记——了解文学常识
辛弃疾(1140－ 1207)，字幼安，号稼 轩， 历城(今山东济 南)人。 南宋词人， 词属豪放派，有《稼 轩长短句》。
但是，从另一方面看，苏轼毕竟是苏轼，他生 性旷达洒脱，并没有真的消极，“大江东去， 浪淘尽、千古风流人物”。所有的风流人物都 已经随着历史的潮水而被涤荡了，即使周瑜这 样的人物不也是“浪淘尽”了吗？人生就如同 梦境一般，何必过于执着呢？ 不如意事十之 八九，还是“一尊还酹江月”吧。
课堂读写探究——重点突破
⑨巷陌． ( mò ) ⑩佛．狸祠 ( bì )
课前阅读识记——夯实基础知识
（2）准确识记下列多音字的读音
劲劲劲．．头敌
jìn jìnɡ
课前阅读识记——夯实基础知识
（3）辨形组词
①砌 沏砌 沏墙 茶 ③帐 账蚊 账帐 簿 ⑤瑾 谨怀 谨瑾 慎握 瑜
②蝉 婵寒 婵蝉 娟 ④霭 蔼暮 和霭 蔼 ⑥胥 婿狼 女婿 居胥
课前阅读识记——速读感知课文
《念奴娇 赤壁怀古》 1．上阕中作者极力地渲染景物的宏伟、壮阔、气势 磅礴，目的是什么？
答案 唯有这样的景物才配得上风流人物，这就为 叱咤风云的英雄人物的出场做了绝好的铺垫。同时 也表现了作者博大的胸襟和豪迈的气概。这也体现 了作者作为豪放派代表的词风。
课前阅读识记——速读感知课文
求证：CD＝AE＝BF。
A C
E
FD
O
B
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的 弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心弧弦弦心距之间的关系［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
（2弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。
下面举四个错例：若⊙中，，则，O AC DB CE FD CEA DFB ⋂=⋂=∠=∠根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个证明：（1）过O 点作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N∵PO 平分∠APC ∴OM ＝ON∴AB ＝CD （在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）此题还有几种变式图形，道理是一样的。
弦AB 、点重合。
若PO 弦AB 、 POAB ＝CD （2）在∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪12OMP ONP OP OP∴≅∆∆POM PON AAS ()∴=PM PNAM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN∴+=+PM AM PN CN 即PA ＝PC（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学中有关圆的定理有很多，以下是其中一部分：
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
分弦所对的两条弧。
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同
圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的'
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等。
3.过三点的圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
三角形的
外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
以上信息仅供参考，建议查阅九年级上册数学教材或相关辅导资料，获取更全面和准确的信息。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 讲义
九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（2）AE= BF B
1.如图，已知AD＝BC，
︵
︵
A
C
D O
B
试说明AB=CD
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
B A D
F
C O
G
E
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
24.2 圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
想一想
圆心角
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间 的距离(如线段OD).
A D B
O
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
你会做吗?
三, 如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解: ∵ AC=BD
B
AOE 180 3 35
75
︵ ︵ 1. 如图，在⊙ O 中， AB＝AC，∠B＝70°. 求 ∠C度数. ︵ ︵ ︵ 2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE， ∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
第 1题
第 2题
第三节 弧,弦,圆心角,弦心距之间的关系
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系教学目标定理的内容及其证明教学重难点定理的内容在证明中都是应用教学过程【学习准备】动手画一圆1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是对称图形；2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。
3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。
【解读教材】1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1）圆心角的定义：。
2）弦心距的定义：。
3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。
②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做1°的弧。
③圆心角的度数和它们对的弧的相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。
ABM OA 'M 'B '3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A ′OB ′，求证：弧AB 和A ′B ′，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和OM ′相等。
问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。
举出反例： 。
归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（简记：“知一推三”）【例题精析】 例题一：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
2422弦弧圆心角弦心距之间的关系
C
A
E
O
B
D
? 如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，
? OE 、OF 为AB 、CD 的弦心距，
?如果AB ＝CD ，那么
，
，
；
?如果OE ＝OF ，那么
，
，
；
?如果弧AB ＝弧CD ，那么
，
，
；
?如果∠AOB ＝∠COD ，那么
，
，
。
A
注意前提：
在同圆或等圆中
E
O
B
? 下列说法正确吗？为什么？
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
判断题：在两个圆中，分别有弧 AB和弧CD，若弧 AB和弧CD的度数相等，则有 ：
（1）弧AB和弧CD相等；
（）
（2）弧AB所对的圆心角和弧 CD所对的圆心角相等。 （）
注意：等弧的度数一定相等，但度 数相等的弧不一定是等弧！
1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为
圆的 1 ，圆的半径为4cm，求AB的长 3
O
A
C
B
2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦 EC//AB,弧EC的度数为40°，求∠BOD的度数。
E
A
C
O
D B
3、已知：如图， PB＝PD.
求证： AB=CD 。 C
A
P
O
B
D
4、已知：如图， ⊙O 的两条半径 OA ⊥OB ，C、D是弧AB 的三等分点。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 所对应的其余各组量都分别相等。
已知：如图，点P在⊙O 上,点O 在∠EPF 的平分 线上，∠ EPF 的两边交⊙O 于点A 和B。 求证：PA=PB.
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(很好,很全,很详细)
奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785627.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目标】1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．【主要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【定理拓展】1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分○别相等2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分○别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等 1奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2A.3∶2B.∶2C.∶2D.5∶4【解析】作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt△ODE中，OD=2+12=2.在Rt△OEB中，OB=BE2+OE2=4+1=.∴OB∶OD=∶2.【答案】C【例3】半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0【解析】∵AB为直径，∴OE=0.∴OE∶OF=0.【答案】D【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】1×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 4【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD⊥AB，OD=DB=AD.设OD=x，则AD=DB=x.在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=OD2+DB2+x2+x2=2 x.∴AB∶BC=1∶2=2∶2. ∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.图6(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.（1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD.（2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=11AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）.【例7】如图7所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E，∴AE=BE.∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD. (1) (2)【例8】如图8，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O作OF⊥CD于F，连结CO.∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中，∵∠CEA=30°，∴OF=1OE=1（cm）. 21AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 2 在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF=OC2 OF2=(cm). 又∵OF⊥CD，∴DF=CF.∴CD=2CF=2（ cm）.【例9】如图9，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样?奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856图9【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.【解】当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等. 【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.【例14】如图14，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图14【解析】因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.【答案】（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.【例16】⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.∵OE⊥CD，OG⊥AB，∴BG=11AB=×40=20（cm）， 22奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856DE=11CD=×48=24（cm）. 22在Rt△DEO中，OE=OD2-DE2=252-242=7（cm）.在Rt△BGO中，OG=OB2-BG2=252-202=15（cm）.∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.【1】已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？【2】如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
圆心角、弧、弦关系定理
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D B
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与
A
A、B、C、D，AB=CD
P
O
求证：点O在∠BPD的平分线上
C
D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中 还存在相等的弦吗？
（2）如果 AB CD，那么____________，_____________
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，__
_____________ _______．
（4）如果OE=OF，那么_____________ ，_____________ ，
_____________
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆
心角、两条弧、两条弦或两条弦的 弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余的各组量都分别相等。
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
（1）如果AB=CD，那么___________， _____________ ， _________________。
B
C PO
A
D （４）
1、在同圆或等圆中, 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系。
2、定理和推论
课堂检测：
课本39页练习1、2
E
D
C
A
o
B
例题选讲
例1 如图, 在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
圆心角弧弦弦心距之间的关系省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转旳性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′旳
位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重叠，OB与OB′重
叠．而同圆旳半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
叠，B与B′重叠．
∴A︵B与
︵
A'B
'
.
重叠，AB与A′B′重叠．
︵︵
AB A' B '.
O B'
（2）在⊙O和⊙O’中，假如
A'
B
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A
（不对）
圆心角、弧、弦、弦心距之间旳关系
(1)定理：在同圆中，相等旳圆心角所正确弦 相等，所正确弧相等，所正确弦心距相等。
思索定理旳条件和结论分别是什么？并回答：
条件： 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等
∴ AC-BC=BD-BC （等式旳性质） 图 23.1.5 ∴ AB=CD ∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等旳弧所正确
圆心角相等）
六、练习
如图，AB是⊙O 旳直径，BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 旳度数．
解：
ED
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
1A
1 50， 则 2 _5_0_o_ .
C 2O
D
四、练习
如图，AB、CD是⊙O旳两条弦． （1）假如AB=CD，那么__A ___B __=___C _，D _______A_O_B_____C__O_D．
初三数学暑假第十八节圆心角、孤、弦心距之间关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系【重点、难点】重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；在同圆或等圆中，如果两个圆角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距有一组量相等，那么它们所对应的各组量都分别相等（即“知一得三”） 难点：正确区分定理的题设和结论及对︒1弧的理解.考点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，本节内容是中考的必考内容，大多以填空、选择的形式命题.【知识要点】（1）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． （2）概念：圆心角、弦心距（3）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆式等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【经典例题】例1、如图，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心， CA 为半径的圆交AB 于D ，则的度数是 ．例2、如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．例3、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
例4、如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ．求证 ACBD ABEFO PC12D例5、如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于P 点，边结PA 、PB ．求证:PA=PB.例6、已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。
求证：AE=BF=CD 。
【课堂小测】（1--8每题8分，9--14每题6分）1．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． 2．过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．3．在⊙O 中，AB 所对的弦AB 与B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。
弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.(总21页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．教学重点和难点重点;圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系；难点;从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系．2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．1．动态演示，发现规律图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．(1)结果怎样？(2)这样的图形叫做什么图形？图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，知识点一、圆的旋转不变性于是归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．知识点二、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle),从圆心到弦的距离叫做弦心距2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．已知；在⊙O中求证；3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)教学目标:(1)理解圆的旋转不变性,把握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;(2)培育同学试验、观看、发觉新问题,探究和解决问题的力量;(3)通过教学内容向同学渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育,渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系),激发同学的求知欲.教学重点、难点:重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.难点:从感性到理性的熟识,发觉、归纳力量的培育.教学活动设计教学内容设计(一)圆的对称性和旋转不变性同学动手画圆,对折、观看得出:圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.引出圆心角和弦心距的概念:圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角.弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画(试验)观看,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培育同学观看、比较、分析和归纳学问的力量,又可以充分调动同学的学习的乐观性.定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等. (三)剖析定理得出推论问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,否则也不肯定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(同学分小组争论、沟通)举出反例:如图,∠aob=∠cod,但ab cd, .(强化对定理的理解,培育同学的思维批判性.)问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(同学分小组争论、沟通,老师与同学沟通对话),归纳出推论.推论:在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)(四)应用、巩固和反思例1、如图,点o是∠epf的平分线上一点,以o为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点a、b和c、d,求证:ab=cd.解(略,教材87页)例题拓展:当p点在圆上或圆内是否还有ab=cd呢?(让同学自主思索,并使图形运动起来,让同学在运动中学习和讨论几何问题)练习:(教材88页练习)1、已知:如图,ab、cd是∠o的两条弦,oe、of为ab、cd的弦心距,依据本节定理及推论填空: .(1)假如ab=cd,那么______,______,______;(2)假如oe=og,那么______,______,______;(3)假如= ,那么______,______,______;(4)假如∠aob=∠cod,那么______,______,______.(目的:巩固基础学问)共3页，当前第1页123。
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结论
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
( )
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 ，所对的弧_________ 相等 ______ ． 它们所对应的其 余各组量也相等．
• 如图，AB、CD是⊙O的两条弦， • OE、OF为AB、CD的弦心距， – 如果AB＝CD，那么 ， ， ； – 如果OE＝OF，那么 ， ， ； – 如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ； – 如果∵∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
A C E F
D
O
B
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
• 在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的 弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？ • AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD 的弦心距，如果AB>CD，那么OM和ON有什么关 系？为什么？
5、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD，四 条弦AE//FD//CG//HB。
求证：E、F、H、G四等分圆周。
E
D G
A
O
B
F
C
H
并说明理由。
①
②
③
④
A O
C
B
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
二、 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB与A’B’ 重合，AB与A′B′重合． ∴
AB=A’B’
AB A ' B '.
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。 A
在同圆或等圆中， 定理 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
C O B C' B'
A'
题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 （ 条 件 ）
求证：AB＝CD
A C P
O
D
B
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P，过 P、O的直径为MN，∠APO=∠ CPO 。 求证：PB＝PD
M
A P
C
O
D
N
B
已知：如图，AD=BC.
求证：AB＝CD
C
E A
B
O D
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧 叫做1°的弧。
A
E
注意前提： 在同圆或等圆中
O
B F C
D
• 下列说法正确吗？为什么？ – 在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’ – 在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为
AOB AOB
根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都 是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意 一个角度α，都能与原来的图形重合。
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
O
A
D
B
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
AB AB
AAຫໍສະໝຸດ ⌒⌒OB
B
已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分 线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A和B。 求证：PA=PB.
B
E
P
O A
F
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，
⊙O和∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
求证：AB＝CD
E
B
A P O C D
F
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P， ∠DPO=∠ BPO 。
1、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆 的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。 2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC 的度数为40°，求∠BOD的度数。 E
A
O D
C
B
3、已知：如图， PB＝PD.
求证： AB=CD 。
C
A
P
B
O D
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
n°弧
C D
一般地，n°的圆心角 对着n°的弧。
n°圆心角
O A
1°圆心角
B
1°弧
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB 和弧CD的度数相等，则有： （1）弧AB和弧CD相等； （ ）
（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （ ）
注意：等弧的度数一定相等，但 度数相等的弧不一定是等弧！