圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
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圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都 是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意 一个角度α，都能与原来的图形重合。
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
O
A
D
B
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
A C E F
D
O
B
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
• 在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的 弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？ • AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD 的弦心距，如果AB>CD，那么OM和ON有什么关 系？为什么？
5、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD，四 条弦AE//FD//CG//HB。
A
E
注意前提： 在同圆或等圆中
O
B F C
D
• 下列说法正确吗？为什么？ – 在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’ – 在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为
AOB AOB
根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
∴ AB与A’B’ 重合，AB与A′B′重合． ∴
AB=A’B’
AB A ' B '.
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。 A
在同圆或等圆中， 定理 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
C O B C' B'
A'
题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 （ 条 件 ）
n°弧
C D
一般地，n°的圆心角 对着n°的弧。
n°圆心角
O A
1°圆心角
B
1°弧
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB 和弧CD的度数相等，则有： （1）弧AB和弧CD相等； （ ）
（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （ ）
注意：等弧的度数一定相等，但 度数相等的弧不一定是等弧！
求证：E、F、H、G四等分圆周。
E
D G
A
O
B
F
C
H
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 ，所对的弧_________ 相等 ______ ． 它们所对应的其 余各组量也相等．
• 如图，AB、CD是⊙O的两条弦， • OE、OF为AB、CD的弦心距， – 如果AB＝CD，那么 ， ， ； – 如果OE＝OF，那么 ， ， ； – 如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ； – 如果∵∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
求证：AB＝CD
A C P
O
D
B
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P，过 P、O的直径为MN，∠APO=∠ CPO 。 求证：PB＝PD
M
A P
C
O
D
N
B
已知：如图，AD=BC.
求证：AB＝CD
C
E A
B
O D
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧 叫做1°的弧。
1、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆 的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。 2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC 的度数为40°，求∠BOD的度数。 E
A
O D
C
B
3、已知：如图， PB＝PD.
求证： AB=CD 。
C
A
P
B
O D
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
结论
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
( )
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
并说明理由。
①
②
③
④
A O
C
B
Fra Baidu bibliotek
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
二、 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分 线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A和B。 求证：PA=PB.
B
E
P
O A
F
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，
⊙O和∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
求证：AB＝CD
E
B
A P O C D
F
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P， ∠DPO=∠ BPO 。
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都 是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意 一个角度α，都能与原来的图形重合。
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
O
A
D
B
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
A C E F
D
O
B
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
• 在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的 弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？ • AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD 的弦心距，如果AB>CD，那么OM和ON有什么关 系？为什么？
5、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD，四 条弦AE//FD//CG//HB。
A
E
注意前提： 在同圆或等圆中
O
B F C
D
• 下列说法正确吗？为什么？ – 在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’ – 在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为
AOB AOB
根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
∴ AB与A’B’ 重合，AB与A′B′重合． ∴
AB=A’B’
AB A ' B '.
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。 A
在同圆或等圆中， 定理 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
C O B C' B'
A'
题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 （ 条 件 ）
n°弧
C D
一般地，n°的圆心角 对着n°的弧。
n°圆心角
O A
1°圆心角
B
1°弧
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB 和弧CD的度数相等，则有： （1）弧AB和弧CD相等； （ ）
（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （ ）
注意：等弧的度数一定相等，但 度数相等的弧不一定是等弧！
求证：E、F、H、G四等分圆周。
E
D G
A
O
B
F
C
H
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 ，所对的弧_________ 相等 ______ ． 它们所对应的其 余各组量也相等．
• 如图，AB、CD是⊙O的两条弦， • OE、OF为AB、CD的弦心距， – 如果AB＝CD，那么 ， ， ； – 如果OE＝OF，那么 ， ， ； – 如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ； – 如果∵∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
求证：AB＝CD
A C P
O
D
B
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P，过 P、O的直径为MN，∠APO=∠ CPO 。 求证：PB＝PD
M
A P
C
O
D
N
B
已知：如图，AD=BC.
求证：AB＝CD
C
E A
B
O D
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧 叫做1°的弧。
1、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆 的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。 2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC 的度数为40°，求∠BOD的度数。 E
A
O D
C
B
3、已知：如图， PB＝PD.
求证： AB=CD 。
C
A
P
B
O D
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
结论
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
( )
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
并说明理由。
①
②
③
④
A O
C
B
Fra Baidu bibliotek
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
二、 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分 线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A和B。 求证：PA=PB.
B
E
P
O A
F
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，
⊙O和∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
求证：AB＝CD
E
B
A P O C D
F
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P， ∠DPO=∠ BPO 。