最新指派问题的匈牙利法学习资料

7 0 2 0 2
4
300
0
0 8 3 5 0
11
8
0
0
10
0 4 1 4 3
得最优解
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
( x ij
)
0
0
0 0
0 0
0 1
1
0
1 0 0 0 0
另一最优解
0 1 0 0 0
0
0
0
1
0
( xij )
0
0
0 0
0 1
0 0
1
0
1 0 0 0 0
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
任务4 7 8 11 9
获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素 和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行 和每一列都含有零；
从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来， 并划去它所在行和所在列的其它零；
反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。 得到初始解。
调整可行解的方法
在调整行中寻找最小的元素，将它作为调 整量；
将调整行各元素减去调整量，对调整列中 各元素加上调整量。
再次执行“圈零”和“划零”的操作，并 循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n 为止。
匈牙利法解例3.3
时间矩阵 2 10 3 7
15
4 14
8
13 14 16 11
最小时间（成本）min z=32
匈牙利算法示例
（二）、解题步骤： 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例， 当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解， 这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。 利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙 利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆 盖所有 0 元素的最少直线数。
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9
8
9
6
6
6
7 17 12 14 9
15 14
6
6
10
4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2
2
3
00
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
10
0 6 3 6 5
圈零划零
5 0 2 0 2
2
3
00
(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都 被圈出和划掉为止。
(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至 少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列 的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少 的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直 到所有0元素都已圈出和划掉为止。
（5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线， 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的0元素，为此转第四步。
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
10
0 6 3 6 5
打勾划线确定调整行和列
5 0 2 0 2
2
3
00
0
0 10 5 7 2 √
9
8
0
0
10
0 6 3 6 5 √
√
调整可行解
7 0 2 0 2
4
300
0
0 8 3 5 0
11
8
0
0
10
0 4 1 4 3
再圈零划零
,n
i1 x ij 0 ,1 ;
i 1,2, , m ;
j 1,2, , n
举例说明
1）表上作业法
2）匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示， 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
工人1 工人2 工人3 工人4
任务1 2 15 13 4
判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
确定调整行和列
在没有圈起的零所在行上打“√”； 在打“√”行中所有零所在的列打“√”； 在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”， 反复执行2）和3）两步，直到不能打“√”为止； 用直线划去打“√”的列和不打“√”的行，没
有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整 列。
4
7 13
9
பைடு நூலகம்
各行各列减去最小元素后得
0 11
8 0
0 9
5
4
2 3 4 0
0
38
5
圈零划零
0 8 0 5
11
0
9
4
2 3 4 0
0
3
8
5
得最优解
将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得 最优解如下
0 0 1 0
（ x ij
)
0
0
1 0
0 0
0
1
1
0
0
0
最小总时间为22。
指派问题的匈牙利法
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 c ij ，决策
变量是
1, 第i个工人做 j件第 事 xij 0， 第i个工人不j件 做事 第
则数学模型如下
nm
min z
c ij x ij
j1 i1
n
x ij
1,i 1,2, , m
j1
m
x ij
1, j 1,2,
立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元 素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常 用的步骤为：
(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加 圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记 作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考 虑别人了。
(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作 ◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ．
第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后 打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元 素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使 在(bij)的各行各列中都出现0元素，即
(1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独