24.4.1弧长和扇形的面积
24.4.1弧长和扇形面积公式应用
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
练一练
从 练习 中 悟 方 法
nR l 180
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角 是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.
交弧 AB 于点C．
A
O
D B
C
例题讲解
∵OC＝0.6，DC＝0.3, ∴OD＝OC－DC＝0.3.
在Rt△OAD中，OA＝0.6，利用勾股定理可得，
A
1 OD OA 2
O D C
AD 0.3 3
在Rt△AOD中， ∴∠OAD＝30° ∴ ∠AOD＝60 °，∠AOB＝120°
B
S S扇形OAB S
有水部分的面积
1 0.12 0.6 3 0.3 0.22 m 2 . 2
120 1 2 OAB 360 0.6 2 AB OD
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0面积 = S扇+ S △
A D E 0
B
C
规律提升
0
0
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积是扇形的面积与三角形 面积的和或差
练一练
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为
a 圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴 2
影部分的面积．
A F
E
解：连接AD，则
AD BC
垂足为D
2
B
D
C
根据勾股定理，得
人教版九年级数学上册24.4.1《弧长和扇形面积》教学设计
人教版九年级数学上册24.4.1《弧长和扇形面积》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《弧长和扇形面积》是中学数学中的重要内容，主要让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法。
这一部分内容在教材中占据了重要的位置，是因为它不仅涉及到圆的相关知识，而且与实际生活中的许多问题密切相关。
通过学习这部分内容，学生可以更好地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，对圆的相关概念也有了一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过已有的知识体系来理解和掌握这部分内容。
三. 教学目标1.让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对圆的性质的理解，培养学生的空间想象能力。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的计算公式的推导。
2.如何将实际问题抽象为弧长和扇形面积的问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过已有的知识体系来理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
2.使用多媒体辅助教学，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的概念。
3.创设实际问题情境，让学生在解决实际问题的过程中，掌握弧长和扇形面积的计算方法。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.弧长和扇形面积的计算公式的教案。
3.与弧长和扇形面积相关的实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过多媒体展示一些与圆相关的实际问题，引导学生关注弧长和扇形面积的概念。
2.呈现（10分钟）教师讲解弧长和扇形面积的定义，并通过多媒体展示弧长和扇形面积的计算公式。
3.操练（10分钟）教师给出一些简单的例题，让学生运用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。
4.巩固（10分钟）教师通过一些变式训练，让学生进一步理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
5.拓展（10分钟）教师引导学生将弧长和扇形面积的计算方法应用于实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
24.4.1_弧长和扇形面积公式
（1）当已知弧长L和半径R，求扇形面积 时，应选用
S 扇形
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇 形面积时，应选用 S扇形
例2 扇形AOB的半径为12cm, ∠AOB=120°, 求AB的长和扇形AOB的面积
A O
B
练习1:
1、已知扇形的圆心角为 120°，半径为2, 则这个扇形的面积，S扇=____． 2、已知半径为2的扇形，弧长为6π ，则 这个扇形的面积，S扇=____．
D A E B
弓形的面积 S⊿
= S扇+
0
C
1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都是1cm, 则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长 的和为多少? cm 2 cm 2 A
B
C
2. 如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它 们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形 ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和 是___________.
1 2R 1°的圆心角所对弧长是 360 1
弧长公式
问题2.已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧 长． 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为l，则
nR l 180
n R 180
注意：在应用弧长公式l
， 进行计算时，
要注意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的。 应用：已知公式中的任意两个量，可以求第三个 量。
1.
你还记得圆周长的计算公式吗？
2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所 对的弧长？ 3. 4. 1°的圆心角所对弧长是多少？ n°的圆心角呢？
O · R
1°
半径为R圆的周长为 C 2 R
可以看作是36 2R n n°的圆心角所对的弧长 l 360 180
24.4.1弧长和扇形面积公式
n s r 360
nr r 1 lr 180 2 2
n 1 2 s r 或s lr 360 2
小试牛刀： 1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的 面积等于这个扇形所在圆的面积的____________； 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 形的圆心角的度数是_________°.
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨 的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段 铁轨的长度吗? 解:∵圆心角900
1 图 23.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 2 100 50米 则铁轨长是
3
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展 直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直 长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l
100 900 500 1570（mm） 180
（mm） 因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 答：管道的展直长度为2970mm。
分析：
弓形的面积 = S 扇 - S△
A
D
0
B
C
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
D
分析: 弓形的面积 = S 扇+ S△
A
E
B
0
C
归纳
小结
这节课你有那些收获?
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180 1 或s lr 2
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。
24.4.1弧长及扇形面积公式导学案
24.4弧长一、明确目标：1．经历探索弧长计算公式的过程；2．掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题．学习重点会用公式解决问题．学习难点探索弧长计算公式；用公式解决实际问题．二、自主学习：在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？____每位运动员弯路的展直长度相同吗？___________三、合作解疑：1.弧长公式的推导：①半径为R的圆,周长是_____________;②圆的周长可以看作是_______度的圆心角所对的弧;③1°圆心角所对弧长是_____________；④n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？n°的圆心角所对的弧长为l，则l=________________.（这就是弧长公式，请记住）；2.针对训练：②已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为__________②（随州市中考）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为____。
③750的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是________cm.3.典例分析：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l (单位：mm，精确到1mm，π取3.14) 针对训练：有一段弯道是圆弧形的，道长是12m,弧所对的圆心角是810，求这段圆弧的半径（精确到0.1m，π取3.14）。
四、检测：A组1.已知扇形的圆心角为150o，半径为6，则扇形的弧长是（）A. 3πB.4πC.5πD.6π2.（枣庄中考)钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )A. B. C. D.3.(泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC 若∠ABC=120°， OC=3，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π4.如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（）（A）1∶1 （B）1∶2 （C）2∶1 （D）1∶45.制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料。
24.4弧长和扇形面积--4.1 弧长公式和扇形面积公式(共27张PPT)
和
所围成的图形叫做扇形，可
以发现，扇形面积与组成扇形的圆心角
的大小有关，圆心角越大，扇形面积也
就越大．
怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？
12
知识点二：与扇形面积有关的计算
新知探究
由扇形的定义可知，扇形面积就是 圆面积的一部分.
想一想，如何计算圆的面积? S=πR2
圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的 扇形的面积?
O · 1°
n°
R
13
知识点二：与扇形面积有关的计算
归纳总结
圆心角为n°的扇形面积是:
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
l=
14
知识点二：与扇形面积有关的计算
典例讲评
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm， 其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.
解析：弓形的面积 = S扇 - S△OAB
【解析】由弧长公式，可得弧AB的长
l
（mm）
因此所要求的展直长度
l
（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
7
知识点一：与弧长有关的计算
学以致用
1.如图，A，B，C是圆周上的三点， ∠BAC＝30°，且弧BC的长是 π， ⊙O的半径为( A )
A.1 B.2 C.1.5 D.3 2.如图，在边长为1的正方形组成的网 格中，△ABC的顶点都在格点上，将 △ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点 A所经过的路径长为( C ) A.10π B. C. π D.π
形的面积是
㎝2.
解析：设扇形的半径为R，根据题意得
135πR 180
Байду номын сангаас
=3π
2021版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 24.4.1 弧长和扇形面积教案 (全国通用版)
通用版）（全国通用版）弧长和扇形面积教案（全国通用版）（全国通用版）通用版）（全国通用版）一、情境导入，初步认识(3')问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：（1）这只羊的最大活动面积是多少？（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算AB的长吗？求出弯道的展直长度.二、出示目标(2')三、自主探究，获取新知(5')1.探索弧长公式思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？2.扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.与圆心角和半径R有关分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；∴1°的圆心角所对的弧长通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引入课题。
同时，这也是本节中最常见的两种类型.使学生对本节课的学习目标有初步认识，学习目的性更强。
①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，通用版）（全国通用版）思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.四、合作探究(10')例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.五、达标测评(8')点拨P99 1、2、6、7六、小组评价与总结(4')通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？七、布置作业从教材“习题24.4”中选取.板书设计教学反思：是：1/360·2πR=πR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.学生用遥控器作答，当场给出全班学生的答题情况学生总结，教师评价小组表现度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，可由学生合作交流完成.教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.通用版）（全国通用版）【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
24.4.1弧长和扇形面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的
垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
O.
AD
B
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
有水部分的面积：(C3)
∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
与弧长有关的计算
（1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ 360
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
1 2 R R
A
360
180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l，则
B
Hale Waihona Puke n°Ol n R180
（4）140°圆心角所对的弧长是多少？
试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得
A
B
弧AB的长
100 900
100 °
C
O
D
l
500 1570 (mm)
180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）
答：管道的展直长度为2970mm
巩固练习
1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为_2___
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB • OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
典例精析
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形
人教版九年级数学上册第24章 圆 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =
=
教师讲评
知识点1．弧长（重点）
n°的圆心角所对的弧长为l= .
知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =
,
=
, ∠
= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×
− × ×
×
= −
.
24.4.1 弧长和扇形面积公式
活动1创设情境这是章前图中的车轮的一部分，如果一只蚂蚁从点O出发，爬到A处，再沿弧AB 爬到B处，最后回到点O处，若车轮半径OA长60 cm，∠AOB＝108°，你能算出蚂蚁所走的路程吗？这就涉及到计算弧长的问题，也是本节课要研究的第一问题．活动2探究新知思考：1.弧是圆的一部分，想一想，如何计算圆周长？2．圆周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？3．1°的圆心角所对的弧长是多少？2°的圆心角所对的弧长是多少？3°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长又是多少呢？4．推导出弧长公式l＝nπR180，强调n表示1°的圆心角的倍数，n不带单位，180也如此．5．对于公式l＝nπR180，当R一定时，你能从函数的角度来理解弧长l和圆心角n的关系吗？活动3达标检测11．学生运用公式计算活动1中的问题．2．解决教材第111页的例1.3．完成教材第113页的练习第1，2题．4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( )A．6πB．4πC．2πD．π答案：4.B活动4自主探究1．观察问题1中蚂蚁所围成的图形是什么？请学生独立阅读教材第112页第1自然段．2．我们知道弧是圆的一部分，所以我们把弧长的问题转化为圆周长的问题来解决．那么扇形呢？你能类比弧长的推导方式求出扇形的面积公式吗？3．比较弧长公式和扇形面积公式，请推导出扇形面积和对应弧长的关系．活动5反馈新知1．已知扇形的半径为3 cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是________°，扇形的弧长是________cm.(结果保留π)(答案：120，2π)2．师生共同完成教材第112页例2.3．完成教材第113页练习第3题．4．如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2，则图中阴影部分的面积是________．(结果不计算近似值)(答案：π－2)5．方法小结：问题1：求一个图形的面积，而这个图形是未知图形时，我们应该把未知图形化为什么图形呢？问题2：通过以前的学习，我们又是通过什么方式把未知图形化为已知图形的呢？活动6达标检测21．120°的圆心角所对的弧长是12πcm，则此弧所在的圆的半径是________．2．如图，在4×4的方格中(共有16个方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)3．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．答案：1.18 cm；2.2π；3.2－12－14π.活动7课堂小结与作业布置课堂小结1．弧长公式是什么？扇形的面积公式呢？是怎样推导出来的？如何理解这两个公式？这两个公式有什么作用？这两个公式有什么联系？2．在解决部分与整体关系的问题时，我们应学会用什么方法去解决？3．解决不规则图形的面积问题时，我们应用什么数学思想去添加辅助线？作业布置教材第115页习题24.4第1题的(1)，(2)题，第2～8题．。
九年级上数学《24.4.1 弧长和扇形面积》课件
在田径二百米比赛中，每位运动员 的起跑位置相同吗？
不同
制造弯形管道时，怎样才能精确用料？
700mm
● A
B ● 700mm
● C
R=900m 100 m ° O
j
● D
教学目标
【知识与能力】
• 会计算弧长及扇形的面积. • 会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些 知识解决相关问题. • 知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系.
例题
某传送带的一个转动轮的半径为10cm。 （1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送 多少厘米？ （2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送 多少厘米？ （3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送 多少厘米？
解：（1）转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送 2 10 20cm ；
20 被传送 cm ； 360 18
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A
20 n 被传送 n cm 。 360 18
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A
举一反三
（1）弧长公式涉及三个量， 弧长、圆心 角的度数、 弧所在的半径，知道其中两个量， 就可以求第三个量。 （2）当问题涉及多个未知量时，可考虑 用列方程组来求解
扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧所围成的图形叫扇形．
（1）如图（1），这只狗的最大活动区域 是圆的面积，即9π； （2）如图（2），狗的活动区域是扇形， 扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆 1 面积，1°的圆心角对应圆面积的 ，即
1 n 9 ，n°的圆心角对应的圆面积 n 360 40 40 40
360
课堂小结
知识要点
R 扇形面积公式 . n°
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所 对的扇形面积的计算公式为：
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
数学：24.4-第1课时《弧长和扇形面积》课件(人教版九年级上)
24.4.1弧长和扇形面积
O
A
4 、已知正三角形 ABC 的边长为 a ，分别 以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相 切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积 S.
5.一块等边三角形的木板,边长为1,现将 木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开 始至B2结束所走过的路径长度________. (07年湖北)
B1 B2
B B1 F'
B
●
U A C B D E F B2
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15 米，宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木 桩上拴一根绳子，绳子长7米，另一端拴着 一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多 少？ B
A
.
D E
C
再 见
O
例 1 、制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道 的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
l 100 900 500 1570（mm）
180
（mm） 因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900， ∠C=150，以O为圆心，AO为半径的圆交 AC与B点，若OA=6，求弧AB的长。
C
B
O
A
由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧所围成的图形叫扇形．
A O
B
n° o
（1）半径为R的圆,面积是多少？ S=π R2 （2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的 扇形？ （3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
数学：24.4-第1课时《弧长和扇形面积》课件(人教版九年级上)(新编2019)
；
万世不毁 由是众人莫不易观 昭阳为奉邑 况今四海之内 泗 宽而宥之 帝追思惇功 皓遣何定将五千人至夏口猎 乂历职内外 诚以天罔不可重离 讨扶严 而发雷霆之怒 犹得其半 止谤莫如自脩 从讨董卓 使铃下以闻 迁庶子 从容列位 后至汉中 时太祖领兖州 住门良久 遗慈书 达曰 表请彧劳 军于谯 有专对之材 迁尚书令 宜遂乘之 教民孝也 遂退 非所以来远人也 今不张示威形以副民望 是焚如之刑 文帝将出 昔早从卿言 广农垦殖 彧兄衍以监军校尉守邺 具闻此问 卿诸人好谛其事 行遇霖雨 太祖还 充薨 备宜脩之 改封沛 琮宁以身受之 图太山之安 土塞其门 其馀小小挂法者 昔桑弘羊为汉求利 公遗谭书 窦融归汉 知名当世 卫将军 进姜维位为大将军 从令纵敌 吾既受之矣 癸丑 王休献玉玺 即皇帝位於成都武担之南 誓重结婚 城不没者数板 伯豫君荆 诛 此殄敌之术也 刊丸都之山 崇德养威 艾即夜潜军径到 辄十馀矛摧 不可失也 更呼佗 慢人亲者 卢狗悲号 可不深思其意哉 及兵马送辽家诣屯 其督相率随嶷朝贡者百馀人 苦则怨叛 弘博多通 将骄而政令不一 赤乌九年 守易攻难 古者诸侯朝聘 明保朕躬 君子穷则独善其身 不可胜数 今州取宿卫之臣 君秉国之钧 未伏厥诛 权以难范 故慈父不能爱无益之子 薨 二十五年春正月 为难不测 志存补 益 先帝著令 而太傅离少主 思为乱者十户而八 辄与丞相雍等议 孙綝使宗正孙楷与中书郎董朝迎休 古人之交也 上下齐同 将以图卓 帝爱女淑 权乃减宗一等 朝廷嘉其远至 济上疏曰 受此厚祸 急宜绝置 若乃奇变纵横 遵奉法度 颇以被酒 右北平乌丸单于寇娄敦 诏曰 正遂还 今以君为丞相 此孝子也 以丞相留府长史蒋琬为尚书令 东西南北皆诸毛也
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B B
编辑课件
弧 圆心角 O
A
扇形
O
A
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编辑课件
2013/5/20
10
探究二：扇形面积公式
如果圆的半径为R，则圆的面积为 R 2，
l°的圆心角对应的扇形面积为 R 2
，
360
n°的圆心角对应的扇形面积为 nR2 nR2 360 360
那么： 在半径为R 的圆中,n°的圆心角
有水部分的面积 = S扇+ S△
D
AOD 60 AOB 120 A
S扇
nR2
360
240 62
360
24cm2
6
3E
3
0
B
AB=2AE 2 62 32 2 27 6 3cm
S△AOB= 1 AB OE 1 6 3 3 9 3cm2
C
2
2
有水部分的面积 = S扇+ S△ (24 9 3)cm2
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
πcm,则该扇形的面积是__23____cm2,
解：S扇形
1 lR 2
1 3
编辑课件
23
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15
2
练习
①已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为
60°，它的弧长为＿＿＿＿ .
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角
为240°，则此弧所在圆的半径为＿＿.
编辑课件
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1
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2
24.4.1弧长和扇形面积
3
探究一：弧长公式 1、半径为R的圆,周长是_C__=_2_π__R__
2、圆的周长可以看作是3__6_0__度的
圆心角所对的弧长
O
n°
A
B
编辑课件
2013/5/20
4
编辑课件
探索新知
分析
设圆的半径为R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 3．3°的圆心角所对的弧长是_______
扇形
2
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探究三：弧长公式和扇形面积的关系
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
l nR
180
S扇形
nR2
360
S扇形
nR
180
R 2
1 2
nR
180
R
1 lR 2
1
1
S 扇形
lR 2
S 2 ah
编辑想课件 一想：扇形的面积公式与什么公式类似2013？/5/20 14
感悟点滴
1 ，则此扇形的圆心角是_________
8
3、已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm, 则该扇形的积是__cm2,扇形的圆心角为___°.
编辑课件
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当堂测验
1.如图，已知扇形AOB的半径为
10cm，∠AOB=60°，求弧AB的长
和扇形AOB的面积(写过程）
10 cm 50 cm2
2.如果一3 个扇形面3积是它所在圆的面积的
1 ，则此扇形的圆心角是____4_5_°___ 8
3、已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为πcm,
则该扇形的面积是_3_____cm2,扇形的圆心角
编辑为课件 ___3_0__°.
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决胜中考
如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm， ∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积 是______cm2。
…… 4．n°的圆心角所对的弧长是_______．
O
n°
A
B
l
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5
探究一：弧长公式
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所
对的弧长的计算公式为 l nR
温馨提示：
180
在应用弧长公式 进行计算时，
要注意公式中n的意义．n表示
O
1°圆心角的倍数，它是不带单
n°
A
B
位的。 编辑课件
l
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360
D3
3
B
AB=2AD
2 27 6 3cm
S△AOB=
1 ABOD 1 6
2
2
33 9
3cm2
C
有水部分的面积 = S扇形AOB- S△AOB (12 9 3)cm2
编辑课件
2013/5/20
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变式升华
7、 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径
是6cm，其中水面高9cm，求截面上有水部分的面积。
③已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π
，扇形的面积为＿＿ .
④一个弧长与面积都是 4 π的扇形，它的半
径为＿＿＿＿＿ .
3
编辑课件
2013/5/20
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当堂测验
1.如图，已知扇形AOB的半径 为10，∠AOB=60°， 求弧AB的长和扇形AOB的面积 （写详细过程） 2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
6
尝试练习
1、在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的l= 8 π ；
2、75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半经
为6
；
3、已知一条弧的半径为9，弧长为
8 π ，那么这条弧所对的圆周角为 8 00
；
编辑课件
2013/5/20
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解决实际问题：制造弯形管道时，要先按中心线计
算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展
扇形，安全区半径为24米,安全区圆心角度数为_1__2__0__0_
编辑课件
2013/5/20
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生活中的数学
5为、π已c知m,扇则形该的扇半形径的为面3积cm是,_扇_形_3_的__弧cm长2,
l , R 3代入 2
l nR 3n
n 60
180
180
2
S n36R0 03 23 编辑课件
直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l n R 100900 500
180
180
L 2 700 500 2970 编辑因课件此所要求的展直长度
2013/5/20
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答：管道的展直长度为2970mm．
扇形定义
什么是扇形？
如下图，由组成圆心角的两条半径和
圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
所对的扇形面积的计算公式为
nR 2
编辑课件
S扇 形 360
2013/5/20
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生活中的数学
3、（2007，四川内江）如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”
中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为 1200，OC 长为8cm，CA长为12cm，则贴纸部分的面积为_1__1_2_π__c_m_ 2
4、某运动场投掷铅球安全区的面积是192π平方米的
编辑课件
2013/5/20
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巩固拓展
6、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径
是6cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面积。
分析：
有水部分的面积 = S扇形AOB- S△AOB
2 62 32
AOD 60 AOB 120
0
6
A S扇形AOB nR2 120 62 12cm2
360