哈工大电磁场与电磁波讲义
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30
散度与旋度的区别
vv
A . F 0 , F 0
vv
B . F 0 , F 0
vv
C . F v 0 , F v 0
B
C
D . F 0 , F 0
D
A
31
2.1 电荷与电流
一、电荷与电荷密度 Charge and Charge Density
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷、点电荷
第3章 平面电磁波 第4章 平面波的反射和折射 第5章 导行电磁波 第6章 电磁波的辐射
14
教材及参考书
• 教材
✓ 《电磁场与电磁波》，邱景辉等
• 参考书
✓ 《电磁场理论》，毕德显 ✓ 《电磁场与波》，David K. Cheng ✓ 《电磁波理论》，孔金欧 ✓ 《电磁场与电磁波》，谢处方等
15
学时安排及考核方式
和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电
场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷
所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中
心、电荷为 q 的点电荷。
z
q
r
o
y
x
点电荷 Point Charge 36
二、电流与电流密度 Current and Current Density
yy)2
1
x( zx2 z)(2y2y)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(z
z)2
1 2
所以
+ az
z
x
x2
( y +ayz)2z
(xzxz2)2 (y12
y)2
(z
1
z)2
2
所以
( 1 ) R
R R3
R0 R2
对于
(
1 R
)
，对仿于照((R1R1)
)，可仿求照得( R1()R1可)求 得RR3(
RRR1 20)
，RR所3 以RR欲20 证明的等式成立。
lim l (r)
Δl 0
Δq(r ) Δl
dq(r ) dl
z q
单位: C / m (库/米)
l
如果已知某空间曲线上的电荷线 密度，则该曲线上的总电荷q 为
q C l (r)dl
r
o
y
x
线电荷 Line Charge 35
4. 点电荷
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析
密度，则该曲面上的总电荷q 为
z S q
S r
o
y
q S s (r)dS
x
面电流
34
Surface Current
3. 电荷线密度
若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要
比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，
可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电
荷线密度表示。
1. 电荷体密度
电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布
(r) lim Δq(r) dq(r)
ΔV 0 ΔV
dV
单位：C/m3 (库/米3 )
z q
V
根据电荷密度的定义，如果已知某 空间区域V 中的电荷体密度，则区域
r
V
o
y
V 中的总电荷q为
q V (r)dV
x
体电荷
33
Volume Charge
对数周期天线
车载卫星电视天线
长波通信天线阵
微带天线阵 9
科研方向
• 射频电路 Radio-Frequency Circuit
低噪声放大器
无线射频识别电路 10
科研方向
• 电磁兼容 Electromagnetic Compatibility
高速数字电路信号完整性
汽车EMC 11
科研方向
• 电Ra波dio传wa播ve propagation
28
1.5 矢量函数的旋度
散度定理 Divergence Theorem
Ñ CFdlSFdS
This is a statement of Stokes’ theorem. It states that the integral of the normal component of the curl of a vector field over an area is equal to the line integral of the vector field along the curve bounding the area.
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
F12
eR
q1q2
4π 0 R122
q1q2 R12
4π 0 R132
说明：
z q1
r1
o x
R12 q2
F12 r2
y
• 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
• 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引； • F21 F12 ，满足牛顿第三定律。
故等式成立。
23
1.4 矢量函数的散度
矢量线
25
通量的物理意义
• 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
0
有净的矢 量线进入
0
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
26
散度定理 Divergence Theorem
Ñ SFdSVFdV
This is a mathematical definition of the divergence theorem. It relates the volume integral of the divergence of a vector field to the surface integral of its normal component. It states that for a continuously differentiable vector field the net outward flux from a closed surface equals the integral of the divergence throughout the region bounded by that surface.
正电荷运动的方向
空间中某点面电荷密度 J，s 面电荷密度 及s电荷运动速度v的关系
JS sv
39
3. 线电流 I
I lv
4.
电流元
r Idl
：通过线元 d
r l
的电流大小为 I
Idl
Jdv
J S ds
40
2.2 库仑定律 静电场的基本方程
1. 库仑定律（Coulomb’s Law） (1785年)
• 时间：3-16周 • 学时数：56学时+8学时实验 • 学分：4学分 • 考核方式
✓ 作业+实验 10% ✓ 随机测验 5% ✓ 期末考核 85%
16
1.2 三种常用的正交 曲线坐标系
直角坐标系 Rectangular coordinate system
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 ax , ay , az
6
电磁场理论的发展
隐形斗篷 Invisibility Cloak
7
电磁场理论的应用
• 无线通信技术
✓ 电报、广播、电视 ✓ 雷达系统 ✓ 卫星定位系统（GPS、北斗） ✓ 手机、Wi-Fi、蓝牙
• 其他应用
✓ 微波炉、电磁炉、打印机 ✓ 发电机、变压器 ✓ 磁悬浮列车、电磁高速公路
8
科研方向
• 天线 Antenna
位置矢量 面积元
体积元
r a azz
dS ddz dS ddz dSz dd
dV dddz
a a az , a az a , az a a
19
球坐标系 Spherical coordinate system
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 ar , a , a
位置矢量 面积元
体积元
Harbin Institute of Technology
电磁场与电磁波
Electromagnetic Field and Wave
课程的性质
• 电磁理论的重要组成部分 • 电类专业学生必修的技术基础课 • 电气工程师的必备知识
2
电磁场理论的发展
3
电磁场理论的发展
Benjamin Franklin
r arr
dSr r2 sin d d dS r sin drd dS rdrd
dV r 2 sin drd d
ar a a , a a ar , a ar a
20
坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
圆柱坐标与 球坐标系
直角坐标与 球坐标系
21
1
[例]
R
x
x2
(
y
27
散度定理 Divergence Theorem
Ñ SFdSVFdV
This is a mathematical definition of the divergence theorem. It relates the volume integral of the divergence of a vector field to the surface integral of its normal component. It states that for a continuously differentiable vector field the net outward flux from a closed surface equals the integral of the divergence throughout the region bounded by that surface.
y)2
(z
z)2
2
，试证明
( 1 ) ( 1 )
R
R
其中 R 表示空间点 (x, y, z) 和点 (x, y, z) 之间的距离。
符号 表示对 x, y, z 微分，即
ax
x
ay
y
az
z
22
证明：
1 R
x
x2
(y
y)2
(z
z)2
1 2
ax
x
x
x2
( y+ayy)y2
(xz
zx)22 12(+yay
单位：A / m2 （安/米2） 。
正电荷运动的方向
流过任意曲面S 的电流为
i S J dS
38
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称
an at JS
为面电流，用面电流密度矢量 JS 来描述其分布
JS
at
lim
l 0
i l
at
di dl
l
dh0 0
面电流密度矢量
单位：A/m （安/米） 。
Alessandro Graf Volta
4
电磁场理论的发展
Hans Christian Oersted André-Marie Ampère Jean-Baptiste Biot Felix Savart Biot-Savart
5
电磁场理论的发展
Michael Faraday
James Clerk Maxwell
位置矢量 面积元
体积元
r axx ay y azz
dSx dydz dSy dxdz dSz dxdy dV dxdydz
ax ay az, ay az ax, az ax ay
18
圆柱坐标系 Cylindrical coordinate system
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 a , a , az
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
i lim (q t) dq dt t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件：
• 存在可以自由移动的电荷; • 存在电场。
说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定
电流，用I 表示。
37
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同 的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流的 分别状态。
1. 体电流
S
电荷在某一体积内定向运动所形成
an
的电流称为体电流，用电流密度矢量
J
来描J 述。
体电流密度矢量
J
an
i lim S 0 S
an
di dS
体电流 Volume Current
12
科研方向
• 无Wi线rel系ess统system
13
授课体系
场（Field）
电、磁两个物理量在空 间的分布，是能量的一 种存在形式
波（Wave ）
作为信息传输的载体， 成为当今人类社会发布 和获取信息的重要手段
第1章 矢量分析 第2章 宏观电磁运动的普遍规则 第7章 静态场 第8章 稳恒场的解法
42
• 电场力服从叠加定理
真空中的N个点电荷 q1、q2、 、（qN分别位于 r1、r2、 、）rN
对点电荷 q（位于 r）的作用力为
Fq
N i 1
Fqi q
N i 1
qqi Ri
4π 0 Ri3
(Ri r ri )
q3
q4
q
q5
q2
q7
q6
q1
43
2. 电场强度
2. 电荷面密度
若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要
比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电
场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的
电荷可用电荷面密度表示。
S
(r)
lim
ΔS 0
Δq(r ) ΔS
dq(r ) dS
单位: C/m2 (库/米2)
如果已知某空间曲面S 上的电荷面
散度与旋度的区别
vv
A . F 0 , F 0
vv
B . F 0 , F 0
vv
C . F v 0 , F v 0
B
C
D . F 0 , F 0
D
A
31
2.1 电荷与电流
一、电荷与电荷密度 Charge and Charge Density
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷、点电荷
第3章 平面电磁波 第4章 平面波的反射和折射 第5章 导行电磁波 第6章 电磁波的辐射
14
教材及参考书
• 教材
✓ 《电磁场与电磁波》，邱景辉等
• 参考书
✓ 《电磁场理论》，毕德显 ✓ 《电磁场与波》，David K. Cheng ✓ 《电磁波理论》，孔金欧 ✓ 《电磁场与电磁波》，谢处方等
15
学时安排及考核方式
和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电
场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷
所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中
心、电荷为 q 的点电荷。
z
q
r
o
y
x
点电荷 Point Charge 36
二、电流与电流密度 Current and Current Density
yy)2
1
x( zx2 z)(2y2y)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(z
z)2
1 2
所以
+ az
z
x
x2
( y +ayz)2z
(xzxz2)2 (y12
y)2
(z
1
z)2
2
所以
( 1 ) R
R R3
R0 R2
对于
(
1 R
)
，对仿于照((R1R1)
)，可仿求照得( R1()R1可)求 得RR3(
RRR1 20)
，RR所3 以RR欲20 证明的等式成立。
lim l (r)
Δl 0
Δq(r ) Δl
dq(r ) dl
z q
单位: C / m (库/米)
l
如果已知某空间曲线上的电荷线 密度，则该曲线上的总电荷q 为
q C l (r)dl
r
o
y
x
线电荷 Line Charge 35
4. 点电荷
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析
密度，则该曲面上的总电荷q 为
z S q
S r
o
y
q S s (r)dS
x
面电流
34
Surface Current
3. 电荷线密度
若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要
比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，
可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电
荷线密度表示。
1. 电荷体密度
电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布
(r) lim Δq(r) dq(r)
ΔV 0 ΔV
dV
单位：C/m3 (库/米3 )
z q
V
根据电荷密度的定义，如果已知某 空间区域V 中的电荷体密度，则区域
r
V
o
y
V 中的总电荷q为
q V (r)dV
x
体电荷
33
Volume Charge
对数周期天线
车载卫星电视天线
长波通信天线阵
微带天线阵 9
科研方向
• 射频电路 Radio-Frequency Circuit
低噪声放大器
无线射频识别电路 10
科研方向
• 电磁兼容 Electromagnetic Compatibility
高速数字电路信号完整性
汽车EMC 11
科研方向
• 电Ra波dio传wa播ve propagation
28
1.5 矢量函数的旋度
散度定理 Divergence Theorem
Ñ CFdlSFdS
This is a statement of Stokes’ theorem. It states that the integral of the normal component of the curl of a vector field over an area is equal to the line integral of the vector field along the curve bounding the area.
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
F12
eR
q1q2
4π 0 R122
q1q2 R12
4π 0 R132
说明：
z q1
r1
o x
R12 q2
F12 r2
y
• 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
• 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引； • F21 F12 ，满足牛顿第三定律。
故等式成立。
23
1.4 矢量函数的散度
矢量线
25
通量的物理意义
• 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
0
有净的矢 量线进入
0
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
26
散度定理 Divergence Theorem
Ñ SFdSVFdV
This is a mathematical definition of the divergence theorem. It relates the volume integral of the divergence of a vector field to the surface integral of its normal component. It states that for a continuously differentiable vector field the net outward flux from a closed surface equals the integral of the divergence throughout the region bounded by that surface.
正电荷运动的方向
空间中某点面电荷密度 J，s 面电荷密度 及s电荷运动速度v的关系
JS sv
39
3. 线电流 I
I lv
4.
电流元
r Idl
：通过线元 d
r l
的电流大小为 I
Idl
Jdv
J S ds
40
2.2 库仑定律 静电场的基本方程
1. 库仑定律（Coulomb’s Law） (1785年)
• 时间：3-16周 • 学时数：56学时+8学时实验 • 学分：4学分 • 考核方式
✓ 作业+实验 10% ✓ 随机测验 5% ✓ 期末考核 85%
16
1.2 三种常用的正交 曲线坐标系
直角坐标系 Rectangular coordinate system
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 ax , ay , az
6
电磁场理论的发展
隐形斗篷 Invisibility Cloak
7
电磁场理论的应用
• 无线通信技术
✓ 电报、广播、电视 ✓ 雷达系统 ✓ 卫星定位系统（GPS、北斗） ✓ 手机、Wi-Fi、蓝牙
• 其他应用
✓ 微波炉、电磁炉、打印机 ✓ 发电机、变压器 ✓ 磁悬浮列车、电磁高速公路
8
科研方向
• 天线 Antenna
位置矢量 面积元
体积元
r a azz
dS ddz dS ddz dSz dd
dV dddz
a a az , a az a , az a a
19
球坐标系 Spherical coordinate system
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 ar , a , a
位置矢量 面积元
体积元
Harbin Institute of Technology
电磁场与电磁波
Electromagnetic Field and Wave
课程的性质
• 电磁理论的重要组成部分 • 电类专业学生必修的技术基础课 • 电气工程师的必备知识
2
电磁场理论的发展
3
电磁场理论的发展
Benjamin Franklin
r arr
dSr r2 sin d d dS r sin drd dS rdrd
dV r 2 sin drd d
ar a a , a a ar , a ar a
20
坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
圆柱坐标与 球坐标系
直角坐标与 球坐标系
21
1
[例]
R
x
x2
(
y
27
散度定理 Divergence Theorem
Ñ SFdSVFdV
This is a mathematical definition of the divergence theorem. It relates the volume integral of the divergence of a vector field to the surface integral of its normal component. It states that for a continuously differentiable vector field the net outward flux from a closed surface equals the integral of the divergence throughout the region bounded by that surface.
y)2
(z
z)2
2
，试证明
( 1 ) ( 1 )
R
R
其中 R 表示空间点 (x, y, z) 和点 (x, y, z) 之间的距离。
符号 表示对 x, y, z 微分，即
ax
x
ay
y
az
z
22
证明：
1 R
x
x2
(y
y)2
(z
z)2
1 2
ax
x
x
x2
( y+ayy)y2
(xz
zx)22 12(+yay
单位：A / m2 （安/米2） 。
正电荷运动的方向
流过任意曲面S 的电流为
i S J dS
38
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称
an at JS
为面电流，用面电流密度矢量 JS 来描述其分布
JS
at
lim
l 0
i l
at
di dl
l
dh0 0
面电流密度矢量
单位：A/m （安/米） 。
Alessandro Graf Volta
4
电磁场理论的发展
Hans Christian Oersted André-Marie Ampère Jean-Baptiste Biot Felix Savart Biot-Savart
5
电磁场理论的发展
Michael Faraday
James Clerk Maxwell
位置矢量 面积元
体积元
r axx ay y azz
dSx dydz dSy dxdz dSz dxdy dV dxdydz
ax ay az, ay az ax, az ax ay
18
圆柱坐标系 Cylindrical coordinate system
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 a , a , az
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
i lim (q t) dq dt t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件：
• 存在可以自由移动的电荷; • 存在电场。
说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定
电流，用I 表示。
37
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同 的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流的 分别状态。
1. 体电流
S
电荷在某一体积内定向运动所形成
an
的电流称为体电流，用电流密度矢量
J
来描J 述。
体电流密度矢量
J
an
i lim S 0 S
an
di dS
体电流 Volume Current
12
科研方向
• 无Wi线rel系ess统system
13
授课体系
场（Field）
电、磁两个物理量在空 间的分布，是能量的一 种存在形式
波（Wave ）
作为信息传输的载体， 成为当今人类社会发布 和获取信息的重要手段
第1章 矢量分析 第2章 宏观电磁运动的普遍规则 第7章 静态场 第8章 稳恒场的解法
42
• 电场力服从叠加定理
真空中的N个点电荷 q1、q2、 、（qN分别位于 r1、r2、 、）rN
对点电荷 q（位于 r）的作用力为
Fq
N i 1
Fqi q
N i 1
qqi Ri
4π 0 Ri3
(Ri r ri )
q3
q4
q
q5
q2
q7
q6
q1
43
2. 电场强度
2. 电荷面密度
若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要
比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电
场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的
电荷可用电荷面密度表示。
S
(r)
lim
ΔS 0
Δq(r ) ΔS
dq(r ) dS
单位: C/m2 (库/米2)
如果已知某空间曲面S 上的电荷面