方程有两个相等实数根与方程有两个实数根探讨.doc
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程根的个数
一元二次方程根的个数一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
解一元二次方程即要求求出方程的根。
根的个数与方程的判别式有关，判别式的值为b^2-4ac。
一、判别式与根的个数的关系：1. 当判别式大于0时，即b^2-4ac > 0，方程有两个不相等的实根。
2. 当判别式等于0时，即b^2-4ac = 0，方程有两个相等的实根。
3. 当判别式小于0时，即b^2-4ac < 0，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
二、求解一元二次方程的公式：1. 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
根的公式为： x1 = (-b + √(b^2-4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2-4ac)) / 2a其中，√表示平方根。
2. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
根的公式为： x1 = x2 = -b / 2a3. 当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
根的公式为：x1 = (-b + √(4ac-b^2)i) / 2ax2 = (-b - √(4ac-b^2)i) / 2a其中，i表示虚数单位，即i^2=-1。
三、例题解析：以方程x^2 - 3x + 2 = 0为例，根据判别式b^2-4ac的计算，可以得到判别式为1-4(1)(2)=-3，小于0，即该方程没有实根，而是有两个共轭复根。
根的公式为：x1 = (3 + √(-3)i) / 2x2 = (3 - √(-3)i) / 2将√(-3)使用复数单位i表示：x1 = (3 + i√3) / 2x2 = (3 - i√3) / 2因此，该方程的根为x1 = (3 + i√3) / 2，x2 = (3 - i√3) / 2。
四、总结：一元二次方程的根的个数取决于判别式的值，判别式大于0时有两个不相等的实根，判别式等于0时有两个相等的实根，判别式小于0时有两个共轭复根。
方程根的判定
方程根的判定方程根的判定是数学中一个重要的概念，用于确定一个方程是否有实根、复根或无根。
在代数学中，方程根的判定是解决方程的关键步骤之一，它能告诉我们方程的解的性质和个数。
下面将介绍一些常见的判定方法，并通过例子来说明。
一元二次方程是一种常见的方程形式，可以表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
对于这种方程，我们可以使用判别式D = b² - 4ac来判断它的根的情况。
当判别式D > 0时，方程有两个不相等的实根。
例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以计算出判别式 D = (-5)² - 4(1)(6) = 1，因此方程有两个实根。
当判别式D = 0时，方程有两个相等的实根。
例如，对于方程x² - 4x + 4 = 0，我们可以计算出判别式 D = (-4)² - 4(1)(4) = 0，因此方程有两个相等的实根。
当判别式D < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
例如，对于方程x² + 2x + 5 = 0，我们可以计算出判别式D = 2² - 4(1)(5) = -16，因此方程没有实根，但有两个共轭复根。
除了一元二次方程外，还有其他类型的方程，如高次多项式方程和三角方程。
对于这些方程，判定其根的方法也有所不同。
对于高次多项式方程，我们可以使用Rolle定理和Sturm定理来判断其根的情况。
Rolle定理告诉我们一个连续函数在一个区间内有n 个根，那么它的导数至少在这个区间内有n-1个根。
而Sturm定理则提供了一种计算多项式方程根的有效方法。
对于三角方程，我们可以将其转化为代数方程来求解。
例如，对于方程sin(x) = 0，我们可以通过观察得知，它的根是x = nπ，其中n是整数。
而对于方程cos(x) = 0，我们可以通过将其转化为sin(x + π/2) = 0来求解，得到x = nπ + π/2，其中n是整数。
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程解
的求解和实数的性质等知识点。
下面将对此进行详细的介绍。
一、定义
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当方程存在实数解时，这个方程就叫做一元二次方程实数根。
二、判别式
为了求解一元二次方程实数根，我们需要首先计算出它的判别式，即：Δ=b²-4ac
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；
若Δ<0，则方程没有实数根，但有复数根。
其中，Δ又被称为二次方程的根号下判别式。
三、求解
如果方程有实数根，那么我们可以使用求根公式来求解：
x1,x2=(-b±√Δ)/2a
其中x1、x2分别是方程的两个实数根，±看判别式的正负号而定。
四、性质
1. 方程的系数a、b、c可以解释为抛物线的形态、位置和大小等性质。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 方程有两个实数根的条件是Δ>0；有一个实数根的条件是Δ=0；没有实数根的条件是Δ<0。
4. 当Δ>0时，x1和x2是两个不相等的实数，且它们的和等于-b/a，积等于c/a；当Δ=0时，它们相等，等于-b/2a。
5. 方程的根可以用Vieta公式表示：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
以上就是对于一元二次方程实数根的介绍，相信大家对此有了更加深入的理解和掌握。
在实际应用中，了解和灵活运用这些知识点可以帮助我们更好地解决实际问题。
一元二次方程两个实数根的关系
一元二次方程两个实数根的关系一元二次方程，一听这名字就觉得有点“高大上”，但其实它在我们的生活中可是很常见的。
比如你想知道一个抛物线的形状，或者搞明白一下一个物体抛上去的轨迹，这些都离不开一元二次方程的“帮助”。
今天我们就来聊聊，一元二次方程中两个实数根的关系，看看这些数学“好朋友”之间到底有啥神奇的联系。
1. 一元二次方程的基础首先，我们得搞清楚啥是一元二次方程。
简单来说，它的形式就是 ax^2 + bx + c= 0 这样的方程。
其中，a、b、c 是常数，x 是变量。
它的特点就是“二次”，也就是 x 的最高次数是 2。
明白了这点，我们就能往下聊了。
1.1 方程的根是什么？方程的“根”就是能让方程等式成立的那个数。
在这个一元二次方程里，我们可能会找到两个这样的数，它们就是方程的两个根。
举个例子，方程 x^2 5x + 6 = 0，它的两个根就是 2 和 3，因为当你把这两个数代入方程中，方程就等于 0 了。
1.2 如何找这些根？找一元二次方程的根有几种方法，其中最常用的就是求根公式，也就是x = [b ±√(b²4ac)] / 2a。
这个公式虽然看起来有点复杂，但只要你记住了用法，就能很快找到方程的根。
2. 两个实数根的关系既然我们知道了方程的根是什么，接下来我们要聊聊这两个实数根之间的关系。
实际上，根与根之间有着非常紧密的关系，它们之间的联系可以用几个关键的概念来理解。
2.1 根与系数的关系首先，两个实数根与方程的系数之间有很大关系。
我们知道，一元二次方程的根可以用以下公式表示：根的和 = b / a根的积 = c / a比如，方程x² 5x + 6 = 0 的根是 2 和 3，那么这两个根的和就是 2 + 3 = 5，根的积就是 2 * 3 = 6。
很显然，这和方程中的系数有直接关系。
2.2 根与判别式的关系还有个很重要的概念，就是判别式。
判别式是b² 4ac，它能告诉我们方程的根是什么类型的：如果判别式大于 0，方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程有两相异实数根问题浅谈
一元二次方程有两相异实数根问题浅谈资料编号:202209161921在谈论一元二次方程根的情况时,我们不免会遇到方程有两个相异实数根的问题.如果一元二次方程有两个相异的实数根,那么方程根的判别式一定大于零,这是研究此类问题我们首先要考虑到的.其次,方程有两个相异的实数根,则两根之积必定是负数,根据根与系数的关系定理可知.综合来看,于是就有下面的结论. 0<ac一元二次方程有两相异实数根的条件是:()002≠=++a c bx ax . ⎪⎩⎪⎨⎧<=>∆0021ac x x 如果把上面的两个条件合在一起,则只需即可. 0<ac 事实上,若,则必有,且成立.于是,还0<ac 0<ac()04422>-+=-=∆ac b ac b 有下面的结论:一元二次方程有两相异实数根的条件是:.（进入高()002≠=++a c bx ax 0<ac 中后,你会明白是一元二次方程有两相异实数根的充要条件）0<ac 我们经常利用上面的结论,来确定方程中参数的取值范围.另外,一元二次方程与对应的二次函数之间有着紧密的联系,因此,我们也可以用函数的观点来看问题:一元二次方程有两个相异的实数根,则方程对应的二次函数的图象与轴有两个不同的交点,且一个交点位于轴的负半轴上,另一个交点位x x 于轴的正半轴上,两个交点的横坐标分别是方程的正根和负根.x 设一元二次方程 ()002≠=++a c bx ax 对应的二次函数为, ()002≠=++=a c bx ax y 当时,如图所示,则有,所以0>a ()00<=c f ;0<ac 当时,如下页图实数,则有, 0<a ()00>=c f 所以,.0<ac0() > 0综上,一元二次方程有两相异实数根的条件是. ()002≠=++a c bx ax 0<ac 如果一元二次方程有两相异实数根,且正根的绝对值大于负根的绝对值,则有下面的结论:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>-=+>-=∆000421212x x a b x x ac b 或. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<020abac如下图所示.如果一元二次方程有两相异实数根,且负根的绝对值大于正根的绝对值,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=+>-=∆000421212x x a b x x ac b或. ⎪⎩⎪⎨⎧<-<020abac 如下图所示.例1. 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点A 、B .()132+-+=x m mx y x 若点A 在轴的正半轴上,点B 在轴的负半轴上,求实数的取值范围. x x m 解法一:由题意可知:方程有两个相异实数根()0132=+-+x m mx ∴,解之得:. ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>--=∆≠010430212mx x m m m 0<m 解法二:由题意可知:方程有两个相异实数根 ()0132=+-+x m mx ∴.01<=⋅m m 例2. 求当取什么实数时,方程有一正根和一负根,且m ()05242=-+-+m x m x 正根的绝对值大于负根的绝对值.解法一:由题意可得:,即 ⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->-->---0454251622m m m m 解之得:.2<m解法二:设,根据题意 ()()5242-+-+=m x m x x f 画出函数大致图象如图所示.由可得:()⎪⎩⎪⎨⎧>⨯--<-=0422050m m f .2<m。
北师版数学九年级上册 判别式为0的意义解读和用法解析
北师版数学九年级上册 判别式为0的意义解读和用法解析△＝０是一元二次方程ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个相等的实数根的条件，这个条件与不同的知识联手，就会产生新的意义．下面就和同学们谈谈这个话题． １．意义：表示方程有两个相等的实数根例１ 已知关于x 的一元二次方程2x －２3ｘ＋ｋ＝０有两个相等的实数根，则ｋ值为 ．分析： 一元二次方程有两个相等的实数根，其成立的条件就是判别式△＝０．明确这一点后，只需将条件具体化就得到你所要的答案．解： 因为一元二次方程2x －２3ｘ＋ｋ＝０有两个相等的实数根，所以△＝０， 所以2)32(-－４×１×ｋ＝０，即１２－４ｋ＝０，解得：ｋ＝３.点评： 熟记一元二次方程有相等实数根的条件是解题的关键．２．意义：表示抛物线的顶点在ｘ轴上或表示抛物线与ｘ轴只有一个交点３．意义：表示直线与抛物线在某点相切的位置关系例３ 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线ｙ＝０是抛物线ｙ＝412x 的切线；②直线ｘ＝－２与抛物线ｙ＝412x 相切于点（－２，１）；③直线ｙ＝ｘ＋ｂ与抛物线ｙ＝412x 相切，则相切于点（２，１）；④若直线ｙ＝ｋｘ－２与抛物线ｙ＝412x 相切，则实数ｋ＝2． 其中正确命题的是（ ）Ａ．①②④ Ｂ．①③ Ｃ． ②③ Ｄ．①③④分析： 判断一条直线是不是抛物线的切线，通常层面上的要求是：（１）确保只有一个公共点，以ｙ为媒介，联立得到关于ｘ的一元二次方程的判别式为０； （２）确保这条直线不是对称轴或不与对称轴平行．从定义看出，只要与对称轴平行的直线一定不是抛物线的切线．解： 因为直线y=0，抛物线ｙ＝412x 联立得到：412x ＝０，所以△＝０，所以直线与抛物线只有一个交点．因为抛物线ｙ＝412x 的对称轴为直线ｘ＝０，所以直线y=0与对称轴互相垂直，符合抛物线切线的定义，所以结论①正确的；因为抛物线ｙ＝412x 的对称轴为直线ｘ＝０，所以直线x=2与y 轴平行即与对称轴平行，所以直线ｘ＝２不是抛物线的切线，所以结论②是错误的； 因为直线ｙ＝ｘ＋ｂ与抛物线ｙ＝412x 相切，所以412x －ｘ－ｂ＝０的判别式△＝０， 所以１＋ｂ＝０，解得ｂ＝－１，所以2x －４ｘ＋４＝０，解得ｘ＝２，当ｘ＝２时，ｙ＝１，所以交点的坐标为（２,１）即相切于点（２，１），所以结论③是正确的；因为直线ｙ＝ｋｘ－２与抛物线ｙ＝412x 相切，所以412x －ｋｘ＋２＝０的判别式△＝０，所以2k －２＝０，解得ｋ＝2或ｋ＝－2，所以结论④是错误的；所以选Ｂ．点评： 正确理解抛物线与直线相切的意义是正确解题的关键．４．意义：表示直线与抛物线在某点相切的位置关系时三角形的面积最大例４ 如图１，抛物线ｙ＝ａ2x －23ｘ－２（ａ≠０）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．分析： △MBC 的面积可由21×BC×h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，只有当直线平行BC ，且直线与抛物线有且只有一个交点时，才能保证距离最大．解：（1）将B （4，0）代入抛物线的解析式ｙ＝ａ2x －23ｘ－２中，得： １６ａ－23×４－２＝２即：ａ＝21，所以抛物线的解析式为：ｙ＝212x －23ｘ－２． （2）由（1）的函数解析式可求得：A （－１，０）、C （０，－２）；所以ＯＡ＝１，ＯＣ＝２，ＯＢ＝４，所以OB OA OC ⨯=2．因为OC ⊥AB ，所以△OAC ∽△OCB ，得：∠OCA=∠OBC ；所以∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， 所以△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点，因为ＡＢ＝５，所以半径为25，所以圆心到原点的距离为25－１＝23，且在原点的右边，所以三角形ＡＢＣ外接圆圆心的坐标为（23，０）． （3）已求得：B （4，0）、C （0，﹣2），可得直线BC 的解析式为：ｙ＝21ｘ－２； 设直线l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为：ｙ＝21ｘ＋ｂ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：21ｘ＋ｂ＝212x －23ｘ－２，整理得：2x －４ｘ－４－２ｂ＝０，因为抛物线与直线相切，有一个交点，所以△＝０，所以１６＋４（４＋２ｂ）＝０，解得： ｂ＝－４，所以直线的解析式为：ｙ＝21ｘ－４． 因为△MBC 的面积＝21×BC×h，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，只有当直线平行BC ，且直线与抛物线有且只有一个交点时，才能保证距离最大．所以212x －23ｘ－２＝21ｘ－４，解得：ｘ＝２，把ｘ＝２代入ｙ＝21ｘ－４得：ｙ＝－３，所以点Ｍ的坐标为（２，－３）．面积的最大值，请读者结合图像自己给出详细的解答．点评： 注意构造两平行线之间的距离时解题的关键．。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
四、不解方程，求与根有关的代数式的值 例2 若a、b为互不相等的实数，且a 2－3a＋1＝0，b 2－3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值 分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是 先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将 会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常 大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程 的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用 a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便． 解：根据题意知a、b是方程x 2－3x＋1＝0的两个根由根 与系数关系得a＋b＝3，ab＝1． 点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
例3：当m为何值时，方程（m-1）x² +2mx+m+3=0 ①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根 ④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析
（1）﹑只需△<0 （2）、分情况讨论 ① m-1=0 （3）﹑当m-1=0时 （4）、 △≥0 且 m-1≠0 （5）、△＞0 且 m-1≠0 （6）、 △=0 且 m-1≠0 ② △≥0 且m-1≠0
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们大意了,可恶,俺们被戮申殿算计了.”阔怜元老低沉の声音嘶吼.如果无暇善尊一直留在城市之内,那么就算戮申殿攻打无暇城,可要破开无暇城の防御也需要事间.再不济,无暇城の守护大阵也能顶一点事间.就算可能仍然等不到玄月商楼の救援,但也起码会比现在强.在城市之外, 戮申殿直接就能够对无暇善尊动手.“阔怜元老,现在俺们该怎么办?无暇善尊此事
一元二次方程 两个不相等的实数根 a b
《一元二次方程：深入探讨两个不相等的实数根 a b》一元二次方程是初中阶段数学学习的重要内容，而探讨两个不相等的实数根 a b 是其中的一个重要问题。
在本篇文章中，我们将从浅入深地探讨一元二次方程和两个不相等的实数根 a b，并探讨其深层含义和应用。
## 1. 一元二次方程的基本概念让我们来回顾一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常的一般形式为 Ax^2 + Bx + C = 0，其中 A、B、C 分别为常数，而 x 则代表未知数。
而方程的根则是能够使得方程等式成立的 x 的值。
在这里，我们重点强调两个不相等的实数根a 和b。
在解一元二次方程时，我们通常使用求根公式 x = (-B±√(B^2-4AC))/(2A)。
### 1.1 求根公式的含义在一元二次方程中，求根公式的正负号代表着两个不同的解，分别对应着两个不相等的实数根 a 和 b。
而在方程中，判别式Δ = B^2-4AC 则决定了根的性质，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
而对于我们的主题——两个不相等的实数根 a 和 b，往往对应着Δ>0的情况，接下来我们将着重对此进行探讨。
## 2. 两个不相等的实数根的意义现在，让我们进一步探讨两个不相等的实数根 a 和 b 的意义。
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，实际上反映了方程对应的二次函数与 x 轴相交于两个不同的点。
这一点可以通过函数图像的形状来理解，即函数的图像会与 x 轴在两个不同的点上相交。
### 2.1 几何解析从几何角度来说，两个不相等的实数根 a 和 b 分别代表了函数图像与x 轴相交的两个横坐标。
这也意味着方程所对应的二次函数在这两个横坐标上的函数值分别为零，这些横坐标的数值与实数根 a 和 b 的数值是对应的。
通过一元二次方程的两个不相等的实数根，我们能够对应地找到函数图像在 x 轴上的特殊点，从而更全面地理解函数的性质。
一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)
第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。
1.已知关于x的方程有两个不相等的实数根
30.某市为了进一步缓解交通拥挤现象，决定修建一条轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？
7.是否存在正数m使方程的两根之差的绝对值等于？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由
8. 请写出一个根为，另一根满足的一元二次方程
9. 王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？
14. 赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，他读前一半时，平均每天读多少页？
15. 张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份报纸，剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯赚了多少元?
A、赚钱 B、赔钱 C、不赚不赔 D、无法确定赚和赔
22. 已知关于x的方程。
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两实数根满足：，求k的值
23.方程的一根Biblioteka 另一根大，求a的值. 24.如果方程有两个同号的实数根，求m的取值范围.
25.方程的两个实数根满足求k的值.
28.某商场销售一种商品，一月份销售了若干件，共获利润30000元，二月份这种商品的单价降低了0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而所获利润比一月份多2000元，问调价前每件商品的利润是多少元.
29.向某地赠送一批计算机，首批270台将于近期启运，经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.已知B型汽车比A型汽车每辆可多装15台，求A、B两种型号的汽车各能装计算机多少台.
二次函数的几个公式
二次函数的几个公式
二次函数是一种常见的二次多项式函数，其一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图形轨迹通常为开口向上或
开口向下的抛物线形状。
二次函数的解的情况有三种：当Δ>0时，方程有两个实数根，解的
形式为x₁=(-b+√Δ)/2a，x₂=(-b-√Δ)/2a；当Δ=0时，方程有两个相
等的实数根，解的形式为x₁=x₂=-b/2a；当Δ<0时，方程无实数根，解的
形式为x₁=(-b+√，Δ，i)/2a，x₂=(-b-√，Δ，i)/2a，其中i为虚数单位。
二次函数与坐标轴的交点称为零点，解方程y=0即可求得。
以上是二次函数的几个公式的介绍，其中包括了二次函数的一般形式、顶点坐标、根的判别式、解的情况、开口方向、对称轴、平移变换公式、
导函数和增减性等内容。
对于理解和应用二次函数有很大的帮助。
一元二次方程两个相等实数根
一元二次方程两个相等实数根一元二次方程两个相等实数根一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数。
如果这个方程有两个相等的实数根，意味着方程的判别式D=b^2-4ac等于零。
那么我们应该如何解这样的方程呢？下面我们来详细的介绍一下。
解法一：使用求根公式，对于方程ax^2+bx+c=0，它的两个根分别是：x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2 = (-b - sqrt(b^2-4ac))/(2a)当方程的判别式D等于零时，即b^2-4ac=0时，可以发现sqrt(b^2-4ac)=0，这样就不管加上还是减去sqrt(b^2-4ac)都会得到相同的根，也就是x1=x2=-b/2a。
解法二：通过配方法来求得一元二次方程的根。
将方程ax^2+bx+c=0变形为：x^2 + (b/a)x + c/a = 0再将方程左右两边同时减去c/a，可以得到：x^2 + (b/a)x = -c/a接下来，我们可以将方程左右两边同时除以a，可以得到一个更简化的式子：x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a等式左侧这个式子可以写成(x+b/2a)^2的形式，所以：(x+b/2a)^2 = (b^2-4ac)/4a^2所以，方程的根就是：x = -b/2a +/- sqrt(b^2-4ac)/2a当方程的判别式D等于零时，即b^2-4ac=0时，可以发现sqrt(b^2-4ac)=0，此时方程的两个根相同，即x1=x2=-b/2a。
综上所述，我们可以通过求根公式或者配方法来求解一元二次方程的根，当方程的判别式D等于零时，即方程有两个相等的实数根时，方程的根相同，可以直接求解得到。
一元二次两个实数根的关系
一元二次两个实数根的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分:一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它在数学和科学领域中的应用十分广泛。
本文将着重探讨一元二次方程中的两个实数根的关系。
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
通过研究一元二次方程的解的概念和判别式，我们可以深入了解一元二次方程的性质和特点。
在本文的正文部分，我们将首先介绍一元二次方程的定义和性质，包括二次项、一次项和常数项的含义，以及平方项的系数a的重要作用。
然后我们将详细解释一元二次方程的解的概念，包括实数解、虚数解和重根的区别。
接着我们将引入一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值可以得知方程的根的性质。
最后，我们将专注于讨论一元二次方程的两个实数根的关系，探究根之间的数学关系和特点。
在结论部分，我们将总结一元二次方程的两个实数根的关系，并引用实际应用中的例子，展示一元二次方程的重要性和实用价值。
我们还将对一元二次方程的两个实数根的关系进行进一步讨论，深入挖掘其中的数学规律和性质。
通过本文的研究，我们将对一元二次方程的两个实数根的关系有更深入的理解，并能够在实际问题中应用这一数学概念解决相关的计算和推导。
深入研究一元二次方程的两个实数根的关系不仅对提升数学水平有帮助，也对其他科学领域的学习和实践具有重要意义。
（注：以上内容仅为示例，可以根据实际需要进行修改和补充）1.2文章结构文章结构是指文章整体的组织框架和内容安排。
在本篇文章中，主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
首先，介绍一元二次方程和其两个实数根的概念和背景，引起读者的兴趣。
其次，简要介绍本篇文章的结构，即引言、正文和结论三个部分的内容安排。
然后，明确文章的目的，即探讨一元二次方程的两个实数根之间的关系。
最后，总结引言部分，简要概括引言部分的主要内容和文章的整体目的。
正文部分是文章的核心部分，主要是对一元二次方程的定义和性质、解的概念、判别式以及两个实数根的关系进行详细的阐述和分析。
方程有两个相等的实数根的条件
方程有两个相等的实数根的条件1. 什么是相等的实数根说到方程，很多人脑海中可能会浮现出那些神秘的公式和符号。
不过，别担心，今天咱们就用轻松的方式聊聊方程里的“相等的实数根”。
首先，大家知道什么是根吗？简单来说，方程的根就是使得方程成立的那些数字。
比如，方程 (x^2 4 = 0) 的根是 2 和2，乍一看没什么大不了的。
但如果这两个根相等，那可就有意思了。
就好比你有一块蛋糕，本来切成了两份，结果切着切着，竟然变成了同一个大块，这样的情况就叫做有两个相等的实数根。
1.1. 方程的类型那么，什么样的方程会有相等的实数根呢？一般来说，咱们讨论的主要是二次方程，像 (ax^2 + bx + c = 0) 这种形式。
它的根是通过一套公式叫做“求根公式”算出来的：(x= frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a)。
听起来有点复杂，但其实不然，关键在于一个神奇的数字——判别式 (D = b^2 4ac)。
1.2. 判别式的作用这个判别式就像是个神奇的魔法师，能够判断方程的根是什么样的。
当 (D > 0) 的时候，方程有两个不同的实数根；当 (D = 0) 时，恭喜你，方程有两个相等的实数根；而当 (D < 0) 时，方程就只能接受虚幻的根了。
所以，要想让两个根相等，最重要的一步就是要让这个判别式等于零。
这就像是在寻找一把锁的钥匙，只要你找对了，问题迎刃而解。
2. 相等根的条件2.1. 实际应用那么，生活中有什么例子能让我们理解这个条件呢？想象一下，你和朋友一起去买冰淇淋，结果你们俩都选了同样的口味，而且每个人都想要一大杯，最后只发现你们只能共享一杯。
这就和相等根的情况很像，虽然有两个选择，但最后却只实现了一个结果。
为了达到这个效果，方程的系数必须满足特定的关系，通常就是让 (b^2 4ac = 0)。
2.2. 计算示例好，咱们来举个具体的例子。
假设我们有方程 (x^2 4x + 4 = 0)。
二次方程有实根的条件(一)
二次方程有实根的条件(一)二次方程有实根的条件1. 介绍在数学中，二次方程是一种形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为实数，并且a≠0。
二次方程的解决方法非常重要，因为它在代数学和实际应用中都具有广泛的应用。
然而，并不是所有的二次方程都有实根，这导致我们需要确定什么样的条件下，二次方程才会有实根。
2. 实根的定义在解决二次方程时，实根是指满足方程的解为实数的根。
换句话说，如果方程的解是虚数，那么它就没有实根。
3. 二次方程有实根的条件要确定二次方程是否有实根，我们需要考虑方程的判别式Δ，判别式的计算公式为：Δ=b2−4ac。
根据判别式Δ的值，我们可以得出以下条件：•当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根。
•当Δ=0时，二次方程有两个相等的实根。
•当Δ<0时，二次方程没有实根。
4. 证明二次方程有实根的条件Δ>0当Δ>0时，根据判别式的定义，我们有b2−4ac>0。
这意味着方程的解为实数，并且由于Δ>0，方程的解不会相等。
因此，二次方程有两个不相等的实根。
Δ=0当Δ=0时，根据判别式的定义，我们有b2−4ac=0。
这意味着方程的解为实数，并且由于Δ=0，方程的解相等。
因此，二次方程有两个相等的实根。
Δ<0当Δ<0时，根据判别式的定义，我们有b2−4ac<0。
这意味着方程的解为虚数，不满足题目所要求的实根。
因此，二次方程没有实根。
5. 结论通过对二次方程的判别式进行分析，我们可以得出下面的结论：•当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根。
•当Δ=0时，二次方程有两个相等的实根。
•当Δ<0时，二次方程没有实根。
这些条件对于解决二次方程的实际问题非常关键，同时也为代数学的发展提供了重要的基础。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者理解二次方程有实根的条件，并在数学问题的解决过程中能够灵活运用。
6. 实例分析为了更好地理解二次方程有实根的条件，我们通过实例分析来进一步探讨。
两个不相等的正实数根
两个不相等的正实数根通常指的是一个二次方程有两个不同的正解。
例如，考虑以下二次方程：
ax^2 + bx + c = 0
其中a、b 和c 是实数，并且a 不等于零。
这个方程有两个不同的正实数根（x1和x2），当满足以下条件时：
1. 判别式大于零：Δ=b^2-4ac>0。
这保证了方程有两个不同的解。
2. 系数a、b 和c 满足一定的关系：根据韦达定理，两个根的和是-b/a，两个根的积是c/a。
因此，为了确保这两个根都是正数，我们需要-b/a > 0（即b < 0）并且c/a > 0（即c > 0）。
这样可以保证两个根都是正数，而且它们不会相等。
举个例子，考虑方程：
2x^2 - 5x + 2 = 0
这里，a=2，b=-5，c=2。
判别式Δ=(-5)^2-4*2*2=9>0，满足第一个条件。
而-b/a=5/2>0 和c/a=1>0，满足第二个条件。
因此，这个方程有两个不同的正实数根。
通过求解，我们可以得到x1=1 和x2=1/2。
两个相等的实数根
两个相等的实数根以《两个相等的实数根》为标题，写一篇3000字的中文文章数学是一门复杂的学科，涉及到很多复杂的原理和知识，其中之一就是求解多项式方程。
它是数学中意义最深远的问题之一，也是学生们最常见的问题之一。
在解决多项式方程时，有一种特殊的情况，即多项式方程的两个实数根相等。
多项式的两个实数根相等的情况可以使用一元二次方程的形式来表示。
若一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，则此时a,b,c必须满足b^2 4ac = 0，这样a,b,c才能组成一个方程，使方程有两个相等的实数根。
如果b^2－4ac＝0，则a,b,c组成的一元二次方程就有两个相等的实数根。
一般情况下，若实数根x_1，x_2相等，则此时方程有解，其解是x＝x_1＝x_2。
也就是说，此时方程的解为一个实数，且该实数为该方程的两个实数根的值。
另外，当a,b,c满足b^2－4ac＝0，则该一元二次方程的两个实数根之和为-b/a，两个实数根之积为c/a。
这是由一元二次方程的相关公式可得出的结论。
解决多项式方程的两个实数根相等的情况，可以使用上述公式，根据a,b,c的值，求出该方程的两个相等的实数根。
然而，在解决这类问题时，一定要记住，a,b,c必须满足b^2－4ac＝0，否则一元二次方程将没有实数根，即使求出了两个实数根，它们也不会相等。
总之，两个相等的实数根是一元二次方程解题过程中非常重要的问题，它可以使用一元二次方程的形式来表示，若a,b,c满足b^2－4ac＝0，则此时方程有两个相等的实数根。
而其相关的公式也可以使用，从而求出该方程的两个相等的实数根。
因此，了解两个相等的实数根的问题，对于解决多项式方程具有重要的意义。
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方程有两个相等实数根与方程有两个实数根探讨
解一元二次方程时，对于求根公式,当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根可否改为有一个实数根学生产生了困惑。
经过同学们归纳梳理之后，形成了如下意见：
意见1：当△=0时，方程有两个相等的实数根是正确的。
意见2：当△=0时，方程有两个相等的实数根可以改为方程有一个实数根。
意见3：讨论1和讨论2都对。
意见4：不知道哪个对哪个错。
持意见1的同学认为，教材是这样叙述的，难道会出错吗？他们在相信教材的基础上认为：当△=0时，方程有两个相等的实数根是正确的，不应改动。
持意见2的同学认为，既然这两个根是相等的，并且是一模一样的，可以省略一个根，把两个相等的实数根合写成一个实数根就可以了。
既然如此，怎样分析才能使同学们明白谁对谁错，我进行了思考。
思考一：利用平方根的意义对求根公式进行解释
1、对意见1的解释。
一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （a 、b 、c 是常数，a 0≠），用配方法进
行求解得到结果 22244)2(a
ac b a b x -=+。
因为,a ≠0，所以02>a ，所以 042>a 。
所以，根的判别公式ac b 42-的值有三种情况：04,04,04222<-=->-ac b ac b ac b （不讨论）。
（1）当042
>-ac b 时，2244a ac b ->0。
根据平方根的意义可知，2)2(a b x +有两个不相等的平方根。
于是得：a ac b a b x 2422-±=+，即 a
ac b a b x 2422-=+，
a
ac b a b x 2422--=+ ，所以当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根 a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---=。
（2）当042=-ac b 时，把042=-ac b 代入
x 1，x 2 中，得：a
b a b x a b a b x 220,22021-=--=-=+-=，即 a b x x 221-==，所以当 042=-a
c b 时，方程有两个相等的实数根。
从以上的分析中得出意见1是正确的。
2、对意见2的解释。
当 042=-ac b 时，把两个相等的实数根通常说成只有一个实数根，只是一种个人认识，而这种认识不符合n 次n 解的原理，故讨论2是错误的。
评析：利用平方根的意义对042=-ac b 有两个相等的实数根进行讲解后，一部分学生纠正了对当 042=-ac b 时有一个实数根的错误认识，但仍有部分同学感到困惑。
思考二：利用函数图象与x 轴交点的个数对求根公式进行了解释
对于任何一个一元二次方程 02=++c bx ax （a 、b 、c 是常数，a 0≠）可以看作是二次函数的图像 c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，a 0≠）与平面直角坐标系中
x 轴交点的横坐标。
于是对二次函数进行配方后可得22244)2(a
b a
c a b x a y -++=（a 、b 、c 是常数，a 0≠），其顶点坐标为（2244,2a
b a
c a b -- ）。
由于二次函数c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，a 0≠）的图象是一条抛物线，而二次函数的图象位于平面直角坐标系的哪一象限，与二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 有密切的联系。
二次项系数a 决定抛物线的开口方向。
当 a ﹥0（a ﹤0），抛物线开口向上（向下）。
一次项系数b 和二次项系数a 共同决定抛物线对称轴的位置。
由于抛物线 c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a
b x 2-= ，故b=0时对称轴为y 轴。
0>a b 时，a,b
同号，对称轴在y 轴左侧；0<a
b 时，a,b 异号，对称轴在y 轴右侧。
常数项
c 的大小决定二次函数图象与y 轴交点的位置。
当x=0时，y=c ，所以抛物线与y 轴有且只有一个交点(0,c)；当c=0时，抛物线经过原点；当c ﹥0 （c ﹤0）时，抛物线与y 轴交与正（负）半轴。
从以上分析可以知道，确定二次函数图象的位置可以由二次项系数a ，常数项
c 与顶点坐标（2244,2a b ac a b -- ）共同来确定。
a 决定图象开口方向；c 决定图像与y 轴的正半轴、原点、负半轴相交；顶点坐标决定图像的最大值与最小值。
函数图象与x 轴有交点即一元二次方程有实数根，函数图象与x 轴无交点即一元二次方程没有实数根。
当 042>-=∆ac b 时，抛物线 c bx ax y ++=2 （a 0≠） 与x 轴相交有两个公共点，这两个公共点分布在对称轴 a
b x 2-
=的两侧，说明一元二次方程有两个不相等的实数根。
当 042=-=∆ac b 时，抛物线 c bx ax y ++=2 （a 0≠）与x 轴相交只有一个公共点，即顶点坐标坐落在x 轴上。
其实质是分布在对称轴 a b x 2-= 两侧的两个公共点，沿对称轴两侧图像的轨迹向抛物线的顶点处移动，逐渐重合而成为一个公共点，即一元二次方程有两个相等的实数根。
从而证明意见1是正确的，意见2是错误的。
评析：在理解二次函数 c bx ax y ++=2 （a 、b 、c 是常数，a 0≠）的图象的基础上，可知抛物线与x 轴相交于两点、相交于一点、没有交点三种情况来判定一元二次方程根的情况。
思考三：利用因式分解法之完全平方公式对求根公式进行解释
一元二次方程 02=++c bx ax （a 、b 、c 是常数，a 0≠） 的右边为0，左边可以利用完全平方公式进行因式分解。
即一元二次方程02=++c bx ax （a 、b 、c 是常
数，a 0≠）的左边可以分解为044)2(2
2
2=-++a b ac a b x a 。
由△=0知，方程可变为0)2(2=+a b x a ，即02)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b x a b x ，解之得，a
b x a b x 2,221-=-=。
所以一元二次方程当△=0时有两个相等的实数根。
可知意见2是错误的。
如01442=+-x x ，左边是典型的完全平方公式的形式，即 0)12(2=-x ，而 0)12(2=-x 可以写成(2x-1)(2x-1) =0两个一次式乘积等于0的形式。
即2x-1=0或2x-1=0，解之得 21,2121==x x ，所以 2121==x x 。
所以一元二次方程有两个相等的实数根。
评析：利用完全平方公式解一元二次方程要对一元二次方程的左边进行因式分解，化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现了降次的目的。
思考四：对求根公式的升华
原句( P 36)：由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多与两个。
单从本句表达的意义不难理解一元二次方程的根不可能多于两个，也就是说一元二次方程的根可以有两个、一个、0个（没有）实数根。
当 042≥-=∆ac b 时，一元二次方程有两个（不相等和相等）实数根；当 042<-=∆ac b 时，一元二次方程有0个实数根（没有实数根）。
从而说明“一元二次方程的根不可能多于两个”这句话是错误的。
应改为“由求根公式可知，一元二次方程的根应为两个或0个。
”
通过对一元二次方程求根公式的思考发现，当042=-=∆ac b 时，有两个相等的实数根不可能改为有一个实数根这种说法。
以上观点如有不对的地方，敬请专家和各位同仁斧正。