知识点总结-选修2-3计数原理

计数原理知识点

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一、两个计数原理

1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法，

在第1类办法中有1m 种不同的办法；

在第2类办法中有2m 种不同的方法；

.....

在第n 类办法中有n m 种不同的方法

那么，完成这件事共有n m m m N ++=21中不同的方法.

2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，

做第1步有1m 种不同的方法；

做第2步有2m 种不同的方法；

.....

做第n 步有n m 种不同的方法

那么，完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.

3、两个计数原理的区别

二、排列与组合

1.排列

（1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫

做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号m n A 表示.

（3）排列数公式：

其中*,N m n ∈，并且n m ≤

特殊的，当n m =时，即有

n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n =

2. 组合：

（1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同组合的个数叫

做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号m n C 表示。

()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= ()()1

2321⋅⋅⋅⋅--= n n n A n n

（3）组合数公式：

其中*,N m n ∈，并且n m ≤， 规定10=n C

注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.

（4）组合数的性质：

三、二项式定理

1. 二项式定理：一般地，对于*N n ∈，有

*)()(222110N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n n n ∈++++++=+--- .

右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，它一共有1+n 项，其中r r n r n b a C -叫做二项展开式的第1+r 项（也称通项），用1+r T 表示，即

r r n r n r b a C T -+=1

如果在二项式定理中，设x b a ==,1，则可以得到公式：

*)(1)1(221N n x C x C x C x C x n n n r r n n n

n ∈++++++=+ 2. 一般地，有如下性质：展开式的二项式系数n n n n C C C b a ,,)(10n +

2. 对称性）(m n n m n C C -=

3. m n m n m n C C C 11+-=+

4. 当n 为偶数时，最大2n n C

当n 为奇数时，最大21

21

+-=n n n n C C

5. n n n n n

C C C 210=+++ （令1,1==b a ） 6. 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和

15314202-=+++=+++n n n n n n n

C C C C C C （令1,1-==b a ）

()()()()!

!!!

121m n m n m m n n n n C m n -=+---= m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+