Irwin对裂端塑性区的估计
11-弹塑性断裂力学1
4 KI 4 GI E s s
2
Dugdale 和Barrennlett 分别通过对中心裂纹薄板拉伸实验研究，提出了 裂纹尖端塑性区呈现尖劈带状特征的假设（简称D－ B模型）：
（1）裂纹尖端区域的塑性区沿裂纹线两边延伸呈尖劈带状； （2）塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区 所包围； （3）塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σ s.
1 n 1
( 6)
式中，I n 仅与n 有关；对I 型、 II 型、混合型、平面应力和 ~ ~、 ij ij ( , n) 、 平面应变情况下的HRR 场 I n 及角分布函数( , n)
~ ui ( , n)
的数据由Symington 给出。
Rice J 积分理论
HRR 场特点: (1) HRR 场中应力的奇异性为 r , 应变的奇 n 异性为 r n 1 。当n=1时，HRR 场退化为K 奇异场。
于是，原模型（见图a）可以用图（b）所示模型代替：它承受远场拉 应力σ作用，裂纹长度从2a延长到2c (其中塑性区尺寸R=c-a),在延伸裂 纹长度上作用有均匀拉应力σs。这是一个线弹性裂纹问题，其裂尖应 力为有限值(要求KI＝0)。在这里，原裂尖的张开位移就是COD.
利用无限大板中心裂纹应力强度因子公式： KI
Rice 的J 积分定义:
u J (Wdy T ds) x
式中： u 是位移矢量； y 是在垂直于裂纹面方向上的距离； s 积分路径的弧长； T 是应力矢量； w 是应变能密度； Γ 是包含裂纹尖端的、始点源于裂纹面下表面、终止于裂 纹面上表面的任一线积分路径。
强度理论-弹塑性断裂力学
22
即有：
c2
=1.21p
1.034 K12c a+0.212(K1c/ys)2
= 12622.8
c = 112.4 MPa
讨论：若不考虑屈服，有：
K1=
M f c p
中低 强度 材料
ys低 K1c高
断裂 c 大 裂尖 rp 大
屈服区
如果作用应力大到使裂纹
2a
所在截面上的净截面应力
W
净=W/(W-2a) ys
则塑性区将扩展至整个截面，造成全面屈服， 小范围屈服将不再适用。
26
裂尖 端屈 服范 围大
LEFM
Irwen 修正不 再适用
c 大， rp 大， 裂纹越来
H
rp
R ys
= 0
y (x)dx
ys
BC A
D
注意到式中：y=K1 / 2p r ,
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
R为：
R=
1 p
(
K1 ys
)
2
=2rp
12
依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为：
当r0时， ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
5
线弹x= 2裂arc尖os附2[1近- sin2一sin点32]
性断 裂 y 力=
混凝土弹塑性断裂力学概述
混凝土弹塑性断裂力学概述与线弹性体不同的是，当含裂缝的弹塑性体受到外荷载作用时，裂缝尖端附近会出现较大范围的塑性区，线弹性断裂力学将不再适用，而需要采用弹塑性断裂力学的方法。
弹塑性断裂力学的主要任务，就是在考虑裂缝尖端屈服的条件下，确定能够定量描述裂缝尖端场强度的参量，进而建立适合工程应用的断裂判据。
目前应用最广泛的包括裂缝尖端张开位移（Crack Opening Displacement，COD）（Wells，1962）理论和J积分理论（Rice，1968a，b）。
一、Orowan对Griffith理论的改进试验证实，Griffith理论只适用于理想脆性材料的断裂问题，实际上绝大多数金属材料在裂缝尖端处存在屈服区，裂缝尖端也因屈服而钝化，使得Griffith 理论失效。
在Griffith理论提出二十多年之后，Orowan（1948）和Irwin（1955）通过对金属材料裂缝扩展过程的研究指出：弹塑性材料在其尖端附近会产生一个塑性区，该区域的塑性变形对裂缝的扩展将产生很大的影响，为使裂缝扩展，系统释放的能量不仅要供给裂缝形成新自由表面所需的断裂表面能，更重要的是需要提供裂缝尖端塑性流变所需的塑性应变能（通常称为“塑性功”）。
所以，“塑性功”有阻止裂缝扩展的作用。
裂缝扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的“塑性功”称为“塑性功率”，假设用Γ表示，则对金属材料应用Griffith理论时，式（2.4b）和式（2.5）应修正为对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因而γ可以忽略不计，则式（2.33）和式（2.34）可改写为以上即为Orowan把Griffith理论推广到金属材料情况的修正公式。
以上是针对平面应力状态讨论的，当平板很厚时，应视为平面应变状态，只要把上述公式中的E用代替即得平面应变状态下相应的解。
二、裂缝尖端的塑性区金属材料裂缝尖端会形成塑性区，裂缝扩展所需要克服的塑性功在量级上可高达断裂表面能的三个数量级。
工程断裂力学小结
工程断裂力学小结工程断裂力学课程报告工程断裂力学是一门广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等领域方面的学科。
主要致力于研究以下五个方面的问题:1、多少的裂纹和缺陷是允许存在的,2、用什么判据来判断断裂发生的时机,3、机械结构的寿命如何估算,如何进行裂纹扩展率的测试及研究影响裂纹扩展率的因素。
4、如何在既安全又能避免不必要的停产损失的情况下安排探伤检测周期。
5、如检查时发现了裂纹又如何处理,这些问题的解决将可以从设计、制造、安装和使用等的角度建立评定带缺陷或裂纹运行的机械结构安全性的标准，从而有效防止断裂事故的发生，在为保障人民生命财产安全方面和经济建设方面发挥极大的作用。
工程断裂力学的发展迄今为止大致经历过以下阶段，首先1920年--1949年间主要以能量方法求解，其中最有影响的是英国科学家Griffith提出的能量断裂理论以及据此建立的断裂判据。
而后从1957年开始是线弹性断裂理论阶段，提出了应力强度因子概念及相应的判断依据。
到1961年--1968年间是弹塑性理论阶段，其中以1961年的裂纹尖端位移断裂判据和1968年Rice提出的J积分最为著名。
而1978年又出现了损伤力学。
下面我们对本学期学科的基本概念和几种断裂判断依据加以总结。
在能量断裂理论当中以研究Griffith裂纹问题和矩形平板的单边裂纹问题为代表。
以G表示形成单位长度裂纹时平板每单位面积所释放出的能量，以表示每,s 形成单位裂纹面积所需的能量。
Griffith断裂判据即为G=2，表明当G.>2裂纹,,ss会扩大;G=2处于临界状态;G<2裂纹不扩大。
其中G代表驱动力而2代表阻,,,sss力。
这个判据中含有两个需要解决的问题。
(1) G如何计算 (2 )2如何测定。
而根,s1,U据能量守恒定律与能量释放率的定义，可以测得单边裂纹时，对称中心G,Ba,1,U裂纹为 ,其中U代表的弹性体储存的总应变能。
这一断裂判据仅适用于G,2Ba,脆性材料，因此发生断裂的应力水平远小于屈服应力。
材料力学性能(Mechanical Properties of Materials)
第1章材料在静载下的力学行为1.1 材料在静拉伸时的力学行为概述静拉伸是材料力学性能试验中最基本的试验方法。
用静拉伸试验得到的应力－应变曲线，可以求出许多重要性能指标。
如弹性模量E，主要用于零件的刚度设计中；材料的屈服强度σs和抗拉强度σb则主要用于零件的强度设计中，特别是抗拉强度和弯曲疲劳强度有一定的比例关系，这就进一步为零件在交变载荷下使用提供参考；而材料的塑性，断裂前的应变量，主要是为材料在冷热变形时的工艺性能作参考。
图1－1 几种典型材料在温室下的应力－应变曲线图1-1表示不同类型材料的几种典型的拉伸应力－应变曲线。
可见，它们的差别是很大的。
对退火的低碳钢，在拉伸的应力-应变曲线上，出现平台，即在应力不增加的情况下材料可继续变形，这一平台称为屈服平台，平台的延伸长度随钢的含碳量增加而减少，当含碳量增至0.6%以上，平台消失，这种类型见图1-1a；对多数塑性金属材料，其拉伸应力-应变曲线如图1-1b所示，该图所绘的虽是一铝镁合金，但铜合金，中碳合金结构钢(经淬火及中高温回火处理)也是如此，与图1-1a不同的是，材料由弹性变形连续过渡到塑性变形，塑性变形时没有锯齿形平台，而变形时总伴随着加工硬化；对高分子材料，象聚氯乙烯，在拉伸开始时应力和应变不成直线关系，见图1-1c，即不服从虎克定律，而且变形表现为粘弹性。
图1-1d为苏打石灰玻璃的应力-应变曲线，只显示弹性变形，没有塑性变形立即断裂，这是完全脆断的情形。
工程结构陶瓷材料象Al2O3，SiC等均属这种情况，淬火态的高碳钢、普通灰铸铁也属这种情况。
1.2 金属材料的弹性变形1.2.1 广义虎克定律已知在单向应力状态下应力和应变的关系为：一般应力状态下各向同性材料的广义虎克定律为：其中：如用主应力状态表示广义虎克定律,则有1.2.2 弹性模量的技术意义工程上把弹性模量E、G称做材料的刚度，它表示材料在外载荷下抵抗弹性变形的能力。
在机械设计中，有时刚度是第一位的。
断裂力学总结
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，
断裂力学——2Griffith 理论(1)
13
Griffith理论
二、Griffith理论 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题 时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。 上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长 后，固定两端，构成能量封闭系统。
14
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa. The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa experiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stress increases as the fiber diameter decreases. –尺寸相关性
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concretE. Inglis
A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis. Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.
断裂力学和断裂韧性
断裂力学与断裂韧性3.1 概述断裂是工程构件最危险的一种失效方式，尤其是脆性断裂，它是突然发生的破坏，断裂前没有明显的征兆，这就常常引起灾难性的破坏事故。
自从四五十年代之后，脆性断裂的事故明显地增加。
例如，大家非常熟悉的巨型豪华客轮－泰坦尼克号，就是在航行中遭遇到冰山撞击，船体发生突然断裂造成了旷世悲剧！按照传统力学设计，只要求工作应力σ小于许用应力[σ]，即σ<[σ],就被认为是安全的了。
而[σ]，对塑性材料[σ]=σs /n，对脆性材料[σ]=σb/n，其中n为安全系数。
经典的强度理论无法解释为什么工作应力远低于材料屈服强度时会发生所谓低应力脆断的现象。
原来，传统力学是把材料看成均匀的，没有缺陷的，没有裂纹的理想固体，但是实际的工程材料，在制备、加工及使用过程中，都会产生各种宏观缺陷乃至宏观裂纹。
人们在随后的研究中发现低应力脆断总是和材料内部含有一定尺寸的裂纹相联系的，当裂纹在给定的作用应力下扩展到一临界尺寸时，就会突然破裂。
因为传统力学或经典的强度理论解决不了带裂纹构件的断裂问题，断裂力学就应运而生。
可以说断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含裂纹体的断裂判据，并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用它来比较各种材料的抗断能力。
3.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论3.2.1 理论断裂强度金属的理论断裂强度可由原子间结合力的图形算出，如图3-1。
图中纵坐标表示原子间结合力，纵轴上方为吸引力下方为斥力，当两原子间距为a即点阵常数时，原子处于平衡位置，原子间的作用力为零。
如金属受拉伸离开平衡位置，位移越大需克服的引力越大，引力和位移的关系如以正弦函数关系表示，当位移达到Xm 时吸力最大以σc表示，拉力超过此值以后，引力逐渐减小，在位移达到正弦周期之半时，原子间的作用力为零，即原子的键合已完全破坏，达到完全分离的程度。
可见理论断裂强度即相当于克服最大引力σc。
该力和位移的关系为图中正弦曲线下所包围的面积代表使金属原子完全分离所需的能量。
断裂力学与断裂韧性
断裂力学与断裂韧性3.1 概述断裂是工程构件最危险的一种失效方式，尤其是脆性断裂，它是突然发生的破坏，断裂前没有明显的征兆，这就常常引起灾难性的破坏事故。
自从四五十年代之后，脆性断裂的事故明显地增加。
例如，大家非常熟悉的巨型豪华客轮－泰坦尼克号，就是在航行中遭遇到冰山撞击，船体发生突然断裂造成了旷世悲剧！按照传统力学设计，只要求工作应力σ小于许用应力[σ]，即σ<[σ],就被认为是安全的了。
而[σ]，对塑性材料[σ]=σs /n，对脆性材料[σ]=σb/n，其中n为安全系数。
经典的强度理论无法解释为什么工作应力远低于材料屈服强度时会发生所谓低应力脆断的现象。
原来，传统力学是把材料看成均匀的，没有缺陷的，没有裂纹的理想固体，但是实际的工程材料，在制备、加工及使用过程中，都会产生各种宏观缺陷乃至宏观裂纹。
人们在随后的研究中发现低应力脆断总是和材料内部含有一定尺寸的裂纹相联系的，当裂纹在给定的作用应力下扩展到一临界尺寸时，就会突然破裂。
因为传统力学或经典的强度理论解决不了带裂纹构件的断裂问题，断裂力学就应运而生。
可以说断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含裂纹体的断裂判据，并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用它来比较各种材料的抗断能力。
3.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论3.2.1 理论断裂强度金属的理论断裂强度可由原子间结合力的图形算出，如图3-1。
图中纵坐标表示原子间结合力，纵轴上方为吸引力下方为斥力，当两原子间距为a即点阵常数时，原子处于平衡位置，原子间的作用力为零。
如金属受拉伸离开平衡位置，位移越大需克服的引力时吸力最大以越大，引力和位移的关系如以正弦函数关系表示，当位移达到Xmσc表示，拉力超过此值以后，引力逐渐减小，在位移达到正弦周期之半时，原子间的作用力为零，即原子的键合已完全破坏，达到完全分离的程度。
可见理论断裂强度即相当于克服最大引力σ。
该力和位移的关系为c图中正弦曲线下所包围的面积代表使金属原子完全分离所需的能量。
第九章裂纹闭合理论与高载迟滞效应
2. Wheeler模型
模型假设：
1) 高载引入大塑性区rOL。 裂纹在大塑性区内扩展。
aOL
rOL
ai
ryi
裂纹尺寸为ai，低载塑性区尺寸为ryi。
2) 裂纹穿过rOL，即ai+ryi=aOL+rOL时，迟滞消失。 3) 迟滞期间的扩展速率(da/dN)d可以表达为： (da/dN)d=Ci(da/dN)c. 4) 假定迟滞参数Ci为： Ci=(ryi/[(aOL+rOL)-ai])m' 当ai+ryi=aOL+rOL时，Ci=1，迟滞消失。
循环载荷下，裂尖有单调塑性区M、塑性区c。
R=0时，s=s, 有：c= M/4； 显微硬度测量， 同样，R=-1时，s=2s, 有c=M。 支持此结论。
卸载后再加载，应力可由叠加法计算。 非线性问题不能叠加。Rice的限制条件是： 理想塑性材料；比例加载（塑性应变张量各分量 保持一恒定比例）。 Rice认为：直到c= M时，上述方法仍然可用。
7
9.2 裂纹闭合理论 W.Elber 1971
In the early 1970s, Elber observed that the surface 裂纹闭合理论常用于解释应力比对裂纹扩展 of fatigue cracks close (contact each other) when 速率的影响及为什么有 Kth 存在。同时，在
载荷在s-s-s间循环，裂尖塑性区在M-C-M 间变化。 --“塑性叠加法”。 6
3.结论和限制
2 2 反向加载，材料会形成反向屈服；且发生反向 2 2 s a s Y a Y M = a ( s ) ； c = a ( s ) 且知： 2 ys 屈服的应力增量为 s=2 yssys。
断裂力学讲义第八章非线性断裂力学
第八章 非线性断裂力学§8.1 引 言线弹性断裂力学使我们对理想连续、均匀线弹性介质中单个裂纹的行为有了初步的认识. 但是，这些理论描述和岩石的实际行为显然有很大差距. 从§1.3我们知道, 岩石的应力应变行为仅仅在某一应力大小范围内是近似线弹性的，而且还只能针对一定尺度，这个尺度要远远大于岩石的颗粒尺度. 当我们的考察尺度小到接近颗粒尺度，或当应力超出一定范围时，岩石就表现出越来越严重的非线性. 另外，岩石的行为不是由单一裂纹决定的，而且不是由单一尺度的裂纹群体决定的. 无论是考察岩体的整体行为，还是考察岩体中某条断层的行为，都不能用现有的线弹性模型.另外，线弹性断裂力学理论本身也存在严重的缺陷. 这个理论虽然成功地解释了裂纹端部应力集中的现象，和材料的低应力脆断问题. 但是，对于介质的本构关系采取线弹性假定, 使得裂纹前缘的应力出现了奇异性，这在物理上是不可接受的. 为了克服这种物理上的不合理性, 人们提出了几种修正理论, 其中包括Dugdale(1960)的塑性区理论, 或曰带状屈服模型, Barenblatt(1962)的内聚力模型. 这些模型使得裂纹端部的本构关系出现了非线性, 而人们对于这种非线性的具体细节依然难以知晓, 因而出现了Williams 和Ewing(1972) 的重整化方法. 此外，地壳介质在长期载荷作用下，表现出流变性质，在这方面，尹祥础和郑天愉(1982)的工作是值得注意的. 本章对这些修正理论略加介绍.§8.2裂纹端部塑性区大小的估算及Irwin 修正8.2.1塑性理论的基本概念迄今为止，我们讨论的对象还局限在理想脆性材料. 所谓理想脆性材料，即材料直到断裂前其应力应变关系一直服从虎克定律. 但是，许多实际材料不能应用理想脆性体这样过于简单的模型. 岩石介质的性质在高温高压条件下会向塑性转化. 另外由于岩石其本身性质的极端复杂性(不完整性、多相性、非弹性及非均匀性等），再加上环境因素（高温、高压、长时期作用、化学腐蚀, 特别是超临界流体的应力腐蚀等）的影响，在一定差应力条件下，也会像金属类似表现为延性, 在本构关系上与塑性的表现类似. 塑性屈服的判据主要有Mises 条件和Tresca 条件.1. Mises 屈服条件当应力条件达到一定数值时，材料开始屈服，即s i σσ= (8.1)其中)(3222222zx yz xy xx zz zz yy yyxx zz yy xx i σσσσσσσσσσσσσ+++---++=用主应力表示就是22132322212)()()(s σσσσσσσ=-+-+- (8.2)在单轴拉伸实验中，032==σσ，屈服极限记为y σσ=1. 代入上式可知y s σσ= (8.3)Hencky 的解释是：Mises 条件相当于弹性形状应变能F W 等于常数. 由(2.102b)[])12/()()()(213232221μσσσσσσ-+-+-=F W因此屈服条件是)6/(2μσs F W = (8.4)Nadai 的解释是：当正八面体上剪应力0τ达到一定数值时，材料屈服. 由(2.39)和(8.2),s σσσσσσστ32)()()(312132322210=-+-+-=(8.5)而由(2.39),2032J =τ, 其中2J 是应力偏量的第二不变量. 因此Mises 屈服条件还可以表示为3/22s J σ= (8.6)2. Tresca 屈服条件当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服. 如规定321σσσ≥≥，则m 31max 2τσστ=-=其中k 为材料常数. 当在应力空间讨论屈服条件时，我们不能采用321σσσ≥≥这个规定，在主应力空间中，是Tresca 屈服条件表示为一个正六边形柱体, 由下列六个平面构成:⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=-m 13m 32m 212||2||2||τσστσστσσ (8.7)在单向拉伸时，s σσ=1, 032==σσ，所以σ1=2τm =σs ,2/ m s στ= (8.8)此外，有些材料即使其宏观性质接近弹性体，但是，由于裂纹端部的应力集中程度很高，因此势必产生或多或少的塑性变形，存在着或大或小的塑性区. 不过由于材料性质不同，工作环境各异，裂纹端部塑性区的大小差别很大. 如果令r p 表示塑性区的特征尺寸，则比值r p /a 表征着塑性区的相对大小. 当r p /a <<1时，称之为小规模屈服. 在这种情况下，除了裂纹端部极小的区域内产生塑性变形以外，大部分区域仍处于弹性范围. 对于这种情况，我们可以在线弹性断裂力学的基础上进行适当修正.8.2.2 塑性区尺寸的一级估算先介绍一种估算裂纹端部塑性区大小的简单方法. 1. I 型裂纹，由(5.25)、(6.11)可以得出裂纹端部的三个主应力为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin 12cos 22sin 12cos2I 2I1θθπσθθπσr K rK⎪⎩⎪⎨⎧=+=)( 2cos 22)()( 0I 213平面应变平面应力θπνσσνσr K (8.9) 设材料服从Mises 屈服条件, 由(8.2)和(8.3),()()()22132322212y σσσσσσσ=-+-+- (8.10)将式(8.9)、代入式(8.10)中，可得到塑性区边界的极坐标形式的曲线方程. 方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛+=)( 2cos )21(sin 432)( 2sin312cos222222I 2222I 1平面应变平面应力θνθπσθθπσy yK K r (8.11)平面应力曲线的形状如图8.1中的实线所示. 其中以裂纹端点为极坐标原点，坐标r 1以无量纲r 1/r 01表示. r 01为θ=0（即裂纹延长线上）时平面应力的塑性区尺寸. 由式(8.11)第一式得22I 012yK r πσ=(8.12)平面应变所表示的曲线如图8.1中虚线所示，坐标1'r 也以无量纲011/'r r 表示. 可见，在其他条件相同的前提下，平面应变情况下的塑性区，明显地小于平面应力情况下的塑性区. 以θ=0时的塑性区尺寸01'r 作为. 则以θ=0代入式(8.11)可得：222I 01)21(2'νπσ-=yK r (8.13)比较式(8.12)，(8.13)可得20101)21(1'ν-=r r .2. II 型裂纹由(5.38)、(6.11)可以得出裂纹端部的三个主应力为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=θθπσ2II1sin 4312sin 2r K⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=θθπσ2II2sin 4312sin 2r K⎪⎩⎪⎨⎧-=)( 2sin 22)( 0II 3平面应变平面应力θπνσr K (8.14) 代入(8.10)得到塑性区尺寸为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎪⎭⎫⎝⎛++=)( 2sin )441(sin 4932)( 2sin sin 493222222II 2222II2平面应变平面应力θννθπσθθπσyyK K r (8.15)塑性区边界线如图8.2所示. 坐标2r 以无量纲r 2/r 02表示. r 02为θ= 0（即裂纹延长线上）时平面应力的塑性区尺寸.图8.1 I 型裂纹塑性区的一级估算22I 0223yK r πσ=(8.16)3. III 型裂纹III 型裂纹不是平面问题. 这一点可以从 III 型裂纹的应力场推导过程(§5.6)直接看出. 利用(2.18)－(2.25)的方法，由(5.53), (6.11)可以求出裂纹端部的三个主应力为rK πσ2III 1=， 02=σ， rK πσ2III 3-= (8.17)而三个主方向均不和xoy 平面平行. 将上式代入(8.10), 得到塑性区边界的方程为:22III 323yK r πσ=(8.18)所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为z 轴，在xoy 平面的投影是一个圆(图8.1c). 和以往的参考文献看法不同，这个结果不分平面应变和平面应力.图8.2 II 型裂纹塑性区的一级估算 图8.3 III 型裂纹塑性区的一级估算8.2.3 塑性区应力松驰的影响—塑性区尺寸的二级估算以I 型裂纹为例进行分析. 如图8.4所示，虚线AB 为无塑性区时裂纹端部的弹性应力场. I 型裂纹的主要应力分量r K yy ⋅=πσ2/I .但是，在r <r 0范围内发生塑性屈服， y yyσσ=塑性区(r <r 0)内的应力松驰还必然影响弹性区(r >r 0)内的应力分布. 由y 轴方向上力的平衡要求，近似地假定，曲线ADB 下面的面积与CFE 下面的面积相等，同时EF 下面的面积与DB 下面的面积也相等，即下下ADB CEF S S = (a) 下下DB EF S S = (b)(b)－(a), 就得到CE 下的面积（矩形）应等于曲线AD 下的面积，即：下下AD CE S S = 于是有图8.4 塑性区尺度的二级估算ππσσ0II 0220r K dr rK dr r r r yy p y ⎰⎰===将式(8.12)代入上式得：012I21r K r yp =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σπ (8.19) 对于无限远处垂直裂纹面作用均布拉力σ的情况, 根据(5.26)式, a K πσ=I , 由(8.19)式还可以得出()2y /σσa r p =, 上述结果与实验结果符合得相当好.8.2.4 Irwin 的等效裂纹修正从式(8.12)、(8.13)、(8.16)及(8.18)可得出结论：塑性区特征尺寸22I01~⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛yyi a K r σσσπ (8.20) 对于高强度钢及某些脆性材料，其K I C 较小，而σy 很高，因而塑性区尺寸<<a . 这种情况称为小规模屈服. Irwin 提出，只需在计算应力强度因子K 时，以等效裂纹长度2c 代替原裂纹长度2a ，则线弹性断裂力学的结论仍然有效. 等效裂纹长度2c 选取如下：0r a c += (8.21)因此)(0r a Y K +=πσ(8.22)§8.3 Dugdale(D-M)模型Dugdale(1960)提出的模型，可以用来计算塑性区的尺度. Dugdale 也认为，裂纹端部产生塑性区后，可以用一个等效裂纹所代替，如图8.5所示. 裂纹AB 长为2a ，等效裂纹A’B’的长度为2c ，而ρ+=a c其中ρ为塑性区尺度.在塑性区内裂纹实际上没有张开，这一段内的σyy =σy . 由于AA’、BB’段实际并未裂开，所以等效裂纹端点A’及B’处的应力强度因子K I 应该为零.在塑性区内等效裂纹面间相互作用着均匀的拉应力σy . σy 产生的应力强度因子K’为负值，因为它的作用是使裂纹闭合. K’的绝对值等于外载作用下的应力强度因子K’’.由5.10.4,⎰-⋅-=cay x c dx c K )(2'22πσ积分后得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=-ρπρσa a a K y1cos2' 而 )("ρπσ+=a K 令 "|'|K K =得：ya a σπσρ2cos=+ (8.23)如果y σσ/<< 1，则可将⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222112cosy yσπσσπσ按级数展开后的高次项略去. 从而得： 2I 8⎪⎪⎭⎫⎝⎛=yK σπρ (8.24)将上式与式(8.20)比较可知，二者非常接近(1/π≈0.3183, π/8≈0.3927), D-M 模型得到的塑性区略大.图8.5中塑性区呈狭长条形，所以有人称之为带状屈服模型. 此外，Dugdale 分析这种模型的数学方法，主要是根据Muskhelishvili 所建立的方法，所以有时又简称为D-M 模型.§8.4 Barenblatt 内聚力模型Barenblatt(1962)从1959年起，发表了一组论文，提出了内聚力模型. 这一模型在有些方面与D-M 模型有些相似，但物理思想更深刻，应用范围也更广泛. 下面将会看到，可以把D-M 模型看作内娶力模型的一种特殊情形.Barenblatt 从分析裂纹端点的应力奇异性出发. 他认为，从物理上考虑，应力奇异性的出现是不合理的. 应力奇异性的出现，是人们所采用的模型的不完善所引起的，不是不可避免的. 为了消除裂纹端点的应力奇异性，他提出了如图8.6所示的内聚力模型. 在裂纹端部的小区域内，二裂纹面间距离很近，所以二表面原子或分子间的内聚力g (x )是不能忽略的.内聚力g(x)所对应的应力强度因子K I ’, 按式(5.89)为：⎰---=aa xa dx x p aK ρπ22I )(2' (8.25)上式中 ))((22x a x a xa -+=-, )()(x g x p =. 但g(x)只在端部很小的局域ρ里存在，且ρ<< a , 因此a r <<<<ρ,a r a x a 22≈-=+, r x a =-, ar x a x a 2))((=-+. 将上述公式代入式(8.25)，并变换积分变量得：⎰-=ρπI )(2'rdrR g K (8.26)图8.5 Dugdale 带状屈服模型为了消除应力奇异性，外载荷所产生的应力强度因子"I K 与'I K 之和（代数和）必须为零. 因此得0"'I I I =+=K K K , 由此得：⎰=-=ρπI I )(2'"rdrr g K K (8.27)当g (r ) =σy (常数)时，就得到Dugdale 模型.Barenblatt 还研究了裂纹端部的位移，并且得到裂纹端部结构与应力强度因子K I 的关系，如图8.7所示.因此，对于处于平衡状态的裂纹，K I 必须为零. 而裂纹端部的构造如图8.7(c)所示，上下二裂纹面在端点处相切.(a)0I >K (b) 0I <K (c) 0I =K图8.7 裂纹端部位移、应力yyσ及I K 之间的关系§8.5 裂纹扩展阻力R 和亚临界扩展在前面几节中，我们讨论了裂纹端部塑性区的尺度. 现在转而讨论在塑性条件下的断裂准则. 首先从能量观点来讨论这个问题. 在§5.11中，我们曾经介绍过能量释放率G 及扩展阻力R 的概念. 对于理想脆性体，其断裂准则为R G ≥ (8.28)其中常数==ΓR . (8.29)而能量释放率G (以I 型裂纹为例)则为''22IE a E K G σπ⋅⋅==(8.30)所以一旦加载至G = R . 裂纹开始扩展. 此后，随着裂纹的扩展，G 不断增大，而R 保持不变. 因此必然发生失稳断裂. 用这样的材料进行断裂实验时，其P （载荷）－a （裂纹半长）曲线如图8.8(a)所示. 当载荷P 小于某一临界值P c 时，裂纹不扩展；而当P 到达P c 时，裂纹即失稳扩展.图8.6 Barenblatt 的内聚力模型但是，对于通常的韧性材料（如中低碳结构钢），特别是试件厚度很薄，成为平面应力状态时(在§8.1中已经讨论过，在其它条件相同的前提下，平面应力状态下的裂纹端部塑性区比平面应变状态下的塑性区要大得多，参看图8.1)，用这样的试件进行断裂实验，其P-a 曲线如图8.8(b)所示（在实际实验中，更常用的是P -△曲线，△为位移，这里为概念清楚起见，改用P-a 曲线进行说明）. 它与图8.8(a)显然不同. 当载荷达到某一载荷P i 时，裂纹开始扩展. 当裂纹扩展很小一段长度△a 后，如果不进一步增大载荷P ，裂纹就不再继续扩展. 只有不断增大P ，裂纹才随之不断扩展，这种扩展属于亚临界扩展. 当载荷P 达到临界载荷P c 时，裂纹才开始失稳扩展.(a)(b)图8.8 不同断裂类型的P －a 曲线在亚临界扩展阶段，必定有关系：R G = (8.31)因为如果G < R ，则裂纹不可能扩展（包括亚临界扩展）；如果G > R ，则裂纹将加速扩展. 随着裂纹扩展，a 不断增大，因而K 及G 也不断增大[式(8.30)]. 因此，由式(8.31）可知，在亚临界扩展阶段，阻力R 必定随a 不断增大，也就是说，在亚临界扩展时，R 不是常数，而是a 的函数.R 随着裂纹长度增大的主要原因，在于裂纹端部塑性区的尺度随着a 的增加而增大[见(8.9)]. 根据热力学第一定律，在裂纹扩展面积△S c 的过程中，d s E U U U A ∆∆∆∆++= (8.32)其中△A 为外力功，△U E 为弹性应变能增量，△U s 为裂纹表面能增量，△U d 为在此过程中所耗损的机械能（主要是塑性功△A p ）.对于平面情形，a B S c ∆∆⋅=. B 为试件厚度. 以△S c 除式(8.32)中各项，并引入A U E ∆∆∆∏-=, 得aB U aB U aB U aB AaB dsE∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∏+=-=-将上式取极限(△a →0)得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-=→→a B U a B U R a B G d sa a ∆∆∆∆∆∆∏∆∆00lim lim(8.33) 由上式可知，R 由两项组成，第一项为： Γ∆∆∆=→aB U sa 0lim(材料常数)第二项主要是裂纹扩展单位面积时所消耗的塑性功. 塑性功的大小主要与塑性区的体积有关（此外还和材料的加工硬化有关）. 塑性区体积2p r ∝，而a r p ∝[式(8.31)]，所以，R 随着a 的增加而增加. 有人从理论上探讨过R (a )的解析表达式, 但还不够成熟. 所以到目前为止，主要还是从实验方法测定材料的R (a ), 称之为阻力曲线. 典型的阻力曲线的形状, 如图8.9中实线所示.图8.9中三条通过原点的虚线，代表不同应力水平下的能量释放率(或裂纹扩展力)G 随a 的变化情况. 按式(8.30)，a E G )/(2πσ=，所以它是通过原点的直线. 但是，这个公式是线弹性断裂力学的结论. 当裂纹端部产生塑性区后，严格说来，它可能不适用. 不过对于小规模屈服的情形，应该仍然近似适用. 所以在图中我们仍然画成直线. 由图中可见，当应力不够大时[如图中的G (σ1), G (σ2)], 虽然裂纹可能扩展，但只能是亚临界扩展. 因为裂纹扩展△a 后，G < R . 当应力增大至某一临界值c σ时，它所对应的G (a )曲线与R (a )曲线相切. 除切点外，G > R ，所以裂纹将发生失稳扩展.综上所述，裂纹失稳扩展的条件为：⎪⎭⎪⎬⎫∂∂≥∂∂≥a R a G RG (8.34)§8.6 裂纹端部张开位移δ(CTOD)8.6.1 COD 判据裂纹端部张开位移（Crack Tip Opening Displacement ）简称CTOD ，是指裂纹端部二裂纹面间张开的距离. 现常常叫做裂纹张开位移（COD ），通常以符号δ表示.Wells 提出，每种材料存在一个COD 的临界值δc . 当裂纹的COD 达到这一临界值时，裂纹将失稳扩展. 所以，按照他的提法，裂纹断裂判据为c δδ= (8.35)COD 或CTOD 到底指裂纹端部哪一点的位移，至今还有争议. 本书中采用Irwin 弹塑性区交界点上裂纹面间的张开距离作为CTOD ，以后简称COD.图8.9 阻力(R)曲线图8.10 裂纹端部张开位移CTOD在§8.2中已经介绍过，按Irwin 的方法，引入长为2c 的等效裂纹后，裂纹前缘坐标的端点也从O 点（原裂纹端点）移至等效裂纹端点O’处，裂纹面上沿y 轴方向产生位移0v (图8.10). 定义02v =δ (8.36) 为CTOD. 由式(5.29)()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=23sin 2sin 1224I 0θθκπμr K v 令,212I0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==yK r r σπ πθ=及⎪⎭⎫⎝⎛+-=ννκ13(平面应力)代入上式得 yyG E K v σπσπδI2I0442⋅=== (8.37)由此可见，δ与K I 及G I 有非常密切的关系. 因此，在小规模屈服的条件下，下述断裂准则C K K I I =, C G G I I = 与 c δδ=是一致的. 因此，δc 也和K I C 与G I C 一样，是表征材料抗断裂能力的材料常数.需要注意的是，原裂纹端部外的屈服段落'OO 实际是没有张开位移的，但在按Irwin 的方法引入的等效裂纹后，就解除了这个位移约束，该屈服区的上下表面可存在相对位移，造成位移的间断. 因此这段位移是由图8.10的计算模型化引起的. 在实际测试中，多在裂纹自由表面点测试张开位移，并采用如下经验性办法：扣去弹性张开位移以后裂纹自由表面各点的实测张开位移曲线中近似为直线部分(弹性区部分应近似为直线)线性外推到裂纹顶端所得到的张开位移. 具体操作，可参见陈篪等(1977).当塑性区尺度接近或超过裂纹长度时，称之为大规模屈服. 在这种情况下，线弹性断裂判据已不再适用. 威尔斯认为，COD 判据式(8.23)仍然适用.在大规模屈服条件下，Irwin 的塑性区修正理论已不再适用了，以下采用D-M 模型作一些分析.8.6.2 帕里斯(Paris)位移公式如图8.11所示的含裂纹板，假定板的厚度为单位1, 受力P 作用，现在要求裂纹面上下两点D 1、D 2沿其联线方向的相对位移δ.根据卡斯提杨诺定理(见§2.10)，外力作用点沿作用力方向的位移等于应变能对外力的偏导数，故A 点沿P 方向的位移δ为PU ∂∂=δ (8.38)图8.11 虚力对和相对位移A如在A 点作用着一对大小相等方向相反和偶力，则上式就表示A 点沿P 方向的相对位移. 为了求D 1、D 2点之间的相对位移，可以设想沿D 1、D 2联线方向引入一对虚力F . 这时系统应变能U 就不仅和P 、a 有关，也和F 有关. 即)(F a P U U ⋅⋅=虚力对引起的相对位移为aP F F U ⋅→⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=0lim δ (8.39) 按上式先求出偏导数F U ∂∂/(它和F 有关)，再让虚力F 趋于零，这样就可获得没有虚力，仅是力P 在D 1、D 2间的相对位移.由(5.111))式，在恒载荷条件下，有Pa U G ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=I ，积分得 ⎰+⋅=⋅⋅ada G F P U a F P U 0I 0)()( (8.40)其中),(0F P U 是无裂纹体(0=a )的应变能.用K I P 、K I F 分别代表力P 和力F 所提供的应力强度因子. 则总的应力强度因子是二者之和，即K I =K I P +K I F由(5.125)式知，'2II E K G =，由(3.7), ⎩⎨⎧-=)( )( )1/('2平面应力平面应变E E E ν把2I I I )'1F P K K EG +=（代入(8.40)式，再代入(8.39)式，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅++∂∂=⎰→a IF IF IP F da F K K K E F U 000)(2'1lim δ 因为F a Y K IF ⋅∝， 故在F →0的极限过程中K IF =0. 上式变为da F K K E F U a IF IP F ⎰∂∂⋅+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂==000'2δ (8.41) 这就是帕里斯(Paries)位移公式. 其中第一项是无裂纹时, D 1、D 2点在力P 作用下沿其联线方向的相对位移. 如D 1、D 2点是裂纹面上下表面的对应点，无裂纹时，D 1、D 2点重合，没有相对位移，即()0/000=∂∂==F F U δ，这时da FK K E aIF IP ⎰∂∂⋅='2δ (8.42)应当指出，在应用这个位移公式时，力P 以及D 1、D 2点的位置是不变的. 裂纹长度（或面积）是变量，积分过程就相当裂纹长度不断增大的过程.8.6.3 无限远处均匀应力σ产生的张开位移如图8.12，无限大板中心贯穿裂纹，长2c ，在无限远处作用着均匀的拉应力σ. 求距离裂纹图8.12 中心贯穿裂纹，受均匀拉应力中心为x 处的裂纹张开位移(即D 1、D 2点相对位移δ1). 为此在D 1、D 2处各引入一对虚力F ，根据(5.87)式知，该对称的虚力对引起的应力强度因子为222xc c cFK IF -⋅=π (8.43)如以2ξ代表裂纹在增大时的瞬间长度，则用ξ代替c ，就得222xFK IF -=ξξπξ(8.44)由(5.26)式,无限远处均匀应力σ在裂纹前端产生的应力场强度因子为c K IP πσ=， 对长为2ξ的瞬时裂纹，πξσ=P K I (8.45)由(8.42)式⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∂∂=⎰⎰⎰ξξξδd FK K d F K K E d F K K E cxIF IPxIF IP cIFIP001'2'2 因为当裂纹瞬时长度ξ<x 时，点力对F 并不作用在裂纹上下界面上. 这时作用在同一点上的点力对(大小相等，方向相反)互相抵消，对K I 无贡献，故上式第一个积分为零. 即⎰∂∂=cxIF IPd FK K E ξδ'21 (8.46)把(8.44)，(8.45)代入得⎰-⋅⋅=cxd xE ξξξπξπξσδ22121'222'4x c E -=σ (8.47)这个结果和用应力函数得到的(5.31)式是相同的.8.6.4 点力对引起的张开位移如图8.13，距裂纹中心b ±处的裂纹上下表面，各作用有一对压力-P . 求距裂纹中心x 处D 1、D 2点的相对位移δ2.一对压力-P 产生的K I 也由(5.87)式给出，如裂纹瞬时长为2ξ，则222bPK IP --=ξξπξ(8.48)把(8.44)、(8.48)代入(8.46)式就得 ξξπξξξπξξξδd xbP E d FK K E cxcxIF IP222221212'2'2-⋅⋅-⋅-=∂∂=⎰⎰=()()⎰---cxd xbE P ξξξξπ2222'8 (8.49)图8.13 中心贯穿裂纹受集中力作用如果压力-P 作用在D 1、D 2点的右边，即b>x . 这时当ξ<b 时，外力对-P 不作用在裂纹面上，互相抵消，K IP =0，故积分下限应为b . 即()()ξξξξπδd xbE Pcb⎰---=22222'8由于ξ<x 时K IF 没有贡献，x<ξ<b 时K IP 没有贡献，故⎰=∂∂bxIF IPd FK K E 0'2ξ, 即()()ξξξξπd xbE P bx⎰---2222'8=0把它加在上式，就得()()⎰---=+cxxbd E P 22222'80ξξξξπδ这就表明，在作用力左边或右边，裂纹面上下的张开位移都可用(8.49)式来表示.8.6.5 分布力引起的张开位移如图8.14，在(-c, -a )以及(a, c )区间内作用着分布应力db b ⋅-)(σ. 按(8.48), 分布压力对引起的应力场强度因子为db bb K caIP 22)(2-⋅-=⎰ξσπξξ(8.50)当裂纹扩展到ξ<c 时，在(ξ, c )区间内的分布压力对由于并不作用在裂纹面上，互相抵消，对K IP 没有贡献，故上式在(ξ, c )区间内的积分为零，即积分上限为ξ.db bb K aIP 22)(2-⋅-=⎰ξσπξξξ(8.51)把(8.51)式，(8.44)式代入(8.46)式，就得分布力引起的位移为 ξδd K FK E IP cxIF ⎰∂∂='22=db bb d xE acx22222)(2'2-⋅--⎰⎰ξξπξσξξπξξξ=db bb xd E acx⎰⎰-⋅--ξξσξξξπ2222)('8(8.52)8.6.6 D-M 模型的裂纹顶端张开位移如图8.2.1所示的D-M 模型，求裂纹顶端(即±a 处)的张开位移δ. 在x=a 的D 1、D 2点引入虚力对F ，就可用前面的方法求出D 1、D 2点的相对位移（即裂纹顶端张开位移）. 它由两部分构成，一是无限远处均匀应力σ在x=a 处产生的张开位移δ1，二是(-c, -a ), (a, c )之间的分布应力sσ-图8.15 受分布力作用的中心贯穿裂纹在处产生的位移2δ. 即21δδδ+= (8.53)1δ由(8.47)式给出，但a 要用c 代替, x 要用a 代替，即221'4a c E -=σδ (8.54)2δ由(8.52)式给出，但x 用a 代替，)(b σ用s σ代替，即db bad E as ca⎰⎰---=ξξσξξξπδ22222'8=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅---⎰ξπξξξπσa ad E cas122sin 2'8 (第二项分部积分) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+--=⎰-222212222sin '8'4a ad aa a E ac E cacas sξξξξξξπσσ a cE a c aa c E ac E sssln'8sin'8'412222⋅+-⋅+--=-πσπσσ (8.55)由(8.53)式知，对D-M 模型，s c a σπσ2cos 1=-, s a c σπσ2sec =. 又c a c a 11cos 2sin ---=π 把它们代入(8.55)式就得ssE a a c E σπσπσσδ2secln '8'4222+-⋅-= (8.56)故裂纹顶端张开位移（即COD ）δ为ssE a σπσπσδδδ2secln '821⋅=+= (8.57)由于D-M 模型对薄板较合适，故是平面应力状态，上式中的E’就是E . 即sEsa σπσπσδ2secln 8=(8.58)当1/<<y σσ时，将上式按级数展开，并略去高次项后可得：yyyG E K E aσσσπσδI2I 2===(8.59)比较式(8.37)与(8.59)式，可见二者的因子很接近(前者为4/π，后者为1).按照上述CTOD 的定义，显然它只适用于I 型裂纹. 但经过修正后，这一方法也能用之于II 、III 型裂纹. 这时δ的定义应分别为：⎭⎬⎫==型）。
铝合金板材中心孔裂纹尖端塑性区数值计算
铝合金板材中心孔裂纹尖端塑性区数值计算李永强;王建国【摘要】通过有限元对铝合金板材中心孔裂纹尖端处塑性区模拟计算,说明在裂纹尖端产生了较大的塑性区,并相应地计算出塑性区的大小.本文通过有限元模拟2124铝合金板材中心孔裂纹扩展情况.铝合金材料为典型的脆性材料,2124铝合金板材在疲劳加载情况下会先进行弹性形变,达到屈服强度后进行塑性形变.本文对2124铝合金板材进行有限元模拟时,先采用线弹性模型,计算裂纹扩展的应力强度因子,然后采用弹塑性模型,计算裂纹尖端的塑性区大小,从而进一步对裂纹尖端应力强度因子进行修正.在建立有限元模型时,以二维的Ramberg-Osgood(R-O)本构为基础,采用参数化的方式,这样是为了可以更好地对有限元程序进行调试.在有限元网格划分时,由于在相同精度下四边形单元的计算效率是三角形单元的几倍,所以采用四边形单元,提高计算精度.有限元建模时,采用plane42、solid 45和solid 95三种单元,plane42单元用于建立2D网格,solid45单元用于建立3D网格,而solid95单元则是用于引入奇异单元.同时,由于试样模型对称性,所以取1/4模型来进行计算.在计算裂纹尖端应力强度因子及塑性区大小时,采用恒△K方式和增△K两种加载方式来进行计算.首先在恒△K下,计算出相应的应力强度因子,其值和理论值相吻合,同时观察得到的塑性区形状与理论形状相似,计算塑性区尺寸大小,首先证明有限元程序的正确性.进一步有限元模拟计算在增大△K情况下不同预裂纹长度下塑性区的变化情况.经过有限元计算得到的塑性区尺寸大小,最后可以近似用经验公式表达.【期刊名称】《工程与试验》【年(卷),期】2011(051)003【总页数】4页(P12-15)【关键词】裂纹扩展速率;塑性区半径;应力强度因子【作者】李永强;王建国【作者单位】北京科技大学新金属材料国家重点实验室,北京100083;北京科技大学新金属材料国家重点实验室,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TG146.2+11 引言疲劳导致的事故频繁发生，结果造成巨大的经济和生命财产损失。
工程断裂力学第五章(矿大)new
内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强
度有关。
裂端塑性区
对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零 构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的 理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸
不合忽略时，则必须给一定的修正，才能应用线弹性
断裂力学结果。
裂端塑性区
若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸， 则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强 度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，
必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场
强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。
Misses屈服准则和Tresca屈服准则得到。
裂端塑性区形状
现在以I型裂纹为例，裂端的主应力为：
x y 1 x y 2 2 xy 2 2
2
在 0 范围内，I型裂纹的主应力为：
1 K cos (1 sin ) 2 2 2r 2
2 2
2
与Irwin第二步估计比较，上式给出的塑性区尺寸要比Irwin估计 稍大。 Dugdale模型比较简单，有时还可得到解析表达式，。
但是Irwin模型和 Dugdale模型都只给出了裂纹前沿塑性区尺寸，
没有给出塑性区形状，这在下一节讨论。
习 题
第五章 弹塑性断裂力学 的基本概念
5-1 Irwin对裂端塑性区的估计
线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随r-1/2而变化。 当r->0时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度 多么高的材料，无限大的应力是不可能存在的。尤其是断裂力学
第五章 弹塑性断裂力学的基本理论
(1
sin
)
2 r 2
2
2
x
y
2
(
x
y )2
2
2xy
KI
2 r
cos
2
(1
sin
2
)
0
3
2
KI cos 2 r 2
平面应力 平面应变
Irwin对裂端塑性区的估计
由Mises屈服准则，材料在三向应力状态下的 屈服条件为:
(1
2
)2
(
2
3
)2
( 3
1)2
2
2 s
当 s 进入屈服状态
ys 1.7 s
用其他试验方法测得的塑性约束系数(σys/σs) 也大致为1.5-2.0。
以上是根据Mises屈服判据推导的结果，如用 Tresca判据也会得出同样的结论。
Irwin对裂端塑性区的估计
3）塑性区公式，其尺寸的表达式为
0 时：
平面应力状态
r0
1
2
[ KISຫໍສະໝຸດ ]2平面应变状态r0
第二类准则以裂纹失效为根据,如R阻力曲线法, 非线性断裂韧度G法。
主要内容：
§5.1 Irwin对裂端塑性区的估计及小范围屈服时 塑形区的修正 §5.2 裂端塑形区的形状 §5.3 裂纹尖端的张开位移 §5.4 J积分理论
Irwin对裂端塑性区的估计
Irwin对裂端塑性区的估计
一 引言
1
根据线弹性力学，由公式
ij (r, )
Km 2 r
fij
可知，当r趋
向于零时，ij 就趋向于无穷大，即趋近于裂纹端点处，
应力无限大。
2 但实际上对一般金属材料，应力无限大是不可能的， 当应力超过材料的屈服强度，将发生塑性变形，在裂纹 尖端将出现塑性区。那么，塑性区的尺寸是咋样的？
对Irwin塑性区模型的改进
对Irwin塑性区模型的改进
侯密山;常福清
【期刊名称】《机械强度》
【年(卷),期】1993(15)1
【摘要】对准脆断情形,应用线弹性全局应力场,按照严格的内力等效(或平衡)条件,对Irwin塑性区模型进行了改进,并给出了正确的修正结果。
【总页数】4页(P69-71)
【关键词】断裂;模型;修正;Irwin塑性区
【作者】侯密山;常福清
【作者单位】东北重型机械学院
【正文语种】中文
【中图分类】O346.1
【相关文献】
1.空间钢框架结构的改进塑性区模型 [J], 郑廷银;张玉
2.考虑塑性体积应变的扰动状态本构模型改进 [J], 崔允亮;项鹏飞;王新泉;张世民
3.地下空区顶板改进梁模型的弹塑性分析 [J], 江学良;曹平;杨慧
4.粗糙表面弹塑性微接触模型分析与改进 [J], 陈剑; 张进华; 朱林波; 洪军
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基于Irwin假设的裂纹尖端张开位移的修正计算
基于Irwin假设的裂纹尖端张开位移的修正计算
原洪海;彭天国
【期刊名称】《东北重型机械学院学报》
【年(卷),期】1994(018)004
【摘要】应用线弹性全局应力，位移场和ｌｒｗｉｎ塑性区假设，对Ⅰ型裂纹问题给出准脆断情形下的裂纹尖端张开位移（ＣＯＤ）的修正算式，计算结果表明，该文所计算的δ比原δ０之值有所提高，应用偏于安全。
【总页数】4页(P352-355)
【作者】原洪海;彭天国
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O346.1
【相关文献】
1.基于局部法由示波冲击试验预测裂纹尖端张开位移 [J], 王宾;谢霞;温秉权;路学成;谢坤
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5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 Irwin对裂端塑性区的估计 Dugdale模型 裂端塑性区的形状 平面应力与平面应变的塑性区 裂纹尖端张开位移CTOD J积分简介 小结
5-1 Irwin对裂端塑性区的估计
线弹性力学的适用性 • 由线弹性力学：裂纹尖端处 x ， y ，xy 随 r 1 2 而
K 2
ys
55
或改写为
ys ( )
K 2
K 2
* a 时， rp ，所以 当
K2
56
* K 2rp
ys
57
由上面三个式子我们可以的到新的塑性区尺寸为 2 K * * 58 rp 2 2rp
F1 F2
y dx * dx
y
由于BD和CE两段曲线均代表弹性 应力场的变化规律，故这两段曲线 下的面积相等。
要使F1 F2 ，就要使FB曲线下的面积等于ABC直线 下的面积，即： rys KI R ys dx 0 2 x rp* rys 就是前面提到的 将 ys s 代入得 1 K I2 1 rys K 2K I I 2 R s x dx ( )2 2 0 2 2 2 s 1 KI 2 * R ( ) 2rp
s
小结
• Irwin对塑性区尺寸的估计是建立在小范围屈服 基础上。 • 引入有效长度后估计的塑性区尺寸比初步估计的 尺寸大一倍。 • 塑性区尺寸恒与应力强度因子的平方成正比，与 材料的屈服应力的平方成反比。
变化。当r 0 时，ij ，但不论强度何等高的 材料，无限大的应力时不可能存在的。 • 当含裂纹的弹塑性体受到外荷载作用时,裂纹端点 附近有个塑性区 • 塑性区：当r小到一定程度，裂纹前端应力达到材 料的屈服强度时，裂纹前端附近的材料就要发生 塑性变形而屈服，形成一个屈服区域。
1. 对非常脆性的材料，塑性可能很小，与裂纹长度 和尺寸相比可忽略不计，可用线弹性断裂力学的 分析结果和应力强度因子来直接分析应力场。 2. 塑性区尺寸较小时（小范围屈服），必须给予一 定的修正，才能用线弹性力学的结果。 3. 若塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸（大 范围屈服），这时线弹性力学已经不适用了，必 须用弹塑性断裂力学了。
第一步 对裂纹尖端塑性区的初步估计
假设裂纹是Ⅰ * 型，裂端前r rp 处 y方向的 y ys ， 则 rp* 就是塑性区的 尺寸。 所以
y 0
* r rp
Hale Waihona Puke K* 2 rp ys
* 所以，塑性区尺寸为：rp
K2 2
2 ys
。利用Mises
屈服准则可得到： 平面应力时， ys s或 0.2，得出
当 0 时，
所以，Irwin建议取：
K2 * rp 2 4 2 s
或
r
* p
K2 6
2 s
5 1c
第二步 对塑性区的进一步估计
假设裂纹的有效长度 为aeff ，而aeff a ， 这里 0 。用 aeff 来计 算 K eff 和应力场。当有效 裂纹端点前 处的 y ys
时，则 K eff
2
ys
52
推出
2 K eff
2
2 ys
53
当 a 时，即塑性区尺寸远比裂纹长度小（小 K 范围屈服）， eff 趋近于K值，则 2 K eff * rp 54 2 2
ys
要估计 的大小，可假设A=B，也就是说高于屈服 应力的A部分已被B部分的塑性变形所松弛。 应力松弛：金属材料在一定环境条件 下保持其总应变为一定值，所施加的 应力随时间的增加而自发逐渐下降的 现象。 K ys dr ys 0 2 r
ys * rp 通过上面的计算，我们推出
基本依据：单位厚含 裂纹平板，在外力作用 下发生局部屈服后，其 净截面上的内力（分布 内力的积分）应当与外 力平衡。 虚线表示在塑性变形 以前法向应力 y 在裂端 前的分布规律 KI y 0 2 r
实线表示当材料在裂纹前端局部范围到达有效屈 y 服力 ys 后，附近区域中的 * ( x) 变化规律曲线。 虚线下的面积 F1 y ( x)dx 都应和外力平衡 实线下的面积 F2 * ( x)dx y
r = 2 s K I2 cos
2
1+3sin 2 2
2
当 =0 时，
K2 * rp 2 s2
5 1a
平面应变时，
r = 2 s KI
2
cos
2
(1 2 ) +3sin 2 2
2 2
(1 2 ) 2 K 2 * rp 5 1b 2 s2 按上式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。因 为平面应变时，塑性区内的应力分布并不是恒为 ys ，而是呈峰形分布；同时，其他方向的塑性区 边缘到裂纹端点的距离是随 的不同而不同的。