排队论

排队论简介研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。

日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。

排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。

他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。

自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。

30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。

瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。

他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。

50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。

在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。

70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。

排队系统模型的基本组成部分服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。

如果服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的，则这个服务系统称为派对系统。

图1为一最简单的排队系统模型。

排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。

输入过程对于排队系统，顾客到达时输入。

输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。

它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。

例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。

随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。

如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为其中λ>0为一常数。

令第i 个顾客到达的时刻为Τi(i=1,2,…),Τ0≡0,并令ti=Τi-Τi-1,则相继到达的顾客的间隔时间ti 是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。

在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。

排队规则排队规则分为等待制、消失制和混合制三种。

1， 等候制顾客到达后，如果服务机构已经占满，当允许顾客等待时，再到的顾客便排队等待。

常见的有以下几种排队方式： （1） 先到先服务 这是最普遍的情形。

例如：医院候诊的患者。

（2） 后到先服务 许多存储系统中运用这种规则，例如：加工钢板总是先从上面取来加工。

（3） 随即服务 当一名顾客接受服务完毕离去时，随机的从等候的顾客中选择一名进行服务，等待中的每位顾客被选中的概率是相等的。

例如电话订票服务。

（4） 优先服务 对于不同的顾客，规定不同的优先权，具备较高优先权的顾客，优先接受服务。

例如；急诊病人、加急电报等。

2， 消失制当服务机构已全部占满时，再到的顾客不能进入服务系统，顾客自动消失。

例如：当旅店客满时，再来的顾客只好离去。

3， 混合制等待制的排队方式可以认为队伍长度没有限制。

当允许排队、但服务机构的空间和时间有限时，队伍长度必然有一定的限制，这种情形成为混合制。

（1） 等待空间有限 （2） 等待时间有限 （3）逗留时间有限服务机构可以是一个或多个服务台。

多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。

服务时间一般也分成确定型和随机型两种。

例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。

而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。

如果服从负指数分布，则其分布函数是A(t)= 1-t e λ- , t ≥0 0 , t<0式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。

排队系统的分类如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。

因此只能按主要特征进行分类。

一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。

现代常用的分类方法是英国数学家D.G.肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号 X/Y/Z 进行分类。

X 处填写相继到达间隔时间的分布；Y 处填写服务时间分布;Z 处填写并列的服务台数目。

各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k 阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。

例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。

D/M/C 表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C 个服务台的模型。

至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。

排队系统问题的求解1.评价排队系统优劣有 6项数量指标研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。

通常评价排队系统优劣有 6项数量指标。

①系统负荷水平ρ ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度；②系统空闲概率P o ：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为L s ；④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lq ；⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为W s ；⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wq 。

2.各项指标之间的关系B(t)=1-t e*μ- , t ≥0 0 , t<0设λ为单位时间内顾客的到达数（即为客户平均到达率），μ为单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数（即单个服务台的平均服务率），则1/λ为相邻两个顾客到达的平均间隔时间，1/μ即为每个顾客的平均服务时间，因此有L s=λW s 即系统中平均的顾客数等于单位时间内平均到达的顾客数乘以每个顾客在系统中的平均停留时间；即平均队列长为单位时间内平均到达的顾客数乘以得到服务前的平均等待时间；W s=W q+1/μ即每位顾客在系统中的平均停留时间等于顾客在系统中的平均等待时间加上平均服务时间，因此，L s=Lq+λ/μ排队论的案例分析汽车售后服务当今排队论研究的内容包括3个方面：系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。

利用排队论的知识来解决汽车售后服务中的排队论问题。

1.排队模型的建立假设客户平均到达率为λ，单个服务台的平均服务率（表示单位时间被服务完的顾客数）为μ，整个服务机构的平均服务率为cμ，系统的服务强度ρ=λ/cμ（ρ<1）时才不会排成无限的队列，P n(c)为c个服务台任意时刻系统中有n个顾客的概率；当到达率为λ，服务率为cμ的过程达到稳态时，可得(1)(2)当系统达到平衡状态时,每位顾客在系统中的等待时间w的均值为:(3)排队逗留的人数：(4)2.排队系统的最优化在排队系统中，顾客希望服务台越多、服务效率越高、逗留时间越短越好，使自己的损失达到最小，为此4S店就要增加服务人员数，而4S店也不可能无限投入，因此就需要优化设计，目的就是使顾客损失费用和公司运营成本最低。

假设服务台的个数为Cc，每个服务台单位时间所需的成本费为Cs，每个顾客在系统中逗留单位时间的费用为Cw，总成本为Z(c)，则目标函数：minZ(c) = Cs C + C w L s其中Ls为逗留的人数公式（4），C只能取整数。

设C * 是使目标函数Z(c)取最小值的点C * 满足。

Ls = L s(C)化简得：(5)通过计算机模拟依次算出LS(1),L S(2),L S(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数C的最优解C * 。

3.模型的求解由已知易得：由上表知只有维修机组个数C * = 4时满足公式（5），从而使得每一位客户来店等待维修时间最短，且公司成本最低的最优维修机组个数为4。

4.模型的分析当顾客平均到达率上升引起服务强度增加致使平均队长L太大，甚至由于服务强度ρ > 1使队长趋向无限时，在平均服务率不变的情况下就只能增加服务台。

下面考虑有两个服务台且平均服务率相等的情况。

两个服务台的排队有两种形式分别由下面两图表示:左图一个队是一个M/M/2模型;右图两个队，且入队后不能换队,是两个M/M/1模型。

可以知道，两个服务台的两种服务形式平均队长L,等待时间W之比为：就人们最关心的等待时间而言有,而当较大时，M/M/2模型的形式比2个M/M/1模型节省较多的等待时间。

同理可证：在有多个并列服务台的排队系统中,排成单队比排成并列多队的方案具有明显的优越性.对于设置多个服务台的随机过程，应该让顾客排成一个队。

5.接待派工程序的设计由上知，在设置4个并列维修机组的排队系统中，排成单队比排成并列4队的方案具有明显的优越性.具体的接待、派工程序如下：服务月工作安排在最优条件下，各维修机组基本上一直处于繁忙状态，但该4S店4月份与9月份来店保养客户比平均每天来店保养客户多31%及43%，因此为了在不增加员工数量且遵守国家法定工作时间的条件下完成服务月活动，只能提高各维修机组的工作效率。

由已知易得：4月份每小时客户平均到达率λ = 18.77(辆/h)，设每个维修机组提高效率后每小时修理的汽车数量为μ,由MATLAB计算得当μ = 4.6时即可满足条件,此时每个维修机组提高的效率为P=21.8%.同理9月份当μ = 5时即可满足条件，此时每个维修机组提高的效率P=32.4%。

因此，该4S店需提高的工作效率如下：各维修机组在4月份、9月份需提高的工作效率结论应用排队论一方面可以有效地解决售后服务系统中人员和设备的配置问题，为公司提供可靠的决策依据；另一方面通过系统优化，找出客户和公司两者之间的平衡点，既减少排队等待时间，又不浪费公司人力物力，从而使公司和客户之间达到双赢。

排队是一种司空见惯的现象，因此排队论可以用来解决许多现实问题。

参考文献徐光辉：《随机服务系统》，科学出版社,北京,1980。

深荣芳：《运筹学》，机械工业出版社。

张杰、周硕：《运筹学模型》，东北大学出版社，2005。