排队论

排队论简介

研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。

日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。

排队系统模型的基本组成部分

服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。如果服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的，则这个服务系统称为派对系统。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。

输入过程

对于排队系统，顾客到达时输入。输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为

其中λ>0为一常数。

令第i 个顾客到达的时刻为Τi(i=1,2,…),Τ0≡0,并令ti=Τi-Τi-1,则相继到达的顾客的间隔时间ti 是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布，即

式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。

排队规则

排队规则分为等待制、消失制和混合制三种。 1， 等候制

顾客到达后，如果服务机构已经占满，当允许顾客等待时，再到的顾客便排队等待。常见的有以下几种排队方式： （1） 先到先服务 这是最普遍的情形。例如：医院候诊的患者。

（2） 后到先服务 许多存储系统中运用这种规则，例如：加工钢板总是先从上面取来加工。

（3） 随即服务 当一名顾客接受服务完毕离去时，随机的从等候的顾客中选择一名进行服务，等

待中的每位顾客被选中的概率是相等的。例如电话订票服务。

（4） 优先服务 对于不同的顾客，规定不同的优先权，具备较高优先权的顾客，优先接受服务。

例如；急诊病人、加急电报等。

2， 消失制

当服务机构已全部占满时，再到的顾客不能进入服务系统，顾客自动消失。例如：当旅店客满时，再来的顾客只好离去。

3， 混合制

等待制的排队方式可以认为队伍长度没有限制。当允许排队、但服务机构的空间和时间有限时，队伍长度必然有一定的限制，这种情形成为混合制。

（1） 等待空间有限 （2） 等待时间有限 （3）逗留时间有限

服务机构

可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。如果服从负指数分布，则其分布函数是

A(t)= 1-t e λ- , t ≥0 0 , t<0

式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。

排队系统的分类

如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。因此只能按主要特征进行分类。一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。现代常用的分类方法是英国数学家D.G.肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号 X/Y/Z 进行分类。

X 处填写相继到达间隔时间的分布；

Y 处填写服务时间分布;

Z 处填写并列的服务台数目。

各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k 阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。D/M/C 表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C 个服务台的模型。至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。

排队系统问题的求解

1.评价排队系统优劣有 6项数量指标

研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。通常评价排队系统优劣有 6项数量指标。

①系统负荷水平ρ ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度；

②系统空闲概率P o ：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；

③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为L s ；

④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lq ；

⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为W s ；

⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wq 。

2.各项指标之间的关系

B(t)=

1-t e

*μ- , t ≥0 0 , t<0