等时圆模型(最新最全)

“等时圆”模型的规律及应用
一、 等时圆模型（如图所示）
二、 等时圆规律：
1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。

（如图a ）
2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）
3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即
g
R
g R g d t 2
420===
（式中R 为圆的半径。

） 三、等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为
g
d g d a s t 2sin sin 220=
==
αα
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

四、应用等时圆模型解典型例题
例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）
A.球面
B.抛物面
C.水平面
D.无法确定
图a 图b
【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。

例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。

求小环从A 滑到B 的时间。

【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。

根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有
g
L
g L g d
t t AD AB 2
42===
= 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。

解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

如图6所示，此时等时圆的半径为： 12
h R O P H ==+ 所以 22()()2
h
OP R H H h =
-=+
例4：如图7， AB 是一倾角为θ的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P
与AB 输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？
解析：借助“等时圆”，可以过P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。

显然，沿着PC 弦建立管道，原料从P 处到达C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。

因而，要使原料从P 处到达输送带上所
O
A B
L L
D 图2 A B
P
H
h O
图5 图6 A B P
H
h O
O 1
A
θ
B
图7
P P
A θ
B 图8
C O
用时间最短，需沿着PC 建立管道。

由几何关系可得：PC 与竖直方向间的夹角等于θ/ 2。

三、“形似质异”问题的区分
1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？
解析：bd 的长为2Rcos θ，bd 面上物体下滑的加速度为a=gcos θ-μgsin θ，t bd =
θ
μθθsin cos cos 4g g R -=2θμtan g g R
-。

可见t 与θ有关。

2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO 、bO 、cO ，其下端都固定于底部
圆心O ，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。

若有三个小孩同时从a 、b 、c 处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）
A 、a 处小孩最先到O 点
B 、b 处小孩最先到O 点
C 、c 处小孩最先到O 点
D 、a 、c 处小孩同时到O 点
解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a 、b 、c 三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。

设圆柱底面半径
为R ，则θcos R =2
1gsin θt 2，t 2=θ2sin 4g R ，当θ=450
时，t 最小，当
θ=300
和600
时，sin2θ的值相等。

例3：如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。

试分析和解：在屋顶宽度（2L ）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？
【解析】：
θcos L =2
1gsin θt 2 ， t 2=θ2sin 4g L ，当θ=450
时，t 最小
训练
1、如图所示,oa 、ob 、oc 是竖直面内三根固定的光滑细杆,O 、a 、b 、c 、d 位于同一圆周上,d 点为圆周的最高点,c 点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环都从o 点无初速释放,用、
、
依次表示滑
环到达a 、b 、c 所用的时间,则
( )
θ
a O
b
c 图3
A. B. C. D.
答案详解D解:以O点为最高点,取合适的竖直直径oe作等时圆,交ob于b,如图所示,显然o到f、b、g、e才是等时的,比较图示位移,,故推得,选项ABC错误,D正确.
2、身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD 滑到木板上的时间分别为t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD与板的夹角分别为70°、90°和105°，则（）
A. t1>t2>t3
B. t1<t2<t3
C. t1=t2=t3
D. 不能确定t1、t2、t3之间的关系
解析：若以OA为直径画圆，如图，则AB交圆周与E点，C点正好在圆周上，D点在圆周之内，AD的延长线交圆周与F点，设AC与AO的夹角为α，
根据牛顿第二定律得人做初速为零的匀加速直线运动的加速度为：
a=gcosα
由图中的直角三角形可知，人的位移为：S=AOcosα
则可知人从A到C得时间为：
，可知与斜面的倾角无关，即人从A带你滑到ECF的时间是相等的，则可知人从A点滑到BCD的时间关系t1>t2>t3，故A正确；故选：A
3、竖直正方形框内有三条光滑轨道OB、OC和OD，三轨道交于O点，且与水平方向的夹角分别为30o、45o和60o。

现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从O点静止释放，分别沿OB、OC和OD运动到达斜面底端。

则三小球到达斜面底端的先后次序是
A. 甲、乙、丙
B. 丙、乙、甲
C. 甲、丙同时到达，乙后到达
D. 不能确定三者到达的顺序
4、如图所示,地面上有一固定的球面,球半径为R,球面的斜上方P处有一质点(P与球心O在同一竖直平面内).已知P到球心O的距离为L,P到地面的垂直距离为H,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间内滑到球
面上,求所需的最短时间.
解:(1)求证:如图所示小球从竖直平面的半径为R'的圆的顶点,沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘,
任取一条轨道PQ,PQ与水平面的夹角为,
由三角关系得PQ的长度为:
由牛顿第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度为:
由位移时间公式得,运动时间:
即运动时间与角度无关,故对应任何轨道的时间均相同.
(2)作图:以P为顶点作一半径为r的球面,使其与所给球面相切与Q,如图所示:
由(1)可以知道右上圆内从P点到圆的外边缘的时间是相同的,故、
用时均长于PQ用时,则线段PQ即为所求的用时最短的轨道.
(3)解题:把上图转化如下:
,
由三角关系得:
联立以上两式计算得出:
由(1)知,运动时间:
答:所需的最短时间为.。