2020—2020学年第一学期高一期中考试数学试题及参考答案

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余姚中学2023学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案)

A. 54 cm2
B. 48 cm2
C. 27 cm2
D. 9 cm2
4.函数 f (x) | x2 1| 的大致图象为( ) x
A
B
C
D
5.已知函数 f (x) log2 (2 x) 的值域为 ,1 , 则函数 f (2 x ) 的定义域为( )
A. [0, )
B. [0, 2)
C. [0,1)
9.下列说法正确的是( )
A.
10
化成角度是
18
B.
120
化成弧度是
5 6
C. 330 与 750 的终边相同
D.
若 sin
cos
1 ，则 tan 2
cos sin
2
10.用二分法求函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个零点的近似值 ( 精确度为 0.1) 时，依次计算得到如下数据：
11.函数
f
(x)
x 1 | x
(x |
R)
，以下四个结论正确的是(
)
A. f (x) 的值域是 (1,1)
B.
函数 y
f (x) 的图像与函数 g(x) log2
x x
1 1
图像的交点为
x1
,
y1
,
x2
,
y2
,
x3
,
y3
,,
xm
,
ym
，则
x1 x2 x3 xm 2
C.
若规定
f1(x)
f (x) | x2 1| f (x) ， x
该函数为奇函数，故 A 错误；
当 x 0 时， f (x) | x2 1| 0 ，故 D 错误； x

2024学年福建省厦门双十中学高一上学期期中数学试题及答案

福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦，；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211()23(m t t t t =+-⋅⋅+211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。

山东省菏泽市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题期中答案

高一数学试题（B ）参考答案一、选择题1—5 BCADC6—8 DBA 二、多项选择题9．BC10．AC 11．ABD 12．BD 三、填空题13．(,3)−∞−14．[1,2)(2,)+∞∪ 15．1± 16．9(,4−∞ 四、解答题17．解：（1）由(1)f x +=得()f x =，……………………………2分(1)1f ===，得1a =；……………………………4分所以()f x =；……………………………5分（2）该函数的定义域为[0,)+∞，……………………………6分令12x x <，所以210x x −>，所以21()()f x f x −===，……………………………8分因为210x x −>0+>，所以21()()0f x f x −>，……………………………9分所以()f x 在其定义域为单调增函数. ……………………………10分 18．解：（1）2a =−，所以[3,1]A =−−，……………………………1分[3,2]A B =−−∩，……………………………2分(,1][5,)A B =−∞−+∞∪∪；……………………………4分（2）若A ∩B ＝A ，得A B ⊆；……………………………5分当A =Ø时，2135a a +>+，得4a <−；……………………7分当A ≠ Ø时，2135,352,a a a +≤+ +≤− 或2135,215,a a a +≤+ +≥……………………10分得743a −≤≤或2a ≥，.……………………………11分综上所述，73a ≤或2a ≥，…………12分 19．解：（1）由题意知，生产x 件产品的仓储费用为88x +x =288x x +，………………2分所以28800(0)8x x y x +=+>；………………………………………5分（2）由题意知，平均费用为288008y x x x x x+=+，……………6分因为0x >，28800800188x x x x x x ++=++121≥+=，……………10分当且仅当8008x x=，即80x =时取得；………………………………………11分所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元. …………………12分20．解：（1）因为()0f x ≥，即关于x 的不等式2(1)10x m x m −+++≥恒成立，所以2(1)4(1)0m m ∆=+−+≤；………………2分解得13m −≤≤；………………4分（2）原不等式转化为()10f x −<, 即2(1)x m x m −++()(1)0x m x =−−<,………………6分当1m >时，1x m <<；………………8分当1m <时，1m x <<；………………10分公众号：潍坊高中数学当1m =时，不等式无解；………………11分综上可得，当1m >时，不等式解集为{1}x x m <<；当1m <时，不等式解集为{1}x m x <<；当1m =时，不等式无解. ………………12分21．解：（1）由f (x )＝x ，得x ax ＋b ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0. ……………………………1分因为方程f (x )＝x 有唯一解，所以∆＝(b －1)2＝0，即b ＝1，…………………………3分因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，……………………………4分所以a ＝12，…………………………5分所以f (x )＝112xx +＝2x x ＋2；……………………………6分（2）因为2x <−，所以()y xf x =2222122x x x x==++，……………………7分而22121112()48x x x +=+−，……………………………9分当114x =−，即4x =−时， 21112()48x +−取得最小值18−，……………………………11分此时()()g x xf x =取得最大值16−.……………………………12分22．解：（1）令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，得(0)0f =，……………………………………1分令1,1x y =−=，得(0)(1)(1)f f f =−+，得(1)2f −=−；………………………………………2分令y x =−，得(0)()()f f x f x =+−，即()()f x f x =−−，所以()f x 为奇函数；………………………………………4分（2）令12x x <，所以210x x −>，所以212111()()()()f x f x f x x x f x −=−+−2111()()()f x x f x f x =−+−21()f x x =−，………………………………………4分因为210x x −>，所以21()0f x x −>，所以21()0f x x −>，……………………………………5分即()f x 在R 上为增函数；……………………………………7分（3）因为2(3)()2f ax x f x −+<−，即2(2)2f ax x −<−，又(1)2f −=−，所以2(2)(1)f ax x f −<−，……………………………………8分又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x −<−在[1,2]x ∈上恒成立；得2210ax x −+<在[1,2]x ∈上恒成立，即221a x x <−在[1,2]x ∈上恒成立，………………………………………9分因为22211(1)1x x x−=−−+，当2x =时，221x x −取最小值34，所以34a <；………………………………………11分即34a <时满足题意. ………………………………………12分公众号：潍坊高中数学。

湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为（）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是（）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数，又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<．故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元，则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立．故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈．又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分（2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分（3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号．当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。

2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=；解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥，所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对．故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误；对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误；对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=，当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--，所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-，因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<，所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减，因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++，即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键．三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________．【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=，则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-；即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}．故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________．【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩；（2）见解析；（3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域．【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-．【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2）函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--，整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =，故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值；（2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-，若1a a a -≥-1a ≤≤，若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。

山东省青岛第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题及答案

青岛二中2022-2023学年第一学期期中考试高一试题(数学)一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤1},B={-1,1,2,4},那么阴影部分表示的集合为（） A.{-1,4} B.{1,2,4} C. {1,4} D.{-1,2,4}2.函数f (x )=xx 2+1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号：使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>、”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深远.已知a ，b 为非零实数，且a>b ；则下列结论正确的是( ) A ．b a a b>B ．22ab a b > C ．22a b >D ．2211ab a b>4.在R;上定义的函数f(x)是偶函数，且()()4044f x f x =−，若f(x)在区间[2022,2023]上是函数，则()f x ()A.在区间[-2023,-2022]上是增函数,在区间[2021,2022]上是增函数B.在区间[-2023,-2022]上是增函数,在区间[2021,2022]上是减函数C.在区间[-2023,-2022]上是减函数,在区间[2021,2022]上是增函数D.在区间[-2023,-2022]上是减函数,在区间[2021,2022]上是减函数5.已知x>0,y>0,且30x y xy ++−=;则下列结论正确的是( ) A.xy 的最小值是1 B.x+y 的最小值是2C.x+4y 的最小值是8D.x+2y 的最大值是4√2−36.已知a ∈R,函数f (x )={x 2−4,x >2|x −3|+a,x ≤2, 若 f[f(√6)]=3, 则a 的值为( )A.1B.2C.3D.47.已知函数()f x 的定义域为[1,2],设函数()1f x −的定义域为D,若x D ∃∈ ,使得,²1a x x >−+成立，则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,3) c.(1,+∞) D. (3,+∞)8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()f x 在[0,+∞)上单调递减,且()30f = ,则不等式()()2510x f x −−<的解集为( )A.(−2,52)∪(4,+∞)B.(4,+∞)C.(−∞,−2)∪[52,4] D.(-∞,-2)二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分)9.已知命题:p x R ∀∈,²40x ax ++> , 则命题P 成立的一个充分不必要条件可以是( ) A. a ∈[−1,1] B.a ∈(-4,4) C.a ∈[-4,4] D.a ∈{0} 10.下列命题正确的是(A.偶函数()f x 的定义域为[2a-1,a], 则 a =13B.若函数()2123f x x x +=++, 则 ()2 2f x x =+ C.已知定义在[-2022,2022]上的函数 f (x )=x 2+2x+1x 2+1, 设f(x)的最大值为m ，最小值为n ，则1m n +=D.若定义在R 上的函数f(x)满足：,x x R ∀∈₁₂，x x ≠₁₂,都有 f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0, 则当a ∈R 时有f (34)≥f (a 2−a +1)11.设正实数a 、b 满足1a b +=，则下列结论正确的是(A.√ab ≤14 B.a 2+b 2≥12 C.12a +1b ≥3 D.√a +√b ≥√212.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数,例如:[]3.54−=−，[]2.12=,则下列命题正确的是( )A. [][]1,0,1x x ∀∈−=− B.[],1x R x x ∀∈<+ C. 函数[]y x x =−的值域为[)0,1 D.不等式:[][]2230x x −−≥ 的解集为 { x|x<0或x≥2}三、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)13.命题:“2,20x R x x ∀∈−+≥”的否定是14.已知函数 f (x )=1x 2−2x ，则()f x 的值域为15.己知f(x)是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时, ()22f x x x =+, 则当0x <时,()f x = . 16.已知函数 f (x )={x 2,x <0−x 2,x ≥0, 若()()2,4430x R f mx f x ∀∈+−≤恒成立，则实数m 的取值范围为四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合. {}22,1|{|2}A x a x a B x x x =−≤≤+=≤−≥或. (1)当3a =时,求,R A B A C B ;(2)若A B R = ,求实数a 的取值范围18.(12分)设函数()()()4,f x x x a a R =−−∈. (1)解关于x 的不等式,()0f x <；(2)当()4,x ∈+∞ 时,不等式()16f x ≥−恒成立,求a 的取值范围.19.(12分)已知00x y >>，,且2222x y x y +=+. (1)求x y + 的最大值; (2)求1x +1y 的最小值.20.(12分)某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与年产量x (单位：吨，x>0)之间的函数关系式为y =x 24−70x +10000, 已知该生产线年产量最大为220吨.(1)求当年产量为多少时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本.(2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润?最大年利润是多少?21.(12分)已知函数 f (x )=x+mx 2−1(m ∈R )是定义在(-1，1)上的奇函数. (1)求f(x)的解析式;(2).用定义法证明:f(x)在(-1,-1)上是减函数; (3)解关于t 的不等式()()10.f t f t −+<22.(12分)对于定义域为D 的函数()f x ，如果存在区间[],m n D ⊆ ,使得()f x 在区间[],m n 上是单调函数,且函数()[],y f x x m n =∈，的值域是[],m n ,则称区间[],m n 是函数()f x 的一个“黄金区间”.(1)判断函数 y =x (x ∈R )和函数 y =3−4x （x >0）是否存在“黄金区间”，如果存在，请写出符合条件的一个“黄金区间”(直接写出结论，不要求证明)；如果不存在，请说明理由. (2)如果[],m n 是函数 f (x )=(a 2+a )x−1a 2x(a ≠0)的一个“黄金区间”，求n m −的最大值：青岛二中2022-2023学年第一学期期中考试——高一试题（数学）参考答案一、单选题1.D2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.A 二、多选题9.AD 10.ABD 11.BD 12.BCD 三、填空题13.2,20x R x x −+∃<∈14.(](),10,−∞−+∞15.22x x −+16.98m ≥四、解答题17.(1)3a =时，{}15A x x =≤≤，所以{}25,A B x x =≤≤因为{}12R C B x x =−<<，所以{}15R AC B x x =−<≤(2)若A B R =，则2122a a −≤−⎧⎨+≥⎩，解得01a ≤≤18.(1)当4a <时，不等式()0f x <的解集为(),4a ，当4a =时，不等式()0f x <的解集为∅，当4a >时，不等式()0f x <的解集为()4,a .(2)因为()x ∈+∞4，，所以由()16f x ≥−可得164x a x −−≥−，164a x x ≤+−，因为16164441244x x x x +=−++≥+=−−，当且仅当4146x x −=−，即8x =时等号成立，所以12a ≤.19.（1）方法一：()22212()2x y x y x y +=+≥+第５页，共８页2=,40,4x y t t t t+−≤≤≤令则得0∴()max4x y+=，当且仅当1x y==时取等号方法二：设x y t+=则y t x=−，代入2222x y x y+=+得()222x t x t+−=即()222220x tx t t−+−=令()()222820t t t∆=−−−≥得04t≤≤即04x y≤+≤∴()max4x y+=，当且仅当1x y==时取等号（2）方法一：∵0x y>，，2222x y x y+=+∴22112122x y x y xyx y xy xy xy+++==≥=，当且仅当1x y==时取等∴min112x y⎛⎫+=⎪⎝⎭方法二：∵0x y>，，2222x y x y+=+∴22111122x y x y x yx y xy xy y x⎛⎫+++===+≥=⎪⎝⎭，当且仅当1x y==时取等∴min112x y⎛⎫+=⎪⎝⎭20.（1）每吨平均成本为()0220yxx<≤,由题可知10000707030,4y xx x=+−≥=当且仅当100004xx=，即200x=时取等号.所以当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低平均成本为30万元.（2）设年利润为L万元，第６页，共８页则22505070100001201000044x x L x y x x x =−=−+−=−+−()()21240440002204x x =−−+<≤ 因为利润L 在(]0,220单调递增，所以当220x =时，L 有最大值，为()2122024044004300.4−−+= 所以当年产量为220吨时，可获得最大年利润，最大年利润为4300万元. 21.（1）方法一：由于函数()21x bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数，所以()()f x f x −=−即()2211x bx bx x −++=−+−+，化简得0b = ，因此，()21x f x x =−. 方法二：由于函数()21x bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数，所以()00f =，得0b =. 经检验，0b =时()21x f x x =−是奇函数.故()21xf x x =−.（2）()12,1,1x x ∀∈−，且12x x <，即<1211x x −<<<，则()()()()()()()()()()()()2212212121121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x −−−−+−=−==−−−+−+−− 1211x x −<<<，210x x ∴−>，2110x x +>，110x −<,110x +>，210x −<2,10x +>()()()()12120,f x f x f x f x ∴−>>即，因此，函数()y f x =在区间()1,1−上是减函数.（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义在()1,1−的减函数，且为奇函数，有()()10f t f t −+< 得()()()1f t f t f t −<−=− ，所以111111t t t t −>−⎧⎪−<−<⎨⎪−<<⎩，，，解得112t << .因此，不等式()()10f t f t −+<的解集为112（，）第７页，共８页22.（1）220,y x y x =≥=在[)0,+∞上单调递增，由2x x =得0x =或1，存在黄金区间是[0,1]；()430y x x =−>是增函数，若存在黄金区间[],m n ，则43,43,m mn n ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，无解，因此，不存在黄金区间. （2）()()2221111a a x f x a xa a x+−==+−在(−∞,0)和(0,+∞)上都是增函数，因此黄金区间[]()[](),,0,0,m n m n ⊆−∞⊆+∞或，由题意()(),,f m m f n n =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以()f x x =有两个同号的不等实根()()222211110.f x x a x a a x a a x=+−=−++=， ∆=(a 2+a )2−4a 2>0，a 2(a +3)(a −1)>0，解得a <−3或a >1,2121210,x x x x a =>，同号，满足题意, 22121a a a x x a a+++==，21n m x x ==−====，因为a <−3或a >1，所以 113a =即a =3时，()3max nm −==第８页，共８页。

河北省邢台市六校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题及答案

２０２２－２０２３学年第一学期期中考试高一数学试题考试范围:必修一１１４１说明:１．本试卷共４页,考试时间１２０分钟,满分１５０分.２．请将所有答案都涂写在答题卡上,答在试卷上无效.一㊁单项选择题(本大题共９个小题,每小题５分,共４５分)１．已知集合U ＝{－３,－２,－１,０,１,２,３},A ＝{－１,０,１},B ＝{０,１,２},则C U (A ɘB )＝(㊀㊀)A．{－３,－２,３}B ．{－３,－２,－１,２,３}C ．{２,３}D．{－１,２,３}２． a ＞b 是 a ＞b 的(㊀㊀)A．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件３．已知不等式x ２＋２a x ＋a ＋２＜０的解集为空集,则a 的取值范围是(㊀㊀)A．(－１,２)B ．(－ɕ,－１)ɣ(２,＋ɕ)C ．(－ɕ,－１]ɣ[２,＋ɕ)D．[－１,２]４．已知函数f (２x ＋１)＝３x ＋２,则f (３)的值等于(㊀㊀)A．１１B ．２C ．５D．－１５．已知x ɪR ,则使得２|x |＋３２|x |＋２取得最小值时x 的值为(㊀㊀)A．２B ．４C ．ʃ４D．ʃ２６．十六世纪中叶,英国数学家雷科德在«砺智石»一书中首先把＝作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用＜和＞符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列说法正确的是(㊀㊀)A．若a ＜b ,c ＜d ,则a c ＜b d B ．若a ＜b ,则１a ＋１＞１b ＋１C ．若a ２b ＞a ２c ,则１b ＞１cD．若a ＞b ,c ＞d ,则a ＋c b ＋c ＞a ＋db ＋d７．函数f (x )＝２x ２－７x ＋３的单调递减区间为(㊀㊀)A．－ɕ,７４æèçöø÷B ．－ɕ,１２æèçöø÷C ．７,＋ɕæèçöø÷(,)８．设a 为实数,定义在R 上的偶函数f (x )满足:f (x )在[０,＋ɕ)上的表达式为f (x )＝３x ２＋２x －４,则使得f (２a )＞f (a ＋１)成立的a 的取值范围为(㊀㊀)A．－ɕ,－１３æèçöø÷ɣ(１,＋ɕ)B ．－１３,１æèçöø÷C ．－１,１３æèçöø÷D．(－ɕ,１)９．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (２＋x )＝f (－x ),若当０＜x ɤ１时,f (x )＝x ２－２x ＋９,则f ７２æèçöø÷＝(㊀㊀)A．－３３４B ．３３４C ．－８D．８二㊁多项选择题(本大题共５个小题,每小题５分,共２５分,全部选对的得５分,部分选对的得２分,有选错的得０分)１０．已知函数f (x )＝x ＋５,x ＜－１x ２,－１ɤx ＜２{,关于函数f (x )的结论正确的是(㊀㊀)A．f (x )的定义域为R B ．f (x )的值域为(－ɕ,４)C ．f (－１)＝１D．若f (x )＝３,则x 的值是３１１．若函数f (１－２x )＝１－x ２x ２(x ʂ０),则(㊀㊀)A．f １２æèçöø÷＝１５B ．f (２)＝－３４C ．f (x )＝４(x －１)２－１(x ʂ０)D．f １x æèçöø÷＝４x ２(x －１)２－１(x ʂ０且x ʂ１)１２．给定数集M ,若对于任意a ,b ɪM ,有a ＋b ɪM ,a －b ɪM ,则称集合M 为闭集合．则下列说法中正确的是(㊀㊀)A．集合M ＝{n |n ＝３k ,k ɪZ }为闭集合B ．集合M ＝{－６,－３,０,３,６}为闭集合C ．正整数集不是闭集合D．若集合A １㊁A ２为闭集合,则A １ɣA ２为闭集合１３．已知a ,b ɪR ,４a ＝b ２＝９,则２a －b的值可能为(㊀㊀)A．８３B ．３８C ．２４D．１２４１４．已知函数f (x )的定义域为D ,若存在区间[m ,n ]⊆D 使得f (x ):(１)f (x )在[m ,n ]上是单调函数;(２)f (x )在[m ,n ]上的值域是[２m ,２n ],则称区间[m ,n ]为函数f (x )的倍值区间．下列函数中存在倍值区间的有(㊀㊀)A．f (x )＝x ＋１x B ．f (x )＝１xC ．f (x )＝x ２D．f (x )＝３x x ２三㊁填空题(本大题共４个小题,每小题５分,共２０分)１５．函数f(x)＝x x－１＋x２－１的定义域为㊀㊀㊀㊀㊀．１６．计算:１５－１３ˑ６７æèçöø÷０＋８０２５ˑ４２＋３２ˑ３()６－２３æèçöø÷２３＝㊀㊀㊀㊀㊀．１７．函数f(x)为定义在(－１,１)上的奇函数,f(x＋２)为减函数,若f(m－１)＋f(３－２m)＜０,则实数m的取值范围为㊀㊀㊀㊀㊀．{},且a＞b,则１８．已知关于x的一元二次不等式a x２＋２x＋bɤ０的解集为x x＝－１aa－ba２＋b２＋２的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀．四㊁解答题(本大题共５个小题,每小题１２分,共６０分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)１９．已知命题p:关于x的方程x２－２a x＋２a２－a－６＝０有实数根,命题q:m－１ɤaɤm＋３．(１)若命题¬p是真命题,求实数a的取值范围;(２)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围．２０．已知幂函数f(x)＝(m２＋３m－３)x m＋１在(０,＋ɕ)上是减函数,mɪR．(１)求f(x)的解析式;(２)若(５－a)１m＞(２a－１)１m,求a的取值范围．２１．某电子公司生产某种智能手环,其固定成本为２万元,每生产一个智能手环需增加投入１００元,已知总收入R (单位:元)关于日产量x (单位:个)满足函数:R ＝４００x －１２x ２,０ɤx ɤ４００,８００００,x ＞４００．ìîíïïïï(１)将利润f (x )(单位:元)表示成日产量x 的函数;(２)当日产量x 为何值时,该电子公司每天所获利润最大,最大利润是多少?(利润＋总成本＝总收入)２２．已知函数f (x )＝２x ２＋３x ＋ax,a ɪR ．(１)若函数g (x )＝f (x )－３,判断g (x )的奇偶性并加以证明;(２)当a ＝２时,先用定义法证明函数f (x )在[１,＋ɕ)上单调递增,再求函数f (x )在(０,＋ɕ)上的最小值;(３)若对任意x ɪ[１,＋ɕ),f (x )＞０恒成立,求实数a 的取值范围．２３．设函数h (x )＝x ２＋１,g (x )＝a x －b (a ,b ɪR ),令函数f (x )＝h (x )－g (x )．(１)若函数y ＝f (x )为偶函数,求实数a 的值;(２)若a ＝１,求函数y ＝f (x )在区间[０,３]上的最大值．2022-2023学年第一学期期中考试高一数学参考答案1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A 9．A 10．BC 11．AD 12．AC 13．BC 14．BCD15．{}11>−≤x x x 或 16． 110 17．1,2 18．1419．答案：(1)),3()2,(+∞⋃−−∞ (2)01≤≤−m解析：（1）因为命题p ⌝是真命题，所以命题p 是假命题.............................2 所以方程062222=−−+−a a ax x 无实根有02444)62(4)2(222<++−=−−−−=∆a a a a a (4)062>−−⇒a a 解得),3()2,(+∞⋃−−∞，所以实数a 的取值范围是),3()2,(+∞⋃−−∞ (6)（2）由（1）可知p ：32≤≤−a .............................8 因为p 是q 的必要不充分条件，所以1233m m −≥−⎧⎨+≤⎩， (11)则，解得01≤≤−m ，所以实数m 的取值范围是01≤≤−m ............12 20．答案：(1)31)(x x f =(2)（2，5）. 解析：（1）由题意得：根据幂函数的性质可知1332=−+m m ，..............2 即0432=−+m m ，解得4−=m 或1=m . (3)因为()f x 在()0,∞+上是减函数，所以10+<m ，即1m <−，则4−=m ...................5 故331)(x xx f ==−...................6 （2）由（1）可得4−=m ，设函数4411)(xx x g ==−，........................7 则()g x 的定义域为()0,+∞，且()g x 在定义域上为减函数 (9)因为4141)12()5(−−−>−a a ，所以50,210,521,a a a a −>⎧⎪−>⎨⎪−<−⎩ (11)解得25a <<.故a 的取值范围为（2，5） (12)21．答案：(1)2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧−+−≤≤⎪=⎨⎪−>⎩(2)当日产量为300个时，公司所获利润最大，最大利润是25000 解析：（1）由题意可得：当0400x ≤≤时，2211()400200001003002000022f x x x x x x =−−−=−+−； (2)当400x >时，()800002000010060000100f x x x =−−=−；..........................4 所以2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧−+−≤≤⎪=⎨⎪−>⎩.......................6 注意:分段函数写对一段给2分，全部写对可得6分。

2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

昆一中2020—2021学年度上学期期中考试高一数学一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知A ＝{-1，0，1}，B ＝{x|x 2＜1}，则A∩B 等于（） A ．{-1，0，1} B ．∅ C ．{0} D ．{0，1} 2．不等式x 2-3x ＋2≤0的解集是（）A ．{x|x ＞2或＜1}B ．{x|x≥2或x≤1}C ．{x|1≤x≤2}D ．D ．{x|1＜x ＜2} 3．下列各组集合中，满足E ＝F 的是（）A ．E =，F ＝{1.414}B ．E ＝{（2，1）}，F ＝{（1，2）}C ．E ＝{x|y ＝x 2}，F ＝{y|y ＝x 2}D ．E ＝{2，1}，F ＝{1，2} 4．设x ∈R ，则“x≤2”是“|x -1|≤1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．不等式111x ≥-的解集为（） A ．（-∞，1）∪[2，＋∞） B ．（-∞，0]∪（1，＋∞） C ．（1，2] D ．[2，＋∞） 6．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图示，那么水瓶的形状可以是下图中的（）A ．B ．C ．D ．7．已知A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，{|}2xB x =∈Z ，C ＝Z ，下列关系判断正确的是（）A ．C ＝A ∪B B ．C ＝A∩B C ．A ＝C ∪BD ．A ＝C∩B8．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c≤0的解集为[1，2]，则cx 2＋bx ＋a≤0的解集为（）A ．1[,1]2B ．[1，2]C ．[-2，-1]D ．1[1,]2--9．已知集合A ＝{x|a≤x ＜3），B ＝[1，＋∞），若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（） A ．[0，3） B ．[1，3） C ．[0，＋∞） D ．[1，＋∞）10．已知集合A ＝{x|x≥0}，集合B ＝{x|x ＞1}，则以下真命题的个数是（）①0x ∃∈A ，0x ∉B ；②0x ∃∈B ，0x ∉A ；③x ∀∈A ，x ∈B ；④x ∀∈B ，x ∈A ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．已知集合A ＝{1，a ，b}，B ＝{a 2，a ，ab}，若A ＝B ，则a 2021＋b 2020＝（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 12．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2 二、填空题：13．设命题p ：1x ∀≥，x 2-4x ＋3≥0，则命题p 的否定形式为：________． 14．若集合A ＝{0，1，2}，则集合A 的真子集个数为________．15．已知m ∈R ，x 1，x 2是方程x 2-2mx ＋m ＝0的两个不等实根，则12121x x x x ++的最小值为________．16．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”．（1）0∈A 且1∈A ；（2）若x ，y ∈A ，则x -y ∈A ；且当x≠0时，有1A x∈．给出以下命题：①集合P ＝{-2，-1，0，1，2}是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ；其中真命题的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．设集合A ＝{x|x 2＋2x -3＜0}，集合B ＝{x||x ＋a|＜1}．（1）若a ＝3，求A ∪B ；（2）设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．已知正数a ，b 满足a ＋3b ＝4．（1）求ab 的最大值，且写出取得最大值时a ，b 的值；（2）求13a b+的最小值，且写出取得最小值时a ，b 的值． 19．关于x 的不等式ax 2-（a ＋2）x ＋2＜0．（1）当a ＝-1时，求不等式的解集；（2）当a ＞0时，求不等式的解集．20．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t p t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是Q ＝-t ＋40（0＜t≤30，t ∈N ），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天． 21．已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋2a -1的对称轴为x ＝-1．（1）设x 1，x 2为方程f （x ）＝0的两个实数根，且1232x x =，求f （x ）的表达式；（2）若f （x ）≥0对任意，x ∈[-3，0]恒成立，求实数a 的取值范围． 22．设函数()f x =，b ＞0的定义域为A ，值域为B ．（1）若a ＝-1，b ＝2，c ＝8，求A 和B ；（2）若A ＝B ，求满足条件的实数a 构成的集合．昆明第一中学2020-2021学年度上学期期中考试高一数学参考答案13．01x ∃≥，20430x x -+< 14．7 15． 16．③④⑤ 17．解：（1）解不等式x 2＋2x -3＜0，得-3＜x ＜1，即A ＝（-3，1）．当a ＝3时，由|x ＋3|＜1，解得-4＜x ＜-2，即集合 B ＝（-4，-2），所以A ∪B ＝（-4，1）．（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集．又集合A ＝（-3，1），B ＝（-a -1，-a ＋1），所以13,11a a --≥-⎧⎨-+<⎩或13,1 1.a a -->-⎧⎨-+≤⎩解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是0≤a≤2．18．解：（1）由基本不等式可知：43a a =+≥，43ab ≤，当且仅当a ＝3b ，即a ＝2，23b =时，ab 的取得最大值43．（2）13(3)131535()(1033)()444242a b b a b a a b a b a b a b ++=+=++=++≥+= 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝1时，13a b+的取得最小值4． 19．解（1）当a ＝-1时，此不等式为-x 2-x ＋2＜0，可化为x 2＋x -2＞0，化简得（x ＋2）（x -1）＞0，解得即{x|x ＜-2或x ＞1} （2）不等式ax 2-（a ＋2）x ＋2＜0，化为（ax -2）（x -1）＜0，当a ＞0时，不等式化为2()(1)0x x a --<，若21a<，即a ＞2，解不等式得21x a <<；若21a =，即a ＝2，解不等式得x ∈∅；若21a>，即0＜a ＜2，解不等式得21x a <<；综上所述：当0＜a ＜2时，不等式的解集为2{|1}x x a <<；当a ＝2时，不等式的解集为∅当a ＞2时，不等式的解集为2{|1}x x a<<． 20．解：设日销售金额为y （元），则y ＝p·Q ．∴2220800,025,,1404000,2530,.t t t t y t t t t ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N22(10)900,025,,(70)900,2530,.t t t t t t ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N 当0＜t ＜25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900（元）；当25≤t≤30，t ∈N ，t ＝25时，y max ＝1125（元）．由1125＞900，知y max ＝1125（元），且第25天，日销售额最大．21．解：（1）因为12b x a =-=-，所以b ＝2a ，由根与系数的关系可得122132a x x a -==，解得：a ＝2，则b ＝4，则f （x ）＝2x 2＋4x ＋3；（2）因为f （x ）＝ax 2＋2ax ＋2a -1的对称轴为x ＝-1，若a ＞0，y ＝f （x ）开口向上，则f （x ）在[-3，0]的最小值在x ＝-1处取得，则f （-1）＝a -1≥0，解得a≥1；若a ＜0，y ＝f （x ）开口向下，又因为|-3-（-1）|＞|0-（-1）|，则f （x ）在[-3，0]的最小值在x ＝-3处取得，则f （-3）＝5a -1≥0，解得15a ≥（舍）；综上所述，a ∈[1，＋∞）．22．解：（1）()f x 因为（x ＋2）（4-x ）≥0，所以A ＝[-2，4]，因为()f x 又0≤9-（x -1）2≤9，所以B ＝[0，3]；（2）当a ＝0时，()f x =[,)cA b-=+∞，B ＝[0，＋∞），又A ＝B ，故c ＝0满足题意；当a≠0时，设二次函数g （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的判别式为Δ，当Δ≥0时，设方程g （x ）＝0的两实数根为x 1，x 2（x 1≤x 2）假设a ＞0，当Δ≥0时，则A ＝{x|x≤x 1或x≥x 2}，B ＝[0，＋∞），则A≠B ，矛盾；当Δ＜0时，则A ＝R ，)B =∞，则A≠B ，矛盾；当a ＜0时，假设Δ＜0，则A =∅，B =∅，虽有A ＝B ，但不符合函数的定义，舍去；当Δ≥0，则A ＝{x|x 1≤x≤x 2}，B =，要使A ＝B ，则x 1＝0，且2x =即c ＝0，又g （x 2）＝0得2b x a -==2224b b a a-=，解得a ＝-4；综上，满足条件的实数a 构成的集合为{-4，0}．。

福建省厦门市第六中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

福建省厦门市第六中学2023-2024学年高一上学期期中考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．若函数(2)
+的定义域为（
y f x
=的定义域为1)
-B．5,7]
2,2]
-
二、多选题
9．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（）
A．当打车距离为8km时，乘客选择甲方案省钱
B．当打车距离为10km时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车3km以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
（2）根据题意，令0x >，则又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()224,04,0
x x x x x x x ì+£=í-+>î．（3）根据题意，[]2,4x Î，则。

广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

(x)
=
x
+1 的定义域为 R
，函数 g ( x)
=
x2 -1 x -1
的定义域为 (-¥,1) È (1,+¥) ，则两函
数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以 D 不正确. 故选：C. 4．D
【解析】由数轴知 c < b < a < 0 ，不妨取 c= -3,b =-2, a =-1检验选项得解.
三、填空题
13．用列举法表示
ìía î
Î
N
|
a
6 -1
Î
Nüý þ
=
．
14．“不等式
2kx2
+
kx
-
3 8
<
0
对一切实数
x
都成立”，则
k
的取值范围为
.
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
每户每月用水量不超过12m3 的部分超过12m3 但不超过
（1）写出 f (n) 关于 n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 10 万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 50 万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.
22．已知二次函数 f (x) 的最小值为 1，且 f (0) = f (2) = 3 .
18．（1）已知关于 x 的不等式 x2 - bx + c < 0 的解集为{x 1 < x < 3} ，求函数
f ( x) = x2 - bx + c 在区间[2, 4] 上的最小值和最大值；

2023-2024学年浙江省浙东北联盟高一上学期期中考试数学试题及答案

浙东北联盟（ZDB ）2023/2024学年第一学期期中考试高一数学试卷总分150分考试时间120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){11},{20}A x xB x x x =-<<=-<∣∣，则A B ⋃=（）A. ()1,1- B. ()1,2- C. ()0,1 D. ()0,22. 下列说法正确的是（）A. 若a b >，则ac bc > B. 若a b >，c d >，则ac bd >C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，c d >，则a c b d+>+3. 函数()12||f x x =的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知20x bx c -+<解集为()1,,(1)t t ->-，则b c +的值为（）A. 1- B. 2- C. 1D. 25. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=，[]2.12=.则[][]0.50.50.50.5-+-的值为（）A. 1B. 2C. 1- D. 2-6. 命题“[]2,3∀∈x ，20x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A 4a > B. 4a ≤ C. 9a > D. 9a ≥7. 已知()120,0x x y y +=>>，则4y x+的最小值为（）的.A. 3B.72C. 4D.928. 已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()f x f y xy f x y ++=+，当0x ≠时，总有()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（）A.18B.38C.58D.78二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 以下说法中正确的有（）A. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -=，则函数()f x 是偶函数B. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f ->，则函数()f x 在R 上不是增函数C. 不等式x x >的解集为(),0∞-D. 函数()1f x x =+与()211x g x x -=-是同一函数10. 若函数2=23y x x --定义域为[]0,t ，值域为[]4,3--，则实数t 的值可能为（）A.12B. 1C.32D. 211. 已知函数()f x 是一次函数，满足()()49f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（）A. ()23f x x =+B. ()29f x x =--C. ()22f x x =- D. ()24f x x =-+12. 已知函数()211,011,123,0x x f x x x x x ⎧-<≤⎪⎪=->⎨⎪---≤⎪⎩，若方程()()2[]10f x mf x ++=恰有6个不相等的实数根，则实数m 的值可能是（）A.53B.73C.103D.113三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设P =，Q =，那么P 、Q 的大小关系是__________.的14. 已知R a ∈，函数()24,23,2x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩，且()3f f=，则=a ______．15. 定义在()4,4-上的奇函数()f x 在[)0,4上是减函数，若()()()2320f m f m f +-->，则实数m 的取值范围为__________.16. 关于x 的不等式组()22815022330x x x k x k ⎧-+>⎪⎨-++<⎪⎩的整数解的集合为{}2，则实数k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 设集合{}{}R11,R16A x x B x m x m =∈-≤=∈-≤≤+∣∣.（1）若B =∅，求实数m 的取值范围；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.18. 已知幂函数()()215m f x m m x-=--的图像关于y 轴对称.（1）求实数m 值；（2）设函数()g x =，求()g x 的定义域和单调递增区间.19. 已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()41f x x x=++（1）求函数()f x 在(),0∞-上的解析式；（2）求证：函数()f x 在()0,2上单调递减.20. 2023年六月，嘉兴市第十届运动会胜利召开，前期需要改造翻新某体育场的所有座椅.要求座椅的使用年限为16年，已知每千套座椅成本是8万元.按照采购合同约定，座椅供应商还负责座椅使用过程中的管理与维修，并收取管理费和维修费.按照促销的原则，每年的管理费用y 万元与总座椅数x 千套按照关系式()644725y x x =≤≤+收取.而16年的总维修费用为80万元，记w 为16年的总费用.（总费用=成本费用+使用管理费用+总维修费用）.（1）求总费用w 关于总座椅数x 的函数关系式；（2）当设置多少套座椅时，这16年的总费用w 最小，并求出最小值.21 已知函数()a f x x x=-，()()21,,0g x x bx a b a =++∈≠R .（1）若集合()514x f x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭为单元素集，求实数a 的值；的.（2）在（1）的条件下，对任意的[]12,5x ∈，总存在[]22,5x ∈，使()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.22. 已知函数()f x x x a =-，其中0a >.（1）当2a =时，画出函数()f x 在[]1,3-上的图象；（2）若函数()f x 在[]0,2上的最大值为32，求实数a 的值.浙东北联盟（ZDB ）2023/2024学年第一学期期中考试高一数学试卷总分150分考试时间120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){11},{20}A x xB x x x =-<<=-<∣∣，则A B ⋃=（）A. ()1,1- B. ()1,2- C. ()0,1 D. ()0,2【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再求两集合的并集.【详解】由(2)0x x -<，得02x <<，所以{}02B x x =<<，因{11}A xx =-<<∣，所以}2A B x ⋃=<<，故选：B2. 下列说法正确的是（）A. 若a b >，则ac bc > B. 若a b >，c d >，则ac bd >C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，c d >，则a c b d+>+【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，若0c <且a b >，则ac bc <，该选项错误；对于B 选项，取2a =，1b =-，1c =-，2d =-，则a b >，c d >均满足，但ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，取1a =，2b =-，则a b >满足，但22a b <，C 选项错误；对于D 选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.3. 函数()12||f x x =的图象大致为（）为A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断出()12f x x =的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案.【详解】()12f x x =的定义域为R ，又()()1122f x f x x x =-=-=，故()12f x x =为偶函数，当0x >时，()12f x x =，结合幂函数的图象可知，C 正确.故选：C4. 已知20x bx c -+<的解集为()1,,(1)t t ->-，则b c +的值为（）A. 1- B. 2- C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题意可得方程20x bx c -+=的两个根分别为1-和t ，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果.【详解】因为20x bx c -+<解集为()1,,(1)t t ->-，所以方程20x bx c -+=的两个根分别为1-和t ，所以21Δ40t b t c b c -+=⎧⎪-=⎨⎪=->⎩，所以1b c +=-，故选：A5. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=，[]2.12=.则[][]0.50.50.50.5-+-的值为（）的A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】B 【解析】【详解】根据题中定义求出[]0.5-、[]0.5的值，即可求得[][]0.50.50.50.5-+-的值.【分析】因为0.510.5-=-+，则[]0.51-=-，[]0.50=，所以，[][]0.50.5120.50.50.5--+==--.故选：B.6. 命题“[]2,3∀∈x ，20x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A. 4a > B. 4a ≤ C. 9a > D. 9a ≥【答案】A 【解析】【详解】根据全称量词命题为真命题求出实数a 的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出合适的选项.【分析】若命题“[]2,3∀∈x ，20x a -≤”是真命题，则()max29a x≥=，因为{}9a a ≥ {}4a a >，{}{}94a a a a ≥⊄≤，{}9a a ≥ {}9a a >，故命题“[]2,3∀∈x ，20x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是4a >.故选：A.7. 已知()120,0x x y y +=>>，则4y x+的最小值为（）A. 3 B.72C. 4D.92【答案】D 【解析】【详解】将代数式112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与4y x +相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x+的最小值.【分析】因为0x >，0y >，且12x y+=，所以，41141419552222y x y xy x y x xy ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4120,0xy xy x y x y ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪>>⎪⎩时，即当4332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，故4y x +的最小值为92.故选：D.8. 已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()f x f y xy f x y ++=+，当0x ≠时，总有()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（）A.18B.38C.58D.78【答案】B 【解析】【分析】在等式()()()f x f y xy f x y ++=+中，分别令12x y ==、1x y ==可得出()2f 、12f ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式，再由()31f x x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得出()1282f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出关于()2f 、12f ⎛⎫⎪⎝⎭的方程组，即可解得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】在等式()()()f x f y xy f x y ++=+中，令12x y ==可得()112124f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令1x y ==可得()()1113221122142422f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当0x ≠时，总有()31f x x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()1282f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，11384222f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 以下说法中正确的有（）A. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -=，则函数()f x 是偶函数B. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f ->，则函数()f x 在R 上不是增函数C. 不等式x x >的解集为(),0∞-D. 函数()1f x x =+与()211x g x x -=-是同一函数【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，举例判断，对于B ，由函数单调性的定义判断，对于C ，通过解不等式判断，对于D ，根据两函数为相等函数的判断方法分析判断.【详解】对于A ，3,0(),0x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()111f f -==，而()f x 不是偶函数，所以A 错误，对于B ，因为在R 上的函数()f x 满足()()11f f ->，所以()f x 在R 上不是增函数，所以B 正确，对于C ，由x x >，得0x <，所以不等式x x >的解集为(),0∞-，所以C 正确，对于D ，因为()1f x x =+的定义域为R ，()211x g x x -=-的定义域为{}1x x ≠，所以()f x 与()g x 不是同一个函数，所以D 错误，故选：BC10. 若函数2=23y x x --的定义域为[]0,t ，值域为[]4,3--，则实数t 的值可能为（）A.12B. 1C.32D. 2【答案】BCD 【解析】【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【详解】由()222314y x x x =--=--，对称轴为1x =，当1x =时，函数取得最小值为4-，0x =或2时，函数值为3-，因为函数2=23y x x --的定义域为[]0,t ，值域为[]4,3--，所以12t ≤≤，实数t 的可能取值为1，32，2.故选：BCD.11. 已知函数()f x 是一次函数，满足()()49f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（）A. ()23f x x =+B. ()29f x x =--C. ()22f x x =-D. ()24f x x =-+【答案】AB 【解析】【分析】设()f x kx b =+，则由()()49ff x x =+，可得()49k kx b b x ++=+，然后列方程组可求出,k b ，从而可求得答案.【详解】由题意设()f x kx b =+，因为()()49ff x x =+，所以()()49kf x b k kx b b x +=++=+，即249k x kb b x ++=+，所以249k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--，故选：AB12. 已知函数()211,011,123,0x x f x x x x x ⎧-<≤⎪⎪=->⎨⎪---≤⎪⎩，若方程()()2[]10f x mf x ++=恰有6个不相等的实数根，则实数m 的值可能是（）A.53B.73C.103D.113【解析】【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则结合函数图象可得关于t 的方程210t mt ++=在[3,1)-上有两个不同实根，从而可求出m 的范围.【详解】()f x 的图象如图所示，令()t f x =，则()()2[]10f x mf x ++=可化为210t mt ++=，因为方程()()2[]10f x mf x ++=恰有6个不相等的实数根，所以由图可知关于t 的方程210t mt ++=在[3,1)-上有两个不同实根，令2()1g t t mt =++，则2Δ40(3)0(1)0312m g g m ⎧=->⎪-≥⎪⎪⎨>⎪⎪-<-<⎪⎩，即22931011026m m m m m ⎧-⎪-+≥⎪⎨++>⎪⎪-<<⎩或，解得1023m <≤，所以AD 不符合题意，BC 符合题意，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出()f x 的图象，结合图象求解，考查数学转化思想，属于较难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设P =，Q =，那么P 、Q 的大小关系是__________.【答案】P Q >##Q P<【详解】利用作差法可得出P 、Q 的大小关系.【分析】因为P =，Q =-，则0P Q -=-==>，故P Q >.故答案为：P Q >.14. 已知R a ∈，函数()24,23,2x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩，且()3f f=，则=a ______．【答案】1【解析】【分析】根据解析式直接计算即可得出.【详解】因为()24,23,2x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩，所以541f =-=，则()()123f f f a ==+=，解得1a =.故答案为：1.15. 定义在()4,4-上的奇函数()f x 在[)0,4上是减函数，若()()()2320f m f m f +-->，则实数m 的取值范围为__________.【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】分析可知，函数()f x 在()4,4-上为奇函数，将所求不等式变形为()()223f m f m >+，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【分析】因为定义在()4,4-上的奇函数()f x 在[)0,4上是减函数，则函数()f x 在(]4,0-上也为减函数，所以，函数()f x 在()4,4-上为减函数，由()()()23200f mf m f +-->=可得()()()22323f m f m f m >---=+，所以，2223444234m m m m ⎧<+⎪-<<⎨⎪-<--<⎩，解得112m -<<，因此，实数m 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.16. 关于x 的不等式组()22815022330x x x k x k ⎧-+>⎪⎨-++<⎪⎩的整数解的集合为{}2，则实数k 的取值范围为__________.【答案】{}26k k <≤【解析】【分析】分析可知2k >，求出两个不等式的解集，将这两个解集取交集，可知交集中只含唯一的整数2，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】解不等式28150x x -+>，可得3x <或5x >，由()222330x k x k -++<得()()230x x k --<，因为关于x 的不等式组()22815022330x x x k x k ⎧-+>⎪⎨-++<⎪⎩的整数解的集合为{}2，则()()22320k ⨯--<，可得2k >，所以，不等式()()230x x k --<的解集为32xx k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，关于x 的不等式组()22815022330x x x k x k ⎧-+>⎪⎨-++<⎪⎩的整数解的集合为{}2，所以，{3x x <或}352x x x k ⎧⎫>⋂<<⎨⎬⎩⎭中只含唯一的整数2，不含整数6，如下图所示：则26k <≤.故答案为：{}26k k <≤.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 设集合{}{}R11,R16A x x B x m x m =∈-≤=∈-≤≤+∣∣.（1）若B =∅，求实数m 的取值范围；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭, （2）[1,)+∞.【解析】【分析】（1）由题意可得16m m ->+，从而可求出实数m 的取值范围；（2）由A B A = ，得A B ⊆，求出集合A ，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案.【小问1详解】因为{}R16B x m x m =∈-≤≤+=∅∣，所以16m m ->+，解得52m <-，即实数m 的取值范围为52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,；【小问2详解】由11x -≤，得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤，因为A B A = ，所以A B ⊆，因为{}R16B x m x m =∈-≤≤+∣，所以1062m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得m 1≥，即实数m 的取值范围为[1,)+∞.18. 已知幂函数()()215m f x m m x-=--的图像关于y 轴对称.（1）求实数m 的值；（2）设函数()g x =，求()g x 的定义域和单调递增区间.【答案】（1）3m =（2）定义域为(][),01,-∞+∞ ，增区间为[)1,+∞.【解析】【分析】（1）由题知251m m --=，进而解方程并根据图像关于y 轴对称求解即可；（2）由（1）可得()g x =.【小问1详解】由题251m m --=，解得3m =或2-，又因为()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，则1m -为偶数，从而3m =；【小问2详解】由（1）得()2f x x =，()g x ∴=，由20x x -≥，解得0x ≤或1x ≥，所以函数()g x 的定义域为(][),01,-∞+∞ ，任取(][)12,,01,x x ∈-∞⋃+∞，且12x x <，()()12g x g x -===12x x <，120xx ∴-<0+>，所以当[)12,1,x x ∞∈+时，有1210x x +->，即()()12g x g x <成立，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，当(]12,,0x x ∈-∞时，有1210x x +-<，即()()12g x g x >成立，所以函数()g x 在(],0-∞上单调递减，故函数()g x 的增区间为[)1,+∞.19. 已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()41f x x x=++（1）求函数()f x 在(),0∞-上的解析式；（2）求证：函数()f x 在()0,2上单调递减.【答案】（1）4()1f x x x=+-（0x <）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数结合已知的解析式可求得结果；（2）根据函数单调性定义证明即可.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为当()0,x ∈+∞时，()41f x x x=++，所以()4411f x x x x x-=-++=--+-，因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以4()1f x x x -=--+，得4()1f x x x=+-（0x <）；【小问2详解】证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x <，则12121244()()11f x f x x x x x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭121244x x x x =-+-2112124()x x x x x x -=-+()1212124x x x x x x -=-⋅，因为()12,0,2x x ∈，且12x x <，所以120x x -<，1240x x -<，120x x >，所以()12121240x x x x x x --⋅>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递减.20. 2023年六月，嘉兴市第十届运动会胜利召开，前期需要改造翻新某体育场的所有座椅.要求座椅的使的用年限为16年，已知每千套座椅成本是8万元.按照采购合同约定，座椅供应商还负责座椅使用过程中的管理与维修，并收取管理费和维修费.按照促销的原则，每年的管理费用y 万元与总座椅数x 千套按照关系式()644725y x x =≤≤+收取.而16年的总维修费用为80万元，记w 为16年的总费用.（总费用=成本费用+使用管理费用+总维修费用）.（1）求总费用w 关于总座椅数x 的函数关系式；（2）当设置多少套座椅时，这16年的总费用w 最小，并求出最小值.【答案】（1）()64168804725w x x x ⨯=++≤≤+（2）当设置5.5千套桌椅时，这16年的总费用w 最小，且最小值为188万元【解析】【分析】（1）求出建造成本费以及使用管理费，结合题意可得出总费用w 关于总座椅数x 的函数关系式；（2）利用基本不等式可求得w 的最小值，利用等号成立的条件求出x 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：由题意可得，建造成本费用为()847x x ≤≤万元，使用管理费用为()64164725x x ⨯≤≤+万元，所以，()64168804725w x x x ⨯=++≤≤+.【小问2详解】解：因为47x ≤≤，则132519x ≤+≤，()6416641688042560602525w x x x x ⨯⨯=++=+++≥++12860188=+=万元，当且仅当()()64164254725x x x ⨯+=≤≤+时，即当 5.5x =时，等号成立，因此，当设置5.5千套桌椅时，这16年的总费用w 最小，且最小值为188万元.21. 已知函数()a f x x x=-，()()21,,0g x x bx a b a =++∈≠R .（1）若集合()514x f x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭为单元素集，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，对任意的[]12,5x ∈，总存在[]22,5x ∈，使()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）分析可知，关于x 的方程2440x x a -+=有两个相等的实根，可得出Δ0=，即可解得实数a 的值；（2）分析可知，存在[]2,5x ∈，使得()()min g x f x ≤，求出函数()f x 在[]2,5上的最小值，结合参变量分离法可得出max12b x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭，然后利用单调性求出函数()12h x x x =-在[]2,5上的最大值，即可得出实数b 的取值范围.【小问1详解】解：由题意可知，集合()514x f x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭为单元素集，且0a ≠，由514a x x x -=-，其中0x ≠，整理可得2440x x a -+=，所以，关于x 的方程2440x x a -+=有两个相等的实根，所以，16160a ∆=-=，解得1a =，合乎题意，故1a =.【小问2详解】解：当1a =时，()1f x x x=-，因为函数y x =、1y x=-在[]2,5上均为增函数，所以，函数()f x 在[]2,5上为增函数，当[]2,5x ∈时，()()min 322f x f ==，对任意[]12,5x ∈，总存在[]22,5x ∈，使()()12f x g x ≥成立，则存在[]2,5x ∈，使得()()min 32g x f x ≤=，则2312x bx ++≤，可得12b x x≤-，所以，max12b x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，令()12h x x x=-，其中[]2,5x ∈，因为函数12y x =、y x =-在[]2,5上均为减函数，故函数()12h x x x=-在[]2,5上为减函数，当[]2,5x ∈时，()()max 172244h x h ==-=-，故74b ≤-，的因此，实数b 的取值范围是7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.22. 已知函数()f x x x a =-，其中0a >.（1）当2a =时，画出函数()f x 在[]1,3-上的图象；（2）若函数()f x 在[]0,2上的最大值为32，求实数a 的值.【答案】（1）见解析；（2）a =或54a =.【解析】【分析】（1）先化简函数解析式，然后画出函数图象；（2）先化简函数解析式，然后分22a >，22aa ≤≤和02a <<三种情况讨论即可.【小问1详解】当2a =时，()222,2322,12x x x f x x x x x x ⎧-≤≤=-=⎨-+-≤<⎩，函数()f x 在[]1,3-上的图象如图所示小问2详解】【()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则()f x 在(,)2a-∞和(,)a +∞上单调递增，在(,)2a a 上单调递减，①当22a≥，即4a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递增，所以max 3()(2)242f x f a ==-=，解得114a =，不合题意，舍去，②当22aa <≤，即24a ≤<时，()f x 在[0,2a 上递增，在(,2]2a 上递减，所以222max3()()24242a a a a f x f ==-+==，解得a =，③当02a <<时，()f x 在[0,)2a和(,2]a 上单调递增，在(,)2a a 上单调递减，所以2max()max ,(2)max ,4224a a f x ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，所以当2202424342a aa a ⎧⎪<<⎪⎪≥-⎨⎪⎪=⎪⎩时，得a ∈∅，或当2024243422a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-=⎪⎩时，解得54a =，综上，a =或54a =.【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数的图象和性质，考查二次函数最值的求法，第（2）问解题的关键是根据题意结合二次函数的性质求函数的最大值，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题.。

山东省济南市第一中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题含解析

山东省济南市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2,3M =-，{}|13N x x =-≤<，则M N =（）A. {0,1,2}B. {1,0,1}-C. MD.{1,0,1,2}-【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义写出M N ⋂即可．【详解】集合{}1,0,1,2,3M =-，{}|13N x x =-≤<，则{}1,0,1,2M N ⋂=-．故选：D .2. 已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（） A. ()1f x =，0()g x x = B. ()1f x x ，21()1x g x x -=+C. ()f x x =，()g x =D. ()||f x x =，2()g x =【答案】C 【解析】【分析】根据对应关系和定义域均相同则是同一函数，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，0()1()g x x f x ===，但()g x 的定义域是{}0x x ≠，()f x 定义域是R ，不是同一函数；选项B 中，21()()11x g x x x f x -=+=-=，但()g x 的定义域是{}1x x ≠-，()f x 定义域是R ，对应关系相同，定义域不同，不是同一函数；选项C 中，()f x x =，定义域R ，()g x x ==，定义域为R ，对应关系相同，定义域相同，是同一函数；选项D 中，()||f x x =，定义域R ，与2()g x =，定义域[0,)+∞，对应关系不相同，定义域不相同，不是同一函数. 故选：C.4. 设053a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.a cb >>【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<， ∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<， ∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<， ∴33log 0.5log 10<=，即0c < ∴a b c >>，故选：A ．【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题 5. 已知函数 ()()2231m m f x m m x+-=-- 是幂函数，且 ()0x ∈+∞，时，()f x 单调递减，则 m 的值为（） A. 1 B. -1 C. 2或-1 D. 2【答案】B 【解析】分析】由题意可得211m m --=，且230m m +-<，解出即可．【详解】解：∵()()2231m m f x m m x+-=-- 是幂函数，∴211m m --=，即()()210m m -+=， ∴2m =，或1m =-，又当()0x ∈+∞，时，()f x 单调递减， ∴230m m +-<，当2m =时，2330m m +-=>，不合题意，舍去；当1m =-，2330m m +-=-<，符合题意， ∴1m =-，6. 已知1a >，函数1x y a -=与log ()a y x =-的图象可能是（）A B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域，1a >判断两个函数的单调性，即可求解. 【详解】1a >，函数1x y a -=在R 上是增函数，而函数log ()a y x =-定义域为(,0)-∞，且在定义域内是减函数，选项B 正确》故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、单调性，函数的图像，属于基础题.7. 已知函数22,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a的取值范围是（） A. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [1,)+∞D. []1,2【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则由每一段都是增函数且1x =左侧函数值不大于右侧的函数值求解.【详解】因为函数22,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，在(),-∞+∞上是增函数，所以1210122136a a a a a ≥⎧⎪->⎨⎪-+≤--+⎩，解得12a ≤≤，故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.8. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,[0,),x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且(2)0f =，则不等式 ()0x f x <的解集是（）A. (2,2)-B. (2,0)(2,)-+∞ C. (,2)(0,2)-∞-⋃D.(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意可知()f x 在[0,)+∞上是减函数，再根据对称性和(2)0f =得出()f x 在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案．【详解】解：∵()()21210f x f x x x -<-对任意的()1212,[0,),x x x x ∈+∞≠恒成立， ∴()f x 在[0,)+∞上是减函数，又(2)0f =，∴当2x >时，()0f x <，当02x ≤<时，()0f x >，又()f x 是偶函数，∴当2x <-时，()0f x <，当20x -<<时，()0f x >， ∴()0xf x <的解为(2,0)(2,)-+∞．故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列不等式成立的是（） A. 若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2B. 若ab ＝4，则a ＋b ≥4C. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D. 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b b m a a m+<+ 【答案】AD 【解析】【分析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.【详解】解：对于A ，若0a b <<，根据不等式的性质则22a b >，故A 正确；对于B ，当2a =-，2b =-时，44a b +=-<，显然B 错误；对于C ，当0c时，22ac bc =，故C 错误；对于D ，()()()()()b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==+++，因为0a b >>，0m >，所以0b a -<，0a m +>，所以()()-<+b a m a a m所以0+-<+b b ma a m ，即b b m a a m+<+成立，故D 正确．故选AD ．【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题. 10. 下列叙述正确的是（）A. 已知函数22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则f (6)=8 B. 命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤” C. 已知正实数a ，b 满足4a b +=，则1113a b +++的最小值为12D. 已知250x ax b -+>的解集为{}|41x x x ><或，则a+b=5【答案】ACD 【解析】【分析】直接由分段函数表达式代入求解即可判断A ，由全称命题的否定为特称命题可判断B ，由基本不等式结合138a b +++=，巧用“1”即可求最值，根据一元二次不等式解与系数的关系可判断C. 【详解】对于A，22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，所以(6)2(2)4(2)4(20)8f f f ==-=-=，正确；对于B ，命题“对任意的1x >，有21x >”为全称命题，否定为特称命题，即“存在1x >，有21x ≤”，不正确；对于C ，由4a b +=，可得138a b +++=，所以11111()(13)13813a b a b a b +=++++++++13111(11)(281382b a a b ++=+++≥+=++，当且仅当3113b a a b ++=++，即3,1a b ==时，1113a b +++取得最小值12，正确.对于D ，250x ax b -+>的解集为{}|41x x x ><或，所以250x ax b -+=的两个根式1和4，所以1451144a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨⨯==⎩⎩，所以5a b +=，正确.故选：ACD. 11. 关于函数()1x f x x，下列结论正确的是（）A. ()f x 的图象过原点B. ()f x 是奇函数C. ()f x 在区间(1，＋∞)上单调递增D. ()f x 是定义域上的增函数【答案】AC 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义、单调性定义以及计算函数值进行判断选择.【详解】()(0)01x f x f x,所以A 正确，101x x ，因此()1x f x x不是奇函数，B 错误，1()111xf x xx ()f x 在区间(1，＋∞)和(,1)-∞上单调递增，所以C 正确，D 错误，故选：AC【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，关于函数D()x 有以下四个命题，其中真命题是（）A. ,D(D())1x R x ∀∈=B. ,,D()D()D()x y R x y x y ∃∈+=+C. 函数D()x 是偶函数D. 函数D()x 是奇函数【答案】ABC 【解析】【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、C 、D ，举特例根据x =和x =判断B 即可得到答案.【详解】对于A 中，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以A 是真命题；当x=y =x y +=则D()0,D()D()000x y x y +=+=+=，满足D()D()D()x y x y +=+，所以B 正确；对于C ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==．当x无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==．故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，所以C 是真命题；对于D 中，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=，所以D()x 不是奇函数，D 不正确. 所以D 是假命题；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若)12fx x x =-()f x 的解析式为________.【答案】()()2431f x x x x =-+≥ 【解析】【分析】换元法令1t x =即可求出函数解析式；或者配凑法求解析式．【详解】解：（换元法）令1t x =，则1t ≥，1x t =-，()21x t =-， ∵)12fx x x =-∴()()()2212143f t t t t t =---=-+，（配凑法）∵)12fx x x =-)2141x x =-))21413x x =-+，11x ≥，∴()()2431f x x x x =-+≥，故答案为：()()2431f x x x x =-+≥．【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，常用方法有：（1）换元法或配凑法：已知()()f g x 求()f x ，一般采用换元法或配凑法，令()t x g =，代入求出()f t ，或者将()()f g x 中配凑成关于()g x 的式子，由此可求得()f x ；（2）待定系数法：已知函数类型常用待定系数法；（3）方程组法：已知()f x 、1f x ⎛⎫⎪⎝⎭满足的关系式或()f x 、()f x -满足的关系式常用方程组法，将条件中的x -或1x替换成x 得另一方程，再解方程组即可求得答案． 14. 已知函数22x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点(),m n ，则m n +=________________. 【答案】5 【解析】【分析】当20x -=时，函数值域与a 没有关系，由此求得恒过的定点(),m n ，并求得表达式的值. 【详解】当20x -=，即2x =时，函数值域与a 没有关系，此时3y =，故函数过定点()2,3，即2m =，3n =，所以235m n +=+=.【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为0的时候，01a =，由此求得恒过的定点，属于基础题.15. 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是 _ _ . 【答案】(]2,2- 【解析】【详解】当20a -=，2a =时不等式即为40-< ，对一切x ∈R 恒成立 ①当2a ≠时，则须()()220{421620a a a -<-+-<＝，∴22a -<<② 由①②得实数a 的取值范围是(]2,2-，故答案为(]2,2-.16. 定义区间[1x ,2x ]的长度为2x -1x ,若函数y =|log 2x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,3]到,则区间[a ,b ]的长度最大值为______ 【答案】638【解析】【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a ，]b 的长度的最大值．【详解】因为函数2|log |y x =的定义域为[a ，]b ，值域为[0，3]，23log 3x ∴-，解得188x ，故函数的定义域为1[8，8]，此时，函数的定义域的区间长度为163888-=，故答案为638．【点睛】本题主要考查新定义的理解及应用，考查对数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算：（110421()0.25(22-+⨯；（2）7log 2334log lg25lg47log 8log +-+⋅【答案】（1）7-；（2）2.【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算及根式求解即可（2）利用对数运算求解【详解】（1）原式4181(72=--+⨯=-；（2）原式32332131log 3lg1002(3log 2)(log 3)222622=+-+⋅=+-+=. 【点睛】本题考查指数幂及对数运算，是基础题 18. 已知集合{}{}22|560|60A x x x B x x ax =-+==++=，. 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】{|5a a =-或a -<<．【解析】【分析】由题意，求得{}23A =，，再根据B A ⊆，结合韦达定理分B ≠∅和B =∅两种情况讨论即可求出答案．【详解】解：∵{}2|560A x x x =-+=， ∴{}23A =，， ∵{}2|60B x x ax =++=，B 为方程260x ax ++=的解集， ①若B ≠∅，由B A ⊆ ，∴{}2B =，或{}3B =，或{}23B =，，当{}2B =时，方程260x ax ++=有两个相等实根，即122x x ==，1246x x =≠，∴ 不合题意，同理{}3B ≠，同理当{}23B =，时， 5a =-，符合题意； ②若B =∅，则2460a ∆=-⨯<，∴a -<<综上所述，实数a 的取值范围为{|5a a =-或a -<．【点睛】易错点睛：本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围，解题时容易忽略子集可能为空集的情况，属于基础题．19. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，（1）求()f x 的解析式；（2）求不等式()f x x >的解集.【答案】（1）224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（2）(5,0)(5,)-⋃+∞.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的解析式分类讨论进行求解即可.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =.又当0x <时，0x ->，∴22()(4)4()f x x x x x ---=+-=.又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2()4(0)f x x x x =--<，∴224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩.（2）当0x >时，由()f x x >得24x x x ->，解得5x >；当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得5x 0-<<.综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为(5,0)(5,)-⋃+∞.【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.20. 已知lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．【答案】（1）1 （2）2【解析】解：由lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)得0{031x y xy x y >>=++(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x ＋y1，∴3xy－即2－当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y ＋1＝3xy≤3·(2x y +)2， ∴3(x＋y)2－4(x ＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x＋y 的最小值为2.21. 已知二次函数()225f x x ax =-+，其中1a >．（Ⅰ）若函数()f x 的定义域和值域均为[]1,a ，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(],2-∞上单调递减，且对任意的1x ，[]21,1x a ∈+，总有()()123f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）2,1a ⎡∈⎣.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()f x 的单调性，求出函数的最值，得到关于a 的方程，解出即可；（Ⅱ）根据()f x 在区间(],2-∞上是减函数，得出a 的一个取值范围；再对任意的1x ，[]21,1x a ∈+，()()()()12max 13f x f x f a f -=-≤，又可求出a 的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．【详解】（Ⅰ）()225f x x ax =-+，开口向上，对称轴是1x a => ∴()f x []1,a 递减，则()1f a =，即22251a a -+=，故2a =；（Ⅱ）因为()f x 在区间(],2-∞上是减函数，所以2a ≥．因此任意的1x ，[]21,1x a ∈+，总有()()123f x f x -≤，只需()()13f a f -≤即可解得：11a ≤，又2a ≥因此2,1a ⎡∈+⎣．【点睛】本题主要考查了已知二次函数单调区间求参数的范围以及根据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.22. 已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+. （1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若2()55f x m mt ≤--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）(,6][6,)-∞-+∞．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f （x ）在[﹣1，1]上是的增函数；（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式max ()f x ≤m 2﹣5mt -5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）函数()f x 在[－1，1]上是增函数.设1211x x∵()f x 是定义在[－1，1]上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+-.又1211x x ，∴21()0x x +->，由题设2121()()0()f x f x x x +->+-有21()()0f x f x +->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知max ()(1)1f x f ==，∴2()55f x m mt ≤--对任意[1,1]x ∈-恒成立，只需2155m mt ≤--对[1,1]t ∈-]恒成立，即2560m mt --≥对[1,1]t ∈-恒成立，设2()56g t m mt =--，则(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩22560560m m m m ⎧+-≥⇔⎨--≥⎩6,11,6m m m m ≤-≥⎧⇔⎨≤-≥⎩，解得6m ≤-或6m ≥，-∞-+∞．∴m的取值范围是(,6][6,)【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。

陕西2023-2024学年高一上学期期中考试数学含解析

陕西2023—2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试题（答案在最后）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{}2,N A x x x =≤∈，则集合A 的非空真子集个数为（）A.2B.3C.6D.72.命题“1x ∀>，210x -≤”的否定是（）A.1x ∃>，210x ->B.1x ∃≥，210x ->C.1x ∃≥，210x -< D.1x ∃<，210x -≥3.“2x >”的一个充分不必要条件是（）A.22x -<< B.42x -<≤ C.2x >- D.2x >4.已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为{}14x x <<，250ax x c -+≥的解集为（）A.{}14x x ≤≤B.{}41x x x ≤-≥-或C.{}41x x -≤≤- D.{}14x x x ≤≥或5.记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，则太阳的质量2324πR M GT =（单位： k g ）.由32lg 28.7R GT≈，lg 20.3≈，lg π0.5≈，计算得太阳的质量约为（）A.292g10k ⨯ B.30210kg⨯ C.29310kg⨯ D.30310kg⨯6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m ，n ，x ，y 均为大于零的实数，则()222m n m n x y x y++≥+，当且仅当m n x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数()2210144f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A.4B.8C.16D.187.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b>> D.b c a>>8.已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（）A.()1,-+∞ B.()1,+∞ C.(),1-∞- D.(),1-∞二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得-分有选错的得0分．）9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.()U B A C ⋂⋃ðB.()()U A B B C ðC.()U A C B ð D.()()UUA B C B痧10.下列命题为真命题的是()A.若22ac bc >，则a b> B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b<11.已知112212(,),(,)()A x y B x y x x <是幂函数12()f x x =图像上的任意两点，则以下结论正确的是（）A .1122()()x f x x f x < B.121212()()(),0f x f x x x x x ≠<C.2121()()0f x f x x x ->- D.1221()()()22x x f x f x f ++>12.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x =-，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，若对任意(],x t ∈-∞，都有()3f x ≤，则实数t 的取值可以是（）A.4B.92C.112D.6三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）13.已知)13fx +=+，则()5f 的值为_____________．14.已知实数a ，b 满足()()lg 3lg lg 2a b a b +=+，则2+a b 的最小值为_____________．15.“函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数”．该结论可以推广为：“函数()y f x =的图象关于(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数”．则函数()3231f x x x =-+的对称中心为______________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()221,0245,21x x x f x x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨->⎪+⎩，如果关于x 的方程()()210m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦恰有7个不同的实数根，那么m n +的值等于______________．四、解答题（本题共5小题，共56分．第17-18题每题满分10分，19-21题每题满分12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合{}2812A x x x =-+>，{}12B x t x t =+<<．（1）当2t =时，求A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数t 的取值范围．18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =--．（1）求函数()()f x x ∈R 的解析式；（2）作出函数()()f x x ∈R 的图象，并根据图象写出函数()f x的单调增区间和减区间．19.2023年，8月29日，华为Mate60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产(x 千部)手机，需另投入成本()R x 万元，且()21010005010000701945050x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，，由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()(w x 万元)关于年产量(x 千部)的表达式;（2）2020年年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大最大利润是多少?20.设函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，()11f -=．（1）判断函数()f x 的奇偶性和单调性，并加以证明；（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()g x f x =-的值城．21.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足()()12xf xg x --=.（1）求()f x 、()g x ；（2）若方程()()229mf x g x m =++⎡⎤⎣⎦有解，求实数m 的取值范围；（3）若()()()112h x f x g x =+-⎡⎤⎣⎦，且方程()()21202h x k h x k ⎛⎫-++=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有三个解，求实数k 的取值范围.陕西2023—2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{}2,N A x x x =≤∈，则集合A 的非空真子集个数为（）A .2B.3C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】用集合的性质计算即可.【详解】因为集合{}2,N A x x x =≤∈，所以{}0,1,2A =所以集合A 的子集个数为328=个，去掉它本身和空集，还剩6个，故选：C2.命题“1x ∀>，210x -≤”的否定是（）A.1x ∃>，210x ->B.1x ∃≥，210x ->C.1x ∃≥，210x -<D.1x ∃<，210x -≥【答案】A 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求解.【详解】命题“1x ∀>，210x -≤”的否定是1x ∃>，210x ->,故选:A.3.“2x >”的一个充分不必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤ C.2x >- D.2x >【答案】D 【解析】【分析】结合绝对值不等式的解法，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】由||2x >解得<2x -或2x >，对于A ，由22x -<<得不到2x >，由2x >得不到22x -<<，所以22x -<<是2x >的既不充分也不必要条件，不合题意；对于B ，由42x -<≤得不到2x >，由2x >得不到42x -<≤，所以42x -<≤是2x >的既不充分也不必要条件，不合题意；对于C ，由2x >-得不到2x >，由2x >得不到2x >-，所以2x >-是2x >的既不充分也不必要条件，不合题意；对于D ，当2x >成立时，一定有||2x >，但是||2x >成立时，不一定有2x >成立，所以2x >是2x >的一个充分不必要条件.故选：D.4.已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为{}14x x <<，250ax x c -+≥的解集为（）A.{}14x x ≤≤B.{}41x x x ≤-≥-或C.{}41x x -≤≤- D.{}14x x x ≤≥或【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的解集可知a<0且250ax x c ++=的两根为1，4，然后利用根与系数的关系求出a 与c 的值，代入不等式250ax x c -+≥，解之即可【详解】依题意a<0且250ax x c ++=的两根为1，4由韦达定理知51414ac a⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，∴14a c =-⎧⎨=-⎩，代入250ax x c -+≥得2540x x ---≥，即()()140x x ++≤，∴41x --≤≤，从而所求不等式的解集为{}41x x -≤≤-，故选：C.5.记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，则太阳的质量2324πR M GT =（单位： k g ）.由32lg 28.7R GT≈，lg 20.3≈，lg π0.5≈，计算得太阳的质量约为（）A.292g 10k ⨯B.30210kg⨯ C.29310kg⨯ D.30310kg⨯【答案】B 【解析】【分析】先由题意在2324πR M GT =中两边取对数并代入数据得32lg lg 2lg π2lg 230lg 2R M GT=++≈+，然后化为指数形式即可求解.【详解】由题意在2324πR M GT =中两边取对数得，33222lg lg lg 4πlg 2lg π2lg 2R R M GT GT =+++=，因为32lg 28.7R GT≈，lg 20.3≈，lg π0.5≈，所以32lg lg 2lg π2lg 228.720.50.3lg 230lg 2R M GT ++≈+⨯++=+=，所以lg 30lg2lg2303010101010210M M +===⨯=⨯，综上所述：计算得太阳的质量约为30210kg ⨯.故选：B.6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m ，n ，x ，y 均为大于零的实数，则()222m n m n x y x y++≥+，当且仅当m n x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数()2210144f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A.4B.8C.16D.18【答案】D 【解析】【分析】利用权方和不等式求解.【详解】()((222221814414414f x x x xxx x+=+=+≥=--+-，当且仅当414x x=-，即16x =时取得等号，所以函数()f x 的最小值为18，故选:D.7.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b>> D.b c a>>【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.【详解】因为定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，所以2752b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-，所以函数()f x 在()3,+∞单调递增，则在(),3-∞单调递减，因为22221325(4)1()024x x x x x x -+-+=-+=-+>，所以22725432x x x -+>+>>，所以()()2272542f x x f x f ⎛⎫-+>+> ⎪⎝⎭，即a c b >>，故选:C ,8.已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（）A.()1,-+∞ B.()1,+∞ C.(),1-∞- D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意构造函数()()1g x f x x =-=+，首先得出()g x 的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解.【详解】令()()1g x f x x =-=+，因为()g x 的定义域为R 关于原点对称，且()()()g x x x g x -=-=-=-，所以()g x 是R 上的奇函数，注意到幂函数y y x ==都是R 上的增函数，所以()g x 是R 上的增函数，而()()()()()()()1221121122f m f m f m f m g m g m g m -+>⇔-->--⇔->-=-⎡⎤⎣⎦，所以12m m ->-，解得1m >-，综上所述，m 的取值范围是()1,-+∞.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得-分有选错的得0分．）9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.()U B A C ⋂⋃ðB.()()U A B B C ðC.()U A C B ðD.()()UUA B C B痧【答案】AD 【解析】【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。

福建省福州第三中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

福建省福州第三中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．若函数()y f x =的图象为如图所示的曲线m 和线段n ，曲线m 与直线l 无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为[3,1][0,2]--UB ．()f x 的值域为[)1,+¥C ．在()f x 的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应(1)在同一坐标系中画出函数()(),f x g x 的图象；(2)x "ÎR ，用()m x 表示()(),f x g x 中的最小者，记作()()(){}min ,m x f x g x =，分别用图象法和解析法表示函数()m x ，并写出()m x 的单调区间.六、问答题19．设()223,f x mx mx m =--ÎR .(1)若“(),0x f x "Î<R ”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的一元二次不等式()2110mx m x +--<.八、应用题21．某厂家为满足市场需求，拟加大某产品的生产力度.已知该厂家生产该种产品的年由图象可知：()m x 的单调递增区间为(),0¥-和()1,2；单调递减区间为()0,1和()2,+¥.19．(1)(]3,0-(2)答案见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解；（2）利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解.【详解】（1）由题可得，“2,230x mx mx "Î--<R ”是真命题，若0m =，则30-<恒成立，满足题意；若0m ¹，要使“2,230x mx mx "Î--<R ”是真命题，则必有20Δ4120m m m <ìí=+<î，解得30m -<<，综上实数m 的取值范围为(]3,0-.（2）因为()2110mx m x +--<是一元二次不等式，所以0m ¹，又由()2110mx m x +--<可得，(1)(1)0mx x +-<，。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. (−1,−23)C. ﹙−23，3﹚D. (3,+∞)2. 如果a <b <0，那么下列各式一定成立的是( )A. |a|<|b|B. a 2<b 2C. a 3<b 3D. 1a <1b3. 德国数学家秋利克在1837年时提出“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，“这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f(x)由如表给出，则f(f(2020))的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 20184. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. [2,6]B. [−6,−2]C. (2,6)D. (−6,−2)5. 设a =0.60.3，b =0.30.6，c =0.30.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a6. 若实数a ，b 满足1a +4b =√ab ，则ab 的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 已知函数f(x)={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，则数k 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (1,3)8. 已知函数f(x)=2+x2+|x|，x ∈R ，则不等式f(x 2−2x)<f(2x −3)的解集为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,32]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，最小值是2的是()A. y=a2−2a+2a−1(a>1) B. y=√x2+2+1√x2+2C. y=x2+1x2D. y=x2+2x10.下列四个结论中正确的是()A. 命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”B. 命题“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是真命题C. “a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件D. 当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减11.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入−支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法中正确的是()A. 图2的建议是：减少支出，提高票价B. 图2的建议是：减少支出，票价不变C. 图3的建议是：减少支出，提高票价D. 图3的建议是：支出不变，提高票价12.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A. ∃x∈R，x≥[x]+1B. ∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]C. 函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)D. 若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t5]=3…，[t n]=n−2同时成立，则正整数n的最大值是5三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=a x−2−4(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为．14.若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4，则a的值为．15.y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，则y=f(3−x2)的单调递减区间为．16.对于函数f(x)，若在定义域存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32.18.设函数y=√−x2+7x−12的定义域为集合A，不等式1x−2≥1的解集为集合B．(1)求集合A∩B；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的和为6．(1)求函数f(x)解析式；(2)求函数g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值．20.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x3．(1)求x<0时f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x+1)≥8f(x)．21.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1=4−at(0<a<43,a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：y2={√t,0<t<13−2t,1≤t≤3，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．(1)若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．22. 定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，ℎ(−2)=ℎ(0)=1，ℎ(−3)=−2． (1)求g(x)和ℎ(x)的解析式；(2)若对于x 1，x 2∈[−1,1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；(3)设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在(2)的条件下，讨论方程f[f(x)]=a +5的解的个数．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．先求出集合B和A，然后利用交集运算求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|(x+1)(x−3)>0}={x|x<−1或x>3}，}，又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x>−23}∩{x|x<−1或x>3}={x|x>3}，所以A∩B={x|x>−23故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据条件取特殊值a=−2，b=−1，即可排除ABD；由不等式的基本性质，即可判断C．【解答】解：由a<b<0，取a=−2，b=−1，则可排除ABD；由a<b<0，根据不等式的基本性质可知C成立．故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(2020)=2018，从而f(f(2020))=f(2018)，由此能求出结果．【解答】解：由题意知：f(2020)=2018，f(f(2020))=f(2018)=3．故选：C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查存在量词命题的真假，二次不等式恒成立，考查转化思想．先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”的否定为：“∀x∈R，都有x2+mx+2m−3≥0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则其否定为真命题，∴Δ=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2,6]．故选：A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，是基础题．利用幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，比较出a，c的大小，再利用指数函数y=0.3x 在R上单调递减，比较出b，c的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，且0.6>0.3，∴0.60.3>0.30.3，即a>c，∵指数函数y=0.3x在R上单调递减，且0.6>0.3，∴0.30.6<0.30.3，即b<c，∴b<c<a，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由已知得a，b>0，利用√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b即可得出ab≥4，验证等号成立的条件．【解答】解：实数a，b满足1a +4b=√ab，则a，b>0．∴√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b，可得ab≥4，当且仅当1a =4b，a=1，b=4时取等号．则ab的最小值为4．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．题目等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，即函数y =f(x)的图象与直线y =k 有三个交点，根据图象可知，k ∈(0,1)．故选：A ．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数的性质以及应用，注意将函数解析式写出分段函数的形式，属于中档题．根据题意，将函数的解析式写出分段函数的形式，据此作出函数的大致图象，据此可得原不等式等价于{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2+x2+|x|={−4x−2−1,x <01,x ≥0，其图象大致为：若f(x 2−2x)<f(2x −3)，则有{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得：1<x <2，即不等式的解集为(1,2)；故选：A．9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A：a−1>0，y=a2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B：y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C：y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D：当x<0时，无最小值，故D错误．故选：AC．10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，幂函数的性质等知识的应用，是基本知识的考查．利用命题的否定判断A；令n=2k和n=2k+1，k∈Z分析n2+1是不是4的倍数判断B；根据充要条件判断C；由幂函数的性质判断D即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”，满足命题的否定形式，所以A正确；令n=2k，k∈Z，则n2+1=4k2+1不是4的倍数，令n=2k+1，k∈Z，则n2+1=4k2+4k+2不是4的倍数，所以“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是假命题，所以B不正确；“a>5且b>−5”推出“a+b>0”成立，反之不成立，如a=5，b=−4，满足a+ b>0，但是不满足a>5且b>−5，所以“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件不成立，所以C不正确．当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，满足幂函数的性质，所以D正确；故选：AD．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的支出情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变；由图(3)看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，由新定义把问题转化不等关系是解题关键．由新定义得[x]≤x <[x]+1，可得函数f(x)=x −[x]值域判断C ；根据题意，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，判断D ．【解答】解：∀x ∈R ，x <[x]+1，故A 错误；由“取整函数”定义可得，∀x ，y ∈R ，[x]≤x ，[y]≤y ，由不等式的性质可得[x]+[y]≤x +y ，所以[x]+[y]≤[x +y]，B 正确；由定义得[x]≤x <[x]+1，所以0≤x −[x]<1，所以函数f(x)=x −[x]的值域是[0,1)，C 正确；若∃t ∈R ，使得[t 3]=1，[t 4]=2，[t 5]=3，…[t n ]=n −2同时成立，则1≤t <√23，√24≤t <√34，√35≤t <√45，√46≤t <√56，…√n −2n ≤t <√n −1n ，因为√46=√23，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，只有n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，故选：BCD ．13.【答案】(2,−3)【解析】【分析】本题主要考查指数函数的性质，利用a 0=1的性质是解决本题的关键．比较基础．根据指数函数的性质，令指数为0进行求解即可求出定点坐标．【解答】解：由x −2=0得x =2，此时f(2)=a 0−4=1−4=−3，即函数f(x)的图象过定点A(2,−3)，故答案为：(2,−3)14.【答案】38【解析】【分析】口向上和向下两种情况判定函数值在何时取最大值，并根据最大值为4，即可求出对应的实数a的值【解答】解：当a=0时，f(x)=1，不符合题意，舍去．当a≠0时，f(x)的对称轴方程为x=−1，(1)若a<0，则函数图象开口向下，函数在[1,2]递减，当x=1时，函数取得最大值4，即f(1)=a+2a+1=4，解得a=1(舍)．(2)若a>0，函数图象开口向上，函数在[1,2]递增，当x=2时，函数取得最大值4，即f(2)=4a+4a+1=4，解得a=3，8，综上可知，a=38．故答案为：3815.【答案】[0,+∞)【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求y=3−x2的单调递减区间，求出即可．【解答】解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，因为y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，要求y=f(3−x2)的单调递减区间，即求y=3−x2的单调递减区间，而函数y=3−x2在[0,+∞)单调递减，故y=f(3−x2)的单调递减区间是[0,+∞)，故答案为：[0,+∞)．16.【答案】[−2,+∞)【分析】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“局部奇函数”的定义，属于拔高题．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解．可设2x+2−x=t(t≥2)，从而得出需方程t2−mt−8=0在t≥2时有解，从而设g(t)=t2−mt−8，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f(−x)=−f(x)有解；即4−x−m⋅2−x−3=−(4x−m⋅2x−3)有解；变形可得4x+4−x−m(2x+2−x)−6=0，即(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解即可；设2x+2−x=t(t≥2)，则方程等价为t2−mt−8=0在t≥2时有解；设g(t)=t2−mt−8=0，必有g(2)=4−2m−8=−2m−4≤0，解可得：m≥−2，即m的取值范围为[−2,+∞)；故答案为：[−2,+∞)．17.【答案】解：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512=0.43×(−13)−1+24×34+0.52×12=2.5−1+8+0.5=10；(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32=lg5+lg2+3−log32−2(log23×log32)=1+12−2=−12．【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．(1)根据指数幂的运算性质计算即可；(2)根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意得：−x2+7x−12≥0，解得：3≤x≤4，故A=[3,4]，∵1x−2≥1，∴x−3x−2≤0，解得：2<x≤3，故B=(2,3]，(1)A∩B={3}；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，即[3,4]⫋(a，+∞)，故a<3，故a的取值范围是(−∞,3)．【解析】本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，考查了充分必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)分别求出集合A，B，求出A∩B即可；(2)根据集合的包含关系求出a的范围即可．19.【答案】解：(1)函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a+a2=6，即a2+a−6=0，解得a=2或a=−3(舍)，故a=2，∴f(x)=2x；(2)g(x)=f(2x)−8f(x)=22x−8⋅2x，令2x=t，则原函数化为ℎ(t)=t2−8t，t∈[2,2m]，其对称轴方程为t=4，当2m≤4，即1<m≤2时，函数最小值为(2m)2−8⋅2m=4m−8⋅2m；当2m>4，即m>2时，函数的最小值为42−8×4=−16．∴g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值为g(x)min={4m−8⋅2m,1<m≤2−16,m>2．【解析】本题考查指数函数的解析式、单调性与最值，二次函数的性质，是中档题．(1)根据指数函数的性质建立方程a+a2=6，即可求a的值，进一步得到函数解析式；(2)求出函数g(x)=f(2x)−8f(x)的解析式，换元后对m分类，利用二次函数的性质求最值．20.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)3=−x 3，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=−x 3，故x <0时f(x)的解析式为f(x)=−x 3； (2)根据题意，f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)，所以8f(x)=8f(|x|)=8×|x|3=(2|x|)3=f(2|x|)，又由当x ≥0时，f(x)=x 3，在[0,+∞)上为增函数；则f(x +1)≥8f(x)⇔f(|x +1|)≥f(|2x|)⇒|x +1|≥|2x|，变形可得：3x 2−2x −1≤0，解可得：−13≤x ≤1，即不等式的解集为[−13,1]．【解析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得f(−x)=(−x)3=−x 3，结合函数的奇偶性分析可得答案；(2)根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于|x +1|≥|2x|，解可得x 的取值范围，即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =1时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为：y =y 1+y 2={−t +√t +4,0<t <17−(t +2t),1≤t ≤3； ①当0<t <1时，y =−t +√t +4=−(√t −12)2+174，所以当t =14时，y max =174；②当1≤t ≤3时，∵t +2t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号，所以y max =7−2√2(当且仅当t =√2时取到)，因为174>7−2√2，故当t =14时，y max =174．(2)由题意y ={−at +√t +4(0<t <1)7−(at +2t )(1≤t ≤3) ① −at +√t +4≥4 ⇒ −at +√t ≥0 ⇒ a ≤√t ，又0<t <1，得出a ≤1；令u =1t ，则a ≤−2u 2+3u,u ∈[13,1]，可得(−2u 2+3u )min =79 所以a ≤79，综上可得0<a ≤79，故a 的取值范围为(0,79]．【解析】本题考查学生的函数思想，考查学生分段函数的基本思路，用好分类讨论思想，注意二次函数最值问题，基本不等式在求解该题中作用．恒成立问题的处理方法．用好分离变量法．(1)建立血液中药物的浓度与时间t 的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、还要注意基本不等式的运用；(2)分段求解关于实数a 的范围问题，注意分离变量法的应用．22.【答案】解：(1)∵g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，∴g(−x)+2g(x)=e −x +2e x −9，由以上两式联立可解得，g(x)=e x −3； ∵ℎ(−2)=ℎ(0)=1，∴二次函数的对称轴为x =−1，故设二次函数ℎ(x)=a(x +1)2+k ，则{a +k =14a +k =−2，解得{a =−1k =2，∴ℎ(x)=−(x +1)2+2=−x 2−2x +1；(2)由(1)知，g(x)=e x −3，其在[−1,1]上为增函数，故g(x)max =g(1)=e −3，∴ℎ(x 1)+ax 1+5≥e −3+3−e =0对任意x 1∈[−1,1]都成立，即x 12+(2−a)x 1−6≤0对任意x ∈[−1,1]都成立，∴{1−(2−a)−6≤01+(2−a)−6≤0，解得−3≤a ≤7，故实数的a 的取值范围为[−3,7]；(3)f(x)={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x ≤0，作函数f(x)的图象如下，令t=f(x)，a∈[−3,7]，则f(t)=a+5∈[2,12]，①当a=−3时，f(t)=2，由图象可知，此时方程f(t)=2有两个解，设为t1=−1，t2=ln5∈(1,2)，则f(x)=−1有2个解，f(x)=ln5有3个解，故共5个解；②当−3<a<e2−8时，f(t)=a+5∈(2,e2−3)，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个正实数解，设为t3=ln(a+8)∈(ln5,2)，则f(x)=t3=ln(a+8)有3个解，故共3个解；③当a=e2−8时，f(t)=a+5=e2−3，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t4=2，则f(x)=t4=2有2个解，故共2个解；④当e2−8<a≤7时，f(t)=a+5∈(e2−3,12]，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t5=ln(a+8)∈(2,ln15]，则f(x)=t5有1个解，故共1个解．【解析】本题考查函数解析式的求法，考查不等式的恒成立问题及函数零点与方程解的关系，旨在考查数形结合及分类讨论思想，属于中档题．(1)运用构造方程组法可求g(x)，运用待定系数法可求ℎ(x)；(2)原问题等价于x12+(2−a)x1−6≤0对任意x1∈[−1,1]都成立，进而求得实数a的取值范围；(3)作出函数f(x)的图象，结合图象讨论即可．。

河南省南阳市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 PDF版含答案

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x2
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x2
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(x2
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x 2 )(x
x 1
1)
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18. 解：（1）当 m 1 2m 1，即 m 2 时， B ，满足 B A . ....................2 分
当 m 1 2m 1，即 m 2 时，要使 B A 成立，
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故 f (x) 在 (500,) 上无最大值.
.....................11 分
综上，当 x 475 时， f (x)max 107812.5.
......................12 分
高一数学答案第 2 页共 3 页

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2017--2018学年第一学期高一期中考试数学学科试题试卷分值：160分考试时间：120分钟一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若集合A={1，3}，B={0，3}，则A ∪B= ．2．计算：sin210°的值为．3．若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为． 4、函数()11+=-x a x f ()1,0≠>a a 过定点．5、若一个幂函数)(x f 的图象过点)41,2(，则)(x f 的解析式为．6、已知a=20.3，b=20.4，c=log 20.3，则a ，b ，c 按由大到小排列的结果是．7、函数()()1log 13--=x x f 的定义域是 .8、已知点(4,)M x 在角α的终边上，且满足x <0，cos α=54，则tan α= ． 9、不等式03242<+-+x x 的解集为． 10、已知)0(51cos sin πααα<<=+，则=-ααcos sin _________． 11、关于x 的函数()()5342+-+=x a ax x f 在区间()2,∞-上是减函数，则a 的取值范围是．12、已知定义在R 上的函数()21,01,0x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，满足对任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是． 13、已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，若()x f 在(]0,∞-上是减函数，且()02=f ，则()0<xx f 的x 的取值范围为． 14、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=)(,42)(,)(2m x m mx x m x x x f ,其中m>0，若存在实数b,使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根,则m 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣8≤0}，集合[]R m m m B ∈-=,3（1）若A ∩B=[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）（1）（2）（lg5）2+lg2•lg50． 17．（本小题满分14分）已知y=f （x ）（x ∈R ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若不等式f （x ）≥mx 在1≤x ≤2时都成立，求m 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数f （x ）=为奇函数．（1）求a 的值；（2）证明：f （x ）是R 上的增函数；（3）解不等式：()x f 2log ≤53． 19．（本小题满分16分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数()02≠++=a c bx ax y ，x ∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A （4，4）；观光带的后一部分为线段BC ．（1）求函数为曲线段OABC 的函数()[]10,0,∈=x x f y 的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？20．（本小题满分16分）若函数()x f 和()x g 满足：①在区间[a ，b ]上均有定义；②函数()()x g x f y -=在区间[a ，b ]上至少有一个零点，则称()x f 和()x g 在区间[a ，b ]上具有关系G ．（1）若()()x x g x x f -==3,lg ，试判断()x f 和()x g 在[1，4]上是否具有关系G ，并说明理由；（2）若()122+-=x x f 和()2mx x g =在[1，4]上具有关系G ，求实数m 的取值范围．2017--2018学年第一学期高一期中考试数学学科试题(答案)一、填空题1、{0，1，3}；2、﹣21；3、34π； 4、()2,1； 5、()2-=x x f ； 6、b ，a ，c ．； 7、(]4,1； 8、-43； 9、()3log ,02； 10、57；11、[0, 23]； 12、30≤<m ； 13、()()2,02,⋃-∞-； 14、()+∞,3 二、解答题15．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x |（x +2）（x ﹣4）≤0}==[﹣2，4]———3分 ∵A ∩B=[2，4]，∴，解得m=5————————————7分（ II ）由（Ⅰ）知C R B={x |x ＜m ﹣3，或x ＞m }，————————10分 ∵A ⊆C R B ，∴4＜m ﹣3，或﹣2＞m ，解得m ＜﹣2，或m ＞7．故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）———————14分 16．【解答】解：（1）原式=﹣+3+1———————3分=4﹣+1+3+1 =9﹣．———————7分（2）原式=lg 25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2———————10分=lg5+lg2=1．———————14分17、【解答】解：（1）当x ＜0时，有﹣x ＞0，∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）=f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2+2x ，--------4分 ∴f （x ）=．------------------------------------------6分（2）由题意得x 2﹣2x ≥mx 在1≤x ≤2时都成立，即x ﹣2≥m 在1≤x ≤2时都成立，------------------------------------10分即m ≤x ﹣2在1≤x ≤2时都成立．而在1≤x ≤2时，（x ﹣2）min =﹣1，∴m ≤﹣1．--------------------------14分 18．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为R ．----------------------2分∵f （x ）为奇函数，∴f （-x ）= - f(x)，∴a=1．-----------------------------5分（2）证明：易得f （x ）=1﹣122+x设x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）==．--------------8分∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．∴f（x1）＜f（x2）．∴f（x）为R上的增函数．-------------------------------------------------11分（3）令f（x）=，解得x=2．--------------------------------------13分∴f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．∵f（x）为R上的增函数，∴log2x≤2．-------------------------------------------------------15分∴0＜x≤4．——————————————————16分19．【解答】解：（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），所以，解得所以，当x∈[0，6]时，()xxxf2412+-=---------------（3分）因为后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），当x∈[6，10]时，()21543+-=xxf---------------（6分）综上，---------------（8分）（2）设OM=t（0＜t≤2），则由，得，所以点---------------（11分）所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=---------------（13分）当t=1时，所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长---------------（16分）20．【解答】解：（1）它们具有关系G———————2分令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．———————6分（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，———————9分当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；故m∈[，3]；———————11分当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；———————13分若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；———————15分综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．———————16分。