浙江省金华市2020年中考数学试卷(含解析)

2020年浙江省金华市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.
1．实数3的相反数是()
A．3-B．3C．
1
3
-D．
1
3
2．分式
5
2
x
x
+
-
的值是零，则x的值为()
A．2B．5C．2-D．5-
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()
A．22
a b
+B．2
2a b
-C．22
a b
-D．22
a b
--
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是()
A．B．
C．D．
5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是()
A．1
2
B．
1
3
C．
2
3
D．
1
6
6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到//
a b．理由是()
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7．已知点(2-，)(2a ，)(3b ，)c 在函数(0)k
y k x
=>的图象上，则下列判断正确的是( ) A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
8．如图，O 是等边ABC ∆的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是DF 上一点，则EPF ∠的度数是( )
A ．65︒
B ．60︒
C ．58︒
D ．50︒
9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是( )
A ．3252x x ⨯+=
B ．3205102x x ⨯+=⨯
C ．320520x x ⨯++=
D ．3(20)5102x x ⨯++=+
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，则
ABCD EFGH
S S 正方形正方形的值是( )
A ．12
B ．22
C ．52
D ．
15
4
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．点(,2)P m 在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可） ．
12．数据1，2，4，5，3的中位数是 ．
13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 2cm ．
14．如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 ︒．
15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β．则tan β的值是 ．
16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，OE AC ⊥于点E ，OF BD ⊥于点F ，1OE OF cm ==，6AC BD cm ==，CE DF =，:2:3CE AE =．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转
动．
（1）当E ，F 两点的距离最大时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为 cm ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．计算：0(2020)4tan 45|3|-+︒+-．
18．解不等式：552(2)x x -<+．
19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人)
A 跳绳 59
B 健身操 ▲
C 俯卧撑 31
D 开合跳 ▲ E
其它
22
（1）求参与问卷调查的学生总人数；
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
20．如图，AB 的半径2OA =，OC AB ⊥于点C ，60AOC ∠=︒． （1）求弦AB 的长． （2）求AB 的长．
21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6C ︒，气温(C)T ︒和高度h （百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题： （1）求高度为5百米时的气温； （2）求T 关于h 的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6C ︒，求该山峰的高度．
22．如图，在ABC ∆中，42AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒． （1）求BC 边上的高线长．
（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF ∆折叠得到PEF ∆． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数． ②如图3，连结AP ，当PF AC ⊥时，求AP 的长
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数21
()42
y x m =--+图象的顶点为A ，与y 轴
交于点B ，异于顶点A 的点(1,)C n 在该函数图象上． （1）当5m =时，求n 的值．
（2）当2n =时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当2y 时，自变量x 的取值范围． （3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分
OB ．
别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知8
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点)D，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．实数3的相反数是( ) A ．3-
B ．3
C ．13
-
D ．13
解：实数3的相反数是：3-． 故选：A ． 2．分式5
2
x x +-的值是零，则x 的值为( ) A ．2
B ．5
C ．2-
D ．5-
解：由题意得：50x +=，且20x -≠， 解得：5x =-， 故选：D ．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ) A ．22a b +
B ．22a b -
C ．22a b -
D ．22a b --
解：A 、22a b +不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B 、22a b -不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C 、22a b -能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D 、22a b --不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：C ．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
解：A 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C ．
5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是( )
A ．
12 B ．13
C ．
23
D ．
16
解：共有6张卡片，其中写有1号的有3张， ∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是
3162
=； 故选：A ．
6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到//a b ．理由是( )
A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 解：由题意a AB ⊥，b AB ⊥，
//a b ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行），
故选：B ．
7．已知点(2-，)(2a ，)(3b ，)c 在函数(0)k
y k x
=>的图象上，则下列判断正确的是( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c b a <<
解：0k >， ∴函数(0)k
y k x
=
>的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， 2023-<<<， 0b c ∴>>，0a <，
a c
b ∴<<．
故选：C ．
8．如图，O 是等边ABC ∆的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是DF 上一点，则EPF ∠的度数是( )
A ．65︒
B ．60︒
C ．58︒
D ．50︒
解：如图，连接OE ，OF ．
O 是ABC ∆的内切圆，E ，F 是切点， OE AB ∴⊥，OF BC ⊥， 90OEB OFB ∴∠=∠=︒， ABC ∆是等边三角形， 60B ∴∠=︒， 120EOF ∴∠=︒，
1
602
EPF EOF ∴∠=
∠=︒， 故选：B ．
9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是( )
A ．3252x x ⨯+=
B ．3205102x x ⨯+=⨯
C ．320520x x ⨯++=
D ．3(20)5102x x ⨯++=+
解：设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3(20)5102x x ⨯++=+．
故选：D ．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，则
ABCD EFGH
S S 正方形正方形的值是( )
A ．12
B ．22
C ．52
D ．
15
4
解：四边形EFGH 为正方形， 45EGH ∴∠=︒，90FGH ∠=︒， OG GP =，
67.5GOP OPG ∴∠=∠=︒， 22.5PBG ∴∠=︒，
又45DBC ∠=︒， 22.5GBC ∴∠=︒， PBG GBC ∴∠=∠，
90BGP BG ∠=∠=︒，BG BG =，
()BPG BCG ASA ∴∆≅∆， PG CG ∴=．
设OG PG CG x ===， O 为EG ，BD 的交点，
2EG x ∴=，2FG x =， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， BF CG x ∴==，
2BG x x ∴=+，
2222222(21)(422)BC BG CG x x x ∴=+=++=+，
∴()22422222ABCD
EFGH x S S x +==+正方形正方形．
故选：B ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．点(,2)P m 在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可） 1-（答案不唯一）． ． 解：点(,2)P m 在第二象限内，
0m ∴<，
则m 的值可以是1-（答案不唯一）．
故答案为：1-（答案不唯一）．
12．数据1，2，4，5，3的中位数是 3 ．
解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
则这组数据的中位数是3，
故答案为：3．
13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 2cm ．
解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为220cm ．
故答案为：20．
14．如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 ︒．
解：四边形ABCD 是平行四边形，
18060D C ∴∠=︒-∠=︒，
180(54070140180)30α∴∠=︒-︒-︒-︒-︒=︒，
故答案为：30．
15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点
A ，
B ，
C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β．则tan β的值是 19315
．
解：如图，作//AT BC ，过点B 作BH AT ⊥于H ，设正六边形的边长为a ，则正六边形的半径为，边心距32
a =．
观察图象可知：192BH a =
，532
AH =， //AT BC ， BAH β∴∠=，
191932tan 15532
a BH AH a β∴===． 故答案为19315
． 16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，OE AC ⊥于点E ，OF BD ⊥于点F ，1OE OF cm ==，6AC BD cm ==，CE DF =，:2:3CE AE =．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．
（1）当E ，F 两点的距离最大时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 16 cm ．
（2）当夹子的开口最大（即点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为 cm ．
解：（1）当E ，F 两点的距离最大时，E ，O ，F 共线，此时四边形ABCD 是矩形， 1OE OF cm ==，
2EF cm ∴=，
2AB CD cm ∴==，
∴此时四边形ABCD 的周长为226616()cm +++=，
故答案为16．
（2）如图3中，连接EF 交OC 于H ．
由题意2126()55
CE CF cm ==⨯=，
1OE OF cm ==，
CO ∴垂直平分线段EF ，
13()5
OC CE cm =
==， 1122
OE EC CO EH =， 12
1125()13135EH cm ⨯
∴==， 242()13EF EH cm ∴== //EF AB ，
∴25EF CE AB CB ==， 52460()21313AB cm ∴=⨯=． 故答案为
6013． 三、解答题（本题有8小题，共
66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：0(2020)tan 45|3|-+︒+-．
解：原式12135=+-+=．
18．解不等式：552(2)x x -<+．
解：552(2)x x -<+，
5542x x -<+
5245x x -<+，
39x <，
3x <．
19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
B 健身操 ▲
C 俯卧撑 31
D 开合跳 ▲
E 其它 22
（1）求参与问卷调查的学生总人数；
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
解：（1）2211%200÷=（人)，
答：参与调查的学生总数为200人；
（2）20024%48⨯=（人)，
答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；
（3）最喜爱“健身操”的学生数为2005931482240----=（人)，
40
80001600200⨯=（人)，
答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．
20．如图，AB 的半径2OA =，OC AB ⊥于点C ，60AOC ∠=︒．
（1）求弦AB 的长．
（2）求AB 的长．
解：（1）AB 的半径2OA =，OC AB ⊥于点C ，60AOC ∠=︒，
3
sin 60232AC OA ∴=︒==，
223AB AC ∴==；
（2）OC AB ⊥，60AOC ∠=︒，
120AOB ∴∠=︒，
2OA =，
∴AB 的长是：120241803
ππ⨯=． 21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6C ︒，气温(C)T ︒和高度h （百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T 关于h 的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6C ︒，求该山峰的高度．
解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低20.6 1.2()C ⨯=︒，
13.2 1.212∴-=，
∴高度为5百米时的气温大约是12C ︒；
（2）设T 关于h 的函数表达式为T kh b =+，
则：313.2512k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得0.615k b =-⎧⎨=⎩
， T ∴关于h 的函数表达式为0.615T h =-+；
（3）当6T =时，60.615h =-+，
解得15h =．
∴该山峰的高度大约为15百米．
22．如图，在ABC ∆中，42AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒．
（1）求BC 边上的高线长．
（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF ∆折叠得到PEF ∆．
①如图2，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．
②如图3，连结AP ，当PF AC ⊥时，求AP 的长
解：（1）如图1中，过点A 作AD BC ⊥于D ．
在Rt ABD ∆中，2
sin 454242AD AB =︒=⨯=．
（2）①如图2中，
AEF PEF ∆≅∆，
AE EP ∴=，
AE EB =，
BE EP ∴=，
45EPB B ∴∠=∠=︒，
90PEB ∴∠=︒，
1809090AEP ∴∠=︒-︒=︒．
②如图3中，由（1）可知：83sin 603
AD AC ==︒，
PF AC ⊥，
90PFA ∴∠=︒，
AEF PEF ∆≅∆，
45AFE PFE ∴∠=∠=︒，
AFE B ∴∠=∠，
EAF CAB ∠=∠，
AEF ACB ∴∆∆∽， ∴AF AE AB AC =2242833
AF =， 23AF ∴=
在Rt AFP ∆，AF FP =，
226AP ∴==．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数21()42
y x m =--+图象的顶点为A ，与y 轴交于点B ，异于顶点A 的点(1,)C n 在该函数图象上．
（1）当5m =时，求n 的值．
（2）当2n =时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当2y 时，自变量x 的取值范围． （3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值
范围．
解：（1）当5m =时，2
1(5)42y x =--+，
当1x =时，2
14442n =-⨯+=-．
（2）当2n =时，将(1,2)C 代入函数表达式21()42y x m =--+，得2
12(1)42m =--+，
解得3m =或1-（舍弃），
∴此时抛物线的对称轴3x =，
根据抛物线的对称性可知，当2y =时，1x =或5，
x ∴的取值范围为15x ．
（3）点A 与点C 不重合，
1m ∴≠，
抛物线的顶点A 的坐标是(,4)m ，
∴抛物线的顶点在直线4y =上，
当0x =时，2
142y m =-+，
∴点B 的坐标为21
(0,4)2m -+，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m 逐渐减小，点B 沿y 轴向上移动， 当点B 与O 重合时，2
1402m -+=， 解得22m =或22-
当点B 与点D 重合时，如图2，顶点A 也与B ，D 重合，点B 到达最高点，
∴点(0,4)B ，
21442m ∴-+=，解得0m =， 当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B 不在线段OD 上，
B ∴点在线段OD 上时，m 的取值范围是：01m <或122m <<．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知8OB =． （1）求证：四边形AEFD 为菱形．
（2）求四边形AEFD 的面积．
（3）若点P 在x 轴正半轴上（异于点)D ，点Q 在y 轴上，平面内是否存在点G ，使得以点A ，P ，Q ，G 为顶点的四边形与四边形AEFD 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，
//AE DF ，//AD EF ，
∴四边形AEFD 是平行四边形，
四边形ABCD 是正方形，
AC AB OC OB ∴===，90ACE ABD ∠=∠=︒， E ，D 分别是OC ，OB 的中点，
CE BD ∴=，
()CAE ABD SAS ∴∆≅∆，
AE AD ∴=，
∴四边形AEFD 是菱形．
（2）解：如图1中，连接DE ．
1
84162ADB ACE S S ∆∆==⨯⨯=，
1
4482EOD S ∆=⨯⨯=，
264216824AED ABD EOD ABOC S S S S ∆∆∆∴=--=-⨯-=正方形，
248AED AEFD S S ∆∴==菱形．
（3）解：如图1中，连接AF ，设AF 交DE 于K ，
4OE OD ==，OK DE ⊥，
KE KD ∴=，
2OK KE KD ∴===，
82AO =，
62AK ∴=，
3AK DK ∴=，
①当AP 为菱形的一边，点Q 在x 轴的上方，有图2，图3两种情形： 如图2中，设AG 交PQ 于H ，过点H 作HN x ⊥轴于N ，交AC 于M ，设AM t =．
菱形PAQG ∽菱形ADFE ，
3PH AH ∴=， //HN OQ ，QH HP =，
ON NP ∴=，
HN ∴是PQO ∆的中位线，
8ON PN t ∴==-，
90MAH PHN AHM ∠=∠=︒-∠，90PNH AMH ∠=∠=︒，
HMA PNH ∴∆∆∽，
∴1
3AM
MH
AH
NH PN PH ===，
33HN AM t ∴==，
83MH MN NH t ∴=-=-，
3PN MH =，
83(83)t t ∴-=-，
2t ∴=，
22(8)12OP ON t ∴==-=，
(12,0)P ∴．
如图3中，过点H 作HI y ⊥轴于I ，过点P 作PN x ⊥轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．
同法可证：AMH HNP ∆∆∽， ∴1
3AM
MH
AH
HN PN HP ===，设MH t =，
33PN MH t ∴==，
38AM BM AB t ∴=-=-， HI 是OPQ ∆的中位线，
2OP IH ∴=，
HIHN ∴，
8924t t ∴+=-，
4t ∴=，
22(8)24OP HI t ∴==+=，
(24,0)P ∴．
②当AP 为菱形的边，点Q 在x 轴的下方时，有图4，图5两种情形： 如图4中，3QH PH =，过点H 作HM OC ⊥于M ，过D 点P 作PN MH ⊥于N ．
MH 是QAC ∆的中位线，
142
MH AC ∴==， 同法可得：HPN QHM ∆∆∽， ∴13
NP HN PH HM MQ QH ===， 1433
PN HM ∴==， 43
OM PN ∴==，设HN t =，则3MQ t =， MQ MC =，
4383t ∴=-
， 209
t ∴=， 5649OP MN t ∴==+=
， ∴点P 的坐标为56(9
，0)．
如图5中，3QH PH =，过点H 作HM x ⊥轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN HM ⊥于N ．
IH 是ACQ ∆的中位线，
2CQ HI ∴=，4NQ CI ==，
同法可得：PMH HNQ ∆∆∽， ∴13MH PM PH NQ HN HQ ===，则1
4
33MH NQ ==，
设PM t =，则3HN t =，
HN HI =，
4
383t ∴=+，
28
9t ∴=，
8
49OP OM PM QN PM t ∴=-=-=-=，
8
(9P ∴，0)．
③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点H 作HM y ⊥轴于于点M ，交AB 于I ，过点P 作PN HM ⊥于N ． //HI x 轴，AH HP =，
4AI IB ∴==，
4PN IB ∴==，
同法可得：PNH HMQ ∆∆∽， ∴1
3PN HN PH HM MQ HQ ===，
312MH PN ∴==，4HI MH MI =-=， HI 是ABP ∆的中位线，
28BP IH ∴==，
16OP OB BP ∴=+=，
(16,0)P ∴，
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(12,0)或(24,0)或56
(9，0)或8
(9，0)或(16,0)．。