双抛物线型中考压轴题解法赏析
中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)
中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解题思路：1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；解题思路1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；解题思路：1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；解题思路：1.过点B做OA平行线2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．求证：∠PDQ＝90°；解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．解题思路：1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；解题思路：构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之角度关系处理(含解析)
中考数学抛物线压轴题之角度关系处理（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC＝∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．（1）求a，b的值；（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x 轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．12．如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP 可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，解得：x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB，∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，∴n2＝（n﹣3）2+16，解得：n＝，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；。
新课标下中考压轴题——双抛线型解法例析
烟台市莱山区解甲庄一中杨连友电话13963874169邮编264670邮箱canghai567d@
近年在各地中考试题中出现了一类以双抛线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考察考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。本文选取了四道典型的中考试题予以解释。横坐标为m,且m>0.
(1)当m=1时，求点A、B、D的坐标
(2) 当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；
(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论；
解（1）∵点A在抛物线y=x2上，且x=m=1，∴A(1,),
∵点B与点A关于y轴对称，∴B(-1,).设直线BD的解析式为y=kx,
MN=0-(-)=∴NM=AC∴四边形ACMN为平行四边形。
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（-，c）或（，c）.
评析本题立意新，集计算、推理为一体，体现了对称的思想、方程的思想和数形结合的思想。
三、 以原点为对称点的双抛物线型压轴题
例四如图5，已知抛物线C1与坐标轴的交点依
次为A(-4,0),B(-2,0),E(0,8)
S=2S△ACE=2××AC×EO=2××(4-2)=16-18
点评本题是一道函数型综合题，涉及二次函数、相似形、四边形等知识，三个小题的坡度设计很恰当，能较好的体现出试题的区分度，对第2题的证明过程要仔细领悟。
例2 如图3，点A在抛物线y=x2上，过点A
作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO、BO分别与抛物线
中考数学与抛物线有关的中考压轴题
与抛物线有关的中考压轴题一、（2009江津市）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解析：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝……………………（2分） ∴23b c =-⎧⎨=⎩……………………（3分）∴抛物线解析式为：223y x x =--+…………………… (4分)(2)存在…………………………………………………………………………(5分) 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+……………………………………(6分)Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩ABC∴Q(－1，2)…………………………………………………………………(7分)（3）答：存在。
…………………………………………………………………(8分)理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝……………………………………………(9分)11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=………………………………………(10分) 当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，………………………………………(11分)二、（2009某某）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解析：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a =，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得因此直线AB 为y x =， 当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB ，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 三 、（2007某某某某）．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点 （与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值X 围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 解析（1）点B （2，0），点C （0，8），点A （－6，0），（2）抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8 ，（3）由EF AC ＝BE AB ，因为AC=2268+=10，BE=8-m ，AB=8.所以EF ＝40－5m4.作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG=sin ∠CAB=54108=.所以在Rt △EGF 中， FG ＝EF ·sin ∠FEG=45·40－5m4=8-m ，所以S ＝BFE BCE S S ∆∆-=()8821⨯-m -()()m m --8821=－12m 2＋4m ， m 的取值X 围是0＜m ＜8 （4）存在．因为S ＝－12m 2＋4m ，又a=21-<0，当m=ab2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-2124=4时，a4b ac 42-=最大S =8.因为m=4，所以点E 的坐标为（－2，0），△BCE 为等腰三角形．四（2006·某某市）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米.现以O 点为原点，OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和．．．．的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.解:⑴()()12,0,6,6M P⑵（法1）设这条抛物线的函数解析式 为:()266y a x =-+ ∵抛物线过O(0,0) ∴06)60(2=+-a 解得16a =-∴这条抛物线的函数解析式为:()21666y x =--+ 即2126y x x =-+. （法2）设这条抛物线的函数解析式 为:c bx ax y ++=2∵抛物线过O(0,0),()()12,0,6,6M P 三点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=01212666022c b a c b a c 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=0261c b a ∴这条抛物线的函数解析式为:2126y x x =-+.⑶设点A 的坐标为21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴OB=m ，AB=DC=m m 2612+-根据抛物线的轴对称,可得:OB CM m == ∴122BC m =- 即AD=12－2m ∴l ＝AB+AD+DC=m m m m m 26121226122+--++-=122312++-m m =15)3(312+--m∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米.。
双抛物线型中考压轴题解法赏析
佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法近几年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。
这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。
本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。
一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4 得 a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1 ,y1)∵点B在l1上∴B(x1 ,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1 ,-x12+4).将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD 的面积为S,则S=2*S △ABC =AC*|y 1|=4|y 1|a.当点B 在x 轴上方时，y 1＞0∴S=4y 1 ,它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而增大， ∴S 既无最大值也无最小值b.当点B 在x 轴下方时，-4≤y 1＜0∴S=-4y 1 ,它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而减小， ∴当y 1 =-4时，S 由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y 轴上，它的对称点D 也在y 轴上. ∴AC ⊥BD∴平行四边形ABCD 是菱形 此时S 最大=16评析:本题条件简明，有较强的探索性。
人教版中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数的实际应用 类型二：抛物线型问题
解：∵a＝－510，b＝190，∴y＝－510x2＋190x＋66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝－510×752＋190×75＋66＝21， ∴基准点K的高度h为21 m.
9 ②若a＝－510时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为bb＞＞10 ； 【分层分析】运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞221 1，故－ 510×752＋75b＋66＞2211 ，即可解得答案；
(1)求抛物线的解析式； 解：由题意知， 点(5，3.2)是抛物线 y＝a(x－h)2 ＋k的顶点，∴y＝a(x－5)2 ＋3.2. 又∵抛物线经过点(0，0.7)， ∴ 0.7＝a(0－5)2 ＋ 3.2，解得a＝－ 0.1. ∴抛物线的解析式为 y＝－0.1(x－5)2 ＋3.2(或y＝－0.1x2 ＋x ＋0.7)．
解： b＝6，c＝1.
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
解：∵y＝－16x2＋76x＋1＝－16x－722＋7234， ∴当x＝72时，y有最大值7234，
73 即大棚最高处到地面的距离为24 m.
37 (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 24 m的竹竿支架若 干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共 需要准备多少根竹竿？
【分层分析】运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76 m，即是抛物线的顶点为((225，5，76)7，6)设抛物线解析式为y＝＝a(xa－(x225)25＋ ，可得抛物线解析式为y＝－－1225((xx－－2255))2＋2＋7676，当x＝777556时，y＝ 3366，从而可知他的落地点能超超 过K点．
解：令y＝－16x2＋76x＋1＝3274， 1 13
解得x1＝2，x2＝ 2 ， 1 11
初中数学抛物线压轴题技巧
初中数学抛物线压轴题技巧抛物线是初中数学中的重要内容之一，掌握抛物线的压轴题技巧对于提高数学解题能力和应对考试非常重要。
在本文中，我将为大家分享一些初中数学抛物线压轴题的解题技巧。
首先，我们需要了解抛物线的基本特点和方程形式。
抛物线的方程通常是二次方程，一般形式为y=ax^2+bx+c。
其中，a决定抛物线的开口方向和形状，b决定抛物线的位置，c决定抛物线的纵轴截距。
在解题过程中，我们需要注意以下几个方面的技巧。
第一，抛物线的顶点问题。
抛物线的顶点是抛物线的最高或最低点，通常在解题中要求计算抛物线的最值。
我们可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的顶点来获得抛物线的最值。
顶点的横坐标可以通过公式x=-b/2a得到，然后将横坐标代入方程求解纵坐标即可。
第二，抛物线的对称性问题。
抛物线具有关于纵轴的对称性，即抛物线的左右两侧关于纵轴完全对称。
在解题过程中，我们可以利用这个对称性来简化计算。
例如，如果我们已经计算出了抛物线上某一点的坐标，那么我们可以根据对称性得出另一对称点的坐标，从而避免重复计算。
第三，抛物线的焦点和准线问题。
抛物线的焦点是抛物线上所有点到直线准线的距离之和的最小点，而准线则是与抛物线平行且与焦点的距离相等的一条直线。
在解题中，我们可以利用焦点和准线的性质来求解抛物线的相关问题。
例如，已知抛物线的焦点坐标和准线的方程，我们可以求解抛物线的方程。
第四，抛物线的切线问题。
抛物线的切线是与抛物线相切且与切点的切线垂直的一条直线。
在解题中，我们可以通过求解抛物线的切线方程来得到切线的斜率和方程。
求解抛物线的切线方程通常需要用到导数的知识，可以利用导数的定义来进行求解。
最后，我们还需要进行大量的练习来巩固这些抛物线的解题技巧。
通过不断的练习和思考，我们可以更加熟练地掌握抛物线的相关知识和技巧，从而在考试中取得更好的成绩。
总结起来，初中数学抛物线压轴题的解题技巧包括求解抛物线的顶点、利用抛物线的对称性简化计算、求解抛物线的焦点和准线、求解抛物线的切线等。
中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)
中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。
二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。
3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。
中考压轴题(二)--------与抛物线有关压轴题.
1.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x 轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G，.若FG=DQ，求点F的坐标.2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为__________秒时，△PAD的周长最小？当t为__________秒时，△PAD是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）2②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为Q （2，-1），且与轴交于点C （0,3），与轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥轴， 交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，-n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2-2x-3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．y x y x 图165．如图，抛物线y=a（x-h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．6．如图，已知抛物线y=14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．7.已知抛物线y=ax 2-2ax+c 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且．（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）直接写出直线BC 的函数表达式；（3 ）如图1 ，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD 为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）.求： ①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4 ）如图2 ，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由。
【中考数学压轴题专题突破08】二次函数中的双抛物线问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题1．如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A 与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：y＝（x﹣2）2﹣1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2（x﹣h）2+k，写出a1与a2的关式，并说明理由．2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣101234…y 0﹣m﹣4﹣3﹣4﹣3﹣0…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x2﹣2﹣3＝0有个实数根；②函数图象与直线y＝﹣3有个交点，所以对应方程x2﹣2﹣3＝﹣3有个实数根；③关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，a的取值范围是．3．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m ﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G 的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由．4．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△P AM的面积最大？若存在，求出△P AM的面积的最大值；若不存在，说明理由．5．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D 1，D2，使得＝＝S△ABC．并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．解：（1）y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0时，y＝×（0﹣2）2﹣1＝1，即C点的坐标是（0，1），∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴是直线x＝2，∴点C关于直线x＝2的对称点D的坐标是（4，1），即D点的坐标是（4，1），故答案为：（4，1）；（2）y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），设l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，∵由“友好”抛物线的定义，l4过点（2，﹣1），∴﹣1＝a（2﹣4）2+1，解得：a＝﹣，∴l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，∴l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4；（3）a1+a2＝0，理由是：∵抛物线y＝a1（x﹣m）2+n与抛物线y＝a2（x﹣h）2+k互为“友好”抛物线，∴，方程的两边相加得：k+n＝（a1+a2）（m﹣h）2+n+k，即（a1+a2）（m﹣h）2＝0，∵m≠h，∴a1+a2＝0．2．解：（1）根据函数的对称性可得m＝﹣3，故答案为：﹣3（2）画出的函数图象如图所示；（3）由函数图象知：①函数的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个实数根；②由函数图象知：的图象与直线y＝﹣3有3个交点，∴方程有3个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3，故答案为：2，3，3，﹣4＜a＜﹣3．3．解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1＝a（x﹣1）2﹣4，将E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）设G[p，0.6（p+1）]，代入函数关系式，得，（p﹣1）2﹣4＝0.6（p+1），解得p1＝3.6，p2＝﹣1（舍去），所以点G坐标为（3.6，2.76）．由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），则AH＝4.6，GH＝2.76，∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴当x＝﹣1时，y＝0，∴直线y＝mx+m过点A，延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴．∵FH∥x轴，∴∠QPH＝∠QAR，∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，∴△AQR∽△PHQ，∴＝＝0.6，设Q[n，0.6（n+1）]，代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），∵n+1≠0，∴m＝0.6．四边形CDPQ为平行四边形，理由如下：连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DK⊥x轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，∴点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，∴＝＝0.6，∴tan∠KSD＝tan∠QAR，∴∠KSD＝∠QAR，∴AQ∥CS，即CD∥PQ．∵AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH，∴PQ＝CD，∴四边形CDPQ为平行四边形．4．解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，∵m≠0，∴x2+4x﹣12＝0，解得，x1＝﹣6，x2＝2，∵点M在点N的左边，∴M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，理由如下：如图2，连接AM，PO，PM，P A，∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），∴﹣12n＝﹣3，∴n＝，∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），∴S△P AM＝S△PMO+S△P AO﹣S△AOM＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3＝﹣t2﹣t，＝﹣（t+3）2+，∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，∴根据二次函数的图象和性质知，当m＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△P AM的面积有最大值，最大值为．5．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；（2）∵抛物线M1与M2交于点B，∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x＝3，∴B（3，3），将点B（3，3）代入y＝kx，得，k＝1，∴y OB＝x，∵抛物线M2与直线OB交于点C，∴x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝3，x2＝6，∴C（6，6），∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣m2+10m﹣18），∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，＝﹣3（m﹣）2+，在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），∵B（3，3），∴3≤m≤4，∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；（3）的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则y EH＝x﹣k，∴令x﹣k＝﹣x2+4x，解得，x1＝，x2＝，∴x F＝，x E＝，令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝，x2＝，∴x H＝，x G＝，∴ME＝x G﹣x E＝﹣＝3，FN＝x H﹣x F＝﹣＝3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，∴△GEM∽△HFN，∴＝，∴＝＝＝1，∴的值是定值1．6．解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵曲线N交y轴于点C，∴C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，∵Rt△BOC为等腰直角三角形，∴OO'＝OH＝O'H＝1，∵HB＝2，∴O'B＝，∵O'B是△ABC外接圆的半径，∴△ABC外接圆的面积＝5π；（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），∴m≥3或m≤﹣1；①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，＝，解得n＝2﹣或n＝2+，∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），∴﹣1≤m≤3，③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝0或m＝2，＝，解得n＝3或n＝1，∴Q（1，0）或Q（3，0），∵Q（3，0）与B（3，0）重合，∴Q（1，0）；④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）∵＝＝S△ABC，∴D1D2所在直线与直线BC平行，∵BC＝3，设A点到BC的距离为h，∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，∴h＝2，∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，∴b﹣3＝4，∴b＝7，∴y＝﹣x+7，联立，解得x＝或x＝，∴D1（，），D2（，）；联立，解得x无解；综上所述：D1（，），D2（，）；∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，∴|t﹣3|＝，∴t＝或t＝，∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，联立，解得x＝或x＝﹣，∴x＝﹣，∴T1（﹣，）；联立，解得x＝或x＝，∴T2（，）或T3（，）；当点在N上时，﹣1≤x≤3，联立，解得x＝（舍）或x＝，∴T4（，）；联立，解得x＝，∴T5（，）；综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．。
巧借图，智破双抛物线问题
巧借图，智破双抛物线问题作者：***来源：《初中生世界·九年级》2021年第12期以双抛物线为立意的综合性压轴题，集函数知识、代数推理于一体，重在考查综合应用数学知识解决问题的创新能力。
本文现以2021年湖北省宜昌市中考压轴题为例进行展示。
在平面直角坐标系中，抛物线y1=-（x+4）·（x-n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥-4），顶点坐标记为（h1，k1）。
抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）。
（1）写出A点坐标;（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）;（3）当-4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系;（4）经过点M（2n+9，-5n2）和点N（2n，9-5n2）的直线与抛物线y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的公共點恰好为3个不同点时，求n的值。
【解析】（1）求抛物线y1=-（x+4）（x-n）与x轴交点坐标，基本方法是令y1=0，得-（x+4）（x-n）=0，解之x1=-4，x2=n，结合条件有A（-4，0）。
（2）k1，k2是两抛物线顶点的纵坐标，对抛物线表达式进行配方或直接运用二次函数顶点坐标公式可得顶点的纵坐标。
抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9就是顶点式，可以直接写出k2=-n2+2n+9，对抛物线y1进行配方，y1=-（x+4）（x-n）=-x2+（n-4）x+4n=-（x[+4-n2]）2+[14]n2+2n+4，所以k1=[14]n2+2n+4。
（3）探究k1与k2的大小关系，基本方法是作差，然后与0比较大小。
k1-k2=（[14]n2+2n+4）-（-n2+2n+9）=[54]n2-5。
①当[54]n2-5>0时，可得n>2或nk2;②当[54]n2-5③当[54]n2-5=0时，可得n=2或n=-2，即当n=2或n=-2时，k1=k2。
综上所述：当-4≤nk2;当-2（4）抛物线y1、y2和直线MN都含有参数n，随着n的变化，三线的位置也在变化。
双抛物线型中考压轴题解法赏析
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中学教研 （ 数学）
２０ ０６年第 ｌ ２期
高考与中考 ・・ 高考与中考 ・・ 离考与中考 ・・ 高考与中考 ・ 高等与中考 高尊与中考 ・・ 矗考与中考 ・・ 膏考与中考 ・・ 高考与中考 ・ 高考与中考 ・－
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囊 双抛物线型 中 考 压 轴 题 解 法 赏 析
－
（） ３抛物线 ｃ 上是否存在点 Ｐ， 。 使得四边形 Ａ － Ｂ Ｃ Ｐ为菱形？如果存在， 请求出 Ｉ 的值 ； ｎ ， 如果不存在 ，
请 说 明理 由．
（０ ６年 湖北 十堰 市中考题 ） ２０ 解 （ ） 物线 Ｃ ： ＝一 ＋２ ＋ 的顶点 坐 １抛 ｌ， ， ，
在 ２０ 年 各地 中考试 题 中 出现 了一 类 以双抛 ０６ 物线为背景立意 的综 合 性压 轴题 ， 它集 知识 、 法 、 方
（） ３ 设平行 四边 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积 为 ｓ则 ，
Ｓ＝２ ＾ｃ；Ａ ・Ｉ Ｉ ；４ｌ ｌ ， Ｓ△ Ｃ ｙ Ｉ ｙ ｌ
能力于一体 ， 重在考查考生综合应用数学知识解决 问题的能力。 具有较强的探索性， 这类试题是中考数 学试题的精华部分， 具有知识容量大、 解题方法多、
注 抛物线 ｙ ＋ ＋ （ ≠Ｏ 的顶点 坐标 ＝ ｃａ ）
2021年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之最值问题(含解析)-个人用心整理
中考数学抛物线压轴题之最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．4．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+OM的最小值．5．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．6．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+ QB的最小值．7．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM 的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B．（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；（2）若点P在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的关系式．（3）在（2）的条件下，在△ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为．14．如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．15．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此时，称△ABC是BC类半高三角形；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形．（1）直接写出下列3个小题的答案．①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为．②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为．③如图3，正方形网格中，L，M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角形，且△LMN为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有个．（2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点T坐标为（0，5），点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为RS类半高三角形．①当点P介于点R与点S之间（包括点R，S），且PQ取得最小值时，求点P的坐标．②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，求PQ+QT的最小值．16．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．17．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点．若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．（4）如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′B、E′C，求E′B+E′C的最小值，请直接写出答案．18．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．19．在平面直角坐标系中，已知y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．20．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？21．如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．22．如图，已知一次函数y1＝x+b的图象l与二次函数y2＝﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程＝0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．23．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）；（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；（3）如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到AC的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标．24．如图（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；（3）如图（3），过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）直线AN交y轴于点F，P是抛物线的对称轴x＝1上动点，H是X轴上一动点，请探索：是否存在这样的P、H，使四边形CFHP的周长最短？若存在，请求出四边形CFHP的最短周长和点P、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是∠MDB的角平分线上动点，点R是线段DB上的动点，Q、R在何位置时，BQ+QR的值最小．请直接写出BQ+QR的最小值和Q、R的坐标．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD＝OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．28．已知如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）设点s是三角形ABH上的一动点，从点A沿着AHB方向以每秒1个单位长度移动，运动时间为t秒，到达点B时停止运动．当t为何值时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．1．【解答】解：（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线AC等距离，则点B″在直线n上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y＝x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y＝x+（4m﹣3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y＝﹣（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，m﹣），而P′（2﹣3m，m+），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2．2．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．3．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．4．【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠BDO＝90°，∵OA绕点O逆时针旋转120°至OB，∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，∴sin∠BOD＝，cos∠BOD＝，∴BD＝OB＝2，OD＝OB＝2，∴B（﹣2，2），设过点A（4，0），B（﹣2，2），O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x；（2）存在△POB为等腰三角形，∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），∴对称轴为直线x＝2，设点P坐标为（2，p），则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣2）2＝p2﹣4p+28，①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42解得：p1＝2，p2＝﹣2，当p＝﹣2时，∠POA＝60°，即点P、O、B在同一直线上，∴p≠﹣2，∴P（2，2），②若BP＝OB＝4，则p2﹣4p+28＝42解得：p1＝p2＝2，∴P（2，2）；③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣4p+28，解得：p＝2，∴P（2，2）；综上所述，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，2）；（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，此时，MC+OM＝MC+KM＝CK为最小值，理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK•OA，而∠MAO＝∠OAM，∴△AKM∽△AMO，∴＝，即：MC+OM＝MC+KM＝CK，CK＝＝5，即：MC+OM的最小值为CK＝5．5．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）6．【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，∴OD＝OC＝2＝m，∴m＝，∴D（）；（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，∴联立，解得，，∵点A在点B的左侧，∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AB＝＝3，∵直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h＝2×＝，∴S△APB＝AB•h＝×3×＝3；（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为（m+2）﹣m＝2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，∴MN＝BM＝，∵，∠QMN＝∠BMQ，∴△MNQ∽△MQB，∴，∴，由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴直线AB与对称轴夹角为45°，∵点B、B′关于对称轴对称，∴∠BMB′＝90°，由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．即QB'+QB的最小值是．7．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a＝．故该抛物线解析式是：y＝（x+4）（x﹣2）或y＝x2+x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2；作PQ∥y轴交BC于Q，如图，设P（t，t2+t﹣2），则Q（t，﹣t﹣2），则PQ＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣t，S△PBC＝S△PBQ+S△PCQ＝•PQ•4＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+2）2+2，当t＝﹣2时，△PBC面积有最大值，最大值为2，此时P点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），∵PE＝OD，∴|﹣m|＝4|﹣m﹣2﹣m2﹣m+2|，∴m2+3m＝0或m2+5m＝0，∴m＝﹣3，m＝0（舍去）或m＝﹣5，m＝0（舍去）∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，此时△AMC的周长最小．∵直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y＝﹣．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，﹣）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2+2．8．【解答】解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）①y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝﹣2或8，x＝0，则y＝﹣4，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4），则函数的对称轴为：x＝3，则AB＝10，BC＝，AC＝，则AB2＝BC2+AC2，故△ABC为直角三角形；②作点M关于函数对称轴的对称点D（10，6），连接CD交函数对称轴于点P，则点P为所求，将点CD的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线CD的表达式为：y＝x﹣4，当x＝3时，y＝﹣1，故点P（3，﹣1），此时PM+PC的值最小为CD＝10．9．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3﹣），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CGsin∠CGB＝（3+）×＝，综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．11．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3…①；（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3…②；①点P的坐标为（﹣3+t，t），点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，即：[（6t﹣t2）]＝t，解得：t＝；（3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，点E是PQ的中点，则点E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，即点P（﹣，）即点P是AC的中点，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，则MH＝MB，则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，OM＝OC＝＝P′H，故PM+BM的最小值为．12．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．13．【解答】解：（1）连接AB，过点O作OP⊥AB交AB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点O关于AB的对称点P，∴OG＝PG，tan∠BAO＝＝，则∠BAO＝60°，则∠GOA＝∠GPA＝30°，∠GAO＝∠GAP＝∠PAH＝60°，则GA＝OA＝1，∵∠GAP＝∠PAH，∴AH＝AG＝1，则PH＝AHtan60°＝，故点P（3，）；（2）将点A，B，P的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+2；（3）连接PB，由题意得：AB＝4，AP＝AO＝2，BP＝BO＝＝2，则△ABP为直角三角形，△ABO、△ABP是两个全等的，均有一个角为30°的直角三角形，即AB＝OB＝2，AB＝4，AP＝OA＝2，∠PBA＝∠BAO＝30°，∠BAO＝∠BAP＝60°，当∠BMA＝∠BMC＝∠AMC＝120°时，MA+MB+MP的值最小（证明见备注），以BP边向上作等边三角形APA′，以AP边为基础向右作等边三角形APB′，连接AA′、BB′交于点M，则点M为所求点，BP＝2，则∠A′BO＝∠OBA+∠PBA+∠PBA′＝30°+30°+60°＝120°，则直线A′B的长度为2，倾斜角为30°，则x A′＝A′Bcos30°＝3，同理y A′＝3，故点A′（3，3），由点AA′的坐标可得，直线AA′的表达式为：y＝3（x﹣2）…①；同理可得：直线BB′的表达式为：y＝x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点M（，），故答案为：（，）．备注：已知三角形ABC，在其内部找一点P，使得PA+PB+PC为最小．如图，将三角形ABP逆时针旋转60度至三角形A'BP'，连接PP'，CA'．根据旋转变换，三角形P'BP为等边三角形，所以有PA+PB+PC＝P'A'+PP'+PC．利用两点之间线段最短，当点P，P'在直线CA'上时，所求为最短，于是，转化为下图：则∠BPC＝180°﹣∠BPP′＝180°﹣60°＝120°，∠BPA＝∠BP′A′＝180°﹣∠BP′P＝120°，故∠APC＝120°，故满足P的点，必须使∠APB＝∠BPC＝∠APB＝120°．14．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x，故：答案为：1，4，45°；（2）设直线BP交y轴于点H，∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，∴△HOB≌△AOB（AAS），∴OA＝OH＝4，即点H（0，4），则直线PB的表达式为：y＝kx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：y＝x+4，将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），则点P（﹣，）；（3）①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，设点C（m，m），CD＝2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝，则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），则CF＝DE＝，CF∥ED，故四边形CDEF为平行四边形；②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，。
新课标下中考压轴题——双抛物线型解法例析
能力要求 高 、 突显数 学 思 想 方法 的运 用 以及 要 求 考 一
生具有一 定 的创 新 意识 和创 造能 力等特 点 ．本文 选
取 了 四道典型 的 中考试 题 予 以解 释 ． １ 以横轴 为对称 轴 的双抛物 线型压 轴题
ｎ ＝一（ 一４ ｍ ）＝ 一（ 一ｍ） ＋４ ，
线 为背 景立意 的综合 性 压 轴题 ， 它集 知 识 、 方法 、 能
（ ） 点 Ｂ ｍ，） Ｌ ： 一 上 任意一 点 ， ２设 （ ｎ 为 。Ｙ＝ ４
贝 ＝ｍ ０ ｎ 一４ ） （ ． 因为 四边 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是 平行 四边 形 ， Ａ、 于 点 Ｃ关
原 点 ０对 称 ， 以 、 所 Ｄ关 于原点 ０对称 ，
易知 ， 当且仅 当 Ｂ ＝Ａ ＝２时 ， ＢＣ Ｏ Ｏ ￣Ａ Ｄ为矩 形 ， Ｒ ＡＯ Ｈ 中， 在 ｔ Ｂ 由勾股定 理得 ，
（ ）求 厶 的解 析式 ； １ （ ）求证 ： Ｄ一定 在 上 ； ２ 点 （ ）２ ＢＣ ３ ｔＡ Ｄ能否 为矩 形 ？ ７ 如果 能 为矩 形 ， 这 求
、
然后再努力去证明自己的猜想， 一般都能成功 ．
２ 以纵 轴 为对称 轴 的双 抛物 线型 压轴题
例 ３ 如 图 ４ 抛物 线 ，
Ｙ－ Ｆ Ｆ
Ｂ 设点 Ａ的横 坐标 为 ｍ， ｍ ＞０ Ｃ， 且 ．
（ ）当 ｍ ＝ １ ， 点 Ａ、 １ 时 求
一
（ Ｂ不与 Ａ、 ｃ重合 ）抛 物线 。 ， 与 关 于 轴对称 ，
以Ａ Ｃ为对角线 的平 行 四边 形 Ａ Ｃ 的第 四个 顶 点 ＢＤ
为 Ｄ ．
４上 ， 设 点 Ｂ 的坐 标 为 （ 。 一４ ， Ｏ ＝ 可 ， ）则 Ｈ
中考数学专题复习――压轴题(含答案)
中考数学专题复习――压轴题(含答案)中考数学专题复习――压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）2.2. 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，2)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在Rt△ABC中，A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．H QC4.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN 为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？P 图35、如图1，已知双曲线y=BD 图2B图1k(k0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试x解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k(k0)于P，Q两点，点P在第一x象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 47.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4―6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k= 1，求BE2 DG2的值．28.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t 0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满．．AB．．足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△B EF的面积为S，求S的取值范围.10.如图，抛物线L1:y x2 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x 轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.11 20XX年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸．已知标准纸的短边长为a．．．．（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B 处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是，AD，AB的长分别是，．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M 90，MN MQ 2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．4开a2开8开开图1D FA ED GBE 图2CBF 图3C13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD ＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．C A E F B14．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y （1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．k的图象上．x15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O(0，2秒时，动点P从点A出发以3相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；PQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D （2）当t 1时，如图1，将△O的坐标；（4）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．图117.如图16，在平面直角坐标系中，直线y x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2x c(a 0)经过A，B，C三点．3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(20XX年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C 的对应点为点D，抛物线y ax2 bx c过点A，E，D．（1）判断点E 是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19.(20XX年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y 与直线y32x 3与x轴交于点A，点B，433x b相交于点B，点C，直线y x b与y轴交于点E．44（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？20.(20XX年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB sin∠OAB=. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S QMN，△QNR的面积S QNR，求S QMN∶S QNR的值.21.(20XX年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x 轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2 (m 2)x n 1 0的两根:(1) 求m，n的值(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由`11 的值CMCNL`22.(20XX年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）223.(天津市20XX年)已知抛物线y 3ax2 2bx c，（Ⅰ）若a b 1，c 1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a b 1，且当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；x2 1时，（Ⅲ）若a b c 0，且x1 0时，对应的y1 0；对应的y2 0，试判断当0 x 1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(20XX年大庆市)如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .GAF①GAB② ECDC25. （20XX年上海市）已知AB 2，AD 4，DAB 90，AD∥BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．AC B B E C备用图图1326. （20XX年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设A管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （20XX年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．2图①P28. （20XX年江苏省南通市）已知双曲线yk1与直线y x相交于A、B两点.第一象限x4k上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y 上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过Nxk（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y 于点E，交BD于点C.x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA ＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29. （20XX年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）图1 图2 图3 图4压轴题答案c 31. 解：（1）由已知得：解得1 b c 0c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为y x 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S2111AO BO (BO DF) OF EF DF*****= 1 3 (3 4) 1 2 4 222==9（3）相似如图，222所以BD BE 20, DE 20即：BD BE DE,所以BDE是直角三角形222所以AOB DBE 90 ,且所以AOBAOBO,BDBE2DBE.2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，∴tan OAB233，10 8∴ OAB 60当点A在线段AB上时，∵ OAB 60 ，TA=TA，∴△ATA是等边三角形，且TP TA ，∴TP (10 t)sin60113(10 t)，A P AP AT (10 t)，222∴S S A TP1 A P TP (10 t)2，282 当A与B重合时，AT=AB= 4，sin60所以此时6 t 10.(2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA 与CB的交点)，当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2 t 6.(3)S存在最大值1当6 t 10时，S ○(10 t)2，8在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是23.2当2 t 6时，由图○1，重叠部分的面积S S○ A TP S A EB ∵△AEB的高是A Bsin60 ，∴S31(10 t)2 (10 t 4)2 822( t2 4t 28) (t 2)2 43 88当t=2时，S的值最大是4；3当0 t 2，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA与○CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ EFT FTP ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴S11EF OC 4 23 43 22综上所述，S的最大值是4，此时t的值是0 t 2. 3. 解：（1）A Rt ，AB 6，AC 8，BC 10．1点D为AB中点，BD AB 3．DHB A 90，B B．△BHD∽△BAC，*****12 AC 8 ．，DH *****05（2）QR∥AB，QRC A 90．C C，△RQC∽△ABC，RQQCy10 x，，*****3x 6．5即y关于x的函数关系式为：y （3）存在，分三种情况：①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM．1 2 90，C 2 90，1 C．H QC84QM4cos 1 cosC ，，105QP51 3x 6 425 ，x 18．*****②当PQ RQ时，HQCQ312x 6 ，55x 6．③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC 的中点，11CR CE AC 2．24QRBAtanC ，CRCA3x 6156 ，x ．2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．524. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴ △AMN ∽ △ABC．图1xAN∴ AM AN，即．43ABAC3∴ AN＝x．……………2分4∴ S=S MNP S AMN133x x x2．（0＜x＜4）……………3分2481MN．2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC．由（1）知△AMN ∽ △ABC．BQD 图2xMN∴ AM MN，即．45ABBCx，45∴ OD x．…………………5分8∴ MN过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ OD5x．8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA．∴ BM QM．BCAC55 x25x，AB BM MA 25x x 4．∴ BM*****96．4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． (7)分49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP．∴ x＝∴ AM AO 1．AM＝MB＝2．ABAP2故以下分两种情况讨论：3① 当0＜x≤2时，y SΔPMN x2．8∴ 当x＝2时，y最大3232 . ……………………………………8分82P② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵ 四边形AMPN是矩形，∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形．∴ FN＝BM＝4－x．∴ PF x 4 x 2x 4．又△PEF ∽ △ACB．图4PF S PEF∴ ．AB S ABC∴ S PEF232x 2 ．……………………………………………… 9分23392y S MNP S PEF＝x2 x 2 x2 6x 6．……………………10分8282929 8当2＜x＜4时，y x 6x 6 x 2．88 38时，满足2＜x＜4，y最大2．……………………11分38综上所述，当x 时，y值最大，最大值是2．…………………………12分3k5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）m∴ 当x(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ。
抛物线压轴题考点及解决技巧
抛物线压轴题考点及解决技巧摘要：1.抛物线压轴题概述2.抛物线压轴题的考点a.抛物线的性质b.抛物线与直线的关系c.抛物线与坐标轴的关系d.抛物线的顶点3.解决抛物线压轴题的技巧a.利用抛物线的性质b.利用抛物线与直线的关系c.利用抛物线与坐标轴的关系d.利用抛物线的顶点4.例题解析5.总结与建议正文：抛物线是中学数学中的重要内容，其在压轴题中的出现频率相当高。
对于许多学生来说，抛物线压轴题往往显得难度较大，因此掌握一定的解决技巧显得尤为重要。
本文将为大家介绍抛物线压轴题的考点及解决技巧，希望能为大家带来帮助。
首先，我们来了解一下抛物线压轴题的概述。
抛物线压轴题通常涉及抛物线的性质、抛物线与直线的关系、抛物线与坐标轴的关系以及抛物线的顶点等多个方面。
要解决这类问题，关键是熟练掌握抛物线的各种性质和公式。
接下来，我们来详细了解一下抛物线压轴题的考点。
1.抛物线的性质：包括抛物线的开口方向、对称轴、焦距等。
这些性质在解决抛物线与直线的关系时尤为重要。
2.抛物线与直线的关系：掌握抛物线与直线的交点、切线等知识点，能够帮助我们解决抛物线与直线相交、相切等问题。
3.抛物线与坐标轴的关系：了解抛物线与坐标轴的交点、对称性等知识点，能够帮助我们解决抛物线与坐标轴的位置关系问题。
4.抛物线的顶点：掌握顶点的求法及顶点坐标，能够帮助我们快速找到抛物线的最值、对称轴等信息。
在了解了抛物线压轴题的考点后，我们来看看解决抛物线压轴题的技巧。
1.利用抛物线的性质：在解决抛物线问题时，可以充分利用抛物线的性质，例如对称性、单调性等，简化问题。
2.利用抛物线与直线的关系：当抛物线与直线相交时，可以利用解析几何知识求解交点坐标；当抛物线与直线相切时，可以利用导数求解切线方程。
3.利用抛物线与坐标轴的关系：解决抛物线与坐标轴的位置关系问题时，可以利用对称性快速求解。
4.利用抛物线的顶点：在解决抛物线问题时，可以尝试寻找顶点，从而找到最值、对称轴等信息。
新课标下中考压轴题--双抛物线型解法例析
． ．
以 Ａ、 Ｎ、 为 顶点 的 四边形 是平 行 四边形 。若 Ｃ、 Ｍ 存 在 ， 点 Ⅳ 的坐 标 ； 不 存 在 ， 说 明 理 由 。 求 若 请 解析 ： Ｙ： 当 ０时， ＋４ ０ ＋３ ， 之 ， ＝０ 解 得 ｌ ＝ ３ ＝ 一１ ．Ａ、 ， ， ，． Ｂ点 坐 标 分 别 为 （ ， ） （一１ ． 一３ ０ ， ， ０ 。当 ＝０ ， ） 时 Ｙ＝３ ． 点坐标为（ ， ）Ａ、 ｇ Ｍ ０ ３ ， Ｂ、 三 点关 于 Ｙ轴 的 对 称 点 分 别 是 Ｄ、 ＇． Ｃ坐 Ｃ、 ．Ｄ、 ． 标 为 （ ，） （ ，） ３０ ， １０ 。 设 Ｆ的解 析 式 为 Ｙ＝ ＋ｈ ＋３ 则 有 ，
易知 ， 当且仅当 Ｂ Ｏ＝Ａ Ｏ＝２ ，Ａ Ｃ 时 Ｂ Ｄ为矩形 ， 在 Ｒ／ Ｏ Ｈ 中， ｔ， Ｂ ＇ 由勾股定理得 ｝ １ ； ｎ ＋Ｉ ～４１
・
‘
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’
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．
一
即点 Ｄ的坐标满足 ｙ 一 ＋４ ： ，
‘ ． ．
点 Ｄ在 上 。
（） 口 Ｄ是矩形 。如图 ２ 过点 做 Ｂ ３Ａ Ｃ ， Ｈ上 轴 于 ， 由点 在 ． ０ 上 ， ： ＝ —４ 可设 点 Ｂ的坐标为
（０ ３ ４ ，０ Ｈ： ，Ｈ＝ ３ ４ ， — ）贝 ｏＢ — 。 Ｏ
难点 剖析
３ ６
Ｓ
新 标 中 压 题 — 抛 线 解 例 课 下 考 轴 — 双 物 型 法 析
■ 程
近 年 在 各 地 中考 试题 中 出 现 了 一类 以双 抛 线 为 背 景 立 意 的 综合 性 压 轴 题 ， 集 知 识 、 法 、 力 于 它 方 能 体 ， 在 考 查 考 生 综 合 应 用 数 学 知 识 解 决 问 题 的 重 能 力 ， 有 较 强 的探 索 性 。 这 类 试 题 是 中 考 数 学 试 具 题的精华部分 ， 具有知识 容量 大 、 题方法 多 、 解 能力 要求高 、 突显数学思想方 法的运用 以及要 求考 生具 有一定 的创新意识和创造能力等特点。本文选 取了 其 中的两道典型 的中考试题予以解释。 以横轴为对称轴 的双抛物线型压轴题 例 ｌ 如 图 １ 已知抛 物 线 Ｌ 为 ｙ＝ —４ 其 图 ， ， 象 与 轴 相交 于 Ａ、 Ｃ两 点 ， 曰是 抛 物 线 ￡ 上 的 动点 ， （ 日与 Ａ、 Ｇ不 重合 ） 抛 物线 与 Ｌ 关 于 轴对 ， １ 称， Ａ 以 Ｃ为对角线的平行 四边形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的第 四个顶 点 为 Ｄ。 （ ） 厶 的解 析 式 。 １求 （） ２ 求证 ： 点 一 定在 上 。 ２ （ ） 曰 Ｄ能否 为矩形？如果 能为矩 形 ， ３ 口Ａ Ｃ 求这
初中数学抛物线压轴题技巧
初中数学抛物线压轴题技巧初中数学抛物线压轴题涉及的知识点主要有二次函数、二次方程、二次不等式等，同时也考察了转化思想和方程思想等。
下面将结合具体题目，给出一些解题技巧和注意事项。
一、审题技巧审题是解题的第一步，也是最关键的一步。
在抛物线压轴题中，审题需要关注以下几个方面：明确题目所给的条件和问题，包括已知抛物线的方程、开口方向、顶点坐标、对称轴等，以及需要解决的问题，如求某一点的坐标、求某个量的值等。
理解抛物线的几何性质，如对称性、开口大小和方向等，这些性质有助于将问题转化为数学表达式。
寻找已知条件和问题之间的联系，通过转化思想和方程思想等，将问题转化为数学表达式，建立数学模型。
二、解题技巧在抛物线压轴题的解题过程中，需要注意以下几点：利用已知条件列方程：根据题目给出的条件，列出关于未知数的方程。
如果涉及到点的坐标，需要将几何问题转化为代数问题。
解方程求出未知数：通过解方程求出未知数的值。
在解方程时，需要注意方程的解的合理性，避免出现不符合实际情况的解。
检验解的正确性：在求出未知数的值之后，需要进行检验，确保所得解是正确的。
可以通过将解代回原方程或利用其他方法检验。
总结答案：在得出解之后，需要将解进行整理和总结，形成完整的答案。
同时需要注意答案的表述方式，尽量使用数学语言进行表述。
三、举例说明例如，已知抛物线y=x 2上有三个点(x 1 ,y 1)，(x 2 ,y 2 )，(x 3 ,y 3)，且x 1<x 2 <x 3。
若这三个点到直线y=kx+b 的距离分别为d1，d2和d3，则下列关系式一定成立的是( )A.d 1<d 2<d3B.d3<d2<d1C.d1<d3<d2D.d2<d3<d1首先观察题目所给的抛物线方程y=x2，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为原点。
接下来我们根据抛物线的性质来分析题目中的选项。
对于选项A：由于抛物线开口向上，当x的值增大时，y 的值也会增大。
江苏专版【中考压轴题突破系列08】二次函数中的双抛物线问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题1．如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A 与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：y＝（x﹣2）2﹣1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2（x﹣h）2+k，写出a1与a2的关式，并说明理由．2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣101234…y 0﹣m﹣4﹣3﹣4﹣3﹣0…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x2﹣2﹣3＝0有个实数根；②函数图象与直线y＝﹣3有个交点，所以对应方程x2﹣2﹣3＝﹣3有个实数根；③关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，a的取值范围是．3．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m ﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G 的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由．4．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△P AM的面积最大？若存在，求出△P AM的面积的最大值；若不存在，说明理由．5．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D 1，D2，使得＝＝S△ABC．并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．解：（1）y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0时，y＝×（0﹣2）2﹣1＝1，即C点的坐标是（0，1），∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴是直线x＝2，∴点C关于直线x＝2的对称点D的坐标是（4，1），即D点的坐标是（4，1），故答案为：（4，1）；（2）y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），设l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，∵由“友好”抛物线的定义，l4过点（2，﹣1），∴﹣1＝a（2﹣4）2+1，解得：a＝﹣，∴l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，∴l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4；（3）a1+a2＝0，理由是：∵抛物线y＝a1（x﹣m）2+n与抛物线y＝a2（x﹣h）2+k互为“友好”抛物线，∴，方程的两边相加得：k+n＝（a1+a2）（m﹣h）2+n+k，即（a1+a2）（m﹣h）2＝0，∵m≠h，∴a1+a2＝0．2．解：（1）根据函数的对称性可得m＝﹣3，故答案为：﹣3（2）画出的函数图象如图所示；（3）由函数图象知：①函数的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个实数根；②由函数图象知：的图象与直线y＝﹣3有3个交点，∴方程有3个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3，故答案为：2，3，3，﹣4＜a＜﹣3．3．解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1＝a（x﹣1）2﹣4，将E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）设G[p，0.6（p+1）]，代入函数关系式，得，（p﹣1）2﹣4＝0.6（p+1），解得p1＝3.6，p2＝﹣1（舍去），所以点G坐标为（3.6，2.76）．由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），则AH＝4.6，GH＝2.76，∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴当x＝﹣1时，y＝0，∴直线y＝mx+m过点A，延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴．∵FH∥x轴，∴∠QPH＝∠QAR，∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，∴△AQR∽△PHQ，∴＝＝0.6，设Q[n，0.6（n+1）]，代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），∵n+1≠0，∴m＝0.6．四边形CDPQ为平行四边形，理由如下：连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DK⊥x轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，∴点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，∴＝＝0.6，∴tan∠KSD＝tan∠QAR，∴∠KSD＝∠QAR，∴AQ∥CS，即CD∥PQ．∵AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH，∴PQ＝CD，∴四边形CDPQ为平行四边形．4．解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，∵m≠0，∴x2+4x﹣12＝0，解得，x1＝﹣6，x2＝2，∵点M在点N的左边，∴M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，理由如下：如图2，连接AM，PO，PM，P A，∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），∴﹣12n＝﹣3，∴n＝，∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），∴S△P AM＝S△PMO+S△P AO﹣S△AOM＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3＝﹣t2﹣t，＝﹣（t+3）2+，∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，∴根据二次函数的图象和性质知，当m＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△P AM的面积有最大值，最大值为．5．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；（2）∵抛物线M1与M2交于点B，∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x＝3，∴B（3，3），将点B（3，3）代入y＝kx，得，k＝1，∴y OB＝x，∵抛物线M2与直线OB交于点C，∴x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝3，x2＝6，∴C（6，6），∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣m2+10m﹣18），∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，＝﹣3（m﹣）2+，在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），∵B（3，3），∴3≤m≤4，∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；（3）的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则y EH＝x﹣k，∴令x﹣k＝﹣x2+4x，解得，x1＝，x2＝，∴x F＝，x E＝，令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝，x2＝，∴x H＝，x G＝，∴ME＝x G﹣x E＝﹣＝3，FN＝x H﹣x F＝﹣＝3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，∴△GEM∽△HFN，∴＝，∴＝＝＝1，∴的值是定值1．6．解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵曲线N交y轴于点C，∴C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，∵Rt△BOC为等腰直角三角形，∴OO'＝OH＝O'H＝1，∵HB＝2，∴O'B＝，∵O'B是△ABC外接圆的半径，∴△ABC外接圆的面积＝5π；（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），∴m≥3或m≤﹣1；①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，＝，解得n＝2﹣或n＝2+，∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），∴﹣1≤m≤3，③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝0或m＝2，＝，解得n＝3或n＝1，∴Q（1，0）或Q（3，0），∵Q（3，0）与B（3，0）重合，∴Q（1，0）；④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）∵＝＝S△ABC，∴D1D2所在直线与直线BC平行，∵BC＝3，设A点到BC的距离为h，∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，∴h＝2，∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，∴b﹣3＝4，∴b＝7，∴y＝﹣x+7，联立，解得x＝或x＝，∴D1（，），D2（，）；联立，解得x无解；综上所述：D1（，），D2（，）；∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，∴|t﹣3|＝，∴t＝或t＝，∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，联立，解得x＝或x＝﹣，∴x＝﹣，∴T1（﹣，）；联立，解得x＝或x＝，∴T2（，）或T3（，）；当点在N上时，﹣1≤x≤3，联立，解得x＝（舍）或x＝，∴T4（，）；联立，解得x＝，∴T5（，）；综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．。
中考数学之二次函数抛物线压轴题的解法与知识点复习
中考数学之二次函数抛物线压轴题的解法与知识点复习
小题不丢分，大题多得分
今天有空详细解答一道来自重庆知名巴蜀中学的一道二次函数压轴题，题目不错，有点难度但知识点都是初三学生都应该掌握的。
该题常规考查抛物线解析式的求法、抛物线中动点三角形面积的最值求法、含特定系数线段与几个线段和的最小值求法、平行四边形存在性问题的动点坐标求法。
笔者建议每一个准备参加今年中考的学生仔细阅读我的解题思路和解题步骤，定能有所获益。
如果你觉得有帮助，请分享给您的学生、您的学生娃，呵呵，但不要分享给你的classmates（你懂的）。
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佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法近几年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。
这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。
本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。
一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4 得 a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1 ,y1)∵点B在l1上∴B(x1 ,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1 ,-x12+4).将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD 的面积为S,则S=2*S △ABC =AC*|y 1|=4|y 1|a.当点B 在x 轴上方时，y 1＞0∴S=4y 1 ,它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而增大， ∴S 既无最大值也无最小值b.当点B 在x 轴下方时，-4≤y 1＜0∴S=-4y 1 ,它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而减小， ∴当y 1 =-4时，S 由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y 轴上，它的对称点D 也在y 轴上. ∴AC ⊥BD∴平行四边形ABCD 是菱形 此时S 最大=16评析:本题条件简明，有较强的探索性。
第（3）问溶四边形、函数知识于一体，体现了数形结合与分类讨论的思想。
二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题例2、（2006十堰市）已知抛物线1C ：22y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接AC ，BC ，AB ．注：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________； （2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由；（3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形？如果存在，请求出m 的值；如果不存在，请说明理由．26．（1）22y x mx n =--+．（2）当1m =时，ABC △为等腰直角三角形． 理由如下：如图：Q 点A 与点B 关于y 轴对称，点C 又在y 轴上，AC BC ∴=．过点A 作抛物线1C 的对称轴交x 轴于D ，过点C 作CE AD ⊥于E ．∴当1m =时，顶点A 的坐标为()11A n +，，1CE ∴=．又Q 点C 的坐标为()0n ，，11AE n n ∴=+-=．AE CE ∴=．从而45ECA =o ∠，45ACy ∴=o∠．由对称性知45BCy ACy ==o∠∠，90ACB ∴=o∠．ABC ∴△为等腰直角三角形．（3）假设抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，则PC AB BC ==． 由（2）知，AC BC =，AB BC AC ∴==． 从而ABC △为等边三角形30ACy BCy ∴==o ∠∠．Q 四边形ABCP 为菱形，且点P 在1C 上，∴点P 与点C 关于AD 对称．PC ∴与AD 的交点也为点E ，因此903060ACE =-=o o o ∠．Q 点A C ，的坐标分别为()()20A m m n C n +，，，，22AE m n n m CE m ∴=+-==，． 在Rt ACE △中，2tan 603AE m CE m===o．3m ∴=，3m ∴=±．故抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，此时3m =±y评析:本题立意新，集计算、推理于一体，体现了对称的思想、方程的思想与数形结合的思想。
三、以原点对称点的双抛物线型压轴题例3、（2006山西省）如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A (－4，0)、B (－2，0)、E (0，8)。
（1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；（2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S 。
若点A 、点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M 、点N 同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止。
求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由。
解：（1）点A （－4，0），点B （－2，0），点E （0，8）关于原点的对称点分别为D （4，0），C （2，0），F （0，－8）设抛物线C 2的解析式是)0(2≠++=a c bx ax y则⎪⎩⎪⎨⎧-==++=++80240416c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=861c b a所以所求抛物线的解析式是862-+-=x x y（2）由（1）可计算得点M （－3，－1），N （3，1）过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H 。
当运动到时刻t 地，AD=2OD=8－2t ，NH=1+2t根据中心对称的性质OA=OD ，OM=ON ，所以四边形MDNA 是平行四边形 所以ADN S S ∆=2所以，四边形MDNA 的面积8144)21)(28(2++-=+-=t tt t S因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知40<≤t 。
所以，所求关系式是81442++-=t t S ，t 的取值范围是40<≤t（3）481474+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t S ，（40<≤t ） 所以47=t 时，S 有最大值481提示：也可用顶点坐标公式来求。
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形。
由（1）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD 、MN ，所以当AD=MN 时四边形MDNA 是矩形。
所以OD=ON 。
所以2222NH OH ON OD +==所以0242=-+t t 。
解之得262621--=-=t t ，（舍）。
所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时26-=t评析:本题把双抛物线中运动变化的几何图形放到直角坐标中，来解决相关问题，充分体现了函数的思想、方程的思想以及数形结合的思想，颇具探索性。
在以上三道中考压轴题中，数形结合、分类讨论、方程函数的数学思想得到了充分体现，成为支撑综合性试题的核心。
每道试题又都具有很强的探索性，这种探索过程是固本，是求新，是中考数学压轴题的生命力的体现。
解好这类综合题必须具备三种能力：一是语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。
解综合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。
二是概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。
三是数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路。
练习：1.（2008年南昌） 如图，抛物线y 1=-ax 2-ax+1经过点P 19,28⎛⎫- ⎪⎝⎭,且与抛物线y 2=ax 2-ax-1相交于A B ，两点． （1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？解：（1）Q 点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，1191428a a ∴-++=， 解得12a =．（2）由（1）知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x--+=时，解得12x =-，21x =． Q 点M 在点N 的左边，2M x ∴=-，1N x =．当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． Q 点E 在点F 的左边，1E x ∴=-，2F x =．0M F x x +=Q ，0N E x x +=，∴点M 与点F 对称，点N 与点E 对称．（3）102a =>Q ．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上．根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．A B x x x Q ≤≤，∴当0x =时，CD 有最大值2．2.（2008年烟台） 如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.y P AO BM E NFy P AO BDQC佳题赏析 双抛物线型中考压轴题解法一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L 1: y=x 2-4的图像与x 有交于A 、C 两点， （1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式； （2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ，求证：点D 在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。