双抛物线型中考压轴题解法赏析

佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法

近几年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。

一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题

例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，

（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；

（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；

（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k

∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，

∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）

∴y=ax2+4

∴0=4a+4 得 a=-1

∴l2的解析式为y=-x2+4

(2)设B(x1 ,y1)

∵点B在l1上

∴B(x1 ,x12-4)

∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

∴B、D关于O对称

∴D(-x1 ,-x12+4).

将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4

∴左边=右边

∴点D在l2上.

(3)设平行四边形ABCD 的面积为S,则

S=2*S △ABC =AC*|y 1|=4|y 1|

a.当点B 在x 轴上方时，y 1＞0

∴S=4y 1 ,它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而增大， ∴S 既无最大值也无最小值

b.当点B 在x 轴下方时，-4≤y 1＜0

∴S=-4y 1 ,它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而减小， ∴当y 1 =-4时，S 由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y 轴上，它的对称点D 也在y 轴上. ∴AC ⊥BD

∴平行四边形ABCD 是菱形 此时S 最大=16

评析:本题条件简明，有较强的探索性。第（3）问溶四边形、函数知识于一体，体现了数形结合与分类讨论的思想。

二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题

例2、（2006十堰市）已知抛物线1C ：2

2y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接

AC ，BC ，AB ．

注：抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________； （2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由；

（3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形？如果存在，请求出m 的值；如果不存在，请说明理由．

26．（1）2

2y x mx n =--+．

（2）当1m =时，ABC △为等腰直角三角形． 理由如下：

如图：Q 点A 与点B 关于y 轴对称，点C 又在y 轴上，

AC BC ∴=．

过点A 作抛物线1C 的对称轴交x 轴于D ，过点C 作CE AD ⊥于E ．

∴当1m =时，顶点A 的坐标为()11A n +，，1CE ∴=．

又Q 点C 的坐标为()0n ，，

11AE n n ∴=+-=．AE CE ∴=．

从而45ECA =o ∠，45ACy ∴=o

∠．

由对称性知45BCy ACy ==o

∠∠，90ACB ∴=o

∠．

ABC ∴△为等腰直角三角形．

（3）假设抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，则PC AB BC ==． 由（2）知，AC BC =，AB BC AC ∴==． 从而ABC △为等边三角形

30ACy BCy ∴==o ∠∠．

Q 四边形ABCP 为菱形，且点P 在1C 上，∴点P 与点C 关于AD 对称．

PC ∴与AD 的交点也为点E ，因此903060ACE =-=o o o ∠．

Q 点A C ，的坐标分别为()

()20A m m n C n +，，，，

22AE m n n m CE m ∴=+-==，． 在Rt ACE △中，2

tan 603AE m CE m

===o

．

3m ∴=，3m ∴=±．

故抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，此时3m =±

y

评析:本题立意新，集计算、推理于一体，体现了对称的思想、方程的思想与数形结合的思想。

三、以原点对称点的双抛物线型压轴题

例3、（2006山西省）如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A (－4，0)、B (－2，0)、E (0，8)。

（1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；

（2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S 。若点A 、点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M 、点N 同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止。求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说

明理由。

解：（1）点A （－4，0），点B （－2，0），点E （0，8）

关于原点的对称点分别为D （4，0），C （2，0），F （0，－8）

设抛物线C 2的解析式是

)0(2≠++=a c bx ax y

则⎪⎩⎪

⎨⎧-==++=++80240

416c c b a c b a 解得⎪⎩

⎪

⎨⎧-==-=861c b a