高一数学必修四总复习题及答案

第1题．已知A B C ，，三点的坐标分别是(30)(03)(cos sin )A B C αα，，

，，，，其中π3π

22

α<<

． （1）若AC BC =u u u r u u u r

，求α的值；

（2）若1AC BC =-u u u r u u u r ·，求

22sin sin 21tan αα

α

++的值． 解：（1）有(30)(03)(cos sin )αα，，，，，A B C ． (cos 3sin )AC αα=-u u u r ，，(cos sin 3)BC αα=-u u u r ，．

AC BC =u u u r u u u r

Q ，2222(cos 3)sin cos (sin 3)αααα∴-+=+-，

cos sin αα∴=，tan 1α∴=． π3π22α<<

Q ，5π

4

α∴=． （2）由（1）知(cos 3sin )(cos sin 3)AC

BC αααα=--u u u r u u u r

，，· (cos 3)cos sin (sin 3)αααα=-+-·· 22cos 3cos sin 3sin αααα=-+-

13(cos sin )αα-+， 1AC BC =-u u u r u u u r Q ·，13(cos sin )1αα∴-+=-，

2cos sin 3αα∴+=．

平方，得5

2sin cos 9

αα=-，

222sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )52sin cos sin cos sin 1tan 91cos cos αααααααααααααααα

+++∴====-+++

．

第2题．向量12，e e 是夹角为60o 的两个单位向量，求向量122a e e =+与1232b e e =-+的夹角．

解：1212(2)(32)=+-+··a b e e e e 2211

21226432e e e e e e =-+-+··127

4cos602

e e =-+=-o ，

122a e e =+=

=

1232b e e =-+

==．

夹角θ

满足7

1cos 2a b a b θ-

===-·． ∴向量a 与b 的夹角为120o ．

第3题．我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等，请你选择

适当的顺序探究函数()f x 的性质，并在此基础上，作出函数()f x 在

[ππ]-，上的图象． 解：①1sin 01sin 0x x -⎧⎨+⎩

Q ，

，≤≥

()f x ∴的定义域为R ；

②()f x -=

Q ()f x ==， ()f x ∴为偶函数．

③(π)()f x f x +=Q ，

()f x ∴是周期为π的周期函数；

④()sin cos sin cos 2222x x x x f x ==-++Q ，

∴当π02x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，()2cos 2x f x =；

当ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin 2x f x =．

∴当π02x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 单调递减，

当ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，()f x 单调递增．

又()f x Q 是周期为π的偶函数，

()f x ∴在πππ()2k k k ⎡

⎤+∈⎢⎥⎣

⎦Z ，上单调递减．

⑤Q 当π02x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，

时，()2cos 2x f x =∈；

当ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，

时，()2sin 2x f x =∈，

()f x ∴

的值域为； 由以上性质可得()f x 在[ππ]-，上的图象如图所示．

第4题．已知π3cos 45α⎛

⎫+= ⎪⎝⎭

，π3π22α<≤，则cos α= ．

y

x

O π-

π2- π

2

π

答案：

第5题．给出下列命题：①存在实数x ，使π

sin cos 3

+=

x x ；②若αβ，是锐角ABC △的内角，则πsin cos 2αβ>；③函数2

7πsin 3

2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向右平

移

π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象．

其中正确命题的序号是 ．

答案：①②③

第6题．tan 29tan3129tan31+=o o o

o ·

．

第7题．函数cos 1

sin 2

x y x -=+的值域是 ．

答案：403⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

，

第8题．要由函数1

πsin 2

6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数sin y x =的图象，下列变换正确的是

（ ）

Ａ．向左平移π

6

个单位长度，再将各点横坐标变为2倍 Ｂ．向左平移π6个单位长度，再将各点横坐标变为12 Ｃ．向右平移π

3

个单位长度，再将各点横坐标变为2倍 Ｄ．向右平移

π3个单位长度，再将各点横坐标变为12

答案：Ｄ

第9题．已知函数()(sin cos )f x a x x b =++，若0a <，且[0π]x ∈，时，()f x 的值域是[34]，，则a b ，的值分别是（ ）

Ａ．1-+ Ｂ．1

Ｃ．1-+

Ｄ．1答案：Ｂ

第10题．定义在R 上的函数()f x ，既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，