常见数的整除特征
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
初等数论讲稿几种常见数的整除特征
初等数论讲稿几种常见数的整除特征初等数论是数论的一部分，主要研究自然数的性质和整数之间的关系。
在初等数论中，我们经常遇到一些特殊的数，它们具有特定的整除特征。
本文将介绍几种常见的数的整除特征。
首先，我们来讨论质数。
质数是只能被1和自身整除的自然数，比如2、3、5、7等。
质数的整除特征有两个：首先，任何自然数都可以被质数整除，这是因为质数本身没有其他的因数；其次，一个大于1的自然数若没有被小于等于它的任何一个质数整除，那就是质数，这就是质数的唯一性。
质数在密码学和随机数生成等领域有广泛的应用。
接下来，我们来讨论完全平方数。
完全平方数是可以写成一些自然数的平方形式的数，比如1、4、9、16等。
完全平方数的整除特征是，完全平方数的因数一定是成对出现的，即一个数的平方根之间的所有数都是它的因数。
例如，16的因数是1、2、4、8、16，可以看到它们是成对出现的。
然后，我们来讨论因子个数为奇数的数。
因子个数为奇数的数是指它的所有因数的个数是奇数的数。
例如，6的因数是1、2、3、6，共有4个，是偶数个；而9的因数是1、3、9，共有3个，是奇数个。
那么，什么样的数的因子个数为奇数呢？经过观察可以发现，只有完全平方数的因子个数为奇数。
因为对于一个完全平方数n，它的因数可以写成k的平方形式，其中k是小于等于n的自然数。
当n是完全平方数时，k的平方根只有一个，所以因子个数为奇数。
最后，我们来讨论约数和倍数。
一个数可以被另一个数整除，我们称之为约数。
而一个数可以整除另一个数，我们称之为倍数。
任何一个正整数都可以写成质数的乘积形式，所以对于给定的一个数，它的约数个数可以通过质因数分解的方式计算得到。
例如，对于数24，它的质因数分解是2^3*3^1，其中^表示幂。
那么它的约数个数可以计算为(3+1)(1+1)=8，其中3+1和1+1分别是2和3的幂次加1、而倍数则是一个数乘以任意整数得到的数，一个数的倍数个数是无穷大的。
例如，给定数3，它的倍数为3、6、9、12、15等。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、7、9、11、13、27、99等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除,那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
1、看末尾。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被4、25整除的数，末二位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被8、125整除的数，末三位数能被8整除，那么这个数能被8整除2、看数字和能被3整除的数,各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除,则该数就能被11整除。
3、截尾法能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595,59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11整除的数， 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1.如:242是不是11的倍数，24—2=22，所以242是11的倍数。
1232，123-2=121， 12—1=11，1232是11的倍数.能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
常见整数的整除规律
常见整数的整除规律（1）被“1”整除：任何数都能被1整除。
（2）被“2”整除：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
即偶数（3）被“3”整除：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）被“4”整除：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
（5）被“5”整除：个位上是0或5的数都能被5整除。
（6）被“6”整除：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
（7）被“7”整除：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
（8）被“8”整除：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
（9）被“9”整除：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
（10）被“10”整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除（11）被“11”整除：a.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
b.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）被“12”整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
组合判。
（13）被“13”整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）被“17”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
b.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（15)被“19”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
数的整除特征
一、1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.二、能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
三、能被3整除的数的特征1，若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2，由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。
如111令3整除。
四、能被4整除的数的特征X z若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
五、能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
六、能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
七、能被7整除的数的特征1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
同能被17整除的数的特征。
2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。
同能被11,13整除的数的特征。
八、能被8整除的数的特征若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
九、能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
十、能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
十一、能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！十二、能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
其他辨别方法十三、能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
数的整除特征
数的整除特征1、能被2整除的数：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
（个位数包括0在内的偶数。
）2、能被5整除的数：个位是0或者5.3、能被3（或9）整除的数：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数：末三位数能被8（或125）整除。
例1：判断65000能否被8整除？因为0除以8商0，所以65000能被8整除。
判断65250能否被8整除？因为250除以8商31余2.所以65250不能被8整除。
判断65250能否被125整除？因为250除以125商2.所以65250能被125整除。
6、能被11整除的数：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大的减小的）是11的倍数。
例1：判断4468798712322能否被11整除？这个数的奇数位上的数字之和是：2+3+1+8+7+6+4=31这个数的偶数位上的数字之和是：2+2+7+9+8+4=32两者的差：32-31=1，1不能被11整除。
所以这个数不能被11整除。
例2：判断502468934能否被11整除？这个数的奇数位上的数字之和是：4+9+6+2+5=26这个数的偶数位上的数字之和是：3+8+4+0=15两者的差：26-15=11，11能被11整除。
所以这个数能被11整除。
7、能被7（11或13）整除的数：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（11或13）整除的。
例1：判断446879能否被7整除？这个数的末三位数组成的数是：879。
这个数末三位以前的数字所组成的数：446。
两者的差：879-446=443，443除以7余2，不能被7整除。
所以这个数不能被7整除。
例2：判断319746能否被7整除？这个数的末三位数组成的数是：746。
这个数末三位以前的数字所组成的数：319。
两者的差：746-319=427，427除以7等61。
数的整除特征
数的整除特征数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11｜5，所以11｜123456789不能。
再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
常见数的整除特征
常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。
任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。
2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。
3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。
例如，30、80、120等。
4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。
5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。
例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。
6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。
7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。
例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。
8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。
例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。
9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。
根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。
特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。
11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。
例如，1、4、9、16等。
一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。
总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。
通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
数的整除特征及应用
数的整除特征及应用(一)姓名：一、知识要点：1．能被2、5、3、9整除的数的特征：2．能被4或25整除的特征：如果一个数的末两位能被4或25整除，那么这个数一定能被4或25整除。
如：4/3512 25/37253．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就一定能被8或125整除。
如：8/5816 125/837504．能被11整除的数的特征：如果一个数的奇位数字之和与偶位数字之和相减所得的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就一定能被11整除。
如：11/3861 11/909700225．能被7、11、13整除的数的特征：如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就可以被7、11、13整除。
如：123123能分别被7、11、13整除，123149能被13整除，167123能被11整除二、整除的性质1．若则b/a, c/b,则：c/a, 如： 9/54,3/9,3/542．若则b/a, c/b,则c/(a+b),如：4/24,4/12,4/(24+12)3．若则b/a,则b/(a×b),如：7/14,7/(14×3)三、例题：3AA它能被9整除，这个A代表多少？1．有一个四位数12．能同时被2、3、5整除的三位数中最小的是多少？3．四位数44整除，这个四位数是多少？4．36整除，求满足条件的所有六位数。
5．已知4、5、9整除，如果要使这个七位数尽可能小，那么这568，分别能被3、4、5整除，这个六位数最小、最大分别是多少？6．一个六位数abca679能被72整除，求符合条件的最小数是几？7．已知b8．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？9．个位数是6，且能被3整除的五位数共有多少个？10．用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的四位数，它们分别能被11整除？11．如果六位数33整除，那么这个数是多少？12．把144分成三个数，使这三个数能分别被2、3、7整除，并且所得的商相等，那么这三个数是，，。
数的整除特征总结
数的整除特征总结数的整除特征是指一个数能够被另外一个数整除时所具有的特征和规律。
在数学中，整除是一种基本的整数关系，研究整除特征可以帮助我们深入理解数学的基本概念和性质。
本文将总结数的整除特征，以便读者更好地理解和掌握整除的规律和应用。
1.一个数除以1等于它本身，这是整除的最基本特征。
任何一个数都能被1整除。
2.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a被b整除的余数为0。
3.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a能够被b的因数整除。
换句话说，如果a能够被b整除，那么b的所有因数也能够整除a。
4.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。
整除具有传递性。
5.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c的所有因数整除。
6.如果一个数能够被2整除，那么这个数一定是偶数。
偶数的特征是最后一位数字为0、2、4、6或87.如果一个数能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也能被3整除。
8.如果一个数能够被4整除，那么这个数的末尾两位组成的数能被4整除。
9.如果一个数能够被5整除，那么这个数的最后一位数字一定是0或510.如果一个数能够被6整除，那么这个数一定能被2和3同时整除。
11.如果一个数能够被8整除，那么这个数的末尾三位组成的数能被8整除。
12.如果一个数能够被9整除，那么这个数的各位数字之和也能被9整除。
13.如果一个数能够被10整除，那么这个数的末尾一定是0。
14.如果一个数能够被11整除，那么这个数的各位数字之差也能被11整除。
15.如果一个数能够被12整除，那么这个数一定能被3和4同时整除。
这些整除特征是数学中的常见规律和性质，通过了解和应用这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能够被另外一个数整除。
同时，这些特征也有助于我们解决问题和证明数学定理。
总结：数的整除特征是数学中的基本规律和性质，包括整除的基本定义、整除的性质、整除特征与数字的关系等。
掌握和应用整除特征可以帮助我们更好地理解数学的基本概念和性质，同时也有助于我们解决问题和证明定理。
奥数四年级-第九章 数论与组合
9-1 数的整除（一）
常见数的整除特征：
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个数各位数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
结论： 桌子上放着m根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～n根。规定谁取走最后一根火柴谁获 胜。 如果双方都采用最佳方法， 甲先取， 那么谁有必胜策略？
⑴ 若m÷ (1＋ n)＝ p；则乙有必胜策略。甲取几根，乙就取(n＋ 1)减几根。 ⑵ 若m÷ (1＋ n)＝ p……r；则甲有必胜策略。甲先取 r 根，然后乙取几根，甲就取 (n＋
1)减几根。
9-11 游戏与对策（二）
相似案例：甲、乙两人在1×100（100个格子）的长纸条上，从左向右移动一枚棋子 （这枚棋子在第一格上）。移动规则是：最少移动1格，最多移动3格，将棋子移动 最后一格者为输。甲有无获胜的策略？
解：甲先移两格，以后设乙移a格（1≤a≤3），甲便移4－a格，甲可获胜。
例6、一个售货员要在一排货架上摆放六本不同的杂志：M、O、P、S、T、V。货架上的六个位置从左到 右依次编号为1至6，已知杂志的摆放服从下列条件：
1号位置上摆放P或T； 6号位置上摆放S或T； M和O必须放在相邻的位置上；V和T必须放在相邻的位置。 回答下列问题(均为单项选择)： ⑴如果P放在3号位置，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．S放在5号位置 D．T放在6号位置 E．V放在2号位置 ⑵如果O和T放在了相邻的位置上，那么T可以放在几号位置？ A．1 B．2 C．4 D．5 E．6 ⑶下列哪个选项所描述的情形是可以出现的？ A．M放在4号位置且P放在5号位置 B．P放在4号位置且V放在5号位置 C．S放在2号位置且P放在3号位 置 D．P放在2号位置 E．S放在5号位置 3 ⑷如果V放在4号位置，那么T所在位置的号码一定比哪本杂志所在位置的号码小 1？ A．M B．O C．P D．S E．V ⑸如果S和V放在了相邻的位置上，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．P放在1号位置 D．S放在6号位置 E．T放在6号位置
数的整除的特征归类
数的整除的特征归类--蒋睿宇学习资料在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式：第一类：看被整除的这个数的末一位。
（也就是这个数的个位）。
这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。
其特征是：（1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。
例如：12、24、36、28、50（2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。
例如：20、45第二类：看被整除的这个数的末两位。
（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。
其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。
例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。
（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。
例如：789160÷8=98645（160÷8=20）456375÷125=3651（375÷125=3）第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。
例如：789803（803-789=14,14÷7=2）584628（628-584=44,44÷11=4）26299（299-26=273,273÷13=21）第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。
这是判断能否被3和9整除的数的特征。
例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征
1.能够被另一个数整除：如果一个数能够被另一个数整除，那么它就
是被整除的数的一个特征。
例如，4能够被2整除，因此4是被整除的数。
2.余数为0：当两个数进行整除运算时，如果余数为0，那么被除数
就是被整除的数。
例如，10除以5的余数为0，因此10是被整除的数。
3.可以被同一个数整除多次：如果一个数能够被同一个数整除多次，
那么它也是被整除的数的一个特征。
例如，12可以被2整除多次，因此
12是被整除的数。
4.能够被一组数整除：除了能够被单个数整除外，还有一些数能够被
一组数整除。
例如，15能够被3和5整除，因此15是被整除的数。
5.能够整除自己：除了能够被其他数整除外，数还可以被自己整除。
例如，5可以被自己整除，因此5是被整除的数。
6.能够被任意数整除：有一些数能够被任意数整除，这些数被称为无
穷整数。
例如，0、正负无穷大以及自然数的倍数都属于无穷整数。
7.有规律的整除性质：有一些数具有特殊的整除性质。
例如，能够被
2整除的数都是偶数，能够被3整除的数如果各个位上的数字之和能被3
整除，那么这个数也能被3整除。
总的来说，能够被整除的数具有上述特征之一或多个。
这些特征使我
们能够对数的整除性质进行计算和推理。
在数学和实际应用中，能够被整
除的数的特征是十分重要的。
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数的整除特征
被2整除
一个数的个位数字如果是0, 2 , 4, 6, 8中的一个，那么这个数就能被2整除。
被3整除
一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被 3整除。
被4或25整除
如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被 4或25整除。
例如：123475 末尾两位是75能被25整除，则123475也能被25整除。
被4整除的同理。
被5整除
一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被 5整除。
被7整除
末位法：一个数舍去末位数字，剩下的数减去舍去数字的2倍【用差重复此步骤】，如果结
果是7的倍数【包括0】，那么，这个数就能被7整除。
例如：判断13139是否7的倍数的过程如下：1313-9 X 2 = 1295，在结果1295中重复舍去末位，129 — 5 X 2= 119,所以13139 是7的倍数。
首位法：在首位或前几位，减去7的倍数。
例如，判断 13139能不能被 7整除，
13139-7000=6139，只要6139能被7整除即可。
对 6139可在首位继续减去7的倍数，6139-5600=539 , 539-490=49, 49 当然被 7 整除，所以 13139 能被 7 整除。
被8整除
如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除•例如：888能被8整除，则129888就能被8整除。
875能被125整除，100011875就一定能被125 整除。
被9整除
一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被 9整除。
被11整除
把一个数由右向左数，如果奇数位【个、百、万位。
】上的数字和与偶数【十、千、十万位。
】位上的数字和的差是11的倍数【包括0】，则这个数能被11整除。
被13整除
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，
则原数能被13整除。
可重复此过程。
例如： 1284335。
128433+5*4=12845,1284+4*5=1304 ,
130+4*4=146,14+4*6=39。
末三位法【适合7、11、13】
一个数舍掉末三位【百、十、个位，等于除以1000取整】后与舍掉的末三位之差，如果能被7/11/13整除，则这个数能被 711/13整除。
例如判断280679能否被7整除。
末三位数字
是679，末三位以前数字所组成的数是280, 679 — 280=399,399能被7整除，因此280679 也能被7整除。
被17整除
把一个数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
重复此过程。
被佃整除
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
重复此过程。