2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟数学试题(解析版)

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宁波市镇海中学2020届高三数学下学期5月仿真测试试题含解析

综上可知，一共有种方法。
故选:C
【点睛】本题考查排列组合的应用，重点考查分步分类计数原理的应用，属于中档题型,本题的关键是分类准确，区分平均分组和不平均分组.
8.在三棱柱中，是棱上的点(不包括端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ )
A。 B. C. D.
当时，即可能有0解、1解、2解,
当时，即有2解，
所以若 ,则，或 ,或，或。
若，即函数的图象和有1个交点，
④ 或时，有1个零点，此时，；
⑤ 时, 无零点.
综合以上有，若，则；
若，则，或，或，或。
（2）和（3）的情况和（1）相同.
所以若，则，正确.
故选：A.
14.在中，角， , 所对的边分别是，，， ,则 ______，若的面积 ,则 ______。
【答案】（1）. 3 (2）.
【解析】
【分析】
（1)由条件及正弦定理,余弦定理整理得到的值；(2）利用三角形面积公式得到，进而根据诱导公式，二倍角公式，并结合的范围,即可求解的值。
【详解】（1）
16。设，函数，若存在 ,使得，则的取值范围是______。
【答案】
【解析】
【分析】
由，可知与的关于二次函数的轴对称，解出与的关系，进而求出的取值范围即可.
【详解】由题意可知 ,
因为，解得 ,
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了余弦函数的值域、二次函数的性质,掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题.
【答案】 (1）。（2）。
【解析】
【分析】

浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月校模拟考试数学试卷(含答案)

浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月模拟考试数学学科注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =++球的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, V =43πR 3h 表示台体的高其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =−，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i − D ．43i −− 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x −=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y −+≥⎧⎪≤⎨⎪+−≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =−+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]−B ． 1[2,]2−C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2−7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )2552.[,].[,1).[,31].[31,1)2332A B C D −−9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x −−>=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ． 22D ． 23第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y −=的渐近线方程为___▲__，设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>经过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++−=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ．MA BCQD13．随机变量X 的分布列如下：X －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14．函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>−<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF−的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC −的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学仿真试卷(有答案解析)

A. sinx
B. cosx
C. sin2x
D. cos2x
3. 满足线性约束条件
，的目标函数 z=x+y 的最大值是（）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
4. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A.
B.
C. 4
D.
5. 某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP，练车时间为 t，则函数 θ=f（t）的图象大致为（）
出答案．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．属于中档题．
5.答案：D
解析：【分析】根据视角 θ=∠AOP 的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．【解答】解：根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 θ=∠AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．
且项数为偶数，设 n=2k，k∈N*，等差数列的公差设为 d，不妨设
，
则 a1＜0，d＞0，且 ak+1≤0，ak-1＜0 即 ak≤-1，由 ak+1-1≥0，则-1+kd≥ak+kd≥1，即 kd≥2，即有 d≥2，则|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+…+a2k
解析：【分析】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的奇偶性，为中档题．分别把四个选项中的值代入 f（x）·sinx，逐一进行验证即可．【解答】解：若 f（x）=sinx，则 f（x）·sinx=sin2x 为偶函数，不符合题意；

2020年浙江省宁波市“十校”高三下学期5月适应性考试数学试题(含答案解析)

2020年浙江省宁波市“十校”高三下学期5月适应性考试数学试题一、单选题1．若双曲线22:1y C x m-=0y +=，则实数m =（）A ．12B ．2C ．4D ．142．某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,PA ⊥底面ABCD ，1,AB =π1,(0)2PA AC ABC θθ⋅=∠=<≤，则四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围是（）A ．1[)63B ．1]126C ．1,]63D ．1[)1264．已知2a ≤，5b ≤，则2a b -的最大值是( ) A ．14B ．10C ．12D ．75．设集合{}2|45A y y x x ==-+，集合{}2|10B x x =-=，则AB =（）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1,5-D ．∅6．设10a <<，则随机变量ξ的分布列为：设()y E ξξ=-，则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时：（） A ．()E ξ递减，()2E y 递增B ．()E ξ递减，()2E y 递减C ．()E ξ递增，()2E y 先递减再递增D ．()E ξ递减，()2E y 先递增再递减7．已知()()501221x x a a x +-=++2626a x a x ++．则024a a a ++=（）A ．123B ．91C ．152-D ．120-8．函数()2f x x lnx 1=--的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．9．以下四个命题中，正确的个数是（） ①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意”；③在中，“”是“”成立的充要条件；④若函数在上有零点，则一定有.A ．B ．C ．D ． 10．对于函数()f x ，若对于任意的123,,x x x R∈，()()()123,,f x f x f x 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”．已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t的取值范围是（） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．[]1,2D ．0,二、双空题11．若实数,x y 满足约束条件1010570x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数32z x y =-的最小值为________.12．已知复数z 满足()1i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则z 的值为______，z =______.13．点()10，关于直线y x =对称的点C 的坐标是__________，以C 圆心，半径为1的圆标准方程为__________．14．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2222cos 20a c b bc A c +-+-=，()cos 1cos c A b C =-，且23C π=，则c =________；ABC 的面积S =________．三、填空题15．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）16．已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a=与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________． 17．已知向量,a b 的夹角为3π，且3a =，+=a b b =__________.四、解答题18．已知函数()()2cos 02f x x ππφφ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象过点(0.（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值、最小值及对应的x 的值；（2）求()f x 的单调递增区间. 19．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝1n n +a n ＋12n n +. （1）设b n ＝na n，求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .20．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各个侧面均是边长为2的正方形，O 为BC 1与B 1C 的交点，D 为AC 的中点．求证：（1）AB 1∥平面BC 1D ；（2）BD ⊥平面ACC 1A 1．21．以椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的中心O圆”，设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2AB =，2OAB OFB S S =△△. （1）求椭圆C 及其“准圆"的方程；（2）若过点(P 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，当0OM ON ⋅=时，试求直线l交“准圆”所得的弦长；（3）射线()0y x =≥与椭圆C 的“准圆”交于点P ，若过点P 的直线1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且与椭圆C 的“准圆”分别交于R ，T 两点，试问弦RT 是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.22．求垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程.参考答案1．B先判断出0m >，再求出渐近线方程（含m ），结合已知的渐近线的方程可求m 的值.因为双曲线的方程为221y x m-=，故0m >，所以双曲线的渐近线为y ==2m =,故选B.本题考查双曲线的渐近线的求法，一般地，若双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则其双曲线渐近线的方程可通过把标准方程中的1变为零（类似地，对()222210,0y x a b a b-=>>也适用）. 2．C由三视图可知该几何体为一平行六面体，侧面是边长分别为3、4的矩形，高即为底面边长3，所以33V == 故本题正确答案为C ．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．A试题分析：由已知，四边形ABCD 的面积S=sin θ，由余弦定理可求得AC PA ==13V =66V ∴==，所以，当cosθ=0，即θ=2π时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是6，当cosθ=0，即θ=0时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是13，∵0＜θ≤2π∴P-ABCD 的体积V 的取值范围是1)3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 4．C利用绝对值的三角不等式即可得解.解：因为2a ≤，210b ≤，所以2212a b a b -≤+≤. 故选：C.本题考查绝对值的三角不等式的应用，属于中档题. 5．B分析：求出A 中函数245y x x =-+的值域确定出A ，求出B 中方程的解确定出B ，再求A 与B 的交集即可.详解：由()22245441211y x x x x x =-+=-++=-+≥，得[1A =+∞，），由方程210x -=解得：1x =或1-，即{}11B ，=-，则{}1A B ⋂=，故选B.点睛：本题主要考查了交集及其运算，认清集合的本质和熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 6．B根据题意，求得随机变量2y 的分布列，结合12a b +=，求得()E ξ，()2E y ，再讨论其单调性即可.根据题意可得12a b +=()E ξ()2121a b a a a =+=+-=-.则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时，()E ξ=1a -单调递减；又()y E ξξ=-，故2y 的分布列如下所示：故()2E y ()()223111122a a a a ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭令()f a =()2E y2215124a a a ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，故当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，即()2E y 单调递减. 故选：B .本题考查随机变量的数学期望的求解，涉及其单调性，属综合基础题. 7．C由二项式定理及利用赋值法即令1x =和1=-，两式相加可得0246a a a a +++，结合最高次系数6a 的值即可得结果.()()52012221x x a a x a x +-=++ 34563456a x a x a x a x ++++中，取1x =，得0123a a a a +++ 4563a a a +++=，取1x =-，得0123456243a a a a a a a -+-+-+=-，所以()02462240a a a a +++=-，即0246120a a a a +++=-，又632a =，则024152a a a ++=-，故选C ．本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题. 8．A利用特殊值法，排除B,C.D 推出结果即可．令21x e=，则2222y 11211e e ==+-+，令1x e=，则22y 2e1111e e===+-，显然222e11e <+，故排除B 、C ，当x e =时，2y 0e=>，排除D ，故选A.本题考查函数的的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力． 9．B试题分析：对于①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，①错；对于②,命题“存在”的否定是“对于任意x ∈R,x 2−x ≤0” ,②错；对于③，在中，当时，由正弦定理a sinA=b sinB有a >b ，由大边对大角有A >B ,当A >B 时,得a >b ，由正弦定理有，所以“”是“A >B ”成立的充要条件, ③正确；对于④，举例函数f(x)=(x −2016)2，在上有零点x =2016，但f(2015)⋅f(2017)=1>0不符合.故只有1个正确.考点：1.四种命题的形式；2.特称命题的否定形式；3.充分条件与必要条件的判断；4.函数零点存在定理.【易错点晴】本题分为4个小题,都是对平时练习中易错的知识点进行考查,属于基础题.在①中,注意命题的否定与否命题的区别；在②中,是对特称命题的否定,已知p:∃x ∈M,p(x),否定¬p:∀x ∈M,¬p(x)；在③中,注意正弦定理和大边对大角、大角对大边的运用；对于④,是考查零点存在定理,要说明这个命题是错误的,只需举出一个反例即可. 10．A试题分析：由已知得123()0,()()()f x f x f x f x >+>，∴min max 2()()f x f x >，。

浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期5月模拟考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．2. 已知a > b ，则下列式子中一定成立的是（）A．B ．|a|> |b|C．D．3. 已知，分别是双曲线的右顶点和右焦点，点是直线（其中为双曲线的半焦距）上的动点，当的外接圆面积最小时，点恰好在双曲线的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4. 已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5. 二项式的展开式中，常数项为（）A ．-4B ．4C ．-6D ．66.已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（）A．B．C．D．7. 随机变量X服从正态分布，若，则（）A ．0.22B ．0.24C ．0.28D ．0.368. 甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（）A ．85，85B ．85，86C ．85，87D ．86，869. 已知复数，则（）A ．2B ．3C．D．10. 已知，，，则（）A．B．C．D．11. 某大学统计该校学生月网购消费支出的频率分布直方图如下．根据此图，下列结论正确的是（）浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期5月模拟考试数学试题三、填空题四、填空题五、解答题A．B ．该校学生消费的中位数约为（单位：百元）C ．月消费不少于元的频率为D ．月消费不少于元的频率为12.若（为虚数单位），则下列说法正确的为（）A．B．C．D．13.若函数，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B ．函数在区间上单调递增C ．函数图象关于对称D ．函数的图象关于点对称14. 下列命题正确的是（）A ．函数的值域为B．函数的定义域为C ．函数在上单调递减D．函数的单调递增区间为15. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的最小值为________．16. 从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则方差__________．17. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.18.已知二项展开式，则___________；___________.19.若，且，则的最大值为_______，的最小值是___.20.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.21. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．六、解答题0.100.050.0102.7063.841 6.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．22. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.23. 上世纪八十年代初，邓小平同志曾指出“在人才的问题上，要特别强调一下，必须打破常规去发现、选拔和培养杰出的人才”. 据此，经省教育厅批准，某中学领导审时度势，果断作出于1985年开始施行超常实验班教学试验的决定.一时间，学生兴奋，教师欣喜，家长欢呼，社会热议.该中学实验班一路走来，可谓风光无限，硕果累累，尤其值得一提的是，1990年，全国共招收150名少年大学生，该中学就有19名实验班学生被录取，占全国的十分之一，轰动海内外.设该中学超常实验班学生第x年被录取少年大学生的人数为y.(1)左下表为该中学连续5年实验班学生被录取少年大学生人数，求y关于x的线性回归方程，并估计第6年该中学超常实验班学生被录取少年大学生人数;年份序号x12345录取人数y1011141619附1：(2)下表是从该校已经毕业的100名高中生录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育得到2×2列联表，完成上表，并回答：是否有95%以上的把握认为“录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育有关系”．附2：接受超常实验班教育未接受超常实验班教育合计录取少年大学生6080未录取少年大学生10合计301000.500.400.100.050.4550.708 2.706 3.841七、解答题八、解答题九、解答题24.如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：；条件③：平面平面.25. 某地区积极发展电商，通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用，促进了农民生活富裕，为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费(千元)对销量(千件)的影响，统计了近六年的数据如下：年份代号123456宣传费（千元）2456810销量（千件）3040605070利润（千元）407011090160205(1)若近6年的宣传费与销量呈线性分布，由前5年数据求线性回归直线方程，并写出的预测值；(2)若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”，在这6个年份中任意选2个年份，求这2个年份均为“吉祥年”的概率附：回归方程的斜率与截距的最小二乘法估计分别为，，其中，为，的平均数.26.在中，.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长.。

浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题

浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集=R U ，集合{}|0A x x =>，{}|01B x x =<<，则()U A B =（）A ．{}|1x x <B ．{}1|0x x <<C ．{}|0x x ≤D ．R2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为（） A ．2i +B ．43i +C ．43i -D ．43i --3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．3πB ．83πC ．103π D ．113π 5．记77017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为（） A ．1B ．2C ．129D ．21886．已知不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,1]-B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1[0,]2D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有（）A ．18种B ．12种C ．36种D ．24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．[2 B．[3C．1]2D．1,1)-9．已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为（） A ．6B ．5C ．4D ．310．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）． A ．2 B ．4C．D．二、双空题11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为_____，设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点()4,1，且与C 具有相同渐近线，则C 的方程为_____.12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．{}n a 的通项n a =________，数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和是________．13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则(||1)P X ==________，方差的最大值是________． 14．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．三、填空题 15．若实数、满足114422xy xy ，则22x y S 的取值范围是．16．已知抛物线24y x =，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则2||||AF BF -的最小值为________． 17．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．四、解答题18．已知锐角ABC ∆的内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小；（2）求b c +的取值范围.19．在三棱锥A BCD -中，2,2AB AD BD BC DC AC ======.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC =，求直线BP 与平面ACD 所成的角的正弦值.20．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，离心率2e =，左、右焦点分别为12F F 、. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式.22．我们称满足：21(1)()k n n na k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”. （1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值；（2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a -的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.参考答案1．A 【解析】【分析】先根据补集概念求解出UA ，然后根据并集的概念求解出()U AB 的结果.【详解】因为{}|0A x x =>，所以{}U 0A x x =≤，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}U1A B x x ⋃=<，故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易. 2．C 【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果. 详解：()()()2i,12i 2i 12i 43i z z =-∴+=-+=+，43i z ∴=-，故选C.点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 3．B 【解析】【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果. 【详解】若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.故选：B . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题. 4．C 【解析】由三视图可知，该几何体是由14个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体，其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为2，所以其体积为221111022224233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C ． 5．C 【解析】【分析】令0x =，求得017a a a +++，再求7a 即可求得结果.【详解】727017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++++中，令0x =，得70172128a a a =+++=.∵77(2)[3(1)]x x -=-+展开式中707773(1)1a C =-=-∴0167128129a a a a +++=-=故选：C . 【点睛】二项式通项与展开式的应用：（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等. （2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. ③有关组合式的求值证明，常采用构造法. 6．A 【解析】【分析】由不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出其表示的平面区域然后根据函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移,利用数形结合法求解.【详解】不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域D 为三角形ABC 及内部部分，如图所示：因为函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，所以由图知：将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移，当经过点()1,2A -时，m =-2, 当函数|1|y x m =-+的最低点在BC 上时，m =1，因为函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，所以21m -≤≤，故选：A 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及函数图象的变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 7．D 【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种请况：（1）甲单独一个人旅游，在B 、C 景点中任选1个，由2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有22326C A =种情况，所以此时共有2612⨯=种方案；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B 、C 景点中任选1个，有11326C C =种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有222A =种情况，所以此时共有6212⨯=种方案，综上，可得甲不到A 景点的方案有121224+=种方案. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 8．A 【解析】【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以c e a ==⎣⎦，所以离心率的取值范围是23⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．C 【解析】令t=f(x),则方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦等价于()3202f t t --=,在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y=2x+32的图象,由图象可得有两个交点,且()3202f t t --=的两根分别为10t =和212t <<,当()10t f x ==时,解得x=2,当()()21,2t f x =∈时, f(x)有3个不等实根,综上所述, 方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为4,故选C.点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的应用技巧,属于中档题. 对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题. 10．D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件设(0,1,)M a -、)N b 、(0,1,)Q c ，不妨设c b a <<，则MNQ ∠为直角，所以0MN QN ⋅=推出()()20b a b c --+=，利用基本不等式即可求得斜边||MQ 的最小值. 【详解】取D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，连接1DD ，DB ，根据题意以D 为原点，DB ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，点M 在侧棱1AA 上，设(0,1,)M a -，点N 在1BB 上，设)N b ，点Q 在1CC 上，设(0,1,)Q c ，不妨设，则，．因为为直角三角形，由，得为直角，所以0MN QN ⋅=，即()()20b a b c --+=，斜边||MQ ==≥==当且仅当a b b c -=-时取等号. 故选D ．【点睛】本题考查直三棱柱的性质、空间向量的应用、基本不等式，涉及两垂直向量的数量积关系，根据条件建立空间直角坐标系是解答本题的关键，属于中档题．11．2x y =± 221123y x -=【解析】【分析】令224x y -=，求得12y x =±，得到双曲线的渐近线的方程，根据题意，得到2a b =，，得出222214x y b b-=，将点()4,1代入方程，求得22,a b 的值，即可求得双曲线的标准方程.【详解】由题意，双曲线2214x y -=，令2204x y -=，解得224x y =，即12y x =±，即双曲线的渐近线的方程为12y x =±，由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和双曲线2214x y -=相同的渐近线，可得12b a =，即2a b =，所以222214x y b b-=，将点()4,1代入方程222214x y b b-=，即2216114b b -=，解得23b =，所以22412a b ==，所以所求双曲线的方程为221123y x -=故答案为：12y x =±，221123y x -=.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准的求法，以及双曲线的渐近线的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．221n - 221n n + 【解析】【分析】由当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①，得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②，①-②求出n a ，注意验证1a 是否满足该通项公式，然后利用裂项求和法求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①，得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②， ①-②得(21)2n n a -=，即221n a n =-，当1n =时也满足此式，所以数列{}n a 的通项221n a n =-；因为221(21)(21)n a n n n ==+-+112121n n --+，所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和11111111335212121S n n n =-+-++-=--++ (221)nn =+，故答案为：221n -，221n n +．【点睛】本题考查数列的通项公式及数列求和，重点考查了运算能力，属基础题． 13．23 23【解析】【分析】在离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得(||1)P X =；由均值计算公式表示，进而由方差计算公式表示方差，最后由二次函数性质即可求得最值. 【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，又1a b c ++=，所以23a c +=，13b =，所以(||1)(1)(1)P X P X P X ===+=-23a c =+=；因为()101E X abc c a =-⨯+⨯+⨯=-，所以221()(1)(0)3D X a c a c a =--++-++222(1)()3c c a a c -+=--+，所以当13a c ==时，()D X 取得最大值23．故答案为：23，23【点睛】本题考查等差数列的性质、离散型随机变量的分布列与方差，属于简单题． 14．6π-3π【解析】【分析】由图象得出A 和周期，结合周期公式得出ω，把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，得出6πϕ=-，根据三角函数的平移变换，得出第二空的答案. 【详解】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度．故答案为：6π-；3π 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质、三角函数图象的平移变换，根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定． 15．24S <≤ 【解析】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤ 16．2 【解析】【分析】分直线l 斜率存在不存在两种情况分类讨论，当斜率存在时，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得A ,B 两点横坐标间的关系，由抛物线定义可得2||||AF BF -的表达式，转化为一个变量，求最值即可，当斜率不存在时，由通径的长可求解. 【详解】因为抛物线24y x =，所以(1,0)F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121x x ⋅=．由抛物线的定义可得1||1AF x =+，2||1BF x =+，所以1222||1||1AF x BF x -=+-=+()()212122222222221121111111x x x x x x x x x x x ++-++===-+++++．令21(1)x t t -=≥，则21x t =+，所以2||||AF BF-21112111112222tt t t t==≥===+++++++（当且仅当t =时等号成立）；当直线l 的斜率不存在时，||||2AF BF ==, 所以2||1||AF BF -=．综上，2||||AF BF -的最小值为2．故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用，属于中档题． 17．0 【解析】【分析】【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线，所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．18．（1）3π；（2）(3,23⎤ 【解析】试题分析：（1）由sin sin sin B A b c C a b --=+及正弦定理得222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，由此可求角A 的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得()2sin sin 3b c B C B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，利用正弦函数的性质即可得b c +的取值范围. （1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b c A B C== 2sin 3==， ()2sin sin b c B C +=+ 22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，∴(b c +∈.19．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）取BD 的中点E ，连接,AE CE ，然后由等腰三角形的性质推出,AE BD CE BD ⊥⊥，从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；（2）以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，再求出平面ACD 的一个法向量，从而利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】解：（1）证明：取BD 的中点E ，连接,AE CE ， ∵2AB AD BD ===，∴AE BD ⊥，同理可得CE BD ⊥，又AECE E =，∴BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥.（2）∵2,AB AD BD BC DC =====∴BCD 为等腰直角三角形，且1AE CE ==，∴222AE EC AC +=，∴2AEC π∠=，即AE EC ⊥，又AE BD ⊥，且BD EC E ⋂=，∴AE ⊥平面BCD ，∴以E 为坐标原点，EC 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),B D C A -，设()000,,P x y z，∵3,(1,0,4AP AC AC ==，(000,,AP x y z =-，∴(00033,,(1,0,,0,44x y z ⎛-== ⎝⎭，∴0003,40,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩∴3,0,44P ⎛ ⎝⎭，∴3,1,44BP ⎛= ⎝⎭，又(0,1,3),(1,1,0)DA DC =-=-，设()111,,n x y z=是平面ACD 的法向量，则11110,0,00,n DA y n DC x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11x =，得111,3y z ==，∴31,1,3n ⎛= ⎝⎭，设直线BP 与平面ACD 所成角为θ，则sin |cos ,|||||n BPn BP n BP θ⋅=<>=7==，∴直线BP 与平面ACD 【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系221sin cos θθ+＝求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．20．（1）见解析；（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21．（1）2212x y +=；（2）3DE k k =. 【解析】【分析】（1）将点1,2P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程中，结合2e =和222a b c =+可得答案；（2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-，联立直线AD 、BE 与椭圆的方程消元，然后用00,x y 表示出点D E ，的坐标，然后可得答案.【详解】（1）由P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，可得221112a b +=，a =，又222a b c =+，可得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-，代入C ：2212x y +=，得()()22220000012210x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦，因为220012x y +=，代入化简得()()22000023210x y x y y y +-+-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023y y y x -=+，所以01023y y x -=+，011011x x y y +=-，· 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得02023y y x =-+，022011x x y y -=-，所以00001200012002323232323y y x x y y =x y y y y x x -++-++=----+-+ 所以12120012120011DE y y y y k x x x x y y y y --==+---()120120121200001211y y x y y x y y y y y y y y y y -==++-++⋅- 000000133213y k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，考查了学生的计算能力和分析转化能力，属于较难题.22．(1)43111117a a -=-- ,23111113a a -=-- ;（2）72-；(3)见解析．【解析】试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出201814a a -构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过21n n n a a a +=-，利用累加法求出11n n s a a +=-，通过两边同除1n n a a +可得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈，累加求1n a +的范围，从而得出结论. 试题解析：（1）{}n a 是“1级梦数列”,所以()211n n n a a a +-=--，当n=2,3,4,时，代入可求得2343111111,113117a a a a -=-=----；（2）由条件可得：111111n n n a a a +=---， ∴ 1220171201811111211a a a a a +++=-=-- 解得12018112111322232a a a a -==+⨯-- ∴ 20181111111742(32)626223222a a a a -=+⨯+--≥+-=-- 当且仅当154a =时取等号. （3）根据21n n n a a a +=-，可得11n n s a a +=-①又由21n n n a a a +=-得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈ 累加得：11112n n n a a +≤-≤，所以 1112(1)2n a n n +≤≤++② 由①②得()()()*112221n S n N n n n ≤≤∈++点睛：本题涉及数列，数学归纳法，不等式，累加，构造诸多数学思想方法，是跨章节以数列为背景的综合性问题，属于非常困难的难题.解决此类问题，需要灵活，综合运用所学知识，并且要创造性的运用到题目中，对题目所给条件，数列的递推关系式灵活变形是解决本题的关键，这需要平时大量方法积累以及运算技巧的锤炼，才可能解出此类难度的问题.。

2020年5月宁波市二模数学试题(含答案)

22．（本题满分 15 分）已知实数 a 0 ，函数 f (x) ln | ax | x 1 . a
（Ⅰ）证明：对任意 a (0, ) ， f (x) 3a 5 恒成立； 2
（Ⅱ）如果对任意 x (0, ) 均有 f (x) x a ，求 a 的取值范围. xa
高三数学试卷 6—6
则实数 t 的取值范围是 ▲ ．
17. 已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，动点 M、N 分别在射线 CB、CD 上运动，且满足
1
1
1．对角线 AC 交 MN 于点 P，设 AP xAB y AD ，则 x y 的最大值是
CM 2 CN 2
▲．
高三数学试卷 6—4
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分）已知△ABC 中角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c ，
c,
b2 a
，作 MH
PQ
于
H
，则 PMH
45
.
故
cos PMH
c b2
ac b2
2 ，e2 2
2e 1 0 ，解得 0 e
6 2
2
，选 A.
a
10. 提示：不妨设 A1,0,0, B0,1,0, C0,0,1, S1,1,1 ， AP AS,0 1.
则 sin 1
42
的渐近线方程是 ▲ ．
15. 某会议有来自 6 个学校的代表参加，每个学校有 3 名代表.会议要选出来自 3 个不同学
校的 3 人构成主席团，不同的选取方法数为 ▲ ．
16.
函数
f
(x)
3x , 3

浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试及答案

浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试说明：1、本试卷中用到的相对原子质量：O—16 Na—23 Al—27 Cl—35.5 K—39 Co—592、本卷g取10 m／s2选择题部分选择题部分共20小题，每小题6分，共120分。

一、选择题（本题共17小题。

每小题只有一个选项是符合题目要求的）1.下图为干旱对玉米叶片内生长素和脱落酸浓度的影响情况，据图分析错误．．是A．干旱处理下在第4天之前叶片中的生长素浓度比脱落酸的高B．干旱对玉米叶片中的脱落酸影响远远大于对生长素的影响C．随着实验时间延长，玉米叶片内的生长素浓度大致呈逐渐减小趋势D．脱落酸浓度增大可能有利于叶片适应干旱环境2．食品种类多，酸碱度范围广。

生物兴趣小组拟探究在食品生产中应用范围较广的蛋白酶，查阅相关文献，得到下图。

下列有关酶的说法错误的是A．上述三种酶中，木瓜蛋白酶更适宜作为食品添加剂B．酶作用的强弱可用酶活性表示C．酶通常在一定pH范围内起作用，最适的pH范围可能很窄，也可能较宽D．若要探究酶的专一性，可选用蔗糖酶溶液、可溶性淀粉溶液、蔗糖溶液、KI-I2溶液实验3．研究表明，细胞中Mad和Bud蛋白与纺锤丝牵引染色体的着丝粒有关，当某些染色体的Mad和Bud蛋白出现异常时，可能导致相应2的染色体随机移向细胞的任何一极。

现有某种动物（2N=6）的组织细胞在体外培养时，出现了上述异常（图中的5、10染色体），异常染色体的着丝粒会在末期分裂，则下列叙述错误的是A ．该生物体的细胞可含有1个染色体组B ．图中1与2、5与10均可表示同源染色体C ．这种细胞产生的子细胞可能有AaBB 和Aabb 或Aa 和AaBBbbD ．若该动物性别决定方式为XY 型，则图示代表的是雄性动物4．右图为生物学中某些概念之间的关系图，则下列表述错误的是A ．若M 表示类囊体膜，①代表光能，则②③分别代表ATP 和NADPH 中的活跃的化学能B ．若M 表示巨噬细胞，①表示抗原，则②③分别代表B 细胞和T 细胞C ．若M 表示一级消费者，①代表从上一营养级同化的量，则②③分别代表呼吸量和次级生产量D ．若M 表示体温调节中枢，①代表寒冷刺激，则②③可代表骨骼肌战栗和皮肤血管收缩5.糖元沉积病贮积病是由于遗传性糖代谢障碍，致使糖元在组织内过多沉积而引起的疾病，临床表现为低血糖等症状。

【全国市级联考】浙江省宁波市2020届高三5月模拟考试数学试题

○…………装………______姓名：________………内………订…………○……绝密★启用前【全国市级联考】浙江省宁波市2020届高三5月模拟考试数学试题试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．已知集合，，则 A. B. C. D. 2．已知复数z 满足（i 为虚数单位），则的虚部为 A. B. C. D. 3．已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是 A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有 D. 若，则必有 4．使得（）的展开式中含有常数项的最小的为 A. B. C. D. 5．记为数列的前项和．“任意正整数，均有 ”是“ 为递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．已知实数，满足不等式组，则的最大值为 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 7．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有………线○8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，若，则与的面积之比A. B. C. D.9．已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10．已知均为非负实数，且，则的取值范围为A.B. C. D.11．双曲线的离心率是______，渐近线方程为______．…………外…………………○…………订__________班级：___________考……内…………○…………装………○…………线…………○………第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 12．已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．若，则 ______； ______． 14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为____，该三棱锥的外接球体积为____． 15．已知数列与均为等差数列（），且，则（（ ____． 16．已知实数满足：， .则的最小值为______． 17．已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为______．…………外…………○…………订………○…………线……※※订※※线※※内※※答※※题………○线…………○…18．（本题满分14分）已知函数. （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若满足，，且是的中点，是直线上的动点，求的最小值． 19．（本题满分15分）如图，四边形为梯形，点在线段上，满足 ,且，现将沿翻折到位置，使得．（Ⅰ）证明： ;（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数，其中为实常数．（Ｉ）若是的极大值点，求）的极小值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当恰好为线段的中点时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的最小值．22．（本题满分15分）三个数列，，满足，，，，．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）是否存在集合，使得对任意成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：．参考答案1．D【解析】分析:先化简集合B，再求得解.详解：由题得，所以，所以答案为：D.点睛：本题主要考查集合的交集运算，意在考查集合的基础知识和基本的运算能力.2．C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi（的实部是a,虚部是b，不是bi.3．C【解析】分析：对于每一个选项逐一判断，可以举反例，也可以证明.详解：对于选项A,平面和平面还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B, 平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C,因为所以.所以选项C正确；对于选项D,直线m可能和平面不垂直，所以选项D错误.故答案为：C.点睛：对于类似这种空间几何元素位置关系的判断，主要考查空间想象能力，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择.4．B【解析】试题分析：设的展开式的通项为，则：，令得：，又，∴当时，最小，即．故选B．考点：1．二项式系数的性质；2．分析与运算能力．5．A【解析】分析：“a n＞0”⇒“数列{S n}是递增数列”，“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n＞0”，由此知“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．详解：∵“a n＞0”⇒“数列{S n}是递增数列”，所以“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件.如数列为-1,0,1,2,3,4，，显然数列{S n}是递增数列，但是不一定大于零，还有可能小于等于零，所以“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n＞0”，∴“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．故答案为：A．点睛：说明一个命题是真命题，必须证明才严谨.要说明一个命题是一个假命题，只要举一个反例即可.6．C【解析】分析：首先画出不等式组表示的平面区域，然后根据|x﹣y|的几何意义求最大值．详解：实数x，y满足不等式组表示的平面区域如图：|x﹣y|的几何意义：表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍，由图可知点A(4,0)到直线x-y=0距离最大，所以|x﹣y|的最大值为故答案为：C．点睛：本题解题的关键是发现|x-y|的几何意义，|x-y|它表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍，利用数形结合分析解答，可以提高解题效率.所以在今后的解题过程中，看到|ax+by|要联想到点到直线的距离公式.7．C【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答.详解：按照以下顺序涂色，,所以由乘法分步原理得总的方案数为种.所以总的方案数为96，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排组分清.（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如C和D有公共的顶点，所以颜色不能相同. 8．D【解析】分析：分别过A，B作准线l的垂线AM，BN，根据|BF|求出B点坐标，得出直线AB 的方程，从而得出A点坐标，于是．详解：抛物线的准线方程为l：x=﹣1，分别过A，B作准线l的垂线AM，BN，则|BN|=|BF|=5，∴B点横坐标为4，不妨设B（4，﹣4），则直线AB的方程为y=4x﹣20，联立方程组，得4x2﹣41x+100=0，设A横坐标为x0，则x0+4=，故而x0=．∴|AM|=x0+1=，∴．故答案为：D.点睛：(1)解答本题的关键是转化，先把面积比转化为线段比，再根据相似转化为，再转化为再求点A和点B的横坐标.(2)转化的思想是高中数学的一个重要思想，遇到复杂的、陌生的数学问题，都要想到通过转化把复杂变简单，把陌生变熟悉.9．D【解析】分析：先根据题意分析出函数f(x)关于直线x=a对称，再利用对称性求出a的表达式，再求的范围.详解：设则其关于直线x=a对称的曲线为所以函数f(x)的图像关于直线对称，且在上为增函数．所以．因为，．所以，．故答案为：D.点睛：本题解题的关键是发现函数f(x)的对称性，其图像关系直线x=a对称,要证明函数的图像关于直线x=a对称，只要证明（-即可.否则本题解答比较复杂.对于函数的问题，我们要善于从发现已知中的隐含信息，研究函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性等,再利用图像的性质帮助我们解题.10．A【解析】分析:先设，则试题等价于，满足，求的取值范围．再在空间直角坐标系中求的取值范围．详解:设，则问题等价于，满足，求的取值范围．设点，，，所以点可视为长方体的一个三角截面上的一个点，则，于是问题可以转化为的取值范围．显然，设点O到平面ABC的距离为h，则，所以所以.所以.所以，即．故答案为：A.点睛：本题是一个难题，难在转化.难点一是，由于直接探究比较困难，所以先要转化，设，则问题等价于，满足，求的取值范围．难点二是，直接求的取值范围比较困难，把问题转化为，空间直角坐标系下的取值范围.难点三是，求的取值范围时，又要用到等体积法.由此可见，转化的思想在高中数学中的重要性，大家要理解掌握并灵活运用这种思想解题.11． 2..【解析】分析：直接利用双曲线的几何性质解答即可.详解：由题得所以双曲线的离心率为渐近线方程为故答案为：2，.点睛：本题主要是考查双曲线的简单几何性质，意在考查双曲线的基础知识掌握能力.注意焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，不要记错了.12．-1..【解析】分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.详解：由题得当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.因为圆的方程为，所以，所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆.由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.且最短弦长为故答案为：-1，.点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到实际上是错误的.因为是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去m=1.13．0..【解析】分析：先根据分布列的性质求出b的值，再根据期望计算出a的值，最后计算方差.详解：由题得所以.解得a=0.所以故答案为：0，.点睛：本题主要考查分布列的性质，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生离散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力. 14．..【解析】分析：（1）根据三视图画出几何体的直观图，判断三视图的数据所对应的量，求出各侧面的高，代入公式计算即可．（2）建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，求出球心的坐标和点的半径，求出体积．详解：由三视图得几何体的直观图是：∴S表=2××2×2+×2×+×2=4+．故答案是4+．以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②），③∴x=1，y=，z=1，∴球心的坐标是（1，，1），∴球的半径是.∴球的体积是故答案为：4+,点睛：本题的第2空，可以不用空间向量的方法，也可以利用空间向量的方法.利用空间向量计算量大一些，但是思维量小一些.不利用向量的方法则计算量小一些，但是分析思维量大一些，学生可以根据自己的实际情况选择.15．.【解析】分析：先设，再通过分析为等差数列得到d=2,最后求出找到答案.详解：设，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以所以所以（（故答案为.点睛：本题的关键是对数列与均为等差数列的转化，这里利用到了等差数列的一个性质，等差数列的通项是一个关于n的一次函数，根据这个性质得到d的值，后面就迎刃而解了.16．6.【解析】分析: 不妨设是中的最小者，即，把已知转化为，且，.再利用一元二次方程的根来分析求的最小值.详解:不妨设是中的最小者，即，由题设知，且，.于是是一元二次方程的两实根，，，所以, 所以.又当,时，满足题意. 故中最小者的最大值为. (1)因为，所以为全小于0或一负二正.1)若为全小于0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾. 2）若为一负二正，设，则当,时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故的最小值为6.点睛：本题解题的关键难在转化，先要消元，通过已知的分析转化得到b+c的表达式和a的范围，再利用函数分析求的最小值.17．.【解析】分析：先考虑两种特殊情况，假设点F和点D重合，假设点F和点A重合，求出每一种情况下点P的轨迹，再根据题意得到点P的轨迹在正方体表面组成的图形，最后求图形的面积.详解：如图所示，记中点为，假设点F和点D重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.假设点F和点A重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.所以点F在AD上运动时，所求图形为直角梯形、、．所以所求图形的面积为故答案为：.点睛：本题主要考查空间想象能力，考查极限的思想.要确定点P的轨迹在正方体表面组成的图形，不是很好处理，所以可以先考虑两种特殊情况，特殊情况下点P的图形确定了，动点P的轨迹组成的图形就容易确定了.18．（Ⅰ）增区间为．（Ⅱ）【解析】分析: (1)先化简函数f(x)得，再求函数的单调增区间.（2）先化简得，再利用对称性结合数形结合求的最小值.详解：（Ⅰ），由于，所以＜＜，所以增区间为．（Ⅱ）由得，所以作C关于AB的对称点, 连由余弦定理得所以当共线时，取最小值点睛：本题的难点在第（2）问，直接处理比较困难，利用对称性结合数形结合分析解答，才比较简洁.类似这种在一条线段上找点，求线段和的最值，一般利用对称性结合数形结合解答.19．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）先证明平面，即证.(Ⅱ)利用空间向量法求直线与面所成角的正弦值．详解：（Ⅰ）连交于，所以所以BD=因为∴又∴从而所以平面∴（Ⅱ）由面，如图建系，则设平面的法向量为，由，可取，．点睛：本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查立体几何的基础知识掌握能力和基本的运算能力.20．（Ⅰ）极小值．（Ⅱ）.【解析】分析：（Ｉ）先根据是的极大值点求出 ,再利用导数求）的极小值. （Ⅱ）先分离参数得到（），再分类讨论求（）即得b的最小值.详解：（Ｉ），因为．由，得，所以 ,此时．则．所以在上为减函数，在上为增函数．所以为极小值点，极小值．（Ⅱ）不等式即为．所以．ⅰ）若，则，．当时取等号；ⅱ）若，则，．由（Ｉ）可知在上为减函数．所以当时，．因为．所以于是．点睛：处理参数问题常用的方法有分类讨论和分离参数法. 如果参数的系数符号能确定,一般利用分离参数法,化成或的形式,再研究函数f(x)的最值.如果参数的系数符号不能确定，一般利用分类讨论的方法.21．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据离心率为和弦长|AB|=列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出的表达式，再求函数的最小值即得的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设，即椭圆，设由作差得，又∵,即，∴AB斜率．由．消得，．则．解得，于是椭圆的方程为：．（Ⅱ）设直线, 由消得，．于是．∵．同理可得．∴，, 当时取等号．综上，的最小值为．点睛：本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.22．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）存在集合，使得对任意成立，当时,的最小值为．（Ⅲ）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）利用数学归纳法证明即可. （Ⅱ）先求出再证明当时，,再判断存在集合，使得对任意成立，最后求求出的最小值.（Ⅲ）先证明,再证明．详解：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当时，．ⅰ）当时，由，，得，显然成立；ⅱ）假设时命题成立，即．则时，．于是．因为．所以，这就是说时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当时，．（Ⅱ）由，得，所以，从而．由（Ⅰ）知，当时，，所以，当时，．因为，所以．综上，当时，．由，，所以，所以，又．从而存在集合，使得对任意成立，当时,的最小值为．（Ⅲ）当时，，所以即，也即，（）（）（）（）（））．即,于是．故．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={3,2,1,0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1,0}B. {2,1,0}C. {3,2,1}D. {2,1}2. 已知函数f(x)=axsinx +xcosx(a ∈R)为奇函数，则f(−π3)=( )A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π63. 已知x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4ax +by +c ≤0且目标函数z =2x +y 的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca = ( )A. 2B. 1C. −1D. −24. 如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A. 32B. 3C. 23D. 435. 函数f(x)=xx 2+1的图象大致是( )．A.B.C.D.6. 将函数f (x )=cos (4x −π3)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图像，则g(x)的最小正周期是( )A. π2 B. π C. 2π D. 4π7. 在△ABC 中，已知|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. −2C. 2√3D. −2√38. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，P 是第一象限C 上的点，Q 为第二象限C 上的点，O 是坐标原点，若OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. [2,2√3)D. (√3,2)9. 函数f(x)=e x sin x 在区间[0,π2]上的值域为( )A. [0,e π2]B. (0,e π2) C. [0,e π2) D. (0,e π2] 10. 设数列{a n }的通项公式为a n =2n −7(n ∈N ∗)则|a 1|+|a 2|+⋯+|a 7|=( )A. 7B. 0C. 18D. 25二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11. 已知复数z 满足(1+2i )z =3−4i ，i 为虚数单位，则z 的虚部是________，|z |=________． 12. 已知随机变量X 的分布列如表：若EX =2，则a =_____．13. 已知ab >0 , a +b =5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．14. 若(2x +1x )n 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为______．15. 已知椭圆C ：x 216+y 2b 2=1(4>b >0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，若P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2面积为______16. 2019年国际篮联篮球世界杯于8月31日到9月15日在8个城市的场馆举行，甲、乙、丙、丁四位同事拟购票去看比赛，该比赛的某购票点为他们提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，甲、乙、丙、丁购票后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．17.在四面体P−ABC中，若PA=3，PB=4，PC=5，底面△ABC是边长为2√3的正三角形，O为△ABC的中心，则∠PAO的余弦值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，C−A=π2，sinB=13．(1)求sin A的值；(2)设AC=√6，求△ABC的面积．19.如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，∠BAD=∠CDA=90∘,AB=AD=DE=12CD，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．(1)证明：BE//平面MAC；(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．20.已知数列{a n}为等差数列，a2=5，a6=13，{b n}为等比数列，b2=a4，b n+1=3b n．(1)求通项公式a n，b n；(2)求{a n⋅b n}前n项和S n．21.在平面直角坐标系xOy中，P(x0,y0)(y0≠0)是椭圆C：x22λ2+y2λ2=1(λ>0)上的点，过点P的直线l的方程为x0x2λ2+y0yλ2=1．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)当λ=1时，设直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，求△OAB面积的最小值；(Ⅲ)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q，P，F2三点共线．22.已知函数f(x)=(ax+1)lnx−x2+1．(1)令g(x)=f′(x)，判断g(x)的单调性；(2)当x>1时，f(x)<0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的交集运算，根据集合A，B，得到其交集，属于基础题．【解答】解：由题意可得：A∩B={0,1}．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦、余弦函数，函数的奇偶性，属于基础题．利用函数的奇偶性可求出a的值，进而可得答案．【解答】解：因为f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，所以，即，所以a=0，所以，所以．故选A．3.答案：D解析：【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．【解答】解：由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A(1,−1)，B(3,1)，∴直线AB的方程是：x−y−2=0，∴则a+b+ca=−2．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图以及三棱锥的体积公式，属于基础题.如图所示：三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求得其值．【解答】解：如图所示：正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为3，M，N分别为AB，DD1的三等分点，且BM=D1N=1.三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，V=13×(12×1×3)×3=32，故选A．5.答案：A解析：【分析】本题考查由解析式选择函数的图象，解题关键是研究函数的性质，如单调性、奇偶性等，研究图象的特殊点，函数的值正负及变化趋势．【解答】解：由f(x)=xx2+1，当x >0时，f(x)>0，x <0时，f(x)<0，只有A 符合．故选A ．6.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数图像的伸缩变换．【解答】解：由题意得g (x )=cos (12×4x −π3)=cos (2x −π3)，∴T =2π2=π．故选B ．7.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−π3)=2×2×(−12)=−2 故选B直接利用向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题8.答案：B解析：【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及双曲线的性质．【解答】解：由已知F (c,0),P (x 1,y 1)，因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量加法的平行四边形法则，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0F ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q (−x 1,y 1) 所以(2x 1,0)=(c,0)，2x 1=c,x 1=c2，因为P 是第一象限C 上的点，所以x 1>a, 即c2>a,所以e =ca >2．故选B ．9.答案：A解析：【分析】利用导数判断函数f(x)在[0,π2]上是增函数，由此能求出函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域．【解答】解：∵f(x)=e x sinx，∴f′(x)=e x(sinx+cosx)，∵x∈[0,π2]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[0,π2]上是增函数，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(π2)=eπ2．∴函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域为[0,eπ2].故选A．10.答案：D解析：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=2n−7(n∈N∗)，∴由a n=2n−7≥0，得n≥72，∴|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7=−(2×1−7)−(2×2−7)−(2×3−7)+2×4−7+2×5−7+2×6−7+2×7−7=25．故选：D．|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7，由此能求出结果．本题考查数列的前7项的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式的合理运用．11.答案：−2；√5解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|．【解答】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−2i，∴z的虚部是−2，|z|=√5．故答案为−2；√5．12.答案：0解析：【分析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和=1求出b，然后根据EX=2，可求出a．【解答】解：根据题意可知13+b+16+14=1，解得b=14，所以EX=13a+14×2+16×3+14×4=2，解得a=0，故答案为0．13.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=1(3+2(b+1)+a+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．14.答案：1120 解析：【分析】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．由已知求得n值，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴(2x+1x )n=(2x+1x)8，其展开式的通项T r+1=C8r⋅(2x)8−r⋅(1x)r=28−r⋅C8r⋅x8−2r，令8−2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为T5=24⋅C84=1120．故答案为1120．15.答案：4解析：【分析】本题考查了椭圆的定义、勾股定理、三角形的面积计算公式，属于中档题．先根据离心率求出b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n.在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2，利用椭圆的定义可得m+n=2a，联立解得mn即可．【解答】解：椭圆C：x216+y2b2=1(4>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，∴e2=c2a2=1−b2a2=1−b216=(√32)2，∴b2=4，∴c=2√3，∴|F1F2|=2c=4√3，设|PF1|=m，|PF2|=n．在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2=48，又|PF1|+|PF2|=2a，∴m+n=8．则mn=(m+n)2−(m2+n2)2=8．∴△F1PF2的面积S=12mn=4．故答案为：4．16.答案：26解析：【分析】本题主要考查分类计数原理，考查排列与组合的应用，属于中档题．根据题意结账方式可分为三3类：第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，再根据分类计数原理相加即可得结果．【解答】解：甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，可分为三3类，第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择： ①当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式，第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择： ①当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式．第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，根据分类计数原理可得共有7+7+12=26(种)结账方式．17.答案：136解析：【分析】本题考查了空间线线角的计算，重点考查了余弦定理的应用，属于中档题．【解答】解：如图：在△ABC中，连接AO并延长交BC于D，∵O为△ABC的中心，∴AD为BC边上的中线，又AB=BC=AC=2√3，∴AD=3．在△PBC中，∵PB=4，PC=5，BC=2√3，由余弦定理，在△PDC中，由余弦定理=52+(√3)2−2×5×√3×2120√3=352，在△PAD中，由余弦定理，故答案为136．18.答案：解：(1)因为C−A=π2且C+A=π−B，所以A=π4−B2，所以，即，又sinA>0，所以sinA=√33；(2)由题意可知A为锐角，故，又，∴A>B，则B为锐角，，由正弦定理得ACsinB =BCsinA，所以BC=AC·sinAsinB=3√2，又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×2√23+√63×13=√63，所以．解析：【分析】本题考查了正弦定理、三角形面积公式和两角和与差的三角函数公式，是中档题．(1)要求sin A 的值，应该用题目中的已知条件，将A 表示出来，可以得到A =π4−B2，进一步可以求出sin A ；(2)已知AC 的长度，可以根据正弦定理求出BC 的长度，再根据三角形面积公式，即可求得答案．19.答案：解：(1)连接BD ，交AC 于N ，连接MN ，由于AB =12CD ，所以DNNB =2，所以MN//BE ，由于MN ⊂平面MAC ，BE ⊄平面MAC ，所以BE//平面MAC.(2)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，可知AD,CD,DE 两两垂直，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ．设AB =1则C (0,2,0),M (0,0,23),F (0,2,1),B (1,1,0),A (1,0,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−23),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0).设平面MAC 的法向量n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −23z =0n ⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，令z =3，得平面MAC 的一个法向量n⃗ =(2,1,3)，而BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，设所求角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=√4221，故直线BF 与平面MAC 所成的角的正弦值为√4221．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． (1)连结BD ，交AC 于N ，连结MN ，推导出MN//BE ，由此能证明BE//平面MAC ；(2)推导出DE ⊥平面ABCD ，从而AD ，CD ，DE 两两垂直，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．20.答案：解：(1)∵数列{a n }为等差数列，a 2=5，a 6=13，设公差为d ，∴{a 1+d =5a 1+5d =13，解得a 1=3，d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1． ∵{b n }为等比数列，b 2=a 4，b n+1=3b n ． ∴b 2=2×4+1=9，q =b n+1b n=3，∴b 1=3，∴b n =3n ． (2)a n ⋅b n =(2n +1)·3n ，S n =3·3+5·32+7·33+⋯+3n ·(2n +1)①3S n =3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋯+(2n +1)⋅3n+1，② ①−②，得：−2S n =9+2(32+33+⋯+3n )−(2n +1)·3n+1=9+2×9×(1−3n−1)1−3−(2n +1)·3n+1=3n+1−(2n +1)·3n+1， ∴S n =n ·3n+1．解析：(1)由已知条件利用等差数列的通项公式，求出a 1=3，d =2，从而a n =2n +1.由{b n }为等比数列，结合已知条件求得b n =3n ．(2)由a n ⋅b n =(2n +1)⋅3n ，利用错位相减法能求出{a n ⋅b n }前n 项和S n ．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.答案：(本小题满分14分)解：(Ⅰ)依题a =√2λ，c =√2λ2−λ2=λ，所以椭圆C 离心率为e =√2λ=√22.…(3分) (Ⅱ)依题意x 0≠0，令y =0，由x 0x 2+y 0y =1，得x =2x 0，则A(2x 0,0)．令x =0，由x 0x 2+y 0y =1，得y =1y 0，则B(0,1y 0)．则△OAB 的面积S △OAB =12|OA||OB|=12|2x 0y 0|=1|x0y 0|．因为P(x 0,y 0)在椭圆C ：x 22+y 2=1上，所以x 022+y 02=1．所以1=x 022+y 02≥00√2，即|x 0y 0|≤√22，则1|x 0y 0|≥√2．所以S △OAB =12|OA||OB|=1|x0y 0|≥√2．当且仅当x 022=y 02，即x 0=±1,y 0=±√22时，△OAB 面积的最小值为√2. …(8分)(Ⅲ)由y 02λ2=1−x 022λ2>0，解得−√2λ<x 0<√2λ． ①当x 0=0时，P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，此时k F 2P =−1，k F 2Q =−1．因为k F 2Q =k F 2P ，所以三点Q ，P ，F 2共线．当P(0,−λ)时，也满足．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，得：x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=0．设直线F 1Q 的斜率为k ，则k =nm+λ=2y 0x 0，所以2y 0m −x 0n +2y 0λ=0.由{x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=02y 0m −x 0n +2y 0λ=0，解得m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，n =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02．所以Q(2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ,4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02)．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，把x 0=λ，y 02=λ22代入m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，得m =λ，则P ，Q ，F 2三点共线．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标不相等时，直线F 2P 的斜率为k F 2P =yx 0−λ．由−√2λ≤x 0≤√2λ，x 0≠−2λ．所以直线F 2Q 的斜率为k F 2Q =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 022x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−2λ=4x 0y 0λ+8y 0λ22x 02λ+4x 0λ2−8y 02λ−2x 02λ=4x 0y 0λ+8y 0λ24x 0λ2−8y 02λ=x 0y 0+2y 0λx 0λ−2y 02=y 0(x 0+2λ)x 02+λx 0−2λ2=y 0(x 0+2λ)(x 0−λ)(x 0+2λ)=y 0x 0−λ．因为k F 2Q =k F 2P ，所以Q ，P ，F 2三点共线．综上所述Q ，P ，F 2三点共线．…(14分)解析：(Ⅰ)利用椭圆方程，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率； (Ⅱ)由x 0x 2+y 0y =1，求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，表示三角形的面积，通过P(x 0,y 0)在椭圆C 上，利用基本不等式求解三角形OAB 面积的最小值． (Ⅲ)由x 22λ2+y 2λ2=1，求出−√2λ<x 0<√2λ.①当x 0=0时，求出P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，证明三点Q ，P ，F 2共线．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，求出Q 坐标，通过点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，说明P ，Q ，F 2三点共线．点P 的横坐标与点F2的横坐标不相等时，证明k F2Q =k F2P，说明Q，P，F2三点共线．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)由f(x)=(ax+1)lnx−x2+1，则g(x)=f′(x)=alnx+1x−2x+a，所以g′(x)=−2x2+ax−1x(x>0)．①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；②当a>0时，若a2−8≤0，即0<a≤2√2时，g′(x)≤0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；若a2−8>0，即a>2√2时，由g′(x)=0有两根，得x1=a−√a2−84>0，x2=a+√a2−84>0，∴在x∈(0,x1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在x∈(x1,x2)上g′(x)>0，g(x)为增函数；在x∈(x2,+∞)上，g′(x)<0，g(x)为减函数．综上：当a≤2√2时，g(x)为(0,+∞)上的减函数；当a>2√2时，g(x)在(0,x1)和(x2,+∞)为减函数，在(x1,x2)上为增函数；(2)由(1)知，对a讨论如下，①当a≤0时，g′(x)<0，则f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，故f(x)为(1,+∞)上的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即a≤0时满足题意．②当a>0时，由于f′(1)=−1+a，对其讨论如下：(A)若f′(1)=−1+a≤0，即a≤1，则由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，所以f(x)为(1,+∞)的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即0<a≤1时满足题意．(B)若f′(1)=−1+a>0，即a>1，则由(1)知，当1<a≤2√2时，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e a所以存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，因为f(1)=(a+1)ln1−12+1=0，所以f(x)>f(1)=0，即1<a≤2√2时不满足题意．当a>2√2时，由于x1<1，所以对x2与1的大小关系讨论如下，1)如果x2≤1，即2√2<a≤3时，由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e则存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即2√2<a≤3时不满足题意．2)如果x2>1，即a>3，那么由(1)知，f′(x)为(1,x2)上的增函数，则当x∈(1,x2)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x2)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即a>3时不满足题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可．。

【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷含答案

【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．体积为43的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为（） A ．8π B ．9π C ．12π D ．16π4．在四面体ABCD 中，已知AB ＝AC ＝CD ＝2，BC 22=，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积（）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π5．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 6．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．7．若直线y=a 分别与直线y=2x-3，曲线y=e x -x （x≥0）交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（）A ．63ln3-B ．33ln32-C ．eD ．0.5e8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞9．下列命题中，错误命题是 A ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 B ．线性回归直线y bx a =+$$$必过样本点的中心(,)x yC ．在平面直角坐标系中到点()1,0和()0,1的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D ．在锐角ABC V 中，有22sin cos A B >10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（）A ．12B ．22C ．3D ．2311．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（） A ．7(,0)24π B ．(,0)3π C ．1(,)34π- D ．(,0)12π12．已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2．已知是虚数单位，复数，则的共轭复数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果.
详解：，
，故选C.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误.
3．已知直线 ,其中在平面内.则“ ”是“ ”的
【详解】
取，分别为，的中点，连接，，根据题意以为原点，
，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
点在侧棱上，设，点在上，设，
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟数学试题
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据补集概念求解出，然后根据并集的概念求解出的结果.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易.
所以其体积为，故选C．
5．记，则的值为（）
A．1B．2C．129D．2188
【答案】C
【解析】令，求得，再求即可求得结果.
【详解】
中，
令，得 .
∵ 展开式中
∴
故选： .
【点睛】
二项式通项与展开式的应用：
（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.
（2）展开式的应用：
所以此时共有种方案，
综上，可得甲不到景点的方案有种方案.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
8．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）
【详解】
由题意，可分为两种请况：
（1）甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，由2种选法，
再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有种情况，
所以此时共有种方案；
（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起C景点中任选1个，有种情况，
将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用双勾函数的值域得到的范围，然后由求解.
【详解】
如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
【详解】
不等式组表示的平面区域D为三角形ABC及内部部分，如图所示：
因为函数的图象是由上下平移得到的，
所以由图知：将函数图象从下往上平移，当经过点时，m=-2,
当函数的最低点在BC上时，m=1，
因为函数的图象上存在区域D上的点，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用以及函数图象的变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果.
【详解】
若，则，无法得到，充分性不成立；
若，则垂直于内所有直线，可得到，，必要性成立；
“ ， ”是“ ”的必要而不充分条件.
①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.
②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.
③有关组合式的求值证明，常采用构造法.
6．已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式组作出其表示的平面区域然后根据函数的图象是由上下平移得到的，将函数图象从下往上平移,利用数形结合法求解.
10．已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于三点，，，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）．
A．2B．4C． D．
【答案】D
【解析】建立空间直角坐标系，根据已知条件设、、，不妨设，则为直角，所以推出，利用基本不等式即可求得斜边的最小值.
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】令t=f(x),则方程等价于 ,在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y=2x+ 的图象,由图象可得有两个交点,且的两根分别为和 ,当时,解得x=2,当时, f(x)有3个不等实根,综上所述, 方程的实根个数为4,故选C.
点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的应用技巧,属于中档题. 对于函数 ,我们把使的实数x叫做函数的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题.
7．甲、乙、丙、丁四个人到，，三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到景点的方案有（）
A．18种B．12种C．36种D．24种
【答案】D
【解析】根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解.
又，即，
所以平行四边形为矩形，
所以，
设，，
在直角中，，，得，
所以，
令，得，
又由，得，
所以，
所以，即，
所以，
所以离心率的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
9．已知函数，则方程的实根个数为（）
故选： .
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题.
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是由个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体，
其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，