第13讲 二次函数(二)

思路点拨:(1)根据顶点坐标设出顶点式,代入点(8,0),求出a值即可; 解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为 y=a(x-3)2+5(a≠0), 将(8,0)代入 y=a(x-3)2+5,得 25a+5=0,
解得 a=- 1 , 5
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为
解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为 x,y 元,
根据题意得
2x 4x
3y 5y
38, 70,
解得
x
y
10, 6.
∴钢笔、笔记本的单价分别为 10 元,6 元.
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50 支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等 奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一 等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?
交点,
∵方程在-1<x<4的范围内有实数根,当x=-1时,y=x2-2x+3=1+2+3=6;当
x=4时,
y=x2-2x+3=42-2×4+3=11;函数y=x2-2x+3在x=1时有最小值2;
2.(2019临沂)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运 动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过 的路程是40 m;②小球抛出3 s后,速度越来越快;③小球抛出3 s时速度为0; ④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是(D )
②当 AB 是四边形的对角线时,如图 2,
线段 AB 的中点坐标为(2,0),
设点 P3 的横坐标为 m,点 F 的横坐标为 2,
∴线段 P3F 中点的横坐标为 m 2 ,即 m 2 =2,
2
2
解得 m=2,
故点 P 的坐标为(2,-1);
综上所述,点 P 的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).
22
解:(2)设销售收入为 w 万元,根据题意,得
w=yp=(-500x+7 500)( 1 x+ 1 ) 22
=-250(x-7)2+16 000, ∴当 x=7 时,w 取得最大值,最大值为 16 000, 此时 y=-500×7+7 500=4 000(元). ∴第 7 个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是 4 000 元.
解析:∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0), ∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1. ∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0), ∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3. 故选C.
应用二次函数解决实际问题中的最大(小)值问题
方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围
是A
()
(A)2≤t<11
(B)t≥2
(C)6<t<11
(D)2≤t<6
解析:∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,
∴一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根,则抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有
2 ∴最后 4 s 滑行的距离是 600-576=24(m).
4.(2018孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 x1=-2,x2=1 .
解析:∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),
第13讲 二次函数(二)
二次函数与一元二次方程的关系
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象与x轴交点的 横 坐标.
2.抛物线与x轴的交点个数由 b2-4ac 的符号决定,当b2-4ac>0时,抛物线
与x轴有 2 个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有 1
思路点拨:(1)根据函数图象上的两点坐标,用待定系数法求出函数的解析式;
解:(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 把(1,7 000),(5,5 000)代入,
得
k b 7000, 5k b 5000
解得
k b
500, 7500,
∴y 与 x 之间的解析式为 y=-500x+7 500.
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D, 求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.
思路点拨:(3)利用 S = 四边形 AEBD 1 AB(yD-yE)和二次函数的性质求解. 2
解:(3)如图 3,作直线 BC,点 E 是抛物线上的一点,作 ED⊥AB,连接 AE,BE, ∵点 B(3,0),C(0,3), ∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3, 设点 E 的坐标为(x,x2-4x+3), 则点 D 的坐标为(x,-x+3),
[例2] (2019成都)随着5 G技术的发展,人们对各类5 G产品的使用充满期待, 某公司计划在某地区销售一款5 G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将 随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销 售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数解析式;
O(0,0)代入,得 0=a(0-3)2+40,解得 a=- 40 , 9
∴函数解析式为 h=- 40 (t-3)2+40,把 h=30 代入解析式,得 30=- 40 (t-3)2+40,解
9
9
得 t1=4.5,t2=1.5, ∴小球的高度 h=30 m 时,t=1.5 s 或 4.5 s,故④错误;∴正确的是②③,故选 D.
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的 前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰 物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
思路点拨:(3)由抛物线的形状不变可得改造后水柱所在抛物线的二次项系数 不变,代入点(16,0)和原抛物线与y轴的交点坐标即可求出改造后的抛物线解 析式,再求顶点纵坐标即可.
[例1] 若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的 解为( C ) (A)x1=-3,x2=-1 (B)x1=1,x2=3 (C)x1=-1,x2=3 (D)x1=-3,x2=1
思路点拨:先求出抛物线的对称轴,再根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称 得出答案.
应用二次函数模型解决实际问题的步骤 (1)根据题意确定二次函数的关系式; (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大(小)值,注意二次函数 的最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值.
二次函数与几何图形综合应用
[例3]如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y 轴交于点C. (1)求二次函数的解析式;
解:(3)当 x=0 时,y=- 1 (x-3)2+5= 16 .
5
5
来自百度文库
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为 y=- 1 x2+bx+ 16 ,
5
5
∵该函数图象过点(16,0),
∴0=- 1 ×162+16b+ 16 ,解得 b=3,
5
5
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为
B(1,1),
∴方程组
y y
ax 2 , bx
c
的解为
x1 y1
2, 4,
x2 y2
1, 1.
即关于 x 的方程 ax2=bx+c 的解为 x1=-2,x2=1.
5.(2019南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖 的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3本笔记本共38元, 购买4支钢笔和5本笔记本共70元. (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
y=- 1 (x-3)2+5(0<x<8). 5
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
思路点拨:(2)求出当y=1.8时x的值,即可得出结论; 解:(2)当 y=1.8 时,有- 1 (x-3)2+5=1.8,
5 解得 x1=-1(舍去),x2=7, ∴为了不被淋湿,身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内.
个交点;当
b2-4ac<0时,抛物线与x轴 没有 交点.
二次函数的实际应用
1.设:找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系,设出未知数. 2.列:列出函数解析式表示它们之间的关系. 3.解:应用二次函数的图象及性质解决问题. 4.验:检验是否符合实际问题的意义.
二次函数与方程、不等式的关系(易错点)
(2)设该产品在第 x 个销售周期的销售数量为 p(万台),p 与 x 的关系可以用 p= 1 x+ 1 来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该
22 产品每台的销售价格是多少元?
思路点拨:(2)设销售收入为 w 万元,根据销售收入=销售单价×销售数量和 p= 1 x+ 1 ,列出 w 与 x 的函数解析式,再根据函数性质求得结果.
思路点拨:(1)用待定系数法求函数解析式;
解:(1)把点 A(1,0),B(3,0)分别代入 y=x2+bx+c,得
1 b c 9 3b
c
0, 0
解得
b c
4, 3.
∴二次函数的解析式为 y=x2-4x+3.
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点 的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
2
2
2
4
∴此时点 E 的坐标为 ( 3 ,- 3 ) . 24
应用二次函数解决抛物线型实际问题
[例4] 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷 水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各 方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向 为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式;
y=- 1 x2+3x+ 16 =- 1 ( x- 15 ) 2+ 289 .
5
5 5 2 20
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 289 米. 20
解决抛物线型实际问题 (1)用待定系数法确定抛物线解析式; (2)把实际问题转化为点的坐标,代入解析式求解.
1.(2019潍坊)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次
思路点拨:(2)分当AB为平行四边形一条边,对角线两种情况,分别求解;
解:(2)①当 AB 为平行四边形一条边时,如图 1, 则 AB=PF=2, ∵y=x2-4x+3 =(x-2)2-1, ∴抛物线的对称轴为直线 x=2,
当点P1(x1,y1)在对称轴的左侧时,四边形ABFP1为平行四边形,则 x1=0,∴y1=3, ∴点P1的坐标为(0,3), 当点P2(x2,y2)在对称轴的右侧时,四边形ABP2F为平行四边形, 则x2=4,∴y2=3, ∴点P2的坐标为(4,3). ∴点P的坐标为(4,3)或(0,3).
(A)①④ (C)②③④
(B)①② (D)②③
解析:①由图象知小球在空中达到的最大高度是 40 m,小球在空中经过的路程是 80 m;故①错误;②小球抛出 3 s 后,速度越来越快;故②正确;③小球抛出 3 s 时 达到最高点即速度为 0;故③正确;④设抛物线的函数解析式为 h=a(t-3)2+40,把
3.(2018 武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位:m)关于滑行时间 t(单位:s)的函数 解析式是 y=60t- 3 t2.在飞机着陆滑行中,最后 4 s 滑行的距离是 24 m.
2
解析:y=60t- 3 t2=- 3 (t-20)2+600, 22
则飞机滑行 20 s 后停止滑行,此时最大滑行距离是 600 m, 当 t=16 时,y=60×16- 3 ×162=576(m),
S = 四边形 AEBD 1 AB(yD-yE)=-x+3-x2+4x-3=-x2+3x, 2
∵-1<0, 故四边形 AEBD 面积有最大值,
当 x= 3 时,S 四边形 AEBD 取得最大值,最大值为- ( 3 ) 2+3× 3 = 9 ,
2
2
24
又∵当 x= 3 时,x2-4x+3= ( 3 ) 2-4× 3 +3=- 3 ,