刚体转动惯量

实验二刚体转动惯量测量一、实验目的

（1）、学习用三线摆测量刚体的转动惯量。

（2）、进一步熟悉基本量具的正确使用。

（3）、验证转动惯量的平行轴定理。

二、实验原理

1.转动惯量的测量

对于质量分布均匀、形状规则的刚体，其转动惯量可以通过数学方法求出。例如，均质圆环形刚体通过其轴心的转动惯量为

I1=1/8m1(D12+D22)

（3-10）

式中，m1为圆环的质量；D1、D2分别为圆环的内、外直径。

均质圆柱形刚体通过其轴心的转动惯量为

I2=1/8m2D2

(3-11)

式中，m2为圆柱体的质量；D为圆柱体的直径。

对于形状复杂或质量分布不均匀的刚体，其转动惯量不易用数学方法计算，通常用实验的方法进行测量。三线摆是通过扭转运动测量转动惯量的一种方法。

如图3.7所示是一个三线摆的机械原理。将上、下两个圆盘用3条等长的线

连接起来，将上圆盘吊起，下圆盘面调节到水平状态，两圆心O1、O2在铅垂线上，3条线的张力相等。如果给上圆盘一个初始策动角位移，则下圆盘在细线张力和自身重力的作用下将在水平面内做扭转摆动（同时也有垂直升降运动），在转角很小的情况下，下圆盘在水平面内的扭转摆动可以看作是简谐振动。

图3.7机械原理

根据机械能守恒定律或转动定律均可推出，下圆盘作周期性扭转运动的周期

与其对O1O2轴的转动惯量满足下列关系：

I=mgRrT2/42π2H

（3-12）

式中，I是振动系统（下圆盘和盘上物体）的总转动惯量；m是振动系统的总质

量；r、R为上、下线孔到各自圆盘中心的距离；H是上圆盘与下圆盘的中心距离。

由式（3-12）可看出，若保持R、r、H不变，即保持整个系统的几何关

系不变，转轴O1O2也不变，而改变振动系统的质量m，则转动惯量也随之改变（相应的振动周期也不同），但它们都满足式（3-12）。这样，可以先测出下圆盘是空盘时的转动惯量：

I0=m0gRrT02/4π2H（3-13）

式中，m0、T0表示空盘时下盘的质量和周期，0表示空盘。再将待测物体置于下盘，并使待测物的转轴与O1O2重合，同样可得到振动系统的转动惯量：

I=(m0+m x)gRrT x2/4π2H （3-14）式中，m x、T x表示待测物体的质量及加载待测物体时的周期，x表示待测物体。

设待测物体的转动惯量为I x，根据转动惯量的可加性有I=I0+I x，则待测物体的转动惯量为

I x=I-I0=gRr[(m x+m0)T x2-m0T02]/ 4π2H （3-15）

2.验证平行轴定理

刚体的转动惯量随转轴的不同而不同，设刚体的质量为m，其通过质心转轴的转动惯量为I c，刚体对相距质心为l的另一平行转轴的转动惯量为I，则有

I=I C+m l（3-16）

这个结论称为平行轴定理，可用三线摆实验进行验证。

将两个形状相同，质量均为m2的圆柱体对称地置于下圆盘上，如图3.8

所示。圆柱体中心到下圆盘中心的距离为l，测量对这个系统振动周期T-，由式（3-12）可得系统转动惯量的实验值为

I-==(m0+2m2)gRrT-2/4π2H 则两圆柱体的转动惯量为

I-2=I--I0=(m0+2m2)gRrT-2/4π2H -I0 （3-17）

图3.8验证平行轴定理

根据平行轴定理可算出两圆柱体的转动惯量的理论值为

I2=2(1/8m2d2+m2l2) （3-18）比较理论值与实验值，从而验证平行轴定理。

三、实验仪器

三线摆及附件、物理天平、秒表、钢直尺、游标卡尺。

四、实验内容

1.调节仪器

先将悬挂下盘的3条细线调整到同样长度，然后将气泡水平仪放在下盘中心，调节支架底座上的螺旋，使下圆盘处于水平位置。因为3条细线等长，这时上圆盘也是水平位置（这里指盘上3个线孔所在平面为水平）。

2.刚体几何参量的测量

（1）用天平分别称出圆环和圆柱体的质量m1和m2，下圆盘的质量m0已标明在其表面（有些设备的附件质量均已标明，这一步就略去）。

（2）用直尺测出上、下两圆盘之间的垂直距离H；游标卡尺测出下圆盘的直径D0；圆环的内、外直径D1、D2；圆柱体的直径d。

（3）在上圆盘的3个悬点中，测出每两点之间的距离a，并算出平均

值a-，根据r=a-/，求出上圆盘的有效半径。同理，求得下圆盘每

两悬点之间距离的平均值b-，并根据R=b-/，求出下圆盘的有效半径R，如图3.9所示。

图3.9下圆盘

3.各刚体扭摆转动周期的测量

人在按表时，由于反应得延迟会造成误差（近似为0.1s），为了减小测量周期T的误差，可采用累积放大法进行测量：测定n个完全振动周期的时间t，

则T=t/n。测量对应的按表误差认为0.2s（两次按表），但将这0.2s分配到n个周期中就很小了，大大提高了测量精度。

（1）让下圆盘处于静止状态，轻轻扭动上圆盘，摆角控制在5o左右，并尽可能消除扭转摆动之外的振动，待下圆盘作稳定摆动时按下秒表，并开始数摆动次数（当圆盘第二次同方向经过平衡位置为一完全摆动），测定n=50的摆动

时间t，重复 3次，如果3个数据相差1s以上必须作废重测。最后算出平均周期T o-。

（2）将待测圆环置于下圆盘上，是两者中心轴线重合，重复上述步骤，测出圆环与下圆环的共同摆动的周期T-1。

（3）取下圆环，把质量和形状都相同的两个圆柱体对称地置于下圆盘上。如图3.8所示，测出圆柱体中心到下圆盘中心的距离l（思考：如何能比较精确地测量出l），重复上述周期的测量，测出它们共同的摆动周期T2-。

注意事项：

（1）扭动上圆盘使下下圆盘摆动时，注意摆角不要过大（应在5o以内）；不可使下圆盘晃动，否则将上圆盘退回原位置重新启动。

（2）测量50次摆动的总时间t时，连续3次的读数应相差在1s以内。

五、数据记录与处理

数据记录如表3.3～表3.5所示。

圆盘质量m0= kg

圆环质量m1= kg

圆柱体质量m2= kg

表3.3几何参量

cm

r=a-/3= cm； R=b-/3= cm。

表3.4扭摆周期的测量