线性代数教案-向量组及其线性组合

线性代数教学教案

第三章 向量组及其线性组合

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第三章 第一节 向量组及其线性组合 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 向量组的线性组合、向量组的等价 教学难点 向量由向量组线性表示的判定

方法、向量组等价的判定方法

参考教材 同济版《线性代数》

作业布置 课后习题

大纲要求 理解n 维向量、向量组、向量组的线性组合、向量组等价的概念以及向量组与矩阵的对应

熟悉向量能由向量组线性表示的判断方法；

熟悉向量组B 能由向量组A 线性表示的判断方法和两向量组等价的判断方法。

教 学 基 本 内 容

一、 向量的概念及运算：

1. 维向量的定义：由个数组成的有序数组称为维向量. 若维向量写成

的形式，称为维列向量；若维向量写成

的形式，称为维行向量. 这个数称为该向量的个分量，其中称为第个分量．

常用…来表示维列向量，而用,…来表示维行向量.

当是复数时，维向量称为维复向量，当是实数时，维向量称为维实向量，本书所讨论的向量都是实向量.

n n 12,,,n a a a n n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

n n ()12,,,n a a a n n n i a i ,,,αβγn T

T

T

,,αβγn 12,,,n a a a n n 12,,,n a a a n n

分量都是零的向量称为零向量，记为，即或.

向量称为向量的负向量，记为. 2. 向量的运算：

由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：

设，，则有

（1）； （2）；我们称这两种运算为向量的线性运算. （3）； .

二、向量组及其线性组合：

向量组：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组．

线性组合：给定维向量组，对于任意一组数，表达式

称为该向量组的一个线性组合.

000

0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0= ()0,0,,00= 12n a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

α-α112

2,n n a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

αβk ∈R 1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+

⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭ αβ12n ka ka k ka ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ α()12T 121122,,,n n n n b b a a a a b a b a b b ⎛⎫

⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭ αβ()11112

1221

222T 121

2

,,,n n n n n n n n a a b a b a b a a b

a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

== ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

αβn 12,,,n ααα12,,,n k k k 1122+++n n k k k ααα

线性表示：给定维向量组和一个维向量，如果存在一组数，使得

，

则称向量可由向量组线性表示，或者说向量是向量组的一个线性组合. 定理 1 向量可由向量组

（唯一）线性表示的充分必要条件是线性方程组

有（唯一）解.

三、向量组的等价：

向量组由向量组线性表示：设是个维向量组成的向量组，而是个维向量组成的向量组. 如果向量组中每一个向量均可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示.

向量组等价：如果向量组与向量组可以相互线性表示，则称向量组与向量组等价. 定理2 设有向量组与向量组. 令矩阵，

，则向量组可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程

有解. 向量组与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程

与

同时有解.

四、主要例题：

例1 将线性方程组中第个未知量的系数写成一个维列向量

，

而该方程组的常数也写成一个维列向量

n 12,,,n αααn β12,,,n k k k 1122+++n n k k k = βαααβ12,,,n αααβ12,,,n αααβ12,,,n ααα1122+++n n x x x = αααβA B :A 12,,,m αααm n :B 12,,,s βββs n B (1,2,,)j j s = β:A 12,,,m ααα:B 12,,,s βββ:A 12,,,m αααA B A B :A 12,,,m ααα:B 12,,,s βββ()12,,,m A =

ααα()12,,,s B =βββB A =AX B A B =AX B =BY A 1111221121122222

1122n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ i i x m ()121,2,,i i i mi a a

i n a ⎛⎫

⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

αm

，

则该方程组也可用向量的形式来表达：.

例2 设矩阵，将矩阵与列向量组和行向量组对应. 例3 设向量组，将任一向量由线性表示. 例4 设有向量及向量组，试问能否由线性表示.

例5 设向量组， 而，问：向量能否由向量组线

性表示？若可以，求出线性表达式。

例6 已知向量组和，证明：向量组

可由向量组线性表示.

例7 已知向量组和，证明：向量组

和向量组等价.

12m b b

b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

β1122n n x x x β+++= ααα1112121

2221

2n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭

A A 12100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭ e e e 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

α12,,,n e e e 536⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α1231011,2,1112-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββα123,,βββ1231230,1,2254-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα547⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

ββ123,,ααα1212:1,011A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα123331:1,1,1210B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ123:,,B βββ12:,A αα123111:0,1,2125A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα123101:1,1,0011B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ123:,,A ααα123:,,B βββ