熊伟编《运筹学》习题二详细解答

习题二

1．某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．

表2-22

含量 食物

营养成分

一 二 三 四 五 六 需要量 A 13 25 14 40 8 11 ≥80 B 24 9 30 25 12 15 ≥150 C

18 7 21 34 10 0 ≥180 食物单价（元/100g ）

0.5

0.4

0.8

0.9

0.3

0.2

【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=0

1801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、

（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为

1231231231231231

23

12123max 801501801324180.525970.4

1430210.84025340.9812100.3

11150.5,,0

w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪

⎪++≤⎪

++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪

≥⎩

2．写出下列线性规划的对偶问题

（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+-+-=0,451342max 21212121x x x x x x x x 【解】12

121212

min 42354,0w y y y y y y y y =-+-+≥-⎧⎪

+≥⎨⎪≥⎩

（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+--=++-=0

,8

310232min 32

1321213

21x x x x x x x x x x x Z 无约束， 【解】12

1212212max 1082

23130

w y y y y y y y y y =+-=⎧⎪-=-⎪⎨≤⎪⎪≥⎩无约束；

（3）⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束432

1432143214

3214

321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123

123123123

123

123min 810610741

6822644530,0

w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束； （4）1234

1234134

12341

1234max 23673269

656222510

0,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪

-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪≥⎪⎩无约束

【解】1234

12341

341234111234max 23673269

656

222

5100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨

≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩无约束

对偶问题为： 12345

1234512

123

123

12345min 962+510362

223

56627

0,000

w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x =--+--+-≥-⎧⎪-+=⎪⎪

--=⎨⎪-++=-⎪≤≥≤≥⎪⎩无约束；，，， 3．考虑线性规划

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥+≥+≥++=0

,732254

42012min 2121212121x x x x x x x x x x Z

(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；

(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；

(3)利用公式C B B －

1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为

123123123max 427212453200,1,2,3j

w y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪

++≤⎨⎪≥=⎩

容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。

(2)对偶问题最优单纯形表为

C(j) 4 2 7 0 0 R. H. S. Basis C(i) y1 y2 y3 y4 y5 y3 7 0 -1/5 1 4/5 -1/5

28/5

y1 4

1

7/5

-3/5

2/5

4/5

C(j)-Z(j)

0 -11/5 0 -16/5 -1/5

w =42.4

对偶问题的最优解Y ＝(4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z ＝42.4

（3）C B =(7,4),1

4

1553255B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎣⎦

, 4155(7,4)(16/5,1/5)3255X ⎡⎤-⎢⎥==⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ (4)由y 1、y 3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式

1212

44

237x x x x +=⎧⎨

+=⎩ 得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。

4．证明下列线性规划问题无最优解

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+-=-+--=无约束

32

13

21321321,0,2323

2222min x x x x x x x x x x x x Z 证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为

121212

1221max 3221

22

2320,w y y y y y y y y y y =++≤⎧⎪-≤-⎪⎨

-+=-⎪⎪≥⎩无约束

由约束条件①②知y 1≤0，由约束条件③当y 2≥0知y 1≥1，对偶问题无可行解，因此原问题

也无最优解(无界解)。

5．已知线性规划