2019-2020学年高中数学 2.1.1 函数的概念导学案苏教版必修1.doc
苏教版高中数学必修1《函数的概念和图象》导学案
2.1.1 函数的概念和图象一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数；(2)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；(3)会画一些简单函数的图象。
2．预习提纲：(1)强化对函数的概念的认识阅读教材第23-25页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性。
教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识，教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法。
(2)养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯阅读教材第27-30页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小)，可以体会到图象的直观性的好处。
(3)完成自我测试题3．典型例题例1 判断下列对应关系是否为函数关系。
（1）||x y x =→，R y R x ∈∈,；（2）x y x 1=→,}2,0,1{-∈x }21,0,1{-∈y ；（3）x y →为x 的平方根，R y x ∈+∞∈),,0(。
分析：欲判断一个对应A →B 是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A 中元素的任意性，B 中元素的惟一性。
解：(1)对于任意一个实数x ，||x 被惟一确定，所以这个对应是函数；(2)对于0=x ，在}21,0,1{-中没有元素与它对应，所以这个对应不是函数； (3)对于1=x ，有两个元素1±与它对应，所以这个对应也不是函数。
点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应，把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词，并能据此判断一个对应是否是函数。
例2 判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一函数，为什么？（1）0()(1)()1f x x g x =-=，； （2）()()f x x g x ==，（3）22()()(1)f x x g x x ==+，； （4）()()f x g x == 分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同。
2019-2020年苏教版高中数学(必修1)2.1《函数的概念和图象》教案
2019-2020年苏教版高中数学（必修1）2.1《函数的概念和图象》教案教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？ （几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.设在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y ＝1（x ∈R ）是函数吗？问题二：y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？ （学生思考，很难回答）［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们先看两个非空集合A 、B 的元素之间的一些对应关系的例子.在（1）中，对应关系是“乘2”，即对于集合A 中的每一个数n ，集合B 中都有一个数2n 和它对应.在（2）中，对应关系是“求平方”，即对于集合A 中的每一个数m ，集合B 中都有一个平方数m 2和它对应.在（3）中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A 中的每一个数x ，集合B 中都有一个数 1x和它对应. 请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？［生］一对一、二对一、一对一.［师］这3个对应的共同特点是什么呢？[生甲]对于集合A 中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B 中都有惟一的数和它对应.［师］生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x 的集合到函数值y 的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y ＝f (x )，x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y （或f (x )）值叫做函数值，函数值的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫函数的值域.一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R .对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有一个数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)和它对应.反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是A ＝{x |x ≠0}，值域是B ＝{f (x )|f (x )≠0}，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有一个实数f (x )＝ k x(k ≠0)和它对应. 二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的定义域是R ，值域是当a ＞0时B ＝{f (x )|f (x )≥4ac －b 24a }；当a ＜0时，B ＝{f (x )|f (x )≤4ac －b 24a}，它使得R 中的任意一个数x 与B 中的数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y =1（x ∈R ）是函数，因为对于实数集R 中的任何一个数x ，按照对应关系“函数值是1”，在R 中y 都有惟一确定的值1与它对应，所以说y 是x 的函数.Y ＝x 与y ＝x 2x不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y ＝x 的定义域是R ，而y ＝x 2x 的定义域是{x |x ≠0}. 所以y ＝x 与y ＝x 2x不是同一个函数. ［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“f :A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.［师］在研究函数时，除用符号f (x ）表示函数外，还常用g (x ) 、F （x )、G （x )等符号来表示Ⅲ.例题分析［例1］求下列函数的定义域.(1)f (x )＝1x －2 (2)f (x )＝3x ＋2 (3)f (x )＝x ＋1 ＋12－x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y ＝f (x )，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.解：(1)x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义 ∴这个函数的定义域是{x ｜x ≠2}(2)3x ＋2≥0，即x ≥－23时3x ＋2 有意义∴函数y ＝3x ＋2 的定义域是[－23，＋∞） (3) ⎩⎨⎧x ＋1≥02－x ≠0 ⇒⎩⎨⎧x ≥－1x ≠2∴这个函数的定义域是{x ｜x ≥－1}∩{x ｜x ≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f （x ）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m ，长是宽的2倍，其面积为y ＝2x 2，此函数定义域为x ＞0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.［师］自变量x 在定义域中任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a )来表示.例如，函数f (x )＝x 2＋3x ＋1，当x ＝2时的函数值是f (2)＝22＋3·2＋1＝11注意：f (a )是常量，f (x )是变量 ，f (a )是函数f (x )中当自变量x ＝a 时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢？[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x 为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x 换为相应确定的数（或字母，或式子）进行计算即可.［师］回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同；不完全一致时，这两个函数就不同.［师］生乙的回答完整吗？［生］完整!（课本上就是如生乙所述那样写的）.［师］大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么？［生］函数的定义.［师］函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢？（学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗？怎不看值域呢？）（无人回答）［师］同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!（生恍然大悟，我们怎么就没想到呢？）[例2]求下列函数的值域(1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2}(3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1）分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8]Ⅳ.课堂练习课本P 24练习1—7.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳） Ⅵ.课后作业课本P 28，习题1、2.函数的概念和图象（二）教学目标：使学生掌握函数图像的画法.教学重点：函数图像的画法.教学难点：函数图像的画法.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？［生］设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.［师］函数的定义域由什么确定？［生］函数的定义域由数学运算规律决定，即函数的定义域是使函数的表达式有意义的自变量的集合.［师］同学们对上节课的内容掌握得很好.Ⅱ.新课讨论在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y ＝2x －1，y ＝1x（x ≠0）以及y ＝x 2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等。
高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念教案 苏教版必修1
2.1.1函数的概念（预习部分）一．教学目标1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域；4．培养理解抽象概念的能力．二．教学重点1.理解函数的概念，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念；2.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会求函数的定义域．三．教学难点1.理解函数的概念，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念；2.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会求函数的定义域．四．教学过程（一）创设情境，引入新课1. 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。
从人口统计年鉴中可以查得我国1949-1999年人口数据资料如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？2. 一物体从静止开始下落，下落的距离y（单位：m）与下落时间x（单位：s）之间近似地满足关系式29.4x y =.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？问题1: 上述两个问题有什么共同点？问题2：如何用集合语言来阐述上述问题的共同点？ （二）推进新课 1.函数的概念：, 这样的对应叫做从A 到B 的一个函数 （function ），通常记为(),y f x x A =∈．其中， 集合A 叫做函数()y f x =的定义域（domain ）， 集合叫做函数()y f x =的值域（range ）．注意：（1）,A B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数是不存在的；（2）集合A 就是函数的定义域，但集合B 不一定是函数的值域，若值域为C ，则必有C B ⊆；（3）给定函数时要指明函数的定义域，对于解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值集合． 2．函数的三要素：1. 2. 3. 称为函数的三要素． 3．相同的函数：由函数定义知，由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y 是x 的函数”的两个基本条件，缺一不可，只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，两个函数才是同一函数．（三）预习巩固 见必修一教材第26页练习1,2,3,4函数的概念及定义域（课堂强化）（四）典型例题题型一：考查函数的概念【例1】判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数． （1）*A B N ==，对应关系:3f x y x →=-；（2）[)0,,A B R =+∞=，对应关系:f x y →= （3）{|A x x =是矩形}，{|B x x =是圆}，对应关系f：每个矩形的外接圆．变式训练1. 对于函数()y f x =，下列说法正确的个数为 个． （1）y 是x 的函数；（2）对应不同的x 的值，y 的值也不同；（3）()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量； （4）()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来． 题型二：求函数的定义域 【例2】求函数的定义域．（1）()12f x x =-；（2）()f x =；（3）()()01x f x x x+=-；（4）()1f x x =变式训练2 求下列函数的定义域：（1）()231x f x x -=+；（2）()f x =（3）()211f x x =-．题型三：函数的简单应用【例3】用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式，并写出其定义域．变式训练3 用长为20cm 的细铁丝围成一个矩形框，若矩形的一边长为xcm ，将矩形的面积y 表示为x 的函数，并写出其定义域．题型四：抽象函数的定义域【例4】（1）已知()f x 的定义域是[]2,3-，求)52(-x f 的定义域. （2）已知)52(-x f 的定义域为[]2,3-，求()f x 的定义域. （3）已知)52(-x f 的定义域为[]2,3-，求)13(+x f 的定义域.（五）随堂练习1. 判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数，并说明理由．（1）()()2,f x g x ==（2）()(),1xf xg x x==；（3）()()222,2f x x x g t t t =-=-．2. 函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则()f x 图象与直线x a =的交点个数为 ．3. 已知集合{}21|2,|2A x y B x y x ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭，则AB = ．4. 已知函数()3f x +的定义域是[]1,5-，则函数()4f x -的定义域是 ．5. （1）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值集合．（2）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值集合．（六）课堂小结 （七）课后作业2.1函数的概念和图象第二课时 函数的值域及图象（预习部分）教学目标1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；4．从“形”的角度加深对函数的理解． 教学重点1. 会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2. 能求一些简单函数的值域。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.1.1 函数的概念和图象》0
函数套问题1
在函数表达式中套入新函数，形成或之类，以此构造产生的问题称为函数套问题，解决此类问题的过程中讨论法受宠度急剧下降，通常采用由外及内一层层研究的方法进行替代，研究过程中通常结合函数的图像及根本性质．
⑥考点回眸
1．函数，那么．
2．函数〔且〕，假设，那么．
⑥典例精讲
例1．函数，那么函数的零点有个．
解析解法一：由题意，所以或，此题转化为上述方程有几解，
当时，或；当时，或．
所以共有四个解，因此零点个数为．
解法二：可以通过图像法逐层尝试，
图-01
由，得或，
再次作图右图所示，因此零点个数为．
变式1．函数，那么函数的零点有个．
例2．函数，设关于的方程有个不同的实数解，那么实数的取值范围是．
解析设，那么，令，那么，
所以函数在上单调递增，同理在上单调递减，当时函数取得最大值．
因此可得到函数的图像如下列图所示〔作图先趋势后逼值，很多图像都有渐近线问题〕，
图-02
方程化简为，解得或，
因有两个根与之对应，从而必有三个根对应，故得．
评注这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后能求实根的，得到和，然后再根据函数的图像与直线，的交点个数得到参数的取值范围．
假设无法因式分解的，可从根的分配的角度进行分类讨论〔即根的分布问题〕．
变式1．函数，关于的方程有个不同的实数解，那么实数的取值范围是．
稳固强化
1．假设函数，那么方程的根的个数为．
2．〔选做题〕设函数，假设方程恰有两个不相等的实根，那么的最大值为．。
8.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.1.1 函数的概念和图象(1)
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ1．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数．函数概念贯穿于中学数学的始终，利用函数的知识和思想可以解决很多数学问题和生活中的实际问题．另外．函数也是高考的热点内容，这是因为基本初等函数不仅是中学数学的基础，更是与高等数学的衔接点，函数的概念是重点，也是难点，需要经过反复复习体会，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活运用．因此，我们本着踏实严谨的学习态度，学好本章内容，为今后的学习打下坚实的基础． 2．本节的学习要求：（1）通过丰富的实例体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则）．（2）会求一些简单函数的定义域和值域，能用恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）能借助具体函数及其图象理解函数有关性质（单调性、奇偶性），会用定义判断函数的单调性、奇偶性，会求函数的单调区间．（4）在本节学习中，要注意从实际出发，结合函数的图形把抽象的概念和性质具体化，加深对概念的理解；要注意将知识的学习和能力的培养有机的结合起来，在解决问题的过程中注意体会数形结合。
换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．2.1.1 函数的概念和图象(一)教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题1.复习初中所学函数.(1)2y =; (2)1y x =+; (3)2(1)y x =-; (4)1y =.f2.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；初中函数定义 设在一个变化过程有两个变量x,y,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值和它对应,那么就说y 是x 的函数,x 叫做自变量.3.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）估计人口数量与年份的变化趋势问题；(用数据表格表示其间的关系)（2）自由下落物体下落时间与下落距离的变化关系问题；(用二次函数表示其间的关系) 24.9y x =（3）某市一天24小时内的气温变化问题.(用图象表示其间的关系)备用实例：我国20031.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；2.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． 二、新课教学（一）函数的概念1.函数的传统定义：设在某变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地确定唯一一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量. x 的取值范围叫做这个函数的定义域，相应的y 的取值范围叫做函数的值域.2.函数的近代定义：一般地,设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应, 这样的对应叫做A 到B 的一个函数．记作：()y f x =，x ∈A ．其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域； 对于A 中的每一个x ,都有一个输出值y 与之对应, 我们将所有输 出值y 组成的集合称为函数的值域．1.什么样的对应能构成函数函数2y =的对应为(多对一); 函数1y x =+的对应为(一对一).注:只有一对一、多对一型的对应才能构成函数.一对多型的对应不能构成函数.例1.(课题训练P12第6题)学号为1~10的十名学生,在一次满分为150分的数学竞赛中,成绩名次如下表:(1) y 是x 的函数吗? z 是y 的函数吗? x 是z 的函数吗? (2)指出(1)中构成函数关系的函数的定义域. 解析:(1)是; (2)是; (3)不是.(2) y 是x 的函数,其定义域为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};z 是y 的函数,其定义域为{150,148,145,140,138,135,132,130,135}2.对符号y = f (x )的理解(1) 符号()y f x =的理解符号()y f x =即是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，是对应法则所施加的对象；f 是对应法则，它可以是一个或几个解析式（把两个变量间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式．例如12+=x y ，221gt y =）．它可以是图象、表格，也可以是文字描述.y 是自变量的函数，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量对应的函数值，当f 用解析式表示时，则解析式为函数解析式．()y f x =仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f （x ）也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f （x ）外，还常用g （x ）、F （x ）、G （x ）等符号来表示．(2) 对应法则f 与解析式f （x ）当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式就不能正确施加法则．例如12)(2+=x x f ，左边是对x 施加法则，右边也是关于x 的解析式，这时此式是以x 为自变量的函数解析式；而对于12)1(2+=-x x f ，左边是对1x -施加法则，右边是关于x 的解析式，二者并不统一．联想·质疑：f （x ）与f （a ）的区别与联系f （a ）表示当x ＝a 时函数f （x ）的值，是一个常量．而f （x ）是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．f （a ）是f （x ）的一个特殊值．例如，函数12)(+=x x f ，当3=x 时，(3)2317f =⨯+=是一个常数．也就是说，a 取什么值，f （x ）便对应着一个常量.例2: (课本P29页第8题):答案:8.由图表可得[(1)](2)3f f f ==,[(2)](1)2f g f ==,[(3)](4)3g f g ==,[(4)](3)4g g g == .9.[()](35)2(35)367f g x f x x x =-=-+=-, [()](23)3(23)564g f x g x x x =+=+-=+ .题型1:求函数的定义域例3. 求下列函数的定义域:(1)()f x =; (2) 1()1g x x =+ ; (3) 211y x =-. 分析: 求函数的定义域实质上就是求使函数表达式有实际意义的自变量的取值范围.如果函数表达式是由若干代数式复合而成的, 那么就要求其中有各自取值范围的交集.这两题的要求是分式的分母不能为0; 开二次方,被开方数非负.解析: (1) 由()f x 10x -≥,所以这个函数的定义域是{|1}x x ≥(2) 由1()1g x x =+的限制条件可得不等式10x +≠,所以这个函数的定义域是{|1,}x x x R ≠∈且.(3)由211y x =+-的限制条件可得不等式组21040x x ⎧-≠⎨+≥⎩, 解得[4,1)(1,1)(1,)x ∈---+∞ .反思·领悟: 如果函数的表达式是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集,为防止混乱,建议用数轴法确定公共范围. 另外对于函数y ＝f （2x －1）与函数y ＝f （x ）是两个不同的函数, 其各自x 的取值范围即是各自函数的定义域.求解时要抓住它们的联系纽带, 即函数t ＝2x －1的值域为函数f （x ）的定义域 .说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 例4. (课题训练P11例3) 求下列函数的值域:(1)y =; (2)y = ; (3):f x y →,其中y 为不大于x 的最大整数,[ 2.5,2.5]x ∈-.解析:(1) )+∞; (2)[0,1)(1,)+∞ ; (3) {-3,-2,-1,0,1,2} 高斯函数,取整函数.说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
2019-2020年苏教版高中数学必修1： 2-1-1 函数的概念 教案
2019-2020年苏教版高中数学必修1： 2-1-1 函数的概念 教案【教学目标】1．让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应，了解构成函数的三要素； 2．使学生理解函数概念及函数符号f (x )的意义 3．会求一些简单函数的定义域、值域． 【教学重点】函数概念的形成，正确理解函数的概念. 【教学难点】发展学生的抽象思维能力，使学生理解函数概念的本质． 【难点突破】1．让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域、值域的求解过程，渗透归纳推理；2．通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，体验函数思想，通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美． 【教学方法】探究式． 【教学手段】多媒体PPT 与板书相结合． 【教学过程】一、创设情境，引入课题同学们，我是江苏省苏州实验中学一名教师，昨天下午14:00点我怀着激动的心情，亲自驾车从我工作的学校历经80公里来到这里，也就是张家港高级中学报到．在此过程中，我和张家港高级中学的距离随时间是如何变化的？数学上可以用 来描述这种运动变化中的数量关系．（函数）二、回忆旧知，引出困境我们在初中学过函数，请举出初中学过的函数．问题一：你能具体给出一些初中学过的函数吗？ (y ＝3x ，y ＝2x ，y ＝x 2等)问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么？在一个变化过程中，有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量．问题三：y ＝0 (x ∈R)是函数吗？（先请学生回答，有很大的可能会形成两种意见．对两种意见展开讨论，让学生说明自己的判断理由，形成认知冲突．）其实，利用初中所学的函数知识很难回答这个问题．为此我们还需要进一步研究函数的概念．（PPT 打出课题，老师板书课题）三、分析实例，形成概念在丰富多彩的现实生活中，我们可能会遇到下列实际问题．实例1 一物体从490 m 高空由静止开始下落到地面，下落的距离y （m ）与下落时间x（s ）之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2．（1）若物体下落2 s ，你能求出它下落的距离吗？（2）在此例中，x （s ）的范围是什么？y （m ）的范围是什么？事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，而人口数量的变化趋势也将直接影响我国各种政策的制定．表1给出了改革开方以来我国人口变化的情况．实例2 从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至2011年人口数据资料如表1所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？的气温变化图．实例3 图1为某市一天24小时内的气温变化图.（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ （2）在什么时刻，气温为0℃？（3）在什么时段内，气温在0℃以上？ 问题四：实例一、二、三在呈现形式等方面有什么不同？问题五：实例一、二、三有什么共同的特点？（让学生充分讨论，在老师的引导下找出以下共同点：①都有两个非空数集A 、B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应.）满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（函数，请学生根据前面概括的共同特征，拟定函数的新定义，老师做必要补充．）函数的概念：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数（function ），通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域（domain ），将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域（range ）．四、结合典例，理解概念 这样我们容易判断，前面的三个实例都表示两个集合间的函数关系．我们回头再想问题三．再看问题三：)(0R x y ∈=是函数吗？为什么？图1（是，完全满足函数的定义，请同学们指出集合A 、B 及对应法则f ．） 下面我们先来看两个例题：例1 判断下列对应是否为函数：（1）x → 2x ，x ≠0,x ∈R ；（2）x → y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ．分析：判断对应是否构成函数的依据只有定义，所以我们只要判断是否满足定义即可．解 （1）对于任意一个非零实数x ，2x 被x 惟一确定，所以当x ≠0时x → 2x 是函数，这个函数也可表示为f(x)＝2x （x ≠0）．变题1：x → 2x ，x ∈R ； （不是，不满足任意性）变题2：x → 2x ，x ∈{x ∈R|x 2＋1＝0} （不是，不满足集合A ，B 的非空性）（2）考虑输入值为4，即当x ＝4时输出值y 由y 2＝4给出，y ＝2和y ＝－2．这里一个输入值与两个输出值对应（不是单值对应），所以，x → y （y 2＝x ）不是函数．由此看来，判断对应是否为函数对应，关键是依据定义，请同学们再审视定义，完成问题六．问题六：函数概念中的关键词是什么？请用简洁的语言说明．（通过交流得出以下几点：①A 、B 都是非空的数集；②任意性与唯一性；③确定的对应关系，对应关系f 可以以解析式、图象、表格等形式呈现．）这样，函数概念里展现出对应有非空、任意、惟一等三个关键性用词。
2019-2020学年高中数学《2.1.1 函数的概念与图象(3)》学案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学《2.1.1 函数的概念与图象（3）》学案 苏教版必修1[自学目标]掌握求函数值域的基本求法；[知识要点]函数值域的求法 函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。
[预习自测]例1． 求下列函数的值域：（1）21,{1,2,3,4,5}y x x =+∈；（2）=y x 1+;（3）=y 1+x x ；（4）=y 2211xx +-；（5）=y 322+--x x 变题：=y 322+--x x 5(-≤x ≤2-）；（6）=y 12-+x x分析：求函数的值域，一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形，通过观察或利用熟知的基本函数（如一次函数、二次函数等）的值域，从而逐步推出所求函数的值域（观察法）；或者也可以利用换元法进行转化求值域。
例2． 若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，求m 的取值范围[课堂练习]1．函数()201y x x=>+的值域为（ ） A ．[]0,2 B ．(]0,2 C ．()0,2 D ．[)0,22．函数y=2x 2-4x-3，0≤x ≤3的值域为 ( ) A (-3,3) B (-5,-3) C (-5,3) D (-5,+∞)3．函数[]2,4,1y x x =-∈--的最大值是 ( )A ．2B ． 12C ． 1-D ． 4- 4．函数2y x =()2x ≠-的值域为5．求函数y=x+12x -的定义域和值域[归纳反思]求函数的值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用的方法，如观察法、图象法、配方法、换元法等，在以后的学习中还会有一些新的方法（例如运用函数的单调性、配方法、分段讨论法、不等式法等等），可以逐步地深入和提高。
高中数学 函数的概念导学案 苏教版必修1
江苏省高邮市界首中学高中数学 函数的概念导学案 苏教版必修1【学习目标】1．理解函数的概念，了解函数的三要素。
提高学生观察分析能力、抽象思维能力；2．通过对三个实例的分析和共同特征的归纳，使学生经历函数概念的形成过程，学会从特殊到一般，由具体到抽象来分析问题解决问题的方法；3．通过经历函数概念的定义过程，使学生体会到变量与常量、具体与抽象的关系，能初步认识到函数关系在我们的生活中是普遍存在的，能体验数学的抽象美。
4.掌握函数定义域的定义，会求简单函数的定义域；【学习重点】理解函数的概念【学习难点】 函数的概念的理解【预习内容】问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念的？【新知学习】问题2：教材中的三个例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3：如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点？【新知深化】问题4．如何用集合的观点来表述函数的概念？1、一般地，设,A B 是两个 ，如果按照 f ，对于集合A中的_____元素x ，在集合B 中都有__________的元素()f x 和它对应，这样的 叫做从 到 的一个函数，通常记为 。
其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的 ，与x 的值相对的y 的值叫做 ，函数值的集合(){}|f x x A ∈叫做函数的 。
2、函数的三要素：函数的_______、_______、________称为函数的三要素。
3、两个函数只有当 与 都分别相同时，才称为同一函数。
【新知应用】例1、已知下列对应：①已知A B N +==，对任意的,:|2|x A f x x ∈→-；②已知{},|0A R B y y ==>，对任意的21,:x A f x x ∈→； ③已知A B R ==，对任意,:32x A f x x ∈→+；④已知A =}{|13x x ≤≤，,:B R f =12-+-→x x x 。
其中能构成从集合A 到集合B 的函数为 （把你认为正确序号都填上）。
苏教版数学高一《函数的概念与图像》 精品导学案 苏教
（1） 与下列函数的定义域：
（1） （2）
*变式：若 的定义域为 ， 的定义域为；
例3已知函数 ，求 .
变式1：函数 的值域是函数 ， 的值域是.
变式2：若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数 ，值域为 的“同族函数”共有个；
中的一个数 ，在集合 中和它对应，那么这样的对应叫做从 到
的一个函数，记为，其中 叫， 的取值范围叫做函数
的，与 的值相对应的 的值叫， 的取值范围叫做函数的；
2．在对应法则 中，若 ，则 ；
3．下列图象中不能作为函数 的图象的是：
【例题讲解】
例1
（1） ；（2） ；
（3） 其中 ；
（4） ，其中
以上 个对应中，为函数的有.
【课堂检测】
1.对于集合 ， ，有下列从 到 的三个对应：① ；② ；③ ；其中是从 到 的函数的对应的序号为；
2.函数 的定义域为____________
3.若 ，则 ；
【教学反思】
§2.1.1函数的概念与图像（1）
【教学目标】
1．通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念；
2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域.
【考纲要求】
了解构成函数的三要素；
【课前导学】
1．函数的定义：设 ， 是两个数集，如果按照某种确定的，使对于集合
2020-2021学年苏教版必修1 2.1.1 第1课时 函数的概念 学案
2.1函数的概念2．1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念1.了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2.理解函数的概念．3.掌握求函数定义域的方法．[学生用书P15]函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，与输入值x对应的所有输出值y组成的集合称为函数的值域．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数f(x)＝xx－1的定义域为()A．[0，1)B．(1，＋∞)C．[0，1)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f(2)＝________，若f(x)＝3，则x＝________．答案：5 ±2相同函数的判断[学生用书P15]下列各组函数是否表示同一函数？ (1)f (x )＝2x ＋1与g (x )＝4x 2＋4x ＋1； (2)f (x )＝x 2－xx与g (x )＝x －1；(3)f (x )＝2x －1(x ∈Z )与g (x )＝2x ＋1(x ∈Z )．【解】 (1)g (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与f (x )＝2x ＋1对应法则不同，因此f (x )与g (x )不是同一个函数．(2)f (x )＝x 2－xx ＝x －1(x ≠0)与g (x )定义域不同，因此f (x )与g (x )不是同一个函数．(3)f (x )与g (x )对应法则不同，不是同一个函数．(1)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域也随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，为同一个函数．(2)讨论函数是否为同一个函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应法则是否相同．1.下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：选A.对于A ，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B ，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C ，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D ，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．求函数的定义域[学生用书P16]求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(1)①求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为准则，其原则有：a.分式中分母不为零；b ．偶次根式中，被开方数非负；c.对于y ＝x 0要求x ≠0.d.实际问题中函数定义域，要考虑实际意义．②函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．(2)第(1)题易出现y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．2.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝11－x ＋x ；(2)f (x )＝1－x ＋11＋x.解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ≥0，所以x ≥0且x ≠1，所以f (x )＝11－x＋x 的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1＋x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x >－1，即－1<x ≤1，所以f (x )＝1－x ＋11＋x的定义域为(－1，1]． 求函数值和值域[学生用书P16]已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f [g (x )]．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f [g (x )]＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．在本例条件下，求g [f (1)]的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g [f (1)]＝g (1)＝1＋4＝5.f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝⎛⎭⎫x ∈R ，且x ≠12. 2．若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域． 解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}， 所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7. 所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．3.求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示． 所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求．y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1，显然4x ＋1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)， y ＝u 2＋u ＝⎝⎛⎭⎫u ＋122－14(u ≥0)． 因为由u ≥0，可知⎝⎛⎭⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．理解函数的概念应关注五点(1)“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(4)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (5)除f (x )外，有时还用g (x )、u (x )、F (x )、G (x )等符号来表示函数．判断下列对应是否为函数： (1)x →2x，x ≠0，x ∈R ；(2)x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；(3)集合A ＝R ，B ＝{－1，1}，对应关系f ：当x 为有理数时，f (x )＝－1；当x 为无理数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？(4)A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，B ＝R .对任意的(x ，y )∈A ，(x ，y )→x ＋y .[解] (1)是，对于任意一个非零实数x ，2x 被x 唯一确定，所以当x ≠0时，x →2x 是函数．这个函数也可以表示为f (x )＝2x(x ≠0)．(2)不是，当x ＝4时，y 2＝4，得y ＝2或y ＝－2，不是有唯一值和x 对应，所以x →y (y 2＝x )不是函数．(3)是，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． (4)不是，因为集合A 不是数集．(1)错因：判断一个从A 到B 的对应是否为函数，易忽视定义域应为非空数集的要求，还容易忽视A 中任一元素在B 中都要有元素与之对应的判断，好多同学只判断A 中元素在B 中的对应元素是否唯一．(2)防范：函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应关系是否给出；②对定义域内的任一x ，是否在B 中存在唯一的值与之对应．1．函数f (x )＝1＋x －2x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R解析：选C.要使函数有意义，x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠0，则函数的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)．2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f （2）f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选B.f (2)＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝－35，所以f （2）f ⎝⎛⎭⎫12＝－1.故选B.3．已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (14))＝________；若f (x )＝3，则x ＝________.解析：f (14)＝14＋214－6＝168＝2，故f (f (14))＝f (2)＝2＋22－6＝－1；由f (x )＝x ＋2x －6＝3，解得x ＝10.答案：－1 104．设一个函数的解析式为f (x )＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则此函数的定义域为__________．解析：分别令y ＝－1，2，5，8解出x ＝－2，－12，1，52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52[学生用书P88(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C.A 项中两函数的定义域不同；B 项，D 项中两函数的对应关系不同．故选C.2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C.若f (x )＝|x |，则f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；若f (x )＝－x ，则f (2x )＝－2x ＝2f (x )；若f (x )＝x ＋1，则f (2x )＝2x ＋1，不满足f (2x )＝2f (x )．3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选 B.y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．4．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A.因为f (x )＝ax 2－1，所以f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. 所以a (a －1)2＝0.又因为a 为正数，所以a ＝1.5．函数f (x )＝（x －1）04－2x的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2)． 答案：[0，1)∪(1，2) 6．函数y ＝1－1x的值域为________．解析：定义域要求1－1x ≥0且x ≠0，故有1－1x ≥0且1－1x ≠1，所以函数的值域为{y |y ≥0且y ≠1}． 答案：{y |y ≥0且y ≠1}7．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ， 故函数值域为{1，2，3，4}． 答案：{1，2，3，4}8．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1.故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]． 答案：[－1，1]9．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值．解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即是使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解． 当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ，因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.10．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ； (3)f (x )＝(x －2)0＋2x ＋1. 解：(1)要使函数有意义，只需x 2－3x ＋2≠0， 即x ≠2且x ≠1.所以函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠1}．(2)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，解得13≤x ≤12，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤12. (3)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠2，所以函数的定义域为{x |x >－1且x ≠2}．[B 能力提升]1．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )， 所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .2．已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________．解析：法一：因为f (x )＝1x ＋1，所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}， 则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1， 解得x ≠－2.所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}．法二：因为f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝x ＋1x ＋2，所以x ＋2≠0 且x ＋1≠0，即x ≠－2且x ≠－1.所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2且x ≠－1}3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：由题意易得y ＝f (x ＋1)中的x 满足－1≤x ≤2，所以0≤x ＋1≤3，所以函数y ＝f (x )的定义域为[0，3]．答案：[0，3]4．(选做题)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017的值． 解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值． (3)由(2)知，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， 因为f (1)＋f (1)＝1， f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1， …f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝1，所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2 017.。
2019-2020年高中数学 2.1.1 函数的概念和图象(2)教案 苏教版必修1
2019-2020年高中数学 2.1.1 函数的概念和图象（2）教案苏教版必修1教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3 求下列函数的值域：①y＝；②y＝．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P29-5，8，9．2019-2020年高中数学 2.1.1《函数》 教案一 新人教B 必修1教学目标：（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
苏教版高中数学必修一函数的概念和图象教案(2)
2.1.1函数的概念和图象（二）学习目标：使学生掌握函数图像的画法. 教学重点：函数图像的画法. 教学难点：函数图像的画法. 教学过程： 一、复习回顾上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.练习：下列函数中，哪个函数与函数y ＝x 是同一个函数？ ()()()()()xx y 4x y 3x y 2x y 122332====两个只有当它们的三要素完全相同时才为同一个函数.二、学生活动在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y ＝2x －1，y ＝1x（x ≠0）以及y ＝x2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等.回想一下，在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？ 描点法描点法作图的步骤有哪些？ 列表、描点、连线练习（P25例4）试画出下列函数的图象： ⑴f(x)＝x ＋1⑵f(x)＝(x －1)2＋1,x ∈[1,3)三、建构数学将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0,f(x 0)).当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为{(x,f(x))｜x ∈A}，即{(x,f(x))｜y ＝f(x),x ∈A}， 所有这些点组成的图形就是函数y ＝f(x)的图象. 四、数学运用例5 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况解：由上表的数据，画出的函数图象是11个点.补：一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？并画出它的图象.思考：设函数y ＝f(x)的定义域为A ，则集合P ＝{(x,y)｜y ＝f(x),x ∈A}与集合Q ＝{y ｜y ＝f(x),x ∈A}相等吗？请说明理由.解析：P ≠Q ，因为P 、Q 的代表元素不一样，P 是点集，Q 是值域.问题：直线x ＝1和函数y ＝x 2＋1的图象的公共点可能几个？ 解析：根据图象知有且仅有一个公共点.变：⑴（P29习题6）直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1几个？解析：根据图象知有且仅有一个公共点.⑵直线x ＝－1和函数y ＝x 2＋1，x ∈[0.＋∞）的图象的公共点可能几个？ 解析：根据图象知没有公共点.⑶直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1，x ∈A 的图象的公共点可能几个？解析：当a ∈A ，则根据图象知有且仅有一个公共点；当a ∉A 时，没有公共点.例6 试画出函数f(x)＝x 2＋1的图象，并根据图象回答下列问题： ⑴比较f(－2),f(1),f(3)的大小；⑵若0＜x 1＜x 2,试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.解：函数的图象如下 ⑴根据图象知f(3)＞f(－2)＞f(1),⑵根据图象知，当0＜x 1＜x 2f(x 1)＜f(x 2).思考：在上例⑵中，⑴如果把“0＜x 1＜x 2”改为 “x 1＜x 2＜0”，那么f(x 1)与f(x 2) 哪个大？⑵如果把“0＜x 1＜x 2”改为 “|x 1|＜|x 2|”，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？解析：仍然根据函数的图象，有 ⑴f(x 1)＞f(x 2).⑵∵f(x)的图象关于y 轴对称，∴当|x 1|＜|x 2|时有f(x 1)＜f(x 2). 学生练习P28练习1,2,3 五、回顾反思能用描点法画出常见函数的图象，并能根据函数的图象解决有关问题 六、作业P20习题2.1⑴7,8,9。
苏教版高中数学必修一《函数的概念和图象》导学案
2.1.1 函数的概念和图象一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数；(2)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；(3)会画一些简单函数的图象。
2．预习提纲：(1)强化对函数的概念的认识阅读教材第23-25页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性。
教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识，教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法。
(2)养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯阅读教材第27-30页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小)，可以体会到图象的直观性的好处。
(3)完成自我测试题3．典型例题例1 判断下列对应关系是否为函数关系。
（1）|Rx∈∈,；y|xyx=→，R（2）x y x 1=→,}2,0,1{-∈x }21,0,1{-∈y ； （3）x y →为x 的平方根，R y x ∈+∞∈),,0(。
分析：欲判断一个对应A →B 是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A 中元素的任意性，B 中元素的惟一性。
解：(1)对于任意一个实数x ，||x 被惟一确定，所以这个对应是函数；(2)对于0=x ，在}21,0,1{-中没有元素与它对应，所以这个对应不是函数；(3)对于1=x ，有两个元素1±与它对应，所以这个对应也不是函数。
点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应，把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词，并能据此判断一个对应是否是函数。
例2 判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一函数，为什么？（1）0()(1)()1f x x g x =-=，； （2）()()f x x g x ==，（3）22()()(1)f x x g x x ==+，； （4）2()()f x g x x ==， 分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同。
高中数学 第二章《第1课时 函数的概念》导学案 苏教版必修1
第1课时函数的概念1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢?从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.问题4:如何求函数的定义域?函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示.求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为;②偶次根式的被开方数;③0次幂的底数不能为;④实际问题中定义域要由确定.1.四个函数:①y=x+1;②y=x3;③y=x2-1;③y=.其中定义域相同的函数有.2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.3.已知f(x)=2x+1,则f(5)=.4.已知函数f(x)=-.(1)求函数的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.对函数概念的考查(1)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是.(2)下列函数中,与函数y=x+1相等的函数是.①y=(x+1)0;②y=t+1;③y=()2;④y=|x+1|.函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:(1)f(x)=;(2)f(x)=(a为不等于0的常数).判断下列各组函数是否表示相等函数.(1)f(x)=与g(x)=;(2)f(x)=与g(x)=1;(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);(4)f(x)=与g(x)=()2.已知函数f(x)=x2+|x-2|,求f(1)和f(x2+2).求下列函数的定义域.(1)y=+;(2)y=.1.函数y=的定义域是.2.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则R(A∩B)=.3.把下列集合用区间表示出来.(1){x|≥0}=;(2){x|-2≤x<8且x≠1}=.4.已知f(x)=,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).(2013年·陕西卷)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为().A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)考题变式(我来改编):第二章函数第1课时函数的概念知识体系梳理问题1:函数关系问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A自变量定义域函数值值域问题3:(1)①非空数集②唯一确定定义域对应关系值域(2)定义城对应关系定义域对应关系问题4:①0②非负③0④实际意义基础学习交流1.①②③①②③的定义域都是R,④的定义域是{x∈R|x≠0}.2.(,+∞)由题意,得3a-1>a,则a>.3.11f(5)=2×5+1=11.4.解:(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,即x≥-4且x≠1.即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=-=-3-;f(12)=-=-4=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知③中的图象不表示y是x的函数.(2)①③选项中定义域与y=x+1不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)③(2)②【小结】(1)给定图象判断是否为函数关系时,可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.思维拓展应用应用一:(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.应用二:f(1)=12+|1-2|=2.f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.应用三:(1)为使函数式有意义,则有解得即x>-2,且x≠3.故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足即解得x<0且x≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).基础智能检测1.{x|x≠0}要使函数有意义,需满足x≠0,用集合表示为{x|x≠0}.2.(-∞,3)∪[7,+∞)∵A∩B=[3,7),∴R(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).3.(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)4.解:f(2)==,g(2)=22+2=6,故f(g(2))=f(6)==.全新视角拓展D∵1-x2≥0,即x∈[-1,1],∴f(x)的定义域M=[-1,1],则RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).思维导图构建唯一定义域、值域、对应法则定义域对应关系。
高中数学2.1.1函数的概念和图象(3)教案苏教版必修1
2.1.1 函数的概念和图象(3)教学目标：1 •进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2 •通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3 •通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考.4•理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想.教学重点：作函数的图象.教学过程：一、问题情境1 •情境.回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象.2. 问题.是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？二、学生活动1. 回忆初中作函数图象的步骤；2 12. 按初中的作图步骤作出函数f(x) = x—1, f(x) = x - 1,f(x)=-等函数的图象;X 3•思考课本29页的思考题并给出答案；4•阅读课本29页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象.三、数学建构1 •函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值X。
作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x o, f(x o)),自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为｛( x, y)| y= f (x) , x€ A｝，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象.(1)函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；(2)函数图象上每一点的纵坐标y = f(x o)，即横坐标为X。
时的相应函数值；(3)每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数.2•利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；3. 用E x cel帮助作图(1)赋值;(2)命令函数；(3)进行函数运算；(4)选择“ XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表.四、数学运用1.例题.例1画出下列函数的图象：(1)f(x) = x +1；(2)f(x) = x + 1, x € { —1, 0, 1 , 2, 3}；2(3)f(x) = (x—1) + 1, x € R；2(4)f(x) = (x—1) + 1, x € [1 , 3).例2从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示:把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象.120010008006004002000x/年份例3试画出函数f(x)= x2+ 1的图象，并根据图象回答下列问题：(1)较f( - 2), f(1) , f(3)的大小；(2)若0v X1V X2，试比较f(x"与f (X2)的大小.2•练习：(1)课本30页练习1, 2, 3;(2)作出下列函数的图象；① f(x) = |x- 1| + |x + 1| ;② f(x) = | x- 1| - |x + 1| ;③ f (x) = x|2 - x| .五、回顾小结1•函数图象的作法；2•函数的作图是利用局部来反映全部；3. 函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动.六、作业课堂作业：课本31页第3小题；课外作业：利用E x cel帮助研究函数f (x)与f (x + a)、f (x) + a的关系.。
2019-2020学年高中数学《函数》教案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学《函数》教案苏教版必修1
教学内容必修一函数复习教学重点
求定义域、函数的单调性及奇偶性的证
明。
教学目标1．理解并掌握函数的概念，能对函数的三要素进行熟练的求解；2．会判断函数的单调性及奇偶性；
3．分段函数及复合函数的单调性的确定；
一、教学过程：
二、本次课后作业：讲义纸上未完成的练习题
审核人签字：
三、教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
四、学生对于本次课的评价：
○差○一般○满意○特别满意学生签字：负责人签字： _________。
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2019-2020学年高中数学 2.1.1 函数的概念导学案苏教版必修1
一、学习目标
1.理解函数的概念；
2.了解构成函数的三要素：定义域、对应法则，值域；
3.会求一些简单函数的定义域并能计算它的值域。
二、课前预习
1．回顾我们已经学过的函数，体会中间的对应关系。
2．通过生活实例，体会函数这一重要数学模型 ⑴估计人口数量变化趋势 ⑵物体自由落体运动
⑶某市一天24小时的气温变化 3. 函数的概念（运用集合的语言）
注意：
（1）两个非空集合；对应法则；对于A 中的任意一个元素x ，B 中总有一个元素y 与之
对应。
（2）函数的定义，定义域，值域（值域C 与B 的关系）：
（3）说明：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有
指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。
三、课堂研讨
例1. 判断下列对应是否为函数 ⑴R x x
x ∈→,2
⑵y x →，R y N x x y ∈∈=,,2
例2、已知函数253)(2
+-=x x x f ，求)1(),(),2(),3(+-a f a f f f 。
例3、求下列函数的定义域 ⑴1)(-=
x x f ⑵1
1)(+=
x x g
例4、下列函数中哪一个与函数x y =是同一个函数？
⑴2
)(x y = ⑵x
x y 2
= ⑶33x y = ⑷2x y =
【学后反思】
课堂检测 1、函数)(x f y =的图象与直线2=x 的交点的个数是 2、判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数
⑴、A 为正实数集，R B =，对于任意的A x ∈，x x →的算术平方根；
⑵、}5,4,3,2,1{=A ，}8,6,4,2,0{=B ，对于任意的A x ∈，x x 2→。
⑶、R x x x ∈-→,2
1
；
⑷、y x →，其中R y R x x y ∈∈=,|,|；
4、若2
)(x x x f -=，求)()1(),2
1(),1(),0(n f n f f f f -+。
5、求下列函数的定义域 （1）1
1
)(2-=x x f
（2）x
x x f 11)(+
+=
课后作业
1、判断下列对应f 是否为从集合A 到集合B 的函数(是的打√，不是的打×，并注明原因)
⑴、{}()123,31,621,1,3,6,23,1,21=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=f f f B A
（ ） ⑵、{
}{}()()()83,721,9,8,7,3,2,1=====f f f B A
（ ）
⑶、{
}()12,3,2,1-===x x f B A （ ） ⑷、{}()12,1|+=-≥==x x f x x B A
（ ）
⑸、{}1,1,-==B Z A ，n 为奇数时，()1-=n f ，n 为偶数时，()1=n f
（ ）
2、求下列函数的定义域 （1）4
35
23
--+=x x x y
（2）3412
-+---=x x x y
（3）x
x x y +-=2
4
（4）x
x
x y 3121112-
-+
+=。