-唯一确定分式线性映射的条件

又由保圆性可知 | z | 1 上的点比如 1 被映射成 | w | 1
映射成 O 关于单位圆周的对称点, 因此设所求的分 式线性映射为
w a z z
其中a 为常数。
又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周
上的点，特别将坐标原点 0 映射成点 w(| w | 1), 所以
1 | w || a | | | | a | | |
因此 a ei , 所以所求的分式线性映射为
C gz0
C gz0
L g w0
g w0
L
设 z1,z2 , z3 为 C上相异的三点，在分式线性映射下
他们的像为 L上的相异的三点 w1, w2 , w3 ,我们规定 C, L 正向分别为 z1 z2 z3 , w1 w2 w3 的走向， 他们的法向分别为指向指定的区域，则我们可以用下
又由于 f (i) 4 3i, 且 Re(4 3i) 4 0 所以将上
半平面映射成左半平面 Re w 0.
根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2）当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3）当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时，两圆
分式线性映射
yg i
的保角性, 将
4
原区域映射成
argw 1 o
x
3
ig
4
y
1 g
go
x
4
二 两个重要的分式线性映射
1 将上半平面 Im z 0映射成单位圆| w | 1的分式线性映射
设 (Im 0) 为上半平面上任意一定点，在所求
的分式线性映射下映射成单位圆的圆心 O, 根据分式
线性映射的保对称性， 关于实轴的对称点 一定被
设 为z 平面上的单位圆| z | 1 的一点， 它被映
成 w 平面单位圆 | w | 1 的中心 w 0. 根据分式线性
映射的保对称性， 关于单位圆周 | z | 1 的对称点
1
一定被映射成 0 关于单位圆周 | w | 1 的对称点 ,
因此可设所求的分式线性映射为
wk
z
zபைடு நூலகம்
1
k1
z 1z
最后仍然得 (6.3.1),因此所求得分式线性映射是唯一的。
根据上面的定理可知，在两个已知的圆周 C, L 分别 取相异的三点，则必存在一个分式线性映射将 C 映射 成 L, 但这个映射将 C 的内部映射成什么区域呢？
首先注意到，在分式线性映射下，C 的内部(或一侧) 不是映射成 L 内部（或一侧）就是 L 的外部（或另一
§3 唯一确定分式线性映 射的条件
一 唯一确定分式线性映射的条件
二 两个重要的分式线性映射
一 唯一确定分式线性映射的条件
定理 在 z 平面给定相异的三点 z1, z2 , z3 , 在 w 平面
也给定相异的三点 w1, w2 , w3 , 则存在唯一的分式线性
映射 w f (z), 使得 f (zk ) wk (k 1, 2, 3).
映射成什么区域？
解
由于 f (0) ,
因此可设
f (z)
az b , z
将
f (1) i, f (2) i 代入得 a b i, 2a b i
2
所以 a 3i,b 4i, 所以 f (z) i 3z 4
z 根据分式线性映射的保圆性，f (z) 将由 0,1,2确定
的圆周(即实轴)映射成由 ,i,i 确定的圆周(即虚轴）
w ei z z
(6.3.2)
这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般
形式。
z
w a
z
例3 求将上半平面 Im z 0 映射成单位圆 | w | 1的分
式线性映射
w
f (z),
并满足
f (2i)
0,arg
f (2i)
3
.
解 由条件 f (2i) 0, 即将 z 平面的上半平面的点 2i
面的方法来确定C 内部的像。
C
z3 g
w3 g gz2
g
g
w1
z1
L g w2
C
z3 g
gz2
g z1
w2 g
w3 g w1 g
L g w2
g w1
w3 g
w3 g w2 g w1 g
例1 求一个分式线性映射 w f (z) 使得点 0,1,2的
像依次为 ,i,i. 并问此分式线性映射将上半平面
(k 1,2)
因此有
(w w1)(w3 w2 ) (z z1)(z3 z2 ) (w w2 )(w3 w1) (z z2 )(z3 z1)
(6.3.1)
这就是所求得分式线性映射。
如果有另一个分式线性映射 w z 也依次将 z
zk (k 1.2.3) 映射成 wk (k 1,2,3) 重复上面的步骤，
周的弧所围成的区域映射成角形区域。
例2 在分式线性映射 w z i 下，区域 | z 1 | 2, zi
Re z 0 映射成一个什么样区域。 解 | z 1 | 2 与 Re z 0 的交点为 i,i, 分式线性映射
将 i 映射成坐标原点， 将 i 映射成, 将原点映射成
1, 因此将虚轴 1 Im z 1 部分映射成负实轴, 跟据
证
设
w
az b (ad bc 0) cz d
依次将
zk (k 1,2,3)
映射成 wk (k 1,2,3), 即
因此有
wk
azk b czk d
(k 1,2,3)
w
wk
(z (czk
zk )(ad bc) d )(cz d )
(k 1,2)
w3
wk
(z3 zk )(ad bc) (czk d )(cz3 d )
侧）。
C g z1
g z2
g
g w
w1
L
w2 g
因此在分式线性映射下，如果在 C 内部(某侧)任取 一点z0 , 而z0 的像在 C 的像 L 的内部(某侧),则C 的内部 (某侧)一定映射成的 L 内部(某侧)；如果 z0 的像在L的
外部，则 C 的内部(某侧)一定映射成 L外部。
C gz0
g w0 L
映射成w 平面单位圆的圆心 w 0, 所以根据 (6.3.2)
设 由于
f (z) ei z 2i z 2i
f (z)
e i
(z
4i 2i)2
w ei z z
固有
f (2i)
e i
i
1
e
i
(
2
)
,
44
利用
arg f (2i)
3
得
5
6
,
即
f
(z)
5 i
e6
z
2i
z 2i
2 将单位圆 | z | 1映射成单位圆| w | 1的分式线性映射