-唯一确定分式线性映射的条件
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分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
6-2分式线性映射
一.分式线性映射 分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
分式线性映射
2 2
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
3分式线性映射资料
.P
C
P . . o
r
OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r 2
13
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z r
i
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
33
四、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4
在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
i
1 ( 3) w rz , (4) w . z
由于前三种函数可以构 成整式线性映射, 因此分式线性映射可以 分解为整式线性映射 1 与w 的复合. z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
C的像曲线的一对对称点 .
即：分式线性映射具有保对称性
32
是过w 1与w 2的任意一个圆，则其原 像 证明：设 Γ
C是过z 1与z2的圆，由z 1与z2关于C对称，有C与 C
正交，即过w 1与w 2任意圆 正交，由保角性Γ与 Γ
与Γ正交，因此对称.
az b 例4 求一分式线性映射 w 将单位圆内部 cz d 变为上半平面.
1 1 当z , 令 , u , 则有u ( ) z w b a
1 ( )在 0解析, 并且 (0) 0,因此映 a 射u ( )在 0是保形的, 并且 0时，
C
P . . o
r
OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r 2
13
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z r
i
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
33
四、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4
在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
i
1 ( 3) w rz , (4) w . z
由于前三种函数可以构 成整式线性映射, 因此分式线性映射可以 分解为整式线性映射 1 与w 的复合. z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
C的像曲线的一对对称点 .
即：分式线性映射具有保对称性
32
是过w 1与w 2的任意一个圆，则其原 像 证明：设 Γ
C是过z 1与z2的圆，由z 1与z2关于C对称，有C与 C
正交，即过w 1与w 2任意圆 正交，由保角性Γ与 Γ
与Γ正交，因此对称.
az b 例4 求一分式线性映射 w 将单位圆内部 cz d 变为上半平面.
1 1 当z , 令 , u , 则有u ( ) z w b a
1 ( )在 0解析, 并且 (0) 0,因此映 a 射u ( )在 0是保形的, 并且 0时，
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
§2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
§3 分式线性映射
装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。
注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。
((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。
(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。
当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。
所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。
规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。
2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。
也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。
2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。
定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
6-3节分式线性映射17
若把直线看作是 R = ∞ 的圆周 , 则 w = kz + h ( k ≠ 0 ) 将 z 平面上的圆周仍映射成 圆周.
1 w = 也具有保圆性 : z 1 令 z = x + iy , w = = u + iv , 于是 z
x y 或 u= 2 , v= 2 x + y2 x + y2
2008-12-16
性质 2. 分式线性映射将 C + 上的圆周映射成圆周, 具有保圆性.
包含四种情形 :
圆周 → 圆周; 圆周 → 直线; 直线 → 直线; 直线 → 圆周
2008-12-16 10
3. 保对称性
性质 3. 若 z1, z 2 关于 C + 上的圆周 C 对称 , 则经分式线性 映射后 , w1 = f ( z1 ) 与 w 2 = f ( z 2 ) 关于 f (C ) = Γ 对称.
w w1 z z1 =k w w2 z z2
( k为复常数)
z z1 特别地,若 w1 = 0, w 2 = ∞ 则有w = k 2008-12-16 z z2
( k为复常数) 12
定理 设线性映射 w = f ( z ) 将圆周 C 映射为圆周 C ′ :
(1) 若 z 0 在 C 内部 , f ( z 0 ) 在 C ′ 内部 , 则 C 的内部映射 为 C ′ 的内部;
u v x= 2 , y= 2 2 u +v u + v2
9
1 因此 , w = 将圆方程 : z
a ( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0
映射为 d ( u 2 + v 2 ) + bu cv + a = 0
1 w = 也具有保圆性 : z 1 令 z = x + iy , w = = u + iv , 于是 z
x y 或 u= 2 , v= 2 x + y2 x + y2
2008-12-16
性质 2. 分式线性映射将 C + 上的圆周映射成圆周, 具有保圆性.
包含四种情形 :
圆周 → 圆周; 圆周 → 直线; 直线 → 直线; 直线 → 圆周
2008-12-16 10
3. 保对称性
性质 3. 若 z1, z 2 关于 C + 上的圆周 C 对称 , 则经分式线性 映射后 , w1 = f ( z1 ) 与 w 2 = f ( z 2 ) 关于 f (C ) = Γ 对称.
w w1 z z1 =k w w2 z z2
( k为复常数)
z z1 特别地,若 w1 = 0, w 2 = ∞ 则有w = k 2008-12-16 z z2
( k为复常数) 12
定理 设线性映射 w = f ( z ) 将圆周 C 映射为圆周 C ′ :
(1) 若 z 0 在 C 内部 , f ( z 0 ) 在 C ′ 内部 , 则 C 的内部映射 为 C ′ 的内部;
u v x= 2 , y= 2 2 u +v u + v2
9
1 因此 , w = 将圆方程 : z
a ( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0
映射为 d ( u 2 + v 2 ) + bu cv + a = 0
共形映射-分式线性映射
w f (z)在z0解析, f (z0 ) 0
w f (z)在z0是共形的
Argf
(z0 )为w
f
( z )在z0的转动角
f
(z0 )
为w
f
(z)在z0的伸缩率
§2.分式线性映射(Mobius映射)
1.分式线性映射及其分解
w az b , ad bc 0. cz d
曲线C在z(t0 )处正向切向量的辐角为 Arg z(t0 ).
物理解释: t: 时间, z(t): 位移,
z(t0): 即时速度, z(t0) : 速率
2.解析函数导数的几何意义
w f (z)在D中解析,z0 D, f (z0 ) 0
I) Argf (z0 )
(z)
(w)
z0
A2. 在C上按逆时针方向依次取三点,像点在上按逆(顺)
时针方向分布,则由保角性知:C的内部被映射成了的内
(外)部.
C
z3
z
z1
z2
w3
w
w2
w1
w1 w
w3
w2
4.分式线性映射的保对称性
Thm.(保对称性) z1, z2关(广义)圆周C对称,那么在分式线 性映射下,它们的像点 w1, w2关于C的像曲线对称.
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
唯一决定分式线性映射的条件课件
05
分式线性映射的习题和解答
习题
题目1
给定两个向量空间V和W，以及从V到W的分式线性映射f，如果存在一个常数k使得对于 所有v∈V，都有f(v)=kv，那么f是线性映射吗？给出证明或反例。
题目2
设f是向量空间V到W的满射分式线性映射，如果对于所有v∈V和标量a，都有f(av)=af(v) ，那么称f是可乘的。证明：如果f是可乘的，那么f是线性的。
THANKS
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分式线性映射的分类
有理分式线性映射
有理分式线性映射的分母和分子都是多项式的倍数，即$varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$都是多项式。
无理分式线性映射
无理分式线性映射的分母是多项式的倍数，分子不是多项式的倍数，即 $varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$是多项式，$q(x)$不是多项式的倍数。
许分母为零。
02 03
线性映射
线性映射是保持向量间线性关系的映射，即满足$varphi(x+y) = varphi(x) + varphi(y)$和$varphi(lambda x) = lambda varphi(x)$的 映射。
分式线性映射
分式线性映射允许分母为零，即允许$varphi(0) = 0$，同时保持向量 间的线性关系。
时。
分式线性映射的展望
探索新的应用领域
随着分式线性映射的发展，可以进一 步探索其在其他领域的应用，例如机 器学习、图像处理、数据分析等。
深入研究映射性质
优化算法和实现
为了提高分式线性映射的效率和精度 ，可以进一步优化相关的算法和实现 方式，例如采用更高效的数值计算方 法、优化软件实现等。
第3节 唯一决定分式线性映射的条件
那么z1→z2→z3与 C 依w1→w2→w3 的绕向相同。
所得求分式线性映射为
w 1 1 i = z + 1 1 0 即w = z i
wi 11 z1 1+1
iz 1
15
2019/6/4
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复变函数
例２ 求将单位圆 z 1映射成单位圆 w 1的分 式线性映射.
= 1,2)
5
2019/6/4
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复变函数
w3
wk
=
(z3 zk )(ad bc) , (k (cz3 + d )(czk + d )
=
1,2)
w w1 = (z z1)(ad bc) (cz + d )(cz2 + d ) w w2 (cz + d )(cz1 + d ) (z z2)(ad bc)
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复变函数
2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射
Ａ． 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所
围成的区域.
Ｂ． 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
一直线所围成的区域.
Ｃ． 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,
所以 w = k 1 a = 1. 1a
又因为 1 a = 1 a ，
所以 k = 1, 即 k = ei .
17
2019/6/4
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复变函数
故所求分式线性映射为:
w = ei z a ( 为任意实数 )
1 az 例３ 中心分别在z = 1与z = 1,半径为 2的二圆弧
分式线性映射及应用
NUDT
§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
NUDT
§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
分式线性映射及应用
z1 w1 a ? z 2 w 2 b ? c ? z3 w3
NUDT
§3 唯一决定分式线性映射的条件
j
** 设在 z 平面上任意给定三个相异的点 z
( j 1, 2 , 3 )
，在 w
平面也任意给定三个相异的点w j ( j 1, 2 , 3 ) ，则存在唯一 的分式线性映射，将 z j ( j 1, 2 , 3 ) 依次映射成 w j ( j 1, 2 , 3 ) . 该分式线性映射 w f ( z ) 由下面的方程给出
C
又 z 0 z R , z 1 z 0 z 2 z 0 z 0 z
2
R
2
NUDT
§2 分式线性映射
z
.z
w2
2
.
.
z0
C
.
z1
w
az b cz d
w
. w1 .w 0
R
保对称性
C
proof . z 1 , z 2 关于圆 C 对称由引理可知
NUDT
§2 分式线性映射
3.保对称性
设 z 1 和 z 2关于圆 C 对称，分式线性映射w f ( z ) 将 z 1和 z 2 映成 w 平面上的点 w 1 和 w 2 ，将圆 C 映成 w 平面上圆 ， 则 w 1 和 w 2 关于圆 对称.
.z .
z0 z1
w2
2
w
az b cz d
w
ze
Exercise2.将上半平面映成上半平面的分式线性映射应满足 a , b , c , d R a, ad bc 0 a a a 的条件是 _______________________.
NUDT
§3 唯一决定分式线性映射的条件
j
** 设在 z 平面上任意给定三个相异的点 z
( j 1, 2 , 3 )
，在 w
平面也任意给定三个相异的点w j ( j 1, 2 , 3 ) ，则存在唯一 的分式线性映射，将 z j ( j 1, 2 , 3 ) 依次映射成 w j ( j 1, 2 , 3 ) . 该分式线性映射 w f ( z ) 由下面的方程给出
C
又 z 0 z R , z 1 z 0 z 2 z 0 z 0 z
2
R
2
NUDT
§2 分式线性映射
z
.z
w2
2
.
.
z0
C
.
z1
w
az b cz d
w
. w1 .w 0
R
保对称性
C
proof . z 1 , z 2 关于圆 C 对称由引理可知
NUDT
§2 分式线性映射
3.保对称性
设 z 1 和 z 2关于圆 C 对称，分式线性映射w f ( z ) 将 z 1和 z 2 映成 w 平面上的点 w 1 和 w 2 ，将圆 C 映成 w 平面上圆 ， 则 w 1 和 w 2 关于圆 对称.
.z .
z0 z1
w2
2
w
az b cz d
w
ze
Exercise2.将上半平面映成上半平面的分式线性映射应满足 a , b , c , d R a, ad bc 0 a a a 的条件是 _______________________.
§6.2 分式线性映射
cz d
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
分式映射
iθ
再由 w ' ( i ) > 0先求得
dw dz z+i−z+i = Re ( z + i )2
iθ iθ
z=i
z=i
1 = Re 2i
iθ
1 R i (θ − π2 ) 即 w' ( i ) = Re = e 2i 2
∴θ −
π
2
=0 θ =
π
2
e =i
iθ
z−i 故w = Ri + w0 z+i
在 w平面上也任意给定三个 相异的点 w1 , w 2 , w 3 ⇒ ∃ 唯一的分式线性映射 f ( z ) :
f f : zk ⎯ ⎯→ w k ( k = 1,2,3 )
az + b 证明 设w = (ad − bc ≠ 0), 将z k ( k = 1,2,3)依次 cz + d az k + b → w k ( k = 1,2,3), 即w k = ( k = 1,2,3) cz k + d
例5
中心分别在 z = 1与 z = − 1, 半径为 2的二 z−i 圆弧所围区域 , 在映射 w = 下映成 z+i 什么区域 ?
解
两圆弧的交点为 − i与 i , 且互相正交 , 交点 z=i→w=0 z = −i → w = ∞
∴ 映射后的区域是以原点 为顶点张角为 角形区域 .
(第三象限的点 )
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
(1) 点 z 1 , z 2 , z 3 ⎯由 ⎯ ⎯ → 点 w 1， w 2， w 3
$①
②
且 等式两边依次同时变为 0 , ∞ ,1 .
③ 式(1)左端的式子通常称为四
再由 w ' ( i ) > 0先求得
dw dz z+i−z+i = Re ( z + i )2
iθ iθ
z=i
z=i
1 = Re 2i
iθ
1 R i (θ − π2 ) 即 w' ( i ) = Re = e 2i 2
∴θ −
π
2
=0 θ =
π
2
e =i
iθ
z−i 故w = Ri + w0 z+i
在 w平面上也任意给定三个 相异的点 w1 , w 2 , w 3 ⇒ ∃ 唯一的分式线性映射 f ( z ) :
f f : zk ⎯ ⎯→ w k ( k = 1,2,3 )
az + b 证明 设w = (ad − bc ≠ 0), 将z k ( k = 1,2,3)依次 cz + d az k + b → w k ( k = 1,2,3), 即w k = ( k = 1,2,3) cz k + d
例5
中心分别在 z = 1与 z = − 1, 半径为 2的二 z−i 圆弧所围区域 , 在映射 w = 下映成 z+i 什么区域 ?
解
两圆弧的交点为 − i与 i , 且互相正交 , 交点 z=i→w=0 z = −i → w = ∞
∴ 映射后的区域是以原点 为顶点张角为 角形区域 .
(第三象限的点 )
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
(1) 点 z 1 , z 2 , z 3 ⎯由 ⎯ ⎯ → 点 w 1， w 2， w 3
$①
②
且 等式两边依次同时变为 0 , ∞ ,1 .
③ 式(1)左端的式子通常称为四
6-2唯一决定分式线性映射的条件
i
再由w' (i ) 0先求得
dw i z i z i i 1 Re Re 2 dz z i ( z i ) zi 2i 1 R i ( 2 ) 即 w' ( i ) Re e 2i 2
i
zi i w0 2k 2k e i 故w Ri zi 2 2
' 1
数学与统计学院
例9 求把带形域 a Re z b映射成上半平面 Im( z ) 0. (z) v (w) 解 y
we
a b
i
z a ba
x
( z1 )
u
w e z2
za z1 ba
1
z2 iz1
i
( z2 )
Re(z ) 0 例10 问：w e 将半带形域： 0 Im( z ) 映射成什么区域？
4
u x
z4
( )
w
i i
i
数学与统计学院
例5求将圆弧 c1与c2所围成的交角为 的月牙域
0 arg w 0 的一映射.
y ( z)
i
c2
we
i 0
zi 2 ( ) zi
v
(w)
c1
1 -i
0
u
x
zi i( ) zi
半单位圆映射成 w 1(Im (z ) 0)
y (z) v (w)
i
u x
数学与统计学院
0 Re(z ) 例11 求将半带形域： 0 Im( z ) 映射成 v (w) 上半平面Im( z ) 0的映射。 y ez 1 2 (z) w ( z ) e 1 i
再由w' (i ) 0先求得
dw i z i z i i 1 Re Re 2 dz z i ( z i ) zi 2i 1 R i ( 2 ) 即 w' ( i ) Re e 2i 2
i
zi i w0 2k 2k e i 故w Ri zi 2 2
' 1
数学与统计学院
例9 求把带形域 a Re z b映射成上半平面 Im( z ) 0. (z) v (w) 解 y
we
a b
i
z a ba
x
( z1 )
u
w e z2
za z1 ba
1
z2 iz1
i
( z2 )
Re(z ) 0 例10 问：w e 将半带形域： 0 Im( z ) 映射成什么区域？
4
u x
z4
( )
w
i i
i
数学与统计学院
例5求将圆弧 c1与c2所围成的交角为 的月牙域
0 arg w 0 的一映射.
y ( z)
i
c2
we
i 0
zi 2 ( ) zi
v
(w)
c1
1 -i
0
u
x
zi i( ) zi
半单位圆映射成 w 1(Im (z ) 0)
y (z) v (w)
i
u x
数学与统计学院
0 Re(z ) 例11 求将半带形域： 0 Im( z ) 映射成 v (w) 上半平面Im( z ) 0的映射。 y ez 1 2 (z) w ( z ) e 1 i
第六章6.3分式线性映射
三、分式线性映射的几种特性
3、保对称点性
定理 设点 z1, z2关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理
的象点 w1, w2也关于象曲线 C 对称。
6.7
O z1 C
z2 Γ Γ
O w1 C
Γ w2 Γ
21
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析 分式线性映射 w az b 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
6.3 则称 A 和 B 是关于圆周 C 对称的。
自然地，规定圆心 O 与无穷远点关于该圆周对称。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w
1 z
令 z | z |ei ,
则有
w
到
单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论
w
1 z
是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。
zi
解
方法一 分解为四种简单映射
πi
w 2 2e 2
1
.
zi
1
πi
z zi
平移
z1
z1 倒数
z2
e 2 z2
旋转
z3
2z3 相似
z4
z4 2 平移
w
i
πi
e 2 z2
旋转
2i
zi 平移
2z3 相似 1
1 z1
倒数
z4 2 平移
2i 1
12
例 求直线 C {z : Imz 1} 在映射 w 2z 下的像曲线。 zi
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，
而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。
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又由保圆性可知 | z | 1 上的点比如 1 被映射成 | w | 1
映射成 O 关于单位圆周的对称点, 因此设所求的分 式线性映射为
w a z z
其中a 为常数。
又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周
上的点，特别将坐标原点 0 映射成点 w(| w | 1), 所以
1 | w || a | | | | a | | |
因此 a ei , 所以所求的分式线性映射为
C gz0
C gz0
L g w0
g w0
L
设 z1,z2 , z3 为 C上相异的三点，在分式线性映射下
他们的像为 L上的相异的三点 w1, w2 , w3 ,我们规定 C, L 正向分别为 z1 z2 z3 , w1 w2 w3 的走向， 他们的法向分别为指向指定的区域，则我们可以用下
又由于 f (i) 4 3i, 且 Re(4 3i) 4 0 所以将上
半平面映射成左半平面 Re w 0.
根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2）当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3）当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时，两圆
分式线性映射
yg i
的保角性, 将
4
原区域映射成
argw 1 o
x
3
ig
4
y
1 g
go
x
4
二 两个重要的分式线性映射
1 将上半平面 Im z 0映射成单位圆| w | 1的分式线性映射
设 (Im 0) 为上半平面上任意一定点，在所求
的分式线性映射下映射成单位圆的圆心 O, 根据分式
线性映射的保对称性， 关于实轴的对称点 一定被
设 为z 平面上的单位圆| z | 1 的一点， 它被映
成 w 平面单位圆 | w | 1 的中心 w 0. 根据分式线性
映射的保对称性， 关于单位圆周 | z | 1 的对称点
1
一定被映射成 0 关于单位圆周 | w | 1 的对称点 ,
因此可设所求的分式线性映射为
wk
z
zபைடு நூலகம்
1
k1
z 1z
最后仍然得 (6.3.1),因此所求得分式线性映射是唯一的。
根据上面的定理可知，在两个已知的圆周 C, L 分别 取相异的三点，则必存在一个分式线性映射将 C 映射 成 L, 但这个映射将 C 的内部映射成什么区域呢？
首先注意到，在分式线性映射下，C 的内部(或一侧) 不是映射成 L 内部（或一侧）就是 L 的外部（或另一
§3 唯一确定分式线性映 射的条件
一 唯一确定分式线性映射的条件
二 两个重要的分式线性映射
一 唯一确定分式线性映射的条件
定理 在 z 平面给定相异的三点 z1, z2 , z3 , 在 w 平面
也给定相异的三点 w1, w2 , w3 , 则存在唯一的分式线性
映射 w f (z), 使得 f (zk ) wk (k 1, 2, 3).
映射成什么区域？
解
由于 f (0) ,
因此可设
f (z)
az b , z
将
f (1) i, f (2) i 代入得 a b i, 2a b i
2
所以 a 3i,b 4i, 所以 f (z) i 3z 4
z 根据分式线性映射的保圆性，f (z) 将由 0,1,2确定
的圆周(即实轴)映射成由 ,i,i 确定的圆周(即虚轴）
w ei z z
(6.3.2)
这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般
形式。
z
w a
z
例3 求将上半平面 Im z 0 映射成单位圆 | w | 1的分
式线性映射
w
f (z),
并满足
f (2i)
0,arg
f (2i)
3
.
解 由条件 f (2i) 0, 即将 z 平面的上半平面的点 2i
面的方法来确定C 内部的像。
C
z3 g
w3 g gz2
g
g
w1
z1
L g w2
C
z3 g
gz2
g z1
w2 g
w3 g w1 g
L g w2
g w1
w3 g
w3 g w2 g w1 g
例1 求一个分式线性映射 w f (z) 使得点 0,1,2的
像依次为 ,i,i. 并问此分式线性映射将上半平面
(k 1,2)
因此有
(w w1)(w3 w2 ) (z z1)(z3 z2 ) (w w2 )(w3 w1) (z z2 )(z3 z1)
(6.3.1)
这就是所求得分式线性映射。
如果有另一个分式线性映射 w z 也依次将 z
zk (k 1.2.3) 映射成 wk (k 1,2,3) 重复上面的步骤，
周的弧所围成的区域映射成角形区域。
例2 在分式线性映射 w z i 下，区域 | z 1 | 2, zi
Re z 0 映射成一个什么样区域。 解 | z 1 | 2 与 Re z 0 的交点为 i,i, 分式线性映射
将 i 映射成坐标原点， 将 i 映射成, 将原点映射成
1, 因此将虚轴 1 Im z 1 部分映射成负实轴, 跟据
证
设
w
az b (ad bc 0) cz d
依次将
zk (k 1,2,3)
映射成 wk (k 1,2,3), 即
因此有
wk
azk b czk d
(k 1,2,3)
w
wk
(z (czk
zk )(ad bc) d )(cz d )
(k 1,2)
w3
wk
(z3 zk )(ad bc) (czk d )(cz3 d )
侧）。
C g z1
g z2
g
g w
w1
L
w2 g
因此在分式线性映射下，如果在 C 内部(某侧)任取 一点z0 , 而z0 的像在 C 的像 L 的内部(某侧),则C 的内部 (某侧)一定映射成的 L 内部(某侧)；如果 z0 的像在L的
外部，则 C 的内部(某侧)一定映射成 L外部。
C gz0
g w0 L
映射成w 平面单位圆的圆心 w 0, 所以根据 (6.3.2)
设 由于
f (z) ei z 2i z 2i
f (z)
e i
(z
4i 2i)2
w ei z z
固有
f (2i)
e i
i
1
e
i
(
2
)
,
44
利用
arg f (2i)
3
得
5
6
,
即
f
(z)
5 i
e6
z
2i
z 2i
2 将单位圆 | z | 1映射成单位圆| w | 1的分式线性映射