四色问题 四色ppt课件
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学校活动课四色定理
义。
网络路由优化
总结词
网络路由优化是四色定理在网络领域的 应用，通过合理规划路由器的颜色配置 ，可以提高网络的性能和稳定性。
VS
详细描述
在网络路由优化中，四色定理的应用可以 帮助设计人员合理规划路由器的颜色配置 ，以确保网络的性能和稳定性。通过将路 由器分为四种颜色，可以有效地减少路由 器的配置复杂性和网络拥堵情况，提高网 络的传输效率和可靠性。这一应用在网络 工程和通信领域具有广泛的应用价值。
介绍四色定理在其他领域的应用，引 导学生探索更多的数学奥秘。
反思与改进
引导学生对实践活动进行反思，提出 改进意见和建议，以便于进一步提高 活动效果。
07 结论与展望
四色定理的重要性和影响
A
简化地图绘制
四色定理证明了给定任何平面地图，只需四种 颜色就可以确保相邻地区不会发生颜色冲突， 从而简化了地图绘制过程。
缩图法的关键在于如何有效地将地图分割成小块，并确保每 块都能用尽量少的颜色完成染色。这需要学生不断尝试和优 化，以找到最佳的分割方案。
反证法
反证法是一种通过假设四色定理不成立，然后推导出矛盾 ，从而证明四色定理的方法。这种方法有助于培养学生的 逆向思维和逻辑推理能力。
反证法的关键在于如何找到合适的矛盾点，并逐步推导出 与假设相矛盾的结论。这需要学生深入理解四色定理的本 质，并能够灵活运用所学知识进行推理。
05 四色定理的应用实例
地图染色问题
总结词
地图染色问题是四色定理最常见的应用实例，通过使用四色定理，可以确保给定地图只需要四种颜色 即可完成染色，避免了颜色过多导致混淆的情况。
详细描述
地图染色问题是一个经典的几何问题，它涉及到如何使用最少的颜色对地图进行染色，使得任意两个 相邻的区域都不同色。四色定理证明了一个平面地图可以使用四种颜色进行染色，无论地图的复杂性 如何。这一理论广泛应用于地图制作、地理信息系统等领域。
网络路由优化
总结词
网络路由优化是四色定理在网络领域的 应用，通过合理规划路由器的颜色配置 ，可以提高网络的性能和稳定性。
VS
详细描述
在网络路由优化中，四色定理的应用可以 帮助设计人员合理规划路由器的颜色配置 ，以确保网络的性能和稳定性。通过将路 由器分为四种颜色，可以有效地减少路由 器的配置复杂性和网络拥堵情况，提高网 络的传输效率和可靠性。这一应用在网络 工程和通信领域具有广泛的应用价值。
介绍四色定理在其他领域的应用，引 导学生探索更多的数学奥秘。
反思与改进
引导学生对实践活动进行反思，提出 改进意见和建议，以便于进一步提高 活动效果。
07 结论与展望
四色定理的重要性和影响
A
简化地图绘制
四色定理证明了给定任何平面地图，只需四种 颜色就可以确保相邻地区不会发生颜色冲突， 从而简化了地图绘制过程。
缩图法的关键在于如何有效地将地图分割成小块，并确保每 块都能用尽量少的颜色完成染色。这需要学生不断尝试和优 化，以找到最佳的分割方案。
反证法
反证法是一种通过假设四色定理不成立，然后推导出矛盾 ，从而证明四色定理的方法。这种方法有助于培养学生的 逆向思维和逻辑推理能力。
反证法的关键在于如何找到合适的矛盾点，并逐步推导出 与假设相矛盾的结论。这需要学生深入理解四色定理的本 质，并能够灵活运用所学知识进行推理。
05 四色定理的应用实例
地图染色问题
总结词
地图染色问题是四色定理最常见的应用实例，通过使用四色定理，可以确保给定地图只需要四种颜色 即可完成染色，避免了颜色过多导致混淆的情况。
详细描述
地图染色问题是一个经典的几何问题，它涉及到如何使用最少的颜色对地图进行染色，使得任意两个 相邻的区域都不同色。四色定理证明了一个平面地图可以使用四种颜色进行染色，无论地图的复杂性 如何。这一理论广泛应用于地图制作、地理信息系统等领域。
数学欣赏4-四色问题
1878年，英国数学家凯莱在伦敦数学年会上，把“ 四色猜想”提出来请全世界的数学家都来研究这个问题 。遗憾的是，“四色猜想”并未引起人们的极大关注， 许多有声望的数学家低估了它的难度。 大科学家爱因斯坦的老师，德国数学家闵可夫斯基 是一位著名的数学大师，他平时为人谦虚，但也小看了 “四色猜想”的难度。有一次，他在给大学生讲课时说 ：“四色问题之所以—直悬而未决，那是因为当今世界 上第一流的数学家没有研究它。”他边说边拿起粉笔， 竟想当堂给学生证明“四色猜想”，结果没有成功。下 一节课他又去尝试证明，还是没有成功。就这样过了几 个星期，仍然没有头绪。有一天，闵可夫斯基刚跨进教 室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋。他愧疚地对学生们 说：“上天责怪我自大，我也不能解决四色问题。”
“四色猜想”难倒了许许多多的数学家，包括数学 大师闵可夫斯基。在此后的一百多年里，没有谁能证明它 的正确性。 那么，这个结论是否正确呢?自从发现“四色问题” 以来，没有人能举出一个相反的例子来推翻它。直到1976 年6月，这道数学难题终于被美国的数学家阿沛尔和哈肯 利用高速电子计算机证明了它的正确性，从此，“四色猜 想”便成为“四色定理”。在证明过程中，电子计算机连 续工作了1200小时，这样复杂的证明，若用人按同样步骤 演算，需要几十万年的时间。因此，除非找到更为简洁的 证明方法，要想排除电子计算机的帮助，而单独完成“四 色定理”的证明，是任何一个数学家都无法办到的
王指导 2003-9
四色问题 什么是四色问题呢?我们从一段故事说起。 1852年，刚从伦敦大学毕业的弗南希斯·格思里在 给英 国地图着色时，发现了一个有趣的现象：不管地 图多么复杂， 只要用四种颜色就能将它区分开来。换 句话说，用四种颜色就 能使地图上任何两个相邻的地 区颜色不同。 · 弗南希斯把他的发现告诉了哥哥费德雷克·格思里。 哥哥是英国数学家德·摩根的得意门生，他确信弗南希斯 发现的这个结论是正确的，但是在没有经过严格的数学 证明之前，只能算是一种猜想。因此，费德雷克潜心研 究，但始终没有成功地证明这个结论。无奈只好专程去 请教他的老师德·摩根。可德·摩根绞尽脑汁，百般努力 也无法证明，就把此猜想写信告诉著名的数学家哈密顿 。哈密顿经过13年的努力，直到1865年去世，仍然毫无 进展。
图的着色问题 ppt课件
PPT课件
3
顶点着色－基本概念
• 独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若 中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一 个独立集。
• 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立 集S'，则称S为G的最大独立集。
• 极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K 的任一顶点v，K+v都不是G的独立集，则称K是 G的一个极大覆盖。
先求图G的极小覆盖，
பைடு நூலகம்
化简得
(a bd)(b aceg)(c bdef )(d aceg)(e bcdf )( f ceg)(g bdf )
aceg bc deg bdef bdef bcdf
故G的极小覆盖为 {a,c,e, g},{b,c, d,e, g},{b, d,e, f },{b,c, d, f } 取其补集，得到G的所有 极大独立集： • Step2：求出一切若干极大独立集和所有{b,顶d,点f }的,{a子, f集},{a,c, g},{a,e, g}
但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的c涂颜色3。
由此可见，求色数其需要求极大独立集以
及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子
集，对于大图，因为图计算量过大而成为实
际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法，
（ii）若G为偶图，则X（G）=2 （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值）
PPT课件
5
顶点着色－求顶色数的算法设计
我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色 时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕， 所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。
选修课之四色问题课件
时间表安排
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
1 2 3
学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
1 2 3
学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
四色猜想
COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯
和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从
根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学
家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
•
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
• 但德· 摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数
学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后， 认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了
更大的注意。
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，
这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,
Hale Waihona Puke 四色问题的解决• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
• 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR
四色猜想课件
四色问题
拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了 更大的注意。
四色问题
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
四色问题
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难， 这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。
四பைடு நூலகம்四色问题
四色问题
• 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852 年首先由一位英国大学生F．古色利提出。
• 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公 共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。
• 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德 里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数 学家德·摩根，希望帮助给出证明。
四色问题
• 德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
四色问题
• 但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数 学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，
四色问题
• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
四色定理
结论：
将平面图的不相连点使其相连（这样 增加着色难度），形成有许多三角形相连 的平面图，根据三角形的稳定性，利用数 学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜 色。
在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面， 那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最 稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考 虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增 加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点 以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使 其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将 图1分解为４个△ABC。
四色定理
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问题 吧： 用4种不同的顏色去涂右边这 个脸谱，每区域一色，同一种顏 色可重复使用，但相邻区域不可 同色，则有多少种涂法4× 3× 2× 1× 1× 3× 3
四色問題
任何一张平面地图， 如果相邻的两个国家， 必须涂上不同的顏色以 便划清边界，则至多只 要四种顏色就搞定了， 不管这张地图有多麼奇 特复杂。
公开徵答
1878年，英国数学家 将上述问题曝光取名為「四色猜想」， 公开徵求解答。 问题一传出后，马上就有了回应。1879年和1880年， 和 分 别发表论文证明了四色问题。轰动一时的热度终於平息。不料事 隔11年后，一个名叫 的年轻人指出了 证明中的错误，并利用 的 方法证明出若用5 种顏色就保证一定能区分出地图上相邻的区域。 虽然四色问题未被破解，但是至此算是迈出了一大步。而另一方 面， 的论文亦被陆陆续续发现多处错误，甚至最后一个错误是 一直到1946年才被发现的。从这裡我们可看出这些人的研究精 神是多麼可敬，被发现错误的东西并未被弃之如敝屣般丢在一旁， 仍旧不断有人去研究它，甚至是在事隔半个多世纪之后。 尽管如此，这篇论文仍然起着巨大的作用。
四色问题 四色
著名数学家奥古斯都·德·摩根也没有能找到解决这个问题的途径，著 名数学家威廉·哈密顿对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世为 止，问题也没有能够解决。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交 了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从 此也就解决了。
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生， 也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论 问题，丰富了图论的内容。
不仅如此，“四色问题”在有效地设 计航空班机日程表，设计计算机的编码 程序上都起到了推动作用。
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。 （相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
四色猜想的提出:
英国毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着 色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。他和在大学读书的弟弟 格里斯决心试一试,可是研究工作没有进展。
实际应用
虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色， 但是这个定理的应用是有限的 现实中的地图常会出现飞地，即两个不连 通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这 两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下， 只用四种颜色将会造成诸多不便。 实际中用四种颜色着色的地图是不多见的， 而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。 此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了 区分起见，也会采用更多的颜色，以提示不同 地区的差别。
四色定理
定理的提出
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。 世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe) 和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文， 宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其 他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是 “正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右 图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起， 但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色， 如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五 色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地 图就足够了。
利用三角形和数学归纳法证明
利用三角形和数学归纳法证明
证明 在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面，那么 三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最稳定、密闭 的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考虑点是 否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度）， 形成有许多三角形相连的平面图（三点以下肯定成立）。如图1： 添加辅助线（不相邻的点使其相邻，这样就增加了着色的色数， 有利于证明），将图1分解为４个△ABC。 在平面图中的无数点中，任取相邻三点构成各点相邻的 △ABC（见图2），则需3种颜色A B C,在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻,同时D又与A B C三点相连后形成三角形。任取 一点E与 A、B、C、D四色相连，E必与四色之一色相同即E点在 △ABD中与C色相同、在△ACD中与B色相同、在△BCD中与A色相 同、在△ABC外与D色相同，E与另外三色相连形成新的三角形。 在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部 两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三 点相连且又形成新的三角形。
选修课之四色问题课件
。
回溯法
通过尝试多种颜色组合，寻找满 足条件的着色方案。此方法在理 论上可行，但因计算量大，实际
应用中效率较低。
智能优化算法
如遗传算法、模拟退火等，通过 模拟自然过程或物理现象，寻找 四色问题的近似最优解。这类方 法在处理大规模问题时具有一定
优势。
03
四色问题的应用与拓 展
四色问题在地图染色中的应用
02
四色问题的证明与解 法
四色问题的初步证明
肯普的证明
肯普在19世纪提出了一种基于归 纳法的证明，但后来被发现有错 误。不过，其部分思路对后续研 究仍有参考价值。
阿佩尔的初步证明
20世纪初，阿佩尔与哈肯借助大 量的计算机辅助计算，进行了初 步的证明尝试，取得了阶段性成 果。
四色问题的计算机证明
四色问题与算法设计
贪心算法
在解决四色问题时，通常会使用贪心算法进行尝试性涂色，通过不断优化局部选择，达到全局最优解 。
回溯算法
当贪心算法无法解决问题时，可以使用回溯算法，通过逐步撤销选择，寻找其他可能的解决方案。
四色问题在计算机科学中的其他应用
地图着色
四色问题最初的研究动机就是为了给地图着色，因此计算 机科学家可以将四色问题的研究成果应用于地图着色算法 ，提高着色效率。
阿佩尔与哈肯的计算机证明
通过构造不可避免组合的方法，阿佩尔与哈肯成功地用计算机完成了四色问题的 证明。这一成果被认为是数学史上的一大突破。
证明的验证
为确保计算机证明的准确性，后续研究者对阿佩尔与哈肯的方法进行了严格的验 证，确认了其正确性。
四色问题的常见解法
贪心算法
通过逐步为地图区域着色，尽可 能减少所用颜色数量。这种解法 在简单情况下较为实用，但面对 复杂地图时可能无法得到最优解
回溯法
通过尝试多种颜色组合，寻找满 足条件的着色方案。此方法在理 论上可行，但因计算量大，实际
应用中效率较低。
智能优化算法
如遗传算法、模拟退火等，通过 模拟自然过程或物理现象，寻找 四色问题的近似最优解。这类方 法在处理大规模问题时具有一定
优势。
03
四色问题的应用与拓 展
四色问题在地图染色中的应用
02
四色问题的证明与解 法
四色问题的初步证明
肯普的证明
肯普在19世纪提出了一种基于归 纳法的证明，但后来被发现有错 误。不过，其部分思路对后续研 究仍有参考价值。
阿佩尔的初步证明
20世纪初，阿佩尔与哈肯借助大 量的计算机辅助计算，进行了初 步的证明尝试，取得了阶段性成 果。
四色问题的计算机证明
四色问题与算法设计
贪心算法
在解决四色问题时，通常会使用贪心算法进行尝试性涂色，通过不断优化局部选择，达到全局最优解 。
回溯算法
当贪心算法无法解决问题时，可以使用回溯算法，通过逐步撤销选择，寻找其他可能的解决方案。
四色问题在计算机科学中的其他应用
地图着色
四色问题最初的研究动机就是为了给地图着色，因此计算 机科学家可以将四色问题的研究成果应用于地图着色算法 ，提高着色效率。
阿佩尔与哈肯的计算机证明
通过构造不可避免组合的方法，阿佩尔与哈肯成功地用计算机完成了四色问题的 证明。这一成果被认为是数学史上的一大突破。
证明的验证
为确保计算机证明的准确性，后续研究者对阿佩尔与哈肯的方法进行了严格的验 证，确认了其正确性。
四色问题的常见解法
贪心算法
通过逐步为地图区域着色，尽可 能减少所用颜色数量。这种解法 在简单情况下较为实用，但面对 复杂地图时可能无法得到最优解
图着色问题 ppt课件
例子 ：
图着色问题
邻接矩阵：B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
图着色问题
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
图的着色问题
主讲人：XXX
图着色问题
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
图着色问题
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
图着色问题
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
染色问题完整ppt课件
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4
ppt精选版
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问题二：若将四省（区）变为如图所示的
四个区域，结果又如何？
解法一:根据分步计数原理,共有
11 22
4 3 1 3 ＋ 2 2 ＝ 8 种 4 3 4
解法二：把问题分为三类：
（1）用两种颜色，有
C2 4
A22
1（2种）；
（2）用三种颜色，有 C3 4C1 2A3 34（8种） ；
6
强化训练 1、至少需要几种颜色才能使 右图中所有有公共端点的线段 涂上不同的颜色？ 4种
2、将一个四棱锥S–ABCD的 每个顶点染上一种颜色，并使 同一条棱的两个端点异色，如 果有5种颜色可供使用，那么 A 不同的染色方法有多少种？
420种 ppt精选版
S
D
C
B
7
小结：
解决染色问题的基本方法有二：分步 法和分类法。但分步法中有些步骤却要分 类计算，而分类法中的有些类型则要分步 计算。因此，要注意将二者结合使场建造一个如图所示的 花圃，现要栽种4种不同颜色的花，每部分 栽一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有多少种？
解：根据分步计数原理，不同的栽种方法有:
4 3 2 1 A 2 1 1 1 1 2 1 ( 种 ) 2 2
答：不同的栽种方法p有pt精选1版20种。
染色问题
执教：叶 春 天
ppt精选版
1
二十世纪现代数学十大成果之一——四色问题:
给任意一张平面地图着色时，最多用四 种颜色就可使任何具有公共边界线的区域 着不同颜色。
ppt精选版
2
问题一：给四川、青海、西藏、云南四省 （区）的地图染色，要求每省（区）用一种 颜色，相邻省（区）着不同色，有四种颜色 可供使用，则不同的染色方法有多少种?
【资料】选修课之四色问题汇编23页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
【资料】选修课之四色问题汇 编
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
END
活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
【资料】选修课之四色问题汇 编
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
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四色多彩扁平风PDCA医院护理PDCA培训案例分析汇报讲课PPT演示课件
惠珊精彩 作品
效果评价，根据效果将流程标准
P D 化推广，危机值管理制度的补 充。遗留问题放在下一个 A C PDCA循环解决
04 P D C A 管 理 举 例
根据问题分析原因 （头脑风暴法）
找出解决问题的方法
评价整改后的效果
遗留的问题进入下 一个PDCA。
01
02
03
04
05
06
07
08
根据现有的医院各项规 章制度及流程进行认真 执行，在执行过程中发 现问题。
的依从性
组织和个人
组织：如科室诊疗组中的
某一个组的共性问题
惠珊精彩 作品
个人：如具体某一个人的
问题，如诊疗死亡率手术
并发症等
惠珊精彩 作品
系统和细节
系统：宏观政策、管理机
制、工作方法等
细节：输液挂钩的高度、
病房地面湿滑等
PD
AC
04 P D C A 管 理 举 例
P-PLAN
分析问题 产生的原因
流程不合理
02 P D C A 循 环 步 骤
PDCA
PDCA —— P计划阶段
步骤三 : 找出影响质量的主要因素
影响质量的因素往往是多方面的，可能涉及人、 方法、仪器、设备、材料、环境等。每项大的影 响因素中又包含小的因素。应在诸多因素中，找 惠珊出精彩作品 影响质量的最主要、最直接的因素。
惠珊精彩 作品
01 P D C A 循 环 分 析 说 明
➢ 一个PDCA循环一般都要经历以下4个阶段(图1所示)、8个步骤（图2所示）
处销理售额, 第四
季度, 1, 25%
计销售划额, 第一
季度, 1, 25%
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内容：“任何一张地图只用四种颜色就能使 具有共同边界的国家着上不同的颜色。”
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。
（相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
精选
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了 肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图 着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可 与费马猜想相媲美的难题。
精选
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本 上是按照肯普的想法在进行：
1913年美国伯克霍夫：肯普的想法+新的设想证明了某些大的构形可约 1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色 1950年 ，有人从22国推进到35国 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色 随后又推进到了50国
精选
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
————这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问
题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称 四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
精选
对偶图：把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都
用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或 边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。
世界数学三大猜想
费尔马大定理 四色问题
哥德巴赫猜想
精选
a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和； b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个
素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。
精选
费尔马大定理
精选
四色问题
精选
实际应用
虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色 ，但是这个定理的应用是有限的
现实中的地图常会出现飞地，即两个不连 通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这 两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下， 只用四种颜色将会造成诸多不便。
实际中用四种颜色着色的地图是不多见的 ，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染 色。此外，即便地图能够只用四种颜色染色， 为了区分起见，也会采用更多的颜色，以提示 不同地区的差别。
“可约”性:“可约”这个词的使用是来自肯普的论证
。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减 少的五色地图。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构 形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避 免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约 ，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
一张地图=正规地图+非正规地图，但非正规地图所需颜色种数一般不
超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图 是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
归谬法证明：大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的
“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就 会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数 ，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后 来人们发现他错了。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交 了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从 此正规地图：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或
没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的” 否则为非正规地图。
到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的 方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形 式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也 是证明四色定理的中心要素。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出 现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970 年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念:
“构形” “可约性”
精选
构形：他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两
个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个 邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五 个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这 四种构形中的一个。
精选
四色猜想的提出:
英国毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。他和在大学读书的 弟弟格里斯决心试一试,可是研究工作没有进展。
著名数学家奥古斯都·德·摩根也没有能找到解决这个问题的途径，著 名数学家威廉·哈密顿对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世为 止，问题也没有能够解决。
1976年6月，他们在美国伊利诺斯大 学的两台不同的电子计算机上，用了 1200个小时，作了100亿判断，终于完 成了四色定理的证明，轰动了世界。
精选
几何证明：
在平面地图中，为了区分相邻的图形，相邻图形需要 使用不同的颜色来上色，与这两个相邻图形都有邻边的 图形需要使用第三种颜色
我们先假设四色定理成立，根据四色定理得出在一个 平面内最多有四个互有邻边的图形，而因为第四个与三 个互有邻边的图形都会包围一个图形，所以一个平面内 互有邻边的图形最多有四个，所以四色定理成立（互有 邻边，举例： 三个互有邻边的图形——A和B有邻边 C和 AB都有邻边）
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。
（相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
精选
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了 肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图 着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可 与费马猜想相媲美的难题。
精选
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本 上是按照肯普的想法在进行：
1913年美国伯克霍夫：肯普的想法+新的设想证明了某些大的构形可约 1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色 1950年 ，有人从22国推进到35国 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色 随后又推进到了50国
精选
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
————这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问
题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称 四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
精选
对偶图：把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都
用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或 边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。
世界数学三大猜想
费尔马大定理 四色问题
哥德巴赫猜想
精选
a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和； b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个
素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。
精选
费尔马大定理
精选
四色问题
精选
实际应用
虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色 ，但是这个定理的应用是有限的
现实中的地图常会出现飞地，即两个不连 通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这 两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下， 只用四种颜色将会造成诸多不便。
实际中用四种颜色着色的地图是不多见的 ，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染 色。此外，即便地图能够只用四种颜色染色， 为了区分起见，也会采用更多的颜色，以提示 不同地区的差别。
“可约”性:“可约”这个词的使用是来自肯普的论证
。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减 少的五色地图。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构 形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避 免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约 ，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
一张地图=正规地图+非正规地图，但非正规地图所需颜色种数一般不
超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图 是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
归谬法证明：大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的
“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就 会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数 ，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后 来人们发现他错了。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交 了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从 此正规地图：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或
没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的” 否则为非正规地图。
到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的 方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形 式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也 是证明四色定理的中心要素。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出 现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970 年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念:
“构形” “可约性”
精选
构形：他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两
个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个 邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五 个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这 四种构形中的一个。
精选
四色猜想的提出:
英国毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。他和在大学读书的 弟弟格里斯决心试一试,可是研究工作没有进展。
著名数学家奥古斯都·德·摩根也没有能找到解决这个问题的途径，著 名数学家威廉·哈密顿对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世为 止，问题也没有能够解决。
1976年6月，他们在美国伊利诺斯大 学的两台不同的电子计算机上，用了 1200个小时，作了100亿判断，终于完 成了四色定理的证明，轰动了世界。
精选
几何证明：
在平面地图中，为了区分相邻的图形，相邻图形需要 使用不同的颜色来上色，与这两个相邻图形都有邻边的 图形需要使用第三种颜色
我们先假设四色定理成立，根据四色定理得出在一个 平面内最多有四个互有邻边的图形，而因为第四个与三 个互有邻边的图形都会包围一个图形，所以一个平面内 互有邻边的图形最多有四个，所以四色定理成立（互有 邻边，举例： 三个互有邻边的图形——A和B有邻边 C和 AB都有邻边）