两条直线的 夹角

θ的取值范围是（0,π）.
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1


2
1
1
2

1
求“两条直线的夹角 ”
l2

l1
l1

l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，


2
1
2
tg1

k2 1
k1 k2k1
l2
:
y

x

1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2


(
1 2
)

k
2
1 1 ( 2) k2

1 2k2 2 k2
1 2
1 2k2 8 2 k2 11
k2


27 14
或 k2

1 6
（舍去）
又由
方
程
组
x x

y
l2
l1
l2 y


1
x
0
2
x
l1



2
1

2


2
直线到直线的角与两条直线的夹角的区别：
①直线到直线的角是一个动态的角（有方 向），而直线的夹角是一个静态的角（无 方向）；
②直线到直线的角是（0，π）的一个角，
而直线的夹角是［0, ］的一个角。

2
例1：求两条直线的夹角
(1) l1 : y 2x 1
tg(2 1 )
k2 k1 1 k2 k1
k2 k1 1 k2 k1
l1到l2的角，tg

k2 k1 1 k1k2
注：公式中分子为角的终边作在直线的斜率 减去角的始边所在直线的斜率。
l2到l1的角
，tg


k1 k2 1 k1k2
例3、已知两条直线的方程是18x+6y-17=0 和14x-7y+15=0，求它们的夹角的平 分线所在的直线方程。
例4：等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都 在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是（-1，2）， 求AB、AC所在直线方程。
例5：正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y-1=0 上，且顶点A（-5，3）、B（m,0）（m>-5)，求 B、C、D的坐标。

3
2
1
直线l1、直线l2的斜率分别为k1、k2
y
l2
1
l1
1
2
o
x
y l1
1
2 o
l2
1 x
1 2 1
tg1 tg(2 1 )
tg 2 tg1 1 tg 2 tg1
1 ( 2 1 ) tg1 tg( 2 1 )
x-6y+13=0，入射线在定直 线m:x+2y-3=0上反射， 求反射直线所在的直线方程。
解：设直线l1与m的夹角为1，直线l2与m的夹角为 2
直 线l1的 斜 率k1

1 6
，直
线m的
斜
率km
设直线l2的斜率为k2


1， 2
11
tg 1
km k1 1 km k1

( ) 26
x0 0
0 x0 2
2
2
13 6
2
y0
30
解 得 ，A（' 8 ，13 ） 15 30
再 由A' 和P点 坐 标 求 出 直线方程为27 x 14 y 1 0
例7：将直线l：2x+3y+1=0绕点P（1，-1）逆时针方
向旋转45，求旋转后的所得的直线l’的方程。
例6：求过P（2，3），且与直线：2x+3y-6=0 的夹角为arcctg(2/3)的直线方程。
例4.等腰三角形一腰所在直线l1 的方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线 l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）在另一条腰上， 求这条腰所在直线 l3 的方程.
例5、已知光线的入射线所在的直线l2的程是：
两条直线的
夹角


定义1：当两条直线相交时，我们称不大 于直角的角叫做两条直线所成的
角，简称“夹角”， 记为α；当两条直线平行或重合 时，两直线的夹角α=0。
因此α的取值范围是
0,

2

请同学们看演示，理解直线到直线的角的定义。
l2
）θ l1
定义2：若直线l1与直线l2相交，我们把直线 l1 绕 着交点按逆时针方向旋转到与 l2 重合时所 转过的角，叫做 l1到 l2 的角，记为θ。
tg 2

k1 k2 1 k2k1
tg k1 k2
1 k1k2
上述三个公式的使用前提是两条直线的斜率都存在且
这两条直线互不垂直。如果两条直线垂直，则它们的
夹角和直线到直线的角都为90°；如果两条直线中有
一条直线的斜率不存在，则可依题意作出图形，直接
有图形求出两条直线的夹角和直线到直线的角。
解：设直线l'的斜率为k 直线l的斜率为 2 3
tg45
k



2 3

1
k


2 3

解 得 ，k 1 5
直 线l'的 方 程 为y 1
1 ( x 1) 5
即x 5 y 6
0
6 2
y y

13 0 30

P(1，2)

直
线l
的
2
方
程
为y

2


27 14
(
x

1)
即27x 14 y 1 0
分析：直线l1和l2关于直线m对称
在
直
线l1上
取
一
点A（0，13 6
）
设A点关于直线m的对称点为A（' x0，y0）
由
y0

13 6