最短路问题(课堂PPT)
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最短路问题__迪杰斯特拉算法ppt课件
j
)}
min{
T
(v4
),
T
(v5
),
T
(v6
)}
T
(v4
)
T
(v5
)
5,
所以有， p(v4 ) 5, p(v5 ) 5
（6） T (v6 ) min[T (v6 ), P(v4 ) l46, P(v5 ) l56 ] min[, 5 4,5 2] 7
X={1,2,4}, p2=2
ppt课件
13
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
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6
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7
4
p6=3
8 8
min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, p6=3
ppt课件
P(v1) 0
T (vi ) (i 2,3,,6)
（2） T (v2 ) min[ T (v2 ), P(v1) l12 ] min[ , 0 3] 3
T (v3 ) min[ T (v3 ), P(v1 ) l13 ] min[ , 0 5] 5
最短路问题
ppt课件
1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数最小的通路。（注意：在有向图 中，通路——开的初等链中所有的弧应 是首尾相连的。）
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
择的边组成图为无圈图，②新选边是满足①的尽可能 小的权。
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
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3
2
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u8
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5
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6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
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u8
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5
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第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
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u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
数学建模最短路问题PPT课件
第19页/共54页
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
1
8
5
1
55
3
44
9
22
7
6 10
33
51 1 421 1 4 22 3 34 5 5 78 inf 196 5 3
第16页/共54页
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
0
7
9
W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
第27页/共54页
迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
u1
u2
０
0２
2
l(ui )
u3 u4
u5
１８
8
8
3
8
7
02 17
3
u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
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51 1 421 1 4 22 3 34 5 5 78 inf 196 5 3
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实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
0
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W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
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迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
u1
u2
０
0２
2
l(ui )
u3 u4
u5
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8
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u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
第三节 最短路问题PPT课件
定义: 给定一个赋权有向图，即给了一个有向图
G=（V，A，W） ，对每一个弧aij =(vi,vj)∈A ， 相应地有权w（aij ） =wij ∈V1 ，又给定 G中的 两个顶点vs ,vt 。设 P是G 中从vs 到 vt的一条路，
定义路 P的权是 P中所有弧的权之和，记为W(P)
。最短路问题就是要在所有从vs 到vt 的路中，求 一条权最小的路，即求一条从vs 到vt 的路P* ，
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
则resent= vk,
， 。 Sk Sk1 vk
Tk Tk1 vk
若k=n，则结束，否则转第二步。
6
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2 1
6 2
v5
2
v9
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
7
图上标号法:
v2 v1,6 1
v5
v1, ∞ 2
转步骤二。
29
用逐次逼近算法求从V1到V6的最短路
v2
5
4
v1
-3
5
7
v3
v6 v4 6
2
v5
30
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
运筹学课件(第十讲)—最短路问题
如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一点，那么从vs沿P到vi路也是 从vs到vi的最短路。
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
上课课题学习：最短路径问题PPT共18页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
上课课题学习：最短路径问 题
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷ห้องสมุดไป่ตู้中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
最短路应用问题课件 15页PPT文档
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
25
20 10
0
55
10
25
25 55
0
实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
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0
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10
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实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
运筹学 PPT课件 第五章 图与网络分析-最短路
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围
一种隐阶段的动态规划方法 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的 临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标 记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因此最多有
d
(0) 65
}
min{0 ,2 9,6 3, , 0, 1}
9 取自第3列
v1 v2 v3 v4 v5 v6
0 2 6
2
0
3
8
9
D(0) L 6 3 0 5 3
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 16
mkin{d1(k0)
d
} (0)
k6
（第1行+第6列）
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 15
mkin{d1(k0)
d
(0) k5
}
（第1行+第5列）
min{d1(10)
d (0) 15
,
d (0) 12
d (0) 25
,
d (0) 13
d (0) 35
,
d (0) 14
d
(0) 45
,
d (0) 15
d (0) 55
,
d (0) 16
min{d1(10)
d (0) 16
,
d (0) 12
d
(0) 26
,
d (0) 13
最短路算法上课ppt
优点
缺点
优点
优点
效率低，需要遍历所有点（特别是有时候不需要最优解）、运算中占用空间大
缺点
算法简明易懂、并且一定能得到最优解
优点
Dijkstra算法可能不是最优先使用的方法，因为算法的运算速度效率，往往要比精确度更加重要
实际运用
但似乎在实际运行时效果并不理想！ 这样利用Dijkstra算法设计一个属于我们自己的导航系统啦。
最佳优先搜索简介
这个算法的运算流程跟Dijkstra的流程类似，只不过它考察的是选取点到终点的距离，并且这个距离的权值是评估出来的，这也就是启发式的思想。举例说明，如果说目标的终点在北面，那么越靠近北面的点权值就越小，那么算法在搜索过程中，所加入点集的点就会倾向于北面，因此不用搜索全图东南西北，更多的是搜索北面的点，速度来说会优于Dijkstra算法很多。
01
A*算法能够解决有固定障碍物的路径规划问题，并且能很快地给出解，但是当障碍物是移动的时候，我们又应该如何对算法进行改从而给出解呢？
02
一个典型问题：AGV小车线路规划！
智能码头：AGV
AGV中文名：自动导引小车
是自动化码头水平运输系统中用于搬运集装箱的搬运设备。
其主要职责：就是在规定的时间窗口范围内完成堆场和岸桥之间实现集装箱的传送。
一
算法的描述上看去相当复杂，我们给出下面例子来具体说明整个算法的运行流程！
首先我们要有如下概念：
假设P：v→km是从顶点v到km的一条最短路径，那对这条路径上任意其他一点ki，都有 P上关于v→ ki的子路径为v到点ki的最短路径。
即最短路径的子路径仍然是最短路径，最短路算法本质上上基于这种思想展开的。
最短路问题及相关算法介绍
最短路径问题课件ppt
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
最短路问题(课堂PPT)
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(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
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(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
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(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
63 最短路问题PPT课件
第六章 图与网络分析
6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
1
6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度最短? 3
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
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Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
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最短路问题__D算法 ppt
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例一、
用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
v2 2
v4
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1
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v6
5 v3 4
2 v5
（4）T ( v 3 ) m T ( v 3 ) i ,P ( n v 2 ) l [ 2 ] 3 m 5 ,3 i1 ] n 4[
T ( v 4 ) m T ( v 4 ) , P i ( v 2 n ) l 2 ] [ 4 m , 3 i 2 ] n 5[ T ( v 5 ) m T ( v 5 ) i ,P ( n v 2 ) l 2 [ ] 5 m ,3 i 2 n ] 5 [
最短路问题
-
1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数最小的通路。（注意：在有向图 中，通路——开的初等链中所有的弧应 是首尾相连的。）
（2）应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
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二、最短路算法
1． D氏标号法（Dijkstra）；边权非负 2. 列表法（福德法）；有负权，无负回路
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p4=1
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p5=6
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p6=3
p7=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,2,4,5,6,7}, p5=6
-
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基本原理：最短路的子路也是最短路。
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8 V3
易知v1到v4的最短路径为v1->v2->v3->v4，最短距离10 则v1到v3的最短路径肯定为v1->v2->v3 同样v1到v2的最短路肯定为v1->v2
3
实例的Dijkstra算法求解步骤
(1)从起点v1出发，易知v1到v1的最短距离 L11=0，对v1标号0
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(7) 找出所有与v1,v2,v3,v4,v5,v6相邻的未标记的点v7， 求出从v1经过v5到这些点的距离(v1->v2->v6->v5->v7:13) 以及经过v6到这些点的距离(v1->v2->v6->v7:14)找出这些 距离中最短的路径为v1->v2->v6->v5->v7，最短距离为 L15=13，将v7标记为13。至此所有点都已标记，即求出 了v1到所有其他点的最短路径
v2
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f12
f13
f14
f24
f25
f26
f34
f35
f45
f46
f65
（1 经过(Vi,Vj）这条弧） fij （0 未经过(Vi,Vj）这条弧）
v7
f57 f67
12
目标函数：经过的距离最短
min z 5 f12 4 f13 ... 6 f67
约束条件：
从v1出去的边只能有一条： 到达v7的边只能有一条：
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(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
进出其他顶点的边数量相等：
0-1约束： fij 0或1
f12 f13 f14 1
0-（f57 f67） -1
f24 f25 f26 f12 0 f34 f35 f13 0 f45 f46 ( f14 f24 f34 ) 0
f57 ( f25 f35 f45 +f65 ) 0
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(6) 找出所有与v1,v2,v3,v4,v6相邻的未标记的点v5,v7，求出从v1经
过v2到这些点的距离(v1->v2->v5:10)以及经过v3到这些点的距离(v1>v3->v5:12)以及经过v4到这些点的距离(v1->v4->v5:13)以及经过v6 到这些点的距离(v1->v2->v6->v5:9;v1->v2->v6->v7:14)找出这些距离 中最短的路径为v1->v2->v6->v5，最短距离为L15=9，将v5标记为9
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v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(3)找出所有与v1,v3相邻的未标记的点v2,v4,v5，求出从
v1直接到这些点的距离(v1->v2:5;v1->v4:7)以及经过v3到 这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12;)找出这些距 离中最短路径为v1->v2，最短距离为L12=5，将v2标记为
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(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
从v1经过v2到这些点的距离(v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8) 以及经过v3到这些点的距离(v1->v3->v5:12)以及经过v4到 这些点的距离(v1->v4->v5:13;v1-v4-v6:11)找出这些距离 中最短的路径为v1->v2->v6，最短距离为L16=8，将v6标 记为8
f67 f65 ( f26 f46 ) 0
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求解结果
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最短距离：13km
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最短路问题的一般化数学模型
在赋权有向图D=(V,A)中，寻求从始点 vs 到终点 vt 的最短路问题，假设边 (vi,vj )的权重为ij。可以设决
fij f ji 1,i t
始点的流出量-流入量=1 其他点的流出量-流入量=0 终点的流出量-流入量1=5 -1
赋权无向图的最短路径问题
5
V1
V4 7 8
策变量为图中边 (vi,vj ) 是否经过 fij的0-1变量，此
时，最短路问题可转化为如下0-1整数规划问题。
P : min z
ij fij
(vi ,v j )A
fij 0或1, (vi , v j ) A
s.t.
fij f ji 1, i s fij f ji 0, i s, t
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Dijkstra算法练习
求如图所示的从v1到其他点的最短路径及路
长.
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v1
1 v2 3
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v5
3
v4
6
2 v3
2
v6
11
搬家公司最短路径问题的数学模型
决策变量：图中每条边最短路是否经过
顶点 v1 v2 v3 v4 v5 v6
最短路问题
1
最短路径问题的实例
搬家公司的最短路径安排
某搬家公司负责一户人家的搬家业务，从出发点V1到新居 V7之间的各段路径距离如下图所示（单位：km）。请问 搬家公司如何安排路径，使运输距离最短？
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赋权有向图
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求解算法--Dijkstra算法