【资料】高中数学必修五111正弦定理共3个课时汇编
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任意三角 a形 b中有 c sin A siB n siC n
变形：……
作用：实现边角关系的转化 注意：多结合三角形内角和定理、大边对大角
常用结论：① A 中 , s B A i s C n B i A n B a b
例题1：解三角形 知两角一边，求其他边和角
( 1 )A中 B ,已 a C 8 ,知 B 6 ,C 0 7 .5
(2)① a23,b2,A60 . 对角，求其他边和角
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150 a2
① B 3时 0,C 9, 0cb siC n 4 . siB n
② B 1 5 时 ,0 A B 1 8 ,舍 0 去
验证 内角和定理
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150
c
c
bc
在 R A t 中 CB， a 有 bc
siA nsiB nsiC n
C aB
Q:锐角或钝角三角形中是否也存在这种关系？
Q:如何证明你的猜想？ 作高，转化为在直角三角形中证明（化归）
证明：在锐角三角形中都有各边边长与所对角的正弦
值之比相等。
A
过 A作 ADBC
sinBAD,siC nAD
c
sinB sinC
正弦定理 在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。 任意三角 a形 b中有 c
sin A siB n siC n
变形：① siA na,siB nb,siA na
siB nbsiC ncsiC nc
② a sB ib s n A , i a s n C i c s n A , i b s n C i c s n B i ③ a :b :c sA i:n sB i:n sC in
解 : A 1 8 6 0 0 7 wk.baidu.com 5 4 .5 由正弦定理得,
basiB n8si6n0 46. siA n si4n5
求第三个角
si7n5 si4 n5 (30 ) 62 4
casiC n8si7 n54 34 sin A si4 n5
由正弦定理 求其它边
例题2：解三角形. 知两边及其中一边的
过 B作 BEAC
sinABE,sinCAD B c E sA i n a sC in
c
a
A
a c sinA sinC
E b
c
延 B长 并 CA 作 过 A D BC D B
a
C
R△ t AD中 C ,siC nAD ;R△ tAD 中 ,sB in B A D siB n
b
c
A D c sB i n b sC i, nb c
A 1 , B 2 C 3 0 , a : 0 b : c s A : i s B n : i s C n i3 : n 1 : 1
思考并尝试解答课本 P10 - B组第1、2题
1.1.1正弦定理 2
2018.9
2020/7/18
正弦定理 在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。
高中数学必修五111正弦定理共 3个课时
Q:三角形中知两个角和所夹边长，如何求其它边？
如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小 河一侧，如在B点所在一侧，选择点C，先测BC的长a， 再用经纬仪分别测出∠B，∠C的值，那么，根据a, B， C的值，能否算出AB的长。
A
B
a
C
经纬仪：测量水平角/竖直角的仪器
2
B 1 5 时 ,A 0B 1 8 ,不 0 ,符 舍合 去
② a2,b23,A30 . siB n 31B60或 120
B 6 时 0 ,C 9,0 c 4
2
B 1 2 时 ,C 0 3 ,c 0 2
③ a3,b2,A60 . siB n 1 B 90
B 9时 0 ,C 3,0 c 1
E b
c
b
A c D sB i n b sC in
b c sinB sinC
B
Da
C
过 B作 BEAC
sinABE,siC nBE, B c E sA i n a sC in
c
a
a c 锐角三角 a形 b中有 c
sinA sinC
sin A siB n siC n
证明：在钝角三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。
④a abc siA n siA nsiB nsiC n ac bc ab sinAsinC sinBsinC sinAsinB
练习1：求解下列各题
(1 )AB 中 ,若 C siA n co B ,则 sB 的值 ( )为
ab A .30B .45C .60D .90
sB i n cB o , s B 45
a2
a b , A B , B 3 .0
大边对大角
B 3时 0,C 9, 0cbsiC n 4 . siB n
例题2：解三角形. 知两边及其中一边的
(2)① a23,b2,A60 . 对角，求其他边和角
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150 a2
① B 3时 0,C 9, 0cb siC n 4 .
siB n ② B 1 5 时 ,0 A B 1 8 ,舍 0 去
验证
② a2,b23,A30 .
③ a3,b2,A60 .
④ a2,b43,A30 .
例题2：知两边和其中一边的对角解三角形.
① a23,b2,A60 . siB n11 B30或 150
B 3 时 0 ,C 9,0 c 4
(2)AB 中 ,若 CsiA nsiB n ,则 A 与 B 的大小 ( )关
A .AB B .AB C .AB D .不能确
siA nsiB n , ab, 大边, 对 AB .大角
(3 )A中 B ,A :B C :C 4 :1 :1 ,则 a :b :c ____
A .4 :1 :1B .2 :1 :1C .2 :1 :1D .3 :1 :1
基础概念
A
角A的对边：a 角B的对边：b 角C的对边：c
c
b
B
a
C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对 边a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 做解三角形。
3
Q:直角三角形中存在什么边和角的数量关系？
A sin A a sin B b sinC1 c
c
④ a2,b43,A30 . sinB 31B不存在
变形：……
作用：实现边角关系的转化 注意：多结合三角形内角和定理、大边对大角
常用结论：① A 中 , s B A i s C n B i A n B a b
例题1：解三角形 知两角一边，求其他边和角
( 1 )A中 B ,已 a C 8 ,知 B 6 ,C 0 7 .5
(2)① a23,b2,A60 . 对角，求其他边和角
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150 a2
① B 3时 0,C 9, 0cb siC n 4 . siB n
② B 1 5 时 ,0 A B 1 8 ,舍 0 去
验证 内角和定理
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150
c
c
bc
在 R A t 中 CB， a 有 bc
siA nsiB nsiC n
C aB
Q:锐角或钝角三角形中是否也存在这种关系？
Q:如何证明你的猜想？ 作高，转化为在直角三角形中证明（化归）
证明：在锐角三角形中都有各边边长与所对角的正弦
值之比相等。
A
过 A作 ADBC
sinBAD,siC nAD
c
sinB sinC
正弦定理 在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。 任意三角 a形 b中有 c
sin A siB n siC n
变形：① siA na,siB nb,siA na
siB nbsiC ncsiC nc
② a sB ib s n A , i a s n C i c s n A , i b s n C i c s n B i ③ a :b :c sA i:n sB i:n sC in
解 : A 1 8 6 0 0 7 wk.baidu.com 5 4 .5 由正弦定理得,
basiB n8si6n0 46. siA n si4n5
求第三个角
si7n5 si4 n5 (30 ) 62 4
casiC n8si7 n54 34 sin A si4 n5
由正弦定理 求其它边
例题2：解三角形. 知两边及其中一边的
过 B作 BEAC
sinABE,sinCAD B c E sA i n a sC in
c
a
A
a c sinA sinC
E b
c
延 B长 并 CA 作 过 A D BC D B
a
C
R△ t AD中 C ,siC nAD ;R△ tAD 中 ,sB in B A D siB n
b
c
A D c sB i n b sC i, nb c
A 1 , B 2 C 3 0 , a : 0 b : c s A : i s B n : i s C n i3 : n 1 : 1
思考并尝试解答课本 P10 - B组第1、2题
1.1.1正弦定理 2
2018.9
2020/7/18
正弦定理 在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。
高中数学必修五111正弦定理共 3个课时
Q:三角形中知两个角和所夹边长，如何求其它边？
如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小 河一侧，如在B点所在一侧，选择点C，先测BC的长a， 再用经纬仪分别测出∠B，∠C的值，那么，根据a, B， C的值，能否算出AB的长。
A
B
a
C
经纬仪：测量水平角/竖直角的仪器
2
B 1 5 时 ,A 0B 1 8 ,不 0 ,符 舍合 去
② a2,b23,A30 . siB n 31B60或 120
B 6 时 0 ,C 9,0 c 4
2
B 1 2 时 ,C 0 3 ,c 0 2
③ a3,b2,A60 . siB n 1 B 90
B 9时 0 ,C 3,0 c 1
E b
c
b
A c D sB i n b sC in
b c sinB sinC
B
Da
C
过 B作 BEAC
sinABE,siC nBE, B c E sA i n a sC in
c
a
a c 锐角三角 a形 b中有 c
sinA sinC
sin A siB n siC n
证明：在钝角三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。
④a abc siA n siA nsiB nsiC n ac bc ab sinAsinC sinBsinC sinAsinB
练习1：求解下列各题
(1 )AB 中 ,若 C siA n co B ,则 sB 的值 ( )为
ab A .30B .45C .60D .90
sB i n cB o , s B 45
a2
a b , A B , B 3 .0
大边对大角
B 3时 0,C 9, 0cbsiC n 4 . siB n
例题2：解三角形. 知两边及其中一边的
(2)① a23,b2,A60 . 对角，求其他边和角
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150 a2
① B 3时 0,C 9, 0cb siC n 4 .
siB n ② B 1 5 时 ,0 A B 1 8 ,舍 0 去
验证
② a2,b23,A30 .
③ a3,b2,A60 .
④ a2,b43,A30 .
例题2：知两边和其中一边的对角解三角形.
① a23,b2,A60 . siB n11 B30或 150
B 3 时 0 ,C 9,0 c 4
(2)AB 中 ,若 CsiA nsiB n ,则 A 与 B 的大小 ( )关
A .AB B .AB C .AB D .不能确
siA nsiB n , ab, 大边, 对 AB .大角
(3 )A中 B ,A :B C :C 4 :1 :1 ,则 a :b :c ____
A .4 :1 :1B .2 :1 :1C .2 :1 :1D .3 :1 :1
基础概念
A
角A的对边：a 角B的对边：b 角C的对边：c
c
b
B
a
C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对 边a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 做解三角形。
3
Q:直角三角形中存在什么边和角的数量关系？
A sin A a sin B b sinC1 c
c
④ a2,b43,A30 . sinB 31B不存在