麦克斯韦速率分布函数资料教程

迹
f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.

f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内，平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见，f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率，因而 f(t)－t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率－时间曲线。
考虑到这种情况，就 可以用 f(v) 类比 f(t). 既 然 f(v) 表示在速率 v 附 近的dv间隔内，平均每 单位速率间隔内的分子 数占总分子数的比率，
那我们同样也不应该问速率恰 好等于特定值 v 的分子数占总 分子数的比率是多少，因为此 时速率间隔等于零；如果非要 问速率恰好等于 v 的分子数占 总分子数的比率有多少，那就 只能说这样的比率等于零。
看来，把热学中的速率分 布函数与力学中的速率－时 间函数（即质点在运动中所 通过的路程对于时间的分布 函数）进行类比，确实有助 于正确理解和掌握速率分布 函数的概念，应该可以收到 良好的效果。
应该注意，类比推理是 一种或然性的推理方法， 通过类比推理所得到的结 论正确与否，当然还必须 经过实践的检验和证明。 没有经过检验和证明的类 比推理只是合理的猜想。
为了描述质点在运动过程 中所通过的路程对于时间的 分布情况的具体图像，则可 以取时间为横坐标值，画出 在t至 t＋t 间隔内质点运动 所通过的路程 S 的直方图 （条形统计图）。
条形的水平宽度为 t，条 形的面积为S，因此，条形 的竖直高度（纵坐标值）则 为 S/t，它就是质点在 t至 t＋t间隔内的平均速率。显 然，此高度与条形所在处时 间的取值有关，是t的函数。
f(v)表示在速率v 附近的dv间 隔内，平均每单位速率间隔内 的分子数占总分子数的比率。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(v)表示在速率v 附近的单位速 率间隔内的分子数占总分子数 的比率。
速率分布函数给出了气 体分子数对于速率取值的 分布情况的具体图像。
与上述情况类似，质点 在运动过程中的各个相同 的时间间隔内所通过的路 程往往并不相同。
为了更精确地描述气体分子
的速率分布情况，令v 0，
此时直方图的上沿由折线变为
光滑连续曲线，而 N/(Nv)
dN/(Ndv)，它当然仍是速率
v的函数，记为f(v)，即
f(v) = dN/(Ndv).
(1)
这就是分子数对于速 率的分布函数，或者称 为速率分布函数；(1)式 的图像就是速率分布曲 线。
exp[mv2/(2kT)]v2dv
=41/2vp-3 exp(v2/vp2)v2dv.
f(v)dv=41/2x2 exp(x2)dx =F(x)dx.
但要特别注意: F(x)=41/2x2exp(x2)
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了更精确地描述质点运
动的时间分布情况，令 t
0，此时直方图的上沿由折线
变为光滑连续曲线，而S/t
dS/dt，它当然仍是时间 t
的函数，记为f(t)，即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数，或者称为 时间分布函数； (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
前已指出，质点在t时 刻附近的t 间隔内运动 的平均速率为S/t，在 dt 间隔内运动的平均速 率（也就是t时刻的瞬时 速率）为dS/dt.
但是我们不应该问在 t 时 刻质点通过了多少路程，因 为质点只有在经历了一定的 时间间隔后才会通过一段路 程；如果非要问在 t 时刻质 点通过了多少路程，那只能 说它通过的路程等于零。
但是，在物理学的教学 中介绍早已被检验证明过 的科学知识时，直接使用 类比推理的方法却是好处 良多的。我们应该通过一 些实例来掌握这种行之有 效的逻辑推理方法。
四、随机事件 与概率
随机现象：有可 能出现多种结果的 现象。
随机事件：随机 现象的每一表现或 结果。
频率：某事件出 现次数对总次数的 比率。
通过以上的讨论可 以看出，热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率－时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
概率：某事件频 率在总次数趋于无 限大时的极限。
不可能事件 的概率为零。
必然事件的 概率为一。
概率加法定理： 互不相容（互斥） 事件出现的概率的 和等于出现其中任 一事件的概率。
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
麦克斯韦速 率分布函数
及其 约化形式
一、麦克斯韦 速率分布函数
f(v)=4[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2 =4-1/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
二、麦克斯韦 速率分布函数
的约化形式
令vp=(2kT/m)1/2， x=v/vp.
f(v)dv=41/2[m/(2kT)]3/2
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
条形的水平宽度为v， 条形的面积为 N/N，因 此，条形的竖直高度（纵 坐标值）则为N/(Nv). 显然，此高度与条形所在 处速率的取值有关，是 v 的函数。