八年级数学二次函数
八年级数学下册综合算式专项练习题二次函数计算
八年级数学下册综合算式专项练习题二次函数计算综合算式专项练习题：二次函数计算一、解二次方程1. 解方程 $3x^2+5x-2=0$。
解：根据二次方程的求解公式，我们有：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$将方程 $3x^2+5x-2=0$ 与上述公式进行比较，可以得出 $a=3$，$b=5$，$c=-2$。
代入公式，可以计算得出：$$x_1 = \frac{-5+\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-5+\sqrt{49}}{6} = \frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$$$$x_2 = \frac{-5-\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-5-\sqrt{49}}{6} = \frac{-5-7}{6}=-2$$所以，方程 $3x^2+5x-2=0$ 的解为 $x=\frac{1}{3}$ 和 $x=-2$。
2. 解方程 $2x^2-3x+1=0$。
解：同样，根据二次方程的求解公式，将方程 $2x^2-3x+1=0$ 与公式比较，可知 $a=2$，$b=-3$，$c=1$。
代入公式，可以计算得出：$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} =\frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$所以，方程 $2x^2-3x+1=0$ 的解为 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=1$。
二、求抛物线的顶点坐标3. 求抛物线 $y=2x^2-4x+3$ 的顶点坐标。
解：对于一般形式的二次函数 $y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标可以通过以下公式计算：$$x=-\frac{b}{2a}$$$$y=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$将抛物线 $y=2x^2-4x+3$ 与上述公式进行比较，可知 $a=2$，$b=-4$，$c=3$。
数学《二次函数》优秀教案精选
数学《二次函数》优秀教案精选一、教学内容本节课选自人教版初中数学教材八年级下册第十七章《二次函数》。
具体内容包括：二次函数的定义、图像及性质，以及二次函数在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握二次函数的定义，能熟练绘制二次函数的图像，了解二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，增强学生的合作意识和探究精神。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数图像的性质及其应用。
2. 教学重点：二次函数的定义、图像及性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中抛物线的实例，如拱桥、篮球投篮等，引出本节课的研究对象——二次函数。
2. 新课导入：讲解二次函数的定义，板书定义并解释相关术语。
3. 图像绘制：引导学生通过观察、分析、归纳，掌握二次函数图像的绘制方法。
5. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路，强调关键步骤。
6. 随堂练习：布置相关练习题，让学生当堂巩固所学知识，及时解答学生疑问。
7. 实践应用：设计实际问题，让学生运用二次函数知识解决问题，提高学生的应用能力。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像绘制方法3. 二次函数图像性质4. 例题及解题步骤5. 随堂练习题七、作业设计1. 作业题目：y = x^2，y = 2x^2，y = x^2某公园的拱桥形状为抛物线，桥的最高点距离水面6米，桥长20米，求桥的最低点距离水面的高度。
2. 答案：（1）略（2）最低点距离水面4米八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了二次函数的定义、图像及性质，但部分学生在绘制图像和解决实际问题时仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练。
2. 拓展延伸：引导学生探究二次函数与一次函数、反比例函数的关系，为学习高中阶段的导数知识打下基础。
八年级数学二次函数的解法与应用
八年级数学二次函数的解法与应用二次函数是一种常见的数学函数，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数具有许多重要的性质和特点，求解二次函数的解法和应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学中关于二次函数的解法和应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指二次多项式构成的函数，可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。
其中，a决定了函数的开口方向，正值代表开口向上，负值代表开口向下；b决定了函数的位置，正值表示向左平移，负值表示向右平移；c为函数在原点的纵截距。
二、二次函数的图像与性质二次函数的图像是抛物线，其性质如下：1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。
3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
4. 零点：即函数的解，即满足f(x)=0的x值。
若Δ=b^2-4ac>0，则有两个不相等的实根；若Δ=0，则有两个相等的实根；若Δ<0，则没有实根。
5. 最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
6. 判别式：Δ=b^2-4ac，可用于判断二次函数的解的情况。
三、二次函数的解法求解二次函数一般可以通过以下两种方法：1. 因式分解法：适用于二次函数可以因式分解的情况。
将二次函数表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的根。
通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到解。
2. 公式法：适用于二次函数无法因式分解的情况。
根据二次函数的标准形式，利用求根公式x=(-b±√Δ)/2a进行计算，其中Δ=b^2-4ac为判别式。
四、应用举例1. 题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-3)，且经过点(1,0)，求二次函数的解析式和另一个零点坐标。
八年级数学下二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点连线画图
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
…
先列表
x
…
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点画图.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
直线x=－1
思考：
1
2
抛物线 y ( x 1) 1
2
的对称轴、顶点、增减性?
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
-10
y ( x 1) 2 1
2
二次函数
2
y
(
x
1
)
1
y x
(2)抛物线
与
2
2
有什么关系?
y
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
2
直线 x= n-m
称轴_____________________。
1 2
5.若二次函数 y x 经过平移变换
2
后顶点坐标为(-2,3) ,则平移后的函数解
1
2
y ( x 2) 3
析式为_________。
2
6.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x 不动,
2
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结本文将对人教版八年级数学下册二次函数知识点进行总结。
主要内容如下：一、二次函数的定义和性质1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，a 称为二次函数的系数。
2. 基本性质：- 二次函数的图象为抛物线，开口方向由 a 的正负确定。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
- 当a ≠ 0 时，抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。
二、二次函数的图象1. 抛物线与对称轴：- 抛物线关于对称轴对称。
- 对称轴方程为 x = -b/2a。
2. 抛物线的顶点：- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
3. 抛物线的焦点与准线：- 抛物线的焦点为 (p, q)，其中 p = -b/2a 且 q = c - b^2/4a。
- 抛物线的准线为 y = q。
4. 抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的判别式和根的情况1. 判别式 D = b^2 - 4ac：- 若 D > 0，则二次函数有两个不相等的实根。
- 若 D = 0，则二次函数有两个相等的实根。
- 若 D < 0，则二次函数没有实根。
2. 根的情况：- 当 D > 0 时，二次函数的两个根分别为 x1 = (-b + √D) / (2a) 和x2 = (-b - √D) / (2a)。
- 当 D = 0 时，二次函数的解为 x = -b / (2a)。
- 当 D < 0 时，二次函数没有实根。
四、二次函数的应用1. 二次函数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，例如：- 抛射运动的轨迹方程。
- 成本函数、收入函数等的建模。
- 其他需要模拟抛物线等曲线的问题。
八年级数学二次函数知识点
八年级数学二次函数知识点二次函数是初中数学中比较重要的一章，主要研究形如y=ax²+bx+c（a≠ 0）这样的函数。
下面我们来了解一下八年级数学二次函数的知识点。
一、二次函数的图像二次函数的图像通常为一条抛物线，开口方向由二次函数的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的轴对称线二次函数的图像是对称的，称为轴对称。
轴对称线是图像上的一条直线，将图像分成两个完全相同的部分。
轴对称线的方程为x=-b/2a。
三、二次函数的零点二次函数与x轴的交点称为零点，也可称为根。
一般地，二次函数有两个零点，可用求根公式(-b±√(b²-4ac))/2a来计算。
若b²-4ac<0，则二次函数没有实数根，也就是没有与x轴相交的点。
四、二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a) = c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a) = c-b²/4a 。
此时的x=-b/2a称为二次函数的顶点。
五、二次函数的基本变形除了y=ax²+bx+c的二次函数外，还有一些变形，如y=a(x-h)²+k的标准式，y=a(x-p)(x-q)的因式分解式等。
需要根据题目的要求，进行不同形式之间的转化。
六、二次函数的应用二次函数在不同领域有广泛的应用，如物理学中的抛体运动，金融学中的股票指数走势预测等。
在运用中需合理选择二次函数的形式，适用于不同的实际问题。
通过学习八年级数学二次函数的知识点，我们可以更好地理解二次函数的概念，掌握求零点、最值等基本技能，为以后更深入的学习打下坚实的基础。
上海教育出版社八年级数学上册二次函数
间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
并求出自变量的取值范围？
解：S = a( -a) = a(30 －a)
自变量的取 值范围应符 合实际意义
= －a²+ 30 a 是二次函数关系式。 自变量的取值范围：0＜a＜30
有即唯：一的值与之对应，即 y 是③x 的函数．
函数y=6x2 , m 1 n2 1 n , y=20x2+40x+20 ,
22
有什么共同点?
一次项
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。
一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，
上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示.
这就是我们今天要学习的内容.
知识点1
推进新课
二次函数的概念
正方体的表面积y与棱长x的关系式 为 y=6x2 ，y是x的函数吗？ 是
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应 值，即y是x的函数，它们的函数关系式为 .
y=6x2①
我们再来看几个问题。
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行 一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什 么关系？
其中，y是x的一次函数有_(_1)_、__(_3)___
变
量
之 间 的
函 数
关
系
一次函数
概念 图象和性质
与相应方程的联系
实际问题
新课导入
广
场
喷
水
池
喷
八年级数学二次函数(201912)
y=6x2 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
1、y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做二次函数。
n
n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点
不相邻的各顶点，可作＿n＿-3＿＿条对角线。因此，n边
形的对角线总数 d =＿＿＿＿＿＿。
问题3：某果园有100棵橙子树，每一棵树平 均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以 提高产量，但是如果多种树，那么树之间的 距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根 据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就 会少结5个橙子。 （1）问题中有那些变量？
26.1二次函数
浙江临海中学 初三数学组
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
问题1； 正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积 为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿＿＿＿＿＿＿。
问题2： 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共 有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个 橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请 你写出y与x之间的关系式。
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；
老师下了"不上这堂课,只承接人类的想象、暗恋或敌视。球应声入网。还不满足吗？生活也是这样：两种心态，大师在两个地方，”然后有人出 妈妈说：“老天爷弄错了，
八年级数学二次函数练习题及答案
二次函数一、单选题1.下列函数中，属于二次函数的是（）A. y=x2−(x+4)(x+2)B. y=2(x+1)(x−3)C. y=ax2+bx+cD. y=x 4x22.二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.3.已知二次函数的图象的顶点是(1,−2)，且经过点(0,−5)，则二次函数的解析式是（）．A. y=−3(x+1)2−2B. y=3(x+1)2−2C. y=−3(x−1)2−2D. y=3(x−1)2−24.若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（）A. (－1，－2)B. (－1，2)C. (1，2)D. (2，1)5.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y3＜y2＜y1B. y2＜y3＜y1C. y1＜y3＜y2D. y1＜y2＜y36.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）A. 0或4B. √5或4−√5C. 1或5D. 无实根7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，且a+b+c=−12，a−b+c=−32．判断下列结论：① abc<0；② 2a+2b+c>0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2⩽x⩽3时，y最小=3a；⑤该抛物线与直线y=x−c有两个交点，其中正确结论的个数（）A. 2B. 3C. 4D. 58.二次函数y=−x2+2x+1,当−1≤x≤2时，下列说法正确的是（）A. 有最大值1，有最小值-2B. 有最大值2，有最小值-2C. 有最大值1，有最小值-1D. 有最大值2，有最小值19.如图，已知二次函数y1=(x+1)2−3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6题9图题10图10.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④ 23＜b＜1．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.抛物线y=2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A. （5，3）B. （﹣5，3）C. （5，﹣3）D. （﹣5，﹣3）12.函数y=−15x2−25x−515的最大值是（）A. −15 B. 515 C. −5 D. −51513.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（）A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x轴无交点C. 这个函数的最小值小于﹣6D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大14.如图，已知抛物线l：y= 12（x-2）2-2与x轴分别交于0、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果山抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A. y= 12（x-2）2+4 B. y=12（x-2）2+3 C. y=12（x-2）2+2 D. y=12（x-2）2+1题14图题15图15.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点E在点（－3，0）和（－2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（）A. −225≤a≤−316 B. −112≤a≤−325 C. −118≤a≤−225 D. −13≤a≤−118二、填空题16.二次函数y=2x2+5x−3与y轴的交点是，与x轴的交点是．17.如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=−13x2，当水面离桥顶的高度为253米时，水面的宽度为米.题17图题18图18.如图所示为抛物线y＝ax2＋2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为 .19.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是．20.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A(3，0)、B(﹣1，0)，则下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＞0，③8a+c＞0，④a+b＞n（an+b）（n≠1）．其中正确的有．三、解答题21.已知点(k,1)是二次函数y=3x2−2x图象上一点，求代数式(k−1)2+2(k+ 1)(k−1)+8的值．22.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是t=−2x+80，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．23.抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y 轴交于点A，点E为抛物线顶点．（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．答案部分一、单选题1.B2.D3.C4.A5. B6.B7.D8.B9.D 10.C11. A 12.C 13.C 14.C 15.D二、填空题16.(0,−3)；(12,0)或(−3,0) 17.1018.x 1＝1，x 2＝﹣3 19.0<ab <8116 20.②④三、解答题21.解：∵点 (k,1) 是二次函数 y =3x 2−2x 图象上一点，∴3k 2−2k =1 ，(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8=k 2−2k +1+2k 2−2+8=3k 2−2k +7=8 ．22.解：如图：由题意可得出：y=a （x+6）2+4，将（-12，0）代入得出，0=a （-12+6）2+4，解得： a =−19 ，∴选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是： y =−19(x +6)2+4 ．故答案为： y =−19(x +6)2+4 ．23. 解：（Ⅰ）∵抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）与x 轴交于点（x 1， 0）和（x 2 ，0），与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象上，∴ {1−b +c =0−9+3b +c =0 ，解得 {b =2c =3 ，∴y ＝﹣x 2＋2x ＋3＝﹣（x ﹣1）2＋4，∴点A 的坐标为（0，3），点E 的坐标为（1，4）；（Ⅱ）①∵y ＝﹣x 2＋bx ＋c ＝ −(x −b 2)2+b 2+4c 4 ，∴点E 的坐标为（ b 2 ， b 2+4c 4 ），∵顶点E 在直线y ＝x 上，∴ b 2 ＝ b 2+4c 4 ，∴c ＝ 2b−b 24 ；②由①知， c =2b−b 24=−14b 2+12b =−14(b −1)2+14 ，则点A 的坐标为（0， −14(b −1)2+14 ），∴当b ＝1时，此时点A 的位置最高，函数y ＝﹣x 2＋x ＋ 14 ，即在①的前提下，当点A 的位置最高时，抛物线的解析式是 y =−x 2+x +14 ； （Ⅲ）∵x 1＝﹣1，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 过点（x 1 ， 0），∴﹣1﹣b ＋c ＝0，∴c ＝1＋b ，∵点E 的坐标为（ b 2 ，b 2+4c 4 ），点A 的坐标为（0，c ）， ∴E （ b 2 ， (b+2)24 ），A （0，b ＋1），∴点E 关于x 轴的对称点E′（ b 2 ，﹣ (b+2)24 ），设过点A （0，b ＋1）、P （1，0）的直线解析式为y ＝kx ＋t ，{t =b +1k +t =0 ，得 {k =−b −1t =b +1， ∴直线AP 的解析式为y ＝（﹣b ﹣1）x ＋（b ＋1）＝﹣（b ＋1）x ＋（b ＋1）＝（b ＋1）（﹣x ＋1），∵当直线AP 过点E′时，PA ＋PE 值最小，∴﹣ (b+2)24 ＝（b ＋1）（﹣ b 2 ＋1）， 化简得：b 2﹣6b ﹣8＝0，解得：b 1＝ 3+√17 ，b 2＝ 3−√17∵b ＞0，∴b ＝ 3+√17 ，即b 的值是3＋ √17解析部分一、单选题1.B【解析】解：A. y=x2−(x+4)(x+2)=−6x−8，是一次函数，不合题意；B. y=2(x+1)(x−3)=2x2−4x−6，是二次函数，符合题意；C. y=ax2+bx+c，没有说明a≠0，不一定是二次函数，不合题意；D. y=x 4x2，等号右边不是整式，不是二次函数，不合题意．2.D【解析】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（−1，0），排除A、B；当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；3.C【解析】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．把点（0，-5）代入，得a（0-1）2﹣2=-5，解得a=-3．故该抛物线解析式是y=−3(x−1)2−2．4.A【解析】解：∵图象经过点（1，-2），∴a=-2，∴y=-2x2，AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.5. B【解析】解：抛物线的对称轴x=2，∵|-1-2|=3，|2-2|=0，|3-2|=1，∵0<1<3，∵a=1>0，∴离对称轴越远，值越大，∴y2＜y3＜y1 .6.B【解析】解：当y＝ax2+bx+c（a≠0），当x=0，y=c=0.37 ，∴y=ax 2+bx+0.37，∴y= ax 2+bx+1.37的图象是由y=ax 2+bx+0.37的图象向上移动一个单位得到的， ∴当x=√5时，y=0，∵对称轴x=0+42=2， 设另一根为m ，则m+√52=2 ， 解得m=4-√5 ，综上，方程的根为：√5 ， 4-√5.7.D【解析】解： ∵a +b +c =−12 ， a −b +c =−32 ， ∴ 两式相减得 b =12，两式相加得 c =−1−a ，∴c <0 ，∵a >0 ， b >0 ， c <0 ， ∴abc <0 ，故①正确；∴2a +2b +c =2a +2×12−1−a =a >0 ，故②正确；∵ 当 x =1 时，则 y =a +b +c =−12，当 x =−1 时，则有 y =a −b +c =−32 ，∴ 当 y =0 时，则方程 ax 2+bx +c =0 的两个根一个小于 −1 ，一个根大于1， ∴ 抛物线与 x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线 x =−b 2a =−14a<0 ， ∴ 当 2⩽x ⩽3 时， y 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =2 时，有最小值，即为 y =4a +2b +c =4a +1−1−a =3a ，故④正确；联立抛物线 y =ax 2+bx +c 及直线 y =x −c 可得： x −c =ax 2+bx +c ，整理得： ax 2−12x +2c =0 ， ∴ △ =14−8ac >0 ， ∴ 该抛物线与直线 y =x −c 有两个交点，故⑤正确； ∴ 正确的个数有5个；8.B【解析】解：y=-（x 2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，a=-1＜0，抛物线的开口向下，当x=1时y 最大值=2；当-1≤x ＜1时y 随x 的增大而增大，∴当x=-1时y 最小值=-4+2=-2；当1＜x≤2时y 随x 的增大而减小，∴当x=2时y最小值=-4+2=1；∵-2＜1，∴最小值为-2.9.D【解析】解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，连接MA、NB，则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，∵AB∥MN，AB=MN=2，∴四边形AMNB是平行四边形，∵二次函数y1=（x+1）2-3，∴该函数的顶点M的坐标为（-1，-3），∴点M到x轴的距离为3，∴四边形AMNB的面积是2×3=6，∴阴影部分的面积是6，10.C【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，∴a<0，c>0，−b2a=1，∴b=−2a>0，∴abc<0，故①符合题意；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），故②符合题意；∴{9a+3b+c=0⑤a−b+c=0⑥，∴⑤+⑥得10a+2b+2c=0，即5a+b+c=0，故③符合题意；∴−52b+b+c=0，即c=32b，∵与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间，∴1<c<2，∴1<32b<2，∴ 23<b <43，故④不符合题意， 11. A【解析】y=（x-5）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，3），12.C【解析】解：∵ y =−15x 2−25x −515=−15(x 2+2x)−515=−15(x +1)2−5 ， 即：函数 y =−15x 2−25x −515 可化为： y =−15(x +1)2−5 ∴当 x =−1 时，函数 y =−15x 2−25x −515的最大值是 −5 ， 13.C【解析】解：设y=ax 2+bx+c ，∴{a +b +c =−63a +9b +c =−4c =−4),解得{a =1b =−3c =−4) ，∴y=x 2-3x-4=(x-32)2-254， A 、∵a=1>0，∴图象的张口向上，错误；B 、∵△=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0，∴ 这个函数的图象与x 轴有两个交点，错误；-254<-6，正确； D 、当x>32时， y 的值随x 值的增大而增大，错误. 14.C【解析】解：如图，连接BC ，∵l 2是由抛物线l 1向上平移得到的，∴由抛物线l 1、l 2、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO 的面积， ∵抛物线l 1的解析式是y=12（x-2） 2-2， ∴抛物线l 1与x 轴分别交于O （0，0）、A （4，0）两点，∴OA=4，∴OA•AB=16，∴AB=4，∴l 2是由抛物线l 1向上平移4个单位得到的，∴l 2的解析式为y=12（x-2）2-2+4，即y=12（x-2）2+2． 15.D【解析】解： ∵ 顶点P 是矩形ABCD 上（包括边界和内部）的一个动点，∴ 当抛物线的顶点 P 与 D 点重合时，顶点坐标为 (1,3) ，则抛物线的解析式为 y =a(x −1)2+3∵ y =a(x −1)2+3 与 x 轴的交点E 在点（－3，0）和（－2，0）之间（包括这两点）， 根据图象可知，当 x =−3 时，函数值不大于0，当 x =−2 时，函数值不小于0，即 {a(−3−1)2+3≤0a(−2−1)2+3≥0解得 −13≤a ≤−316当抛物线的顶点 P 与 B 点重合时，顶点坐标为 (3,2) ，则抛物线的解析式为 y =a(x −3)2+2 ，同理可得，{a(−3−3)2+2≤0a(−2−3)2+2≥0解得 −225≤a ≤−118 ∵ P 可以在矩形内部∴ −13≤a ≤−118二、填空题16.(0,−3)；(12,0)或(−3,0) 【解析】解：令x =0, 则y =−3,所以抛物线与y 轴的交点为(0,−3),令y =0, 则2x 2+5x −3=0,∴(2x −1)(x +3)=0,∴2x −1=0或x +3=0,解得：x 1=12,x 2=−3, 所以抛物线与x 轴的交点坐标为：(12,0),(−3,0). 17.10【解析】解：根据题意，令y =−253， −253=−13x 2 解得：x =±5故水面的宽度为2×5=10米.答：水面的宽度为10米.18.x 1＝1，x 2＝﹣3【解析】解：抛物线的对称轴为：x ＝−2a 2a＝﹣1， 由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），∴一元二次方程ax 2＋2ax ﹣3＝0的两根为x 1＝1，x 2＝﹣3，19.0<ab <8116【解析】∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，∴此函数的开口向上，开口大小一定，∵抛物线与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），且0＜m ＜n ＜2，∴a ＞0，b ＞0，∴ab ＞0，∵（a−b ）2＝a 2＋b 2−2ab≥0（a ＝b 时取等号），即a 2＋b 2≥2ab （当a ＝b 时取等号），∴当a ＝b 时，ab 才有可能最大，∵二次函数过A （0，b ），B （3，a ）两点，∴当a ＝b 时，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x ＝ 32 ， ∵抛物线与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），且0＜m ＜n ＜2，∴抛物线的顶点越接近x 轴，ab 的值越大，即当抛物线与x 轴只有一个交点时，是ab 最大值的分界点，当抛物线与x 轴只有一个交点时，此时m ＝n ＝ 32， ∴抛物线的解析式为y ＝（x− 32 ）2＝x 2−3x ＋ 94，∴a＝b＝94，∴ab＜（94）2＝81 16，∴0＜ab＜8116，20.②④【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），∴对称轴为直线x＝−1+32＝1，∴﹣b2a＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①不符合题意；∵﹣b2a＝1，∴b+2a＝0，得b＝﹣2a，所以b﹣2a＝﹣2a﹣2a＝﹣4a，∵a＜0，∴﹣4a＞0，故②符合题意；∵点A（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∴c=−3a∵a＜0，8a+c=5a＜0，故③不符合题意；∵顶点的横坐标为1，∴当x＝1时，函数有最大值a+b+c，当n≠1时，a+b+c＞an2+bn+c，∴a+b＞an2+bn＝n（an+b），故④符合题意，综上所述，结论正确的是②④．三、解答题21.解：∵点(k,1)是二次函数y=3x2−2x图象上一点，∴3k2−2k=1，(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8=k 2−2k +1+2k 2−2+8=3k 2−2k +7=8 ．【解析】先将(k,1)代入二次函数y =3x 2−2x ， 可得3k 2−2k =1 ， 再利用整式的混合运算化简(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8可得3k 2−2k +7 ， 再将3k 2−2k =1代入计算即可。
八年级数学上册---二次函数抛物线公式汇总PPT课件
抛物பைடு நூலகம்公式大全
抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示 抛物线的方法。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出 抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数 图像。
抛物线方程公式
一般式：ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0） 交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） 其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐 标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根
抛物线标准方程
右开口抛物线：y^2=2px 左开口抛物线：y^2= -2px 上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0） 下开口抛物线：x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0） [p为焦准距（p>0）]
抛物线四种方程的异同
共同点： ①原点在抛物线上，离心率e均为1； ②对称轴为坐标轴； ③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们 与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
本课结束
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2； 对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y 轴）的正半轴上，方程的右端取正号； 开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴） 的负半轴上，方程的右端取负号。
八年级数学暑假辅导第八讲 二次函数
x =－ab 2 y x Ox =－ab2xyO图2图3第八讲 二次函数一、学习指引（1）形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫二次函数． （2） 二次函数的图像.一般地，平移二次函数y =ax 2的图象便可得到二次函数y =a （x - h ）2+k 的图象．（3）图象的性质.1.二次函数y =ax 2+bx +c = a （x ＋a b 2）2＋a b ac 442-的图象是以x =－a b 2为对称轴，以（－ab 2，a b ac 442-）为顶点的抛物线．2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，如图2，当a > 0时，其图象的开口向上，这时当x <－ab2时y 的值随x 的增大而减小；当x >－ab2时y 的值随x 的增大而增大；当x =－ab2时，y 有最小值a b ac 442-．如图3，当a < 0时，其图象的开口向下，这时当x <－ab2时y 的值随x 的增大而增大；当x >－ab2时y 的值随x 的增大而减小；当x=－ab2时，y 有最大值a b ac 442-．3.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的二次项系数a ——定形,│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小；a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴；c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点.（1）结合函数图象类比学习本讲内容 ．（2）掌握一般式y=ax 2+bx+c 、顶点式y=a(x-h)2+k 、交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)之间的互化．用待定系数发求解析式．（3）能数形结合进行一些简单的函数应用.二、典型例题例1.在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中（右图），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的读数y （N ）与铁块被提起的高度x （cm ）之间的函数关系的大致图像是（）y =ax 2上、下移y =ax 2+k左、右移y =a （x - h ）2y =a （x - h ）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移A . B. C . D.例２．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”).(l ）y=-2x 2 ( ) (2）y=x-x 2( )(3）y=2(x-1)2+3 ( ) (4）s=a(8-a) ( )例３．描点法画二次函数y=x 2与y=-x 2的图象，并简述其性质.例4．画出并说明二次函数y=x 2 与y=x 2 +1、y=x 2-2的图象及其平移关系.例5．猜想并说明二次函数y=x 2与y=（x +1）2、y=（x-1）2的图象及其平移关系.例6．说明二次函数y=x 2 与y=（x-1）2 +2的图象平移关系，及y=（x-1）2+2的对称轴、顶点坐标、最值、增减性.例7．（1）说明抛物线y=2x 2-5x+4的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性.（2）ｙ＝４ｘ２－８ｘ＋３呢？y=ax 2+bx+c 呢？例8．根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式： （1）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3；（2）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）； （3）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7）； （4）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）.例9．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）． A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 例10．（2009年某某市）例9已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x… 1- 0 1 3 … y…3-131…则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 例11．（二○○九年某某德城）如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B （3，0），则由图象可知，不等式c bx ax ++2＞0的解集是例12．（某某市2009年） 二次函数223y x =的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ 例13．（某某省2009年中考数学试卷）如图，已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A ．二次函数2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上． （1）求点A 与点C 的坐标；（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数2y ax bx =+的关系式．例14．（黔东南州2009年）某某市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部xy O 1 2 3 2 11- 1- 2-221y x x =--A例11租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.第八讲 二次函数同步练习活动基地班级某某【基础巩固】1.(2009某某)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 （ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x =2．（2009某某）二次函数2241y x x =-++的图象如何平移就褥到22y x =-的图( )A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位．B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位．D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位3．（2009某某）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（）4．（2007某某资阳）已知二次函数(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) .下列结论正确的是()A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大y xO y xO C ．y xO y xO D ．D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大5．（2009某某）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以 下结论：①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06．（2009某某）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示， 下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0， 其中正确结论的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个7．（2008年某某）已知二次函数2y ax bx c =++（其中a ＞0，b ＞0，c ＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．抛物线432-+=x x y 与y 轴的交点坐标是， 与x 轴的交点坐标是.9．（2009南州）二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________.10．（2009某某）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”） 11．（2009某某）函数y =(x －2)(3－x )取得最大值时，x =______． 12．（2008某某）已知关于x 的函数同时满足下列三个条件： ①函数的图象不经过第二象限； ②当2<x 时，对应的函数值0<y ； ③当2<x 时，函数值y 随x 的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）13．（2007某某市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1,-4)，且过点B(3,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．(第5题)（第6题）【能力拓展】14．（2007某某某某）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小为 .15．（08某某市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,①用m 的代数式表示点P的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若，不存在，请说明理由．16．（08某某）如图甲，在等腰直角三角形OAB 中，90OAB ∠=， B 点在第一象限，A 点坐标为(10)，．OCD △与OAB △关于y 轴对称． （1）求经过D O B ，，三点的抛物线的解析式；（2）若将OAB △向上平移(0)k k >个单位至O A B '''△（如图乙），则经过D O B '，，三点的抛物线的对称轴在y 轴的．（填“左侧”或“右侧”） （3）在（2）的条件下，设过D O B '，，三点的抛物线的对称轴为13m =？ 直线x m =．求当k 为何值时，17．（某某省某某市二○○九年）一开口向上的抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． （1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？yBOA P Mx2x =（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（2009年某某市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.第八讲 二次函数 （典型例题）例1．C例２．√√√√ 例３． 见课件 例4．见课件 例５．类比猜想 例６． 略 例７． 略 例８．（１）213222y x x =+-． （2） 1(1)(3)3y x x =-- （３）28(3)19y x =-- （４）23(1)2y x =+-．例９．B 例１０． D例１１．x ＜-1或x ＞3 例１２． 2008 例１３例１４．（1）x y +=1001x y 212=（2）)21100()100(x x y -•+= 即：y 11250)50(212+--=x因为提价前包房费总收入为100×100=10000。
八年级数学下二次函数的概念
求m的值。 m2 3m 2 2 解：由题意得
m 1 0
m 4或-1
m
-1
∴m=4
巩固新知
5.当m取何值时，y (m2 2m 3)x2 m 1 x m 4
满足：
（1）函数是二次函数 m≠3且m ≠ -1
（2）函数是一次函数 m=3
巩固新知
6.拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室
外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的
尺寸如图：
设一条边长为 x (m)，种植面积为 y (m2)。
1
则y与x的函数关系式是 1
1
y = (x-2) (60-x-4) 即y =-x2+58x-112
x
3
课堂小结
1.二次函数： y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)
2. 本节课你还有哪些收获？
化简得：
S=6a2
m 1 n2 1 n 22
y=x2+15x+54
思考：（1）是函数关系式吗？ （2）这些关系式有什么共同特征？
概念形成
一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0 )的函数叫做二次函数
ax²叫二次项，bx叫一次项，c叫常数项 a叫二次项系数，b叫一次项系数
先化一般形式 再判断
巩固新知
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(6) y x2 3
不是Leabharlann 1 (7) y x2不是
(8) y x(1 x)
是
(9) y ( x 1)2 x 2
不是
y＝x2-2x+1-x2
= -2x+1
巩固新知
八年级二次函数知识点讲解
八年级二次函数知识点讲解二次函数是数学中的一个重要知识点，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、地理、工程学等等。
在初中数学阶段，八年级正是学习二次函数的重要时期。
下面，我们来深入了解八年级二次函数的相关知识点。
一、概念二次函数是函数的一种类型，它的一般式为y = ax² + bx + c，其中a,b,c为实数，a ≠ 0。
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二、图像二次函数的图像是开口朝上或者朝下的抛物线。
如果a>0，则图像开口朝上，如果a<0，则开口朝下。
当a的绝对值越大，抛物线开口越宽。
三、顶点坐标二次函数的顶点坐标为(x,y)，其中x的坐标为-b/2a，y的坐标为f(x)。
如果a>0，则f(x)取最小值，即顶点的函数值最小。
如果a<0，则f(x)取最大值，即顶点的函数值最大。
四、零点二次函数的零点是它与x轴的交点。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可用公式：x = (-b±√(b²-4ac))/2a 求得。
其中，若b²-4ac>0，则解为两个实根，也就是函数与x轴交于两个点；若b²-4ac=0，则解为一个实根，也就是函数与x轴在一个点上相切；若b²-4ac<0，则解为两个虚根，也就是函数与x轴没有交点。
五、对称轴二次函数的对称轴是过顶点且与抛物线垂直的一条直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
六、关于直线的位置关系如果一条直线与二次函数有交点，则交点有且仅有一个、两个或者没有。
若二次函数与直线有且仅有一个交点，则该直线称为切线，交点为切点；若有两个交点，则该直线与二次函数相交；若没有交点，则该直线与二次函数平行或相离。
七、变形对二次函数的变形主要有平移、伸缩和翻折三种变形方式。
平移是指将抛物线整体上下或左右移动；伸缩是指将抛物线纵向或横向拉长或缩短；翻折是指将抛物线上下或左右翻折。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(教案)
2.教学难点
-理解并掌握二次函数图象的对称性，能运用对称性解决相关问题；
-掌握二次函数图象开口方向与系数a的关系，以及顶点坐标与h的关系；
4.通过实例分析，探究二次函数图象与系数a、h的关系。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述二次函数y＝a(x－h)2图象与性质的能力，强化数学表达与交流的核心素养；
2.培养学生通过观察、分析、归纳等方法，探究二次函数图象与系数的关系，提升逻辑推理与数据直观感知的核心素养；
3.培养学生运用二次函数知识解决实际问题的能力，增强数学建模与数学应用的核心素养；
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用抛球来演示二次函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-引导学生从实际情境中抽象出二次函数模型，通过解决具体问题，加深对二次函数增减性、最值等概念的理解；
-适时提供反馈，针对学生的错误或疑问进行针对性讲解，帮助学生巩固知识点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛掷或反弹的情况？”（如抛球、跳绳等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
北师大版八年级数学上册 第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
八年级二次函数的知识点
八年级二次函数的知识点二次函数是初中数学中十分重要的内容之一，它将直线与曲线融合在一起，形成了一种特殊的函数类型。
在学习了初一、初二的函数知识后，学生们逐渐进入到了初中数学的高峰——二次函数的学习中。
本文将从图像、性质、拐点、零点和应用五个方面分别介绍八年级二次函数的知识点。
一、图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其标准式为y=ax²+b。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，则开口向下。
二、性质1、对称性二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
证明如下：设顶点坐标为（h, k），则由二次函数的标准式可得y=a(x-h)²+k。
当x=h±t时，上式中的x分别为h+t和h-t，代入后可得：y-k=a(h+t-h)²=y-k=a(t)²y-k=a(h-t-h)²=y-k=a(-t)²从中可以看出，当t取任意实数时，y-k的值是相等的，因此对于任意的x，都有（x, y）和（2h-x, y）对称。
由此可以得知，二次函数的图像关于直线x=-h对称。
由于二次函数的h坐标为-b/2a，因此可以得知其对称轴方程为x=-b/2a。
2、正负性若a>0，则二次函数是一个上凸的图像，其最低点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
若a<0，则二次函数是一个下凸的图像，其最高点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
其中，△为一元二次方程中的判别式，△=b²-4ac。
三、拐点二次函数的拐点位于抛物线的顶点处，当二次函数极值不存在时，拐点即为最值点。
拐点处，二次函数的导数为0。
证明如下：对y=ax²+b求导可得y'=2ax，令y’=0，可得x=0。
则当a<0时二次函数开口朝下，有极大值；当a>0时，二次函数开口向上，有极小值。
四、零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点处的横坐标。
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[单选]产褥期妇女的临床表现恰当的是（）.A.产后宫缩痛多见于初产妇B.产后初期产妇脉搏增快C.产后第1日宫底稍下降D.子宫复旧因哺乳而加速E.恶露通常持续1～2周 [单选,A2型题,A1/A2型题]石棉引起的法定职业肿瘤为（）A.白血病B.直肠癌C.肺癌D.间皮瘤E.肺癌、间皮瘤 [单选]银屑病的有关叙述，正确的是（）A.可致脱发B.不易复发C.临床上无瘙痒症状发生D.有同形反应E.病理改变无角化不全 [单选]锁骨骨折可发生的合并损伤是（）A.颈2、3神经根损伤B.胸锁乳突肌损伤C.副神经损伤D.膈神经损伤E.臂丛神经损伤 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于固定阳极X线管阳极的结构组成下列正确的是（）A.阳极头、阳极柄、阳极帽B.靶面、阳极柄、阳极帽C.阳极头、转子、阳极帽D.靶面、转子、阳极帽E.靶面、钼杆、阳极帽 [单选,A1型题]微血栓的主要成分是（）。A.血小板B.纤维素C.白细胞D.红细胞E.血小板和白细胞 [单选]用以计算某项经济活动中所费与所得的比例，反映投入与产出关系的比率是()。A.绝对数比较分析B.构成比率C.相关比率D.效率比率 [单选]下列各项不属于处理农村土地承包纠纷原则的是（）。A.依法调处B.维护农民土地承包权益C.保证农业正常生产D.以司法解决方式为主 [单选]涡轮喷气式或涡轮螺旋桨式发动机的最的限制因素是（）.A.限制压缩机速度B.限制排气温度C.限制扭矩 [多选]申请办理国内高校（培养单位）学位证书认证需提供哪些基础材料？（）A.国内学位证书原件及复印件B.身份证原件C.学籍学位有关补充材料D.招生底册 [问答题,简答题]优质护理服务的内涵是什么？ [单选,A2型题,A1/A2型题]对银屑病的描述下列哪项正确（）A.有自限性B.表皮主要呈局限性角化不全.C.有Auspitz征D.有传染性E.很少复发 [单选]在慢性胃炎中，慢性胃体炎的主要病因是（）A.幽门螺杆菌感染B.免疫因素C.理化因素D.十二指肠液反流E.慢性右心衰竭 [单选]基底胶结的渗透率（）。A、没有B、很低C、中等D、很高 [单选]某票据的出票日期为“2011年3月15日”，其规范写法是()。A.贰零壹壹年零叁月壹拾伍日B.贰零壹壹年叁月壹拾伍日C.贰零壹壹年零叁月拾伍日D.贰零壹壹年叁月拾伍日 [单选]急性肾功能衰竭多尿期后最可能出现的是下列哪项（）。A.低钾血症B.脱水C.血尿素氮及肌酐即可降至正常D.继发感染E.血尿素氮及肌酐升高 [判断题]当浮选机某段充气量不足时，整机会表现为泡沫层发死现象。A.正确B.错误 [单选]保存蜡封接穗的适宜温度是（）A、—5～10℃B、0～5℃C、5～10℃D、10～15℃ [填空题]中共第一次全国代表大会召开的地点是（） [单选,A2型题,A1/A2型题]Graves病患者服甲巯咪唑后症状明显减轻，甲状腺明显增大，突眼加重，最可能是由于（）A.对抗甲状腺药物耐药B.无机碘供给不足C.合并甲状腺炎或甲状腺腺瘤D.甲状腺激素反馈抑制减弱E.血中TRAb明显减少 [单选]按餐位计算厨房面积，每一个餐位所需厨房面积约为（）A、0.5~0.7平方米B、0.4~0.6平方米C、0.6~0.8平方米D、0.7~0.9平方米 [单选]医疗机构对发现的甲类传染病应采取相应的防控措施，下列各项中错误的提法是（）A.对病人、病原携带者，予以隔离治疗，隔离期限根据医学检查结果确定B.对疑似病人，确诊前在指定场所单独隔离治疗C.对医疗机构内的病人、病原携带者、疑似病人的密切接触者，在指定场所进行医学 [单选]下列药物与麻醉并发症的关系组合，不正确的是（）A.单胺氧化酶抑制剂并用哌替啶可致呼吸抑制、高热、昏迷、惊厥、低血压甚至死亡B.左旋多巴并用氟哌利多可致锥体外系症状C.奎尼丁可拮抗肌肉松弛剂的作用D.青光眼病人用二乙氧磷酰胆碱可延长琥珀酰胆碱的作用E.氯胺酮并用苯二 [单选]关于对以偷拍、偷录、窃听等手段获取侵害他人合法权益的证据材料的相关表述正确的是（）。A.可以作为定案的依据，但证明力相对较弱B.不能作为定案的依据C.可以有选择的作为定案的依据D.可以作为定案的依据 [单选]为明确骨肿瘤的诊断，下列最有价值的检查是（）A.X线检查B.MRIC.核素骨显像D.碱性磷酸酶测定E.组织病理检查 [单选]因重大误解和显失公平等原因引起的无效是()。A.绝对无效B.相对无效C.法定无效D.约定无效 [判断题]社会、知识和儿童是制约学校课程的三大因素。A.正确B.错误 [单选]下列各种方法中最常用来普查筛检宫颈癌的是（）A.子宫颈刮片细胞学检查B.碘试验C.宫颈锥切术D.阴道镜检查E.宫颈和宫颈管活组织检查 [单选]氨合成催化剂还原是（）过程。A.吸热反应B.放热反应C.不吸热也不放热 [单选]对人员密集场所实施消防监督检查时，首要应检查的内容是（）。（易）A、消火栓系统B、手提式灭火器C、自动消防设施D、安全疏散系统 [单选]角膜移植排斥反应的最主要机制是（）A.Ⅰ型超敏反应B.Ⅱ型超敏反应C.Ⅲ型超敏反应D.Ⅳ型超敏反应E.Ⅴ型超敏反应 [问答题,案例分析题]某建设项目建设期为2年，生产期为8年。建设项目建设投资（含工程费、其他费用、预备费用）3100万元，预计全部形成固定资产。固定资产折旧年限为8年，按平均年限法计算折旧，残值率为5％，在生产期末回收固定资产残值。建设期第1年投入建设资金的60％，第2年投 [单选,A1型题]《希波克拉底誓言》的内容不涵盖以下哪一点（）A.为病家保密B.强调医生的品德修养C.尊重同道D.要有好的仪表和作用E.为病家谋利益 [单选]选用压力表量程最好为工作压力的（）倍。A、1B、2C、4D、5 [单选]下列纳税人申请变更纳税定额的核准程序符合《服务规范》2.0版基本规范的的是（）。A、办税服务厅制作《核定（调整）定额通知书》交纳税人。B、本事项在15个工作日内办理。C、办税服务厅收到反馈后1个工作日通知纳税人领取办理结果。D、根据纳税人报送的资料，制作相关表单脚 [单选]冬天走进橙色的房间里有一种温暖的感觉，这是（）现象。A．感觉适应B．感觉对比C．联觉D．视觉 [单选]《2007版标准文件》规定，监理人应在收到承包人竣工结算申请后（）天内完成核查。A.7B.14C.21D.28 [单选]巨噬细胞溶酶体酶的测定采用的方法不包括（）A.硝酸铅法B.偶氮法C.溶菌酶测定D.NBT还原法E.α－萘醋酸法 [名词解释]信息管理科学 [判断题]凡人民币票面被揭去一面的损伤，应按票面半额进行兑付。A.正确B.错误