2018年八年级数学下册 64 多边形的内角和与外角和 新版北师大版
北师大版八年级数学下册6.多边形的内角和与外角和课件
A．270°
B．560° C．1 800° D．1 900°
3.八边形的七个内角都为150°，则第八个内角=____3_0_°__
4.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个 三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是多少？21·
七边形，内角和为900°
合作探究
1.正三角形（等边三角形）的内角和等于多少度？ 每个内角等于多少度？你是怎么计算的？ 2.正四边形（正方形）的内角和等于多少度？每个内 角等于多少度？你是怎么计算的？
解：不正确. 设该正多边形的边数为n，如果结果正确，则 145°n=180°(n-2) 解得n= 12
7
6.有两个多边形，边数之比为3﹕4，内角和之比 为1﹕2，求这两个多边形的边数.
3，4
7.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成 80°的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得 ∠BAE=122°，∠DCF=155°．如果你是质检员，如何 知道模板是否合格？为什么？
拓展延伸
截去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个 角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片
还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？ 与同伴交流.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片
还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？ 与同伴交流.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还
3.正五边形、正六边形、正八边形呢···正n边形呢？
知识讲授 正n边形的每个内角度数为： (n 2) 180
n
随堂训练
1.正八边形的每个内角都是( D )
A．60° B．80° C．100° D．135°
2.一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( C )
多边形的内角和与外角和-北师大版八年级数学下册课件
正多边形
特点：它们的边（ 都相等 ） 它们的内角（ 都相等 ）
定义：在平面内，内角都相等，边都相等的多边形 叫正多边形
课堂小结
1.多边形的外角及外角和的定义； 2.n边形的内角和为（n-2）×1800
3.多边形的外角和等于360°，与边数无关；
4.在探求过程中我们使用了视察、归纳的数学方法， 并且运用了类比、转化等数学思想。
360° n
正多边形的一个内角=180°-
360° n
360
360
°
°
360
360
°
°
新知归纳
多边形的内角和：所有内角的和。 n边形的内角和为（n-2）×1800
例 求十五边形内角和的度数。 解: （n-2）×1800
=（15-2)×1800 = 23400 答：十五边形的内角和是23400
例：已知一个多边形的内角和是1440O，求这个多边 形的边数。
4.若正多边形的内角和是 540°,则该正多边 形的一个外角为（ C ）
A.45° B.60° C.72° D.90°
怎样利用多边形的外角和计算正多边形的一 个外（外）角的度数？
正多边形的一个外角=
360° n
正多边形的一个内角=180°- 36n0°
定理 多边形的外角和都等于360°.
正多边形的一个外角=
第六章 平行四边形
6.4.2 多边形的内角和与外角和
多边形
在在在平在平平面平面面内面内内，内，，由，由由四由若五条三干条不条不不在不在在同在同同一同一一直一直直线直线线上线上上的上的的线的线线段线段段首段首首尾首尾尾顺尾顺顺次顺次次连次连 接接连连组组接接成成组组的的成成封封的封闭闭封闭图图闭图形形图形叫叫形叫做做叫做多四做三边边五角形形边形。。形。。
多边形的内角和与外角和课件北师大版数学八年级下册
4 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形
的对角线的条数是( )
A．12
B．13
C．14
D．15
5 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分 ∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
谢谢大家！
多边形的外角和等于360°
随堂训练
1 五边形的外角和等于( A．180° C．540°
) B．360° D．720°
2 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边
形是( )
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
3 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的
边数为( )
∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°， ∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°，
想一 想 如果广场的形状是四边形、三角形，那么结果会怎样?
1 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做 这个多边形的外角. 2 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这 个多边形的外角和.
第六章 平行四边形
6.4 多边形的内角和与外角和
1 情景导入
三角形的内角和是多少？
在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的
封闭图形叫做多边形.
边
. 对角线
内角
.
.
顶点
.
外角
.
2 课堂活动 知识点一 多边形的内角和 某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它 的五个内角的和吗？
再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第
一次回到出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ地A点时，他一共走了_1__2_0__m__．
数学北师大版八(下)6.4 多边形的内角和与外角和
6.4 多边形的内角和与外角和班级：姓名：〖学习目标〗1.掌握多边形内角和公式.2.了解多边形外角定义，并能准确找出多边形的外角.3.掌握多边形的外角和定理，利用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.〖重点难点〗重点：多边形内角和定理；多边形外角的含义；多边形外角和定理.难点：探索多边形内角和及外角和定理的过程；利用多边形内角和、外角和定理解决实际问题. 〖导学流程〗浅层加工一、复习回顾三角形的内角和等于___________，外角和等于____________.深度建构一、问题探究【探究活动一】多边形的内角和思考：我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？多边形内角和：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_________条对角线，它们将n边形分为_________个三角形，n边形的内角和等于_______________.例1. 在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数是________例2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D有怎样的关系? 学海拾贝直角坐标系中，总结纠错编号：初二—20200901 编制：审核：上课时间：即学即练1. 内角和为540°的多边形是()2. 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，这两个多边形的内角和之和不可能是() A．360°B．540°C．720°D．900°3. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是__________.4. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边形对角线的条数是________.5. 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1620°，原来多边形的边数是() A．10B．11C．12D．以上都有可能6. 若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是________．7. 如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．想一想：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？一般地，正n边形的每个内角的度数为______________.例3. 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.即学即练1. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是________.2. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是_________.【探究活动二】多边形的外角和如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？想一想：如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的_________，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．多边形外角和定理：多边形的外角和等于___________．例4. 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．即学即练1. 五边形的外角和等于__________.2. 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是()A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形3. 如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是________.4. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的大小关系是()A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．b＝a＋180°5. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________．多边形的内(外)角和与边数间的关系：（1）多边形的内角和与边数_______，且随着边数的增加而________．（2）多边形的外角和恒等于________，与边数的多少________.例5. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？即学即练1. 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为_______.2. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形3. 如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是_______.4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是_______. 【融合应用】1. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为_________.2. 一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后原地逆时针方向旋转角α（0°＜α＜180°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为___________.3. 动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有什么关系？已知：如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图3）呢？请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：_____________________________________.。
北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和教学课件.ppt
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°.
条．
例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数．
解：由题意得 ∠A ∠AED 5 2 180°=108°，
5 AB=AE,所以∠AEB= 1 (180°-∠A)=36°，
2 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
当堂练习
1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形 的每一个内角等于_1_2_0_°__．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
(n 2) 180 n
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
北师大版八年级数学下册第六章6.4.2多边形的内角和与外角和(2)课件(共16张PPT)
∵ ∠6+ ∠7+ ∠8+ ∠9+ ∠10 =540°
叫做这个多边形的外角；
∠2+ ∠6=180°，
解：∵ ∠1+ ∠6=180°， ∠2+ ∠7=180°， ∠3+ ∠8=180°， ∠4+ ∠9=180°，
∠5+ ∠10=180° ∴ ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4+ ∠5+ ∠6+ ∠7+ ∠8+ ∠9+ ∠10=180°
∠ADC，BE和DF平行吗？说明你的理由． 解：BE∥DF，理由如下：
A E
D
四边形ABCD中，∠A=∠C=90°， ∴∠ADC+∠ABC=180°，
B
F
C
∵BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC 交CB于F， ∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE+∠ADF=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠ADF=∠AEB， ∴BE∥DF．
它们的和叫做这个边形的外角和
四边形的外角和是360°
解：∵ ∠1+ ∠6=180°，
四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
3.正多边形的每一个外角都 相等 ∵ ∠6+ ∠7+ ∠8+ ∠9+ ∠10 =540°
。
4.运用多边形的内角和，来研究多边形的外角和。
解：∵ =180°×5=900° ∠1+ ∠5=180°，
∵BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交CB于F，
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角 ∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，
北师大初中数学八下《64多边形的内角和与外角和》word教案(2)
《多边形的内角和与外角和》第1课时教学目标（一）教学知识点：1．理解多边形及正多边形的定义．2．掌握多边形的内角和公式．（二）能力训练要求1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．（三）情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系．教学重难点教学重点：多边形的内角和．教学难点：探索多边形的内角和公式过程．教学过程：一．巧设情景问题，引入课题：提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）二．讲授新课1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2）），图（1）的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．如图（3）多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA．好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题．（学生讨论、画图、归纳自己的方法）在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法．请同学们完成课本的“想一想”．（学生画图，归纳，猜想）（必须是大于3的自然数．）1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形．2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．下面大家想一想，议一议：分析：1．如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等．2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等．因此，正三角形的内角是：︒=︒⋅-603180)23(；正五边形的内角是：________________；正六边形的内角是：________________；正八边形的内角是：________________．三．知识运用：1．一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为________________．四．课堂练习课本“随堂练习”如下图．（1）作多边形所有过顶点A 的对角线，并分别用字母表示出来．（2）求这个多边形的内角和．解：（1）如下图：过顶点A 的对角线是AC 、AD 、AE ．（2）从（1）图中可知：这个六边形被过顶点A 的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°．也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：（6－2）×180°=720°．五．课时小结本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式．第2课时教学目标（一）教学知识点1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．（二）能力训练要求1．经历探索多边形的外角和公式的过程．进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．（三）情感与价值观要求1．经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；2．通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系．教学重难点教学重点：多边形的外角和公式及其应用．教学难点：多边形的外角和公式的应用．教学过程一．巧设情景问题，引入课题清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步．（请同学们探讨解决，教师总结）下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和．）我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和．二．讲授新课在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角．刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：（学生讨论，得出结论）（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°．）性质：多边形的外角和都等于360°．（请学生思考后回答）三．知识应用分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用．根据题意，可列方程解答．（让学生动手解答）解得：n =8这个多边形是八边形．四．课堂练习（一）随堂练习解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是： 360°÷60°=6解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x °， 则由题图得：3x =360°．x =120°．再根据多边形的内角和公式得：n ×120°=（n －2）×180°．解得n =6．（二）试一试解：不存在，理由是：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是： 51×α=180°－α，解得α=150°． 这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角．理由是：设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°．α+β+γ+δ＞360°．同理最多能有三个小于90°．五．课时小结本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便．。
新北师大版数学八年级下册《多边形的内角和与外角和》教学课件
多边形的内角和与外角和
学习目标
1.经历探索多边形内角和与外角和的过程，掌握多边形内 角和公式与外角和公式. 2.灵活运用公式进行内角和与外角和的计算。
探究新知
探索多边形内角和
四边形的内角和为 2×180°=360°
五边形的内角和为 3×180°=540°
探索多边形内角和
六边形的内角和为 4×180°=720°
感谢各位聆听
=360 °
C
n边形的外角和等于360 °
A
F
E D
巩固练习
课本 随堂练习 和 习题6.7、6.8
多边形 内角和 与外角和
小结
“n边形”内 角和公式
正n边形每个内 角度数
(n－2) ·180°
(n 2) 180 n
外角和：多边形的外角和等于360°
作业
课堂作业：A,B组 ：习题6.7第1题， 习题6.8第1题 。预习作
业：第6章 思维导图
课堂总结
本节课我们主要学习了哪些 内容？你有什么收获？大胆地说 说自己的体会、感受或想法。
教师寄语
我们一生中要认识许多人，组建许多 集体，在集体生活中，我们要学会理解和 宽容，关爱和担当，才能被赋予更大的责 任，从而拥有更多发展的机会，更好的参 与社会、国家的建设，让我们与集体共同 成长！
n 边 形
n边形的内角和为 （n-2）×180°
多边形内角和定理：
n边形的内角和等于（n-2）·180°
探索正பைடு நூலகம்边形每个内角度数
观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
正n边形的每个内角度数为： (n 2) 180 n
探索多边形外角和
五边形的外角和：如图 ∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5 的和，就是多边形的外 角和。
北师大版八年级数学下册 6.4 多边形的内角和与外角和(一)课件(共16张PPT)
6.4 多边形的内角和与外角和(一)
创设情境
6.4 多边形的内角和与外角和（一） 当你看到这个题目时你有什么问
题要问？
情景引入
1．三角形是如何定义的？
2．类比三角形定义，你能试着给四边形、五 边形…… n边形（多边形）下定义吗？
关键词：在同一平面内 边
顶点
首尾顺次连接
内角
封闭图形
从多边形顶点分割成三角形
观察与思考
0
1
180°
1
2
2 × 180°
2
3
3 × 180°
3
4
4 × 180°
(n-3)
(n-2)
(n-2) × 180°
得出结论
1.从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线； 2.从多边形的一个顶点可以把n 边形分成(n-2) 个
三角形； 3. n 边形的内角和是(n-2) ·180°。 思考： n 边形总共有多少条对角线？
正三角形、正四边形（正方形）、正五
60°
90°
108°
边形、正六边形、正八边形的每一个内角分
120°
135°
别是多少度？
一分耕耘,一分收!
同学们,你已出色的完成了今 天的学习任务, 能谈谈你的收获吗!
(学到了哪些知识？) (学到了哪些方法？) (还有哪些体会？)
作业： 1．必做题：设计一个实验(如剪纸、
实验探究
1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？ 2．四边形的内角和是多少度？你又是怎样得出的？
① 、度量 ； 不精确 ② 、拼角； 操作不方便 ③ 、将四边形转化成三角形求内角和。
实验探究
1．如何把多边形分割成三角形？有哪些分法？ 从多边形内部取一点分割成三角形； 从多边形顶点分割成三角形； 从多边形的边上取一点分割成三角形；
多边形的内角和与外角和 第一课时-八年级数学下册课件(北师大版)
A．27
B．35
C．44
D．54
2 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，
则原来多边形的边数是( D )
A．10
B．11
C．12
D．以上都有可能
3 已知n 边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ 能取360°，而乙同学说，θ 也能取630°.甲、 乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由； (2)若n 边形变为(n＋x )边形，发现内角和增加了360°，用列 方程的方法确定x.
n 边形内角和等于(n－2)×180°求解．
例2 如图，在四边形ABCD 中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D 有怎
样的关系？
解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D ＝360°－(∠A＋∠C )
＝360°－180° ＝180°.
总结
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
7
2 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数
是( B )
A．6
B．12
C．16
D．18
3 若一个正n 边形的每个内角为144°，则这个正n 边形的
所有对角线的条数是( C )
A．7
B．10
C．35
D．70
1 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边
形对角线的条数是( C )
解：(1)甲对，乙不对．
∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.解得n＝4.
∵θ＝630°，
∴(n－2)×180°＝630°，解得n＝
11 2
.
∵n 为整数，∴θ 不能取630°.
北师大版八年级数学下册第六章《6.4. 多边形的内角和与外角和》优课件(共13张PPT)
(2)找一找
从同一个顶点引对角线，五边形、六边形分别
可以分成多少个三角形？n边形呢？
实物图
多边形
三角形 内角和
内角和定理 n边形的内角和等于180° (n-2)
（3）想一想
你能求出下列正多边形的每个内角吗？
图形
…
正多边形 内角和 每个内角
正三角形 180° 60° 正四边形 360° 90° 正五边形 540° 108° 正六边形 720° 120°
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3、如图所示，分别在三角形、四边形的广场各角修建半 径为R m的扇形草坪(阴影部分)。
图1
图2
（1）图1中的草坪的面积为__0_.的草坪的面积为__兀_R_2_㎡_.
谈谈你本节课的收获
如图所示，分别在五边形、六边形的广场各角修建半径 为Rm的扇形草坪(阴影部分)。
正n边形 180°（n-2） 180°（n-2）
n
用三角板动画演示拼成的正多边形
1、一个多边形的内角和为1080°，它是几边形？
解：180° (n-2)=1080° n-2=6 n=8
答：它是八边形。
2、一个多边形剪去一个角后，形成另一个多边形的内角 和为2520°，则原多边形的边数为（ D ） A.13 B.14 C.15 D.16或17
多边形的内角和
1.经历探究多边形内角和公式的过程， 进一步发展合情推理能力。
2.掌握多边形的内角和公式，进一步发 展演绎推理能力。
（1）三角形的内角和等于__1_8_0_°_。 （2）长方形的内角和等于__3_6_0_°_，
(3) 正方形的内角和等于__3_6_0_°_。
6.4多边形的内角和与外角和-北师大版八年级数学下册(教案)
-举例：矩形四个外角均为90°，外角和为360°，引导学生观察并理解外角和的恒定性。
2.教学难点
-内角和公式的推导过程：如何从三角形的内角和推导出n边形的内角和公式，是学生的一个理解难点。
-解决涉及多边形内角和与外角和的实际问题：将理论知识应用于解决实际问题，如镶嵌、图形拼接等，是学生需要克服的难点。
-突破方法：提供丰富的实际问题案例，指导学生如何建立数学模型，将问题转化为内角和或外角和的问题，进而解决。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《多边形的内角和与外角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多边形内角和或外角和的情况？”比如，在设计多边形图案时，我们需要知道这些角度信息。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索多边形内角和与外角和的奥秘。
首先，关于教学内容的安排，我觉得在引入内角和公式时，通过具体的例子引导学生观察和思考，再逐步提炼出一般性规律，这样的方式有助于学生理解公式的来源。在接下来的课程中，我将继续采用这种方法，让学生在探究中学习。
其次，我发现学生们在解决实际问题时，往往不知道如何运用内角和与外角和的知识。针对这一点，我计划在实践活动环节增加一些与生活密切相关的案例，让学生们更好地将理论知识与实际应用结合起来。
-突破方法：通过动态演示或动手操作，将四边形分割成两个三角形，进而推广到n边形可以分割成（n-2）个三角形，从而引导学生理解内角和公式的来源。
-外角和与内角关系在实际问题中的应用：在解决具体问题时，学生可能会对外角和与内角的关系感到困惑。
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A D
B
CB
CB
C
4× 180 °- 360° 3× 180 °- 180° 3× 180 °- 180°
利用探索“四边形内角和是 360 °的方 法 .你能想到几种办法求 五边形内角和？
方法总结：
活动三
探索n边形内角和
探索n边形内角和
请问：四边形从一个顶点出发，能引出 1 条对角线？ 请问：五边形从一个顶点出发，能引出 2 条对角线？ 请问：六边形从一个顶点出发，能引出 3 条对角线？
求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为 n，
由已知，得：
(n-2) ?180°= 720o。
解得:
n=6
? 这个多边形的边数为 6。
多边形内角和公式的应用
看谁算的“准又快”
1. 正八边形的内角和为 _1__0_8_0_°_.
2. 已知多边形的内角和为 900 ° ，则这个多边
形的边数为 _七__边____. 3.多边形的边形数增加一条，内角和就增加 1_8__0_°__。
A D
活动计划
B
C
1. 四人小组合作，在纸上完成四边形的分割 ．
2. 探究不同的分割方式所得到的四边形内角和 ．
注意事项
1. 用直尺作图，分割线条用虚线“
”表示．
2. 尽可能多地想出不同的方法求其内角和．
探索四边形内角和 A D
A D
B
C
2 ×180 °
B
C
3× 180 °- 180°
A D
A D
在平面内，内角都相等，边也 都相等的多边形叫做正多边形。
认识多边形
想一想 :
1、一个多边形的边都相等， 它的内角一定都相等吗？
菱形
2、一个多边形的内角都相等， 它的边一定都相等吗？
矩形
活动二
探索四边形内角和
A D
B
C
探索四边形内角和
利用三角形知识探索 “四边形内角和是360 °”.
你能想到几种办法？
…… 请问：n 边形从一个顶点出发，能引出 (n-3) 条对角线？
n边形 共有 条对角线？
探索n边形内角和
3 45
540 ° 720 ° 900 °
n-2 (n-2) 180 °
n边形的内角和等于(n－2) ·180°
活动四
多边形内角和公式的应用
(n－2) ·180°
多边形内角和公式的应用
例１、已知一个多边形，它的内角和等于720 °
思维升华
议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,
纸片还剩几个角? 这个多边形的内角和是 多少度? 与同伴交流.
4. 一个多边形每个内角的度数是 150 °，则这个多边形
的边数是 _十__二___边__形____.
5. 六____ 边形内角和是四边形内角和的 2倍。
多边形内角和公式的应用 正n边形每个内角度数
?n ? 2??1800
n
正三角形 60°
正方形 90°
正五边形 108°
正六边形 120°
正八边形 135°
多边形
义务教育课程标准实验教科书 --北师大版 《数学》八年级下册
6.4探索多边形的内角和与外角和(1)
活动一
认识多边形
认识多边形
三角形 是由三条不在同一条直线上的线段
首尾顺次连结组成的平面图形
认识多边形 顶点
在平面内，由若干条 不在同一条直线上的线段首 尾顺次相连组成的封闭图形
叫做多边形. 内角
边 对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
认识多边形
一般情况下，我们所说的多边形 指凸多边形
凸多边形
D
C
A
B
凹多边形
图
图2
认识多边形
练一练：如图：作多边形过顶点A的所 有对角线，并分别用字母表示出来。
解：如图，有： 对角线AC 对角线AD
A B
C
F
E D
对角线AE
认识多边形
正三角形
正方形 正五边形 正六边形