欧几里得空间习题PPT教学课件.ppt

x2
1 x2dx
1 1
1
1dx
1
1 x3dx
1
1 x2dx
x
x2
1 3
1
4
4
( 4 , 1 ) (1, 1 )
1
( 4 , 2 ) (2, 2)
2
( 4 , 3 ) (3, 3)
3
x3
1 x3dx
1 1
1
1dx
1
1 x4dx
1 1
x 2 dx
x
1
1 1
x3 (x2
1 )dx 3
3) 具体写出这个空间中的柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k )A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
nn
(d).(, ) A
7.证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角
线上元素为1或-1.
a11
a1n
证：设
A是正交矩阵，且
A
ann
则
A
A1
b11
b1n
也是上三角矩阵，
bnn
从而
a11
b11
b
1n
a 1n
ann
bnn
a11
于是
aij
0(i
j). 故
A
又由 AA E
得 aii2 1,
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
来自百度文库
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间的一组基，证明： 1）如果 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）如果 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
aij xi x j
i1 j1
nn
由于 A 是正定矩阵，所以 aij xixj 0 i1 j1
当且仅当 0 时，(,) 0,
故 Rn 成一欧氏空间.
2)设所求度量矩阵为 B (bij )nn
则
bij
(i , j )
i
A
j
aij
从而 B A.
3)
nn
(, )
aij xi y j
i1 j1
1
1 2
1
2
4
1 2
5
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
1
2
3
5
单位化得
1
2 2
(1
5 ),2
10 10
(1
2 2
2 4
5
)
3
1 2
(1
2
3
5)
则
1,2 ,3
就是 V 1
的一组标准正交基.
4.在 Rx4中内积定义为
(
f
, g)
1
1
f
( x) g ( x)dx,
求
2）证明：V1 的维数等于 n 1
证：1）由于 0V1, 所以 V1 非空， 对任意 x1, x2 V1, k R, 有 (x1 x2, ) (x1, ) (x2, ) 0, (kx1, ) k(x1, ) 0 从而 x1 x2 V1, kx1 V1,
故 V1 是 V 的一个子空间.
(x2
1)
1 ( x2 1 )2 dx
3
1
3
x3 3 x 5
单位化得
1
1 1
2 2
,2
6x 2
3
10 4
(3x2
1),4
14 (5x3 3x) 4
则 1,2,3,4 为一组标准正交基.
5.设V 是 n 维欧氏空间， 0 是V 中一固定向量.
1）证明：V1 x (x,) 0, xV是V 的一个子空间；
那么 1 2.
证：1）1,2, ,n 是V 的一组基，所以 可表示为
1,2, ,n 的线性组合，即 k11 k22 knn.
由 ( ,i ) 0 知 ( , ) ( , k11 k22 knn ) k1( ,1) kn ( ,n ) 0 故 0.
2)由题设，特别对基 1,2, ,n 有 (1,i ) ( 2,i )(i 1, 2, , n), 即 (1 2,i ) 0(i 1, 2, , n) 由1）知 1 2 0, 即 1 2.
此即 aii 1 或 1.
3.设1,2,3,4,5 是5维欧氏空间 V 的一组标准正交基， V1 L(1,2 ,3 ), 其中 1 1 5,2 1 2 4 ,3 21 2 3 求 V 的一组标准正交基.
1
解：首先不难证明 1,2,3 是线性无关，将它们正交化得
1 1 1 5
2
2
(2 , 1) (1, 1)
2）由于 0 是线性无关的， 将它扩充为V 的一组正交基 ,2,3, ,n. 这时，因为
(i , ) 0(i 2,3, , n) 所以 i V1(i 2,3, , n) 对任意 V1, 有 k1 k22 knn
0 ( , ) k1(, ) k2 (2, ) kn (n, ) k1(, )
由(,) 0 得 k1 0, 即 可由2 ,3, 从而 2 ,3, ,n 是 V1 的一组基，
其维数为 n 1.
,n 线性表出，
6. 设1,2, ,m是n 维欧氏空间V 的一组向量，而
(1,1)
(
2
,
1
)
(
m
,1
)
(1,2 ) (2,2 )
(m ,2 )
(1,m )
(
2
,
m
)
(
m
,
欧几里得空间
1.设 A (aij ) 是一个 n 阶正定矩阵，而
(x1, x2 ,, xn ), ( y1, y2,, yn ), 在 Rn 中定义内积 (, ) 为 (, ) A.
1) 证明：在这个定义之下 Rn 成一欧氏空间；
2) 求单位向量 1 (1, 0,, 0),2 (0,1,, 0),,n (0, 0,,1) 的度量矩阵；
Rx4
的一组
标准正交基（由基 1, x, x2, x3 出发作正交化）.
解：取 1 1,2 x,3 x2 ,4 x3. 将它们正交化得
1 1 1
1
2
2
( 2 , 1 ) (1, 1 )
1
x
xdx
1 1
x
1dx
1
3
3
(3 , 1 ) (1, 1 )
1
(3 , 2 ) (2, 2)
2
m
)
证明：当且仅当 0 时，1,2, ,m 线性无关.
证：设 k11 k22 kmm 0, 两边与 i 取内积得
k1(i ,1) k2 (i ,2 ) km (i ,m ) 0
从而 (k1, k2, , km ) 是 x 0 的解，
又当且仅当 0 时，该方程组只有零解， 即 1,2, ,m 线性无关.