4.2.2指数函数应用题

在解决应用问题时，其关键是 能够正确理解题意，从而建立目标 函数，进而将生活实际问题转化为 数学问题，同时要结合具体问题的 实际意义确定函数的定义域。

指数函数在生产实际和科学研究中有许多 应用。例如下图表示世界人口增长状况， 这条增长曲线在若干年段上与指数函数的 图像相接近，因此指数函数可应用于人口 的预测。
复利是和单利相对应的经济概念，单利的计算不用 把利息计入本金计算；而复利恰恰相反，它的利息要并 入本金中重复计息。 比如你现在往银行存入100元钱，年利率是10%， 那么一年后无论您用单利还是复利计算利息，本息合计 是一样的，全是110元； 但到了第二年差别就出来了，如果用单利计算利息， 第二年的计息基础仍是100元，利息也就仍是10元，本息 合计就是120元。 可复利就不一样了，第二年的计息基础是110元（注 意！！！），一年下来利息就变成了11元，本息合计就 成了121元，已比单利计算的多了1元钱，如果本金再大 一点，年限再长一些，差距之大可想而知。 (它的计算公式是本金*（1+年利率）n，其中n等于你的 计息期数)
y 0.84 0.84 0.84 y 0.84 ( x 0)
x
2
经过 x 年
(2)作出上述函数图像；
y 0.84x ( x 0)
x y
1 2 3 4 5 6 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
作出图像：
（3）从表和图上可以看出 y 0.5时，x 4 。 即约经过4年，这种物质的剩留量是原来的一半。
例1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1年，剩留的这种物质是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)作出上述函数图像； (3)结合图像，大约经过几年剩留量是原来的一半？ 解：（1）设该物质最初的量为1，经过 x ( x 0) 年后还剩 y ，则 经过1年 y 1 0.84 0.84 经过2年 ……
例2:统计资料显示,2010年甲乙两个国家的人口情况如 下： 甲国人口数为75967（千），人口年增长率2.0%； 乙国人口数为79832（千），年增长率为1.4%， 假设两国的人口增长率不变. （1）试建立这两个国家的人口增长模型的数学解析式； （2）作两国的人口增长曲线图，根据图像你能作出怎样 的预测.
①指数增长模型
设原有产值为N，平均增长率为p，则 经过时间x后的总产值y可以用
y N (1 p)
x
表示。
②指数减少模型
设原有产值为N，平均减少率为p，则 经过时间x后的总产值y可以用
y N (1 p)
x
表示。
③指数型函数
把形如 y ka (k R, a 0且a 1) 的函数称为指数型函数，这也是非常 有用的函数模型。

甲国人口数为75967(千)，人口年增长率为 2.0%；乙国人口数为79832 (千) ，年增长率 为1.4%， 解:(1)设从2010年起经过 x 年的人口数为 y(千) 甲国人口数为 y 75967(1 0.02) (千)
x
乙国人口数为 y 79832(1 0.014) (千)
复利？
(1) y a(1 r ) , x N
x
*
(2) 5期后的本利和 约为1117.6元。
单利是整个利率家族最单纯的人物，也是最为大 家所熟知的。 单利就是不管你的存期有多长，你的利息都不会加 入你的存款本金重复计算利息。 （解释一下，所谓本金就是你存入银行的最初金额） 举个例子，假如你现在存入银行100元钱，年利率是 10%，存期是2年，那么你的利息怎么算呢？就是用 100*10%*2等于20元钱。值得注意的是到第一年末， 你的利息是10元钱，到了第二年计算利息的基数仍是 100元，而没有把利息10元给加上去变成110元，因此 这笔钱到了第二年末，利息总共只有20元。
第四章 幂函数、指数函数和对数函数
4.2.2 指数函数的图像与性质
玛丽· 居里开创了放射性理论，发明分离 放射性同位素技术，以及发现两种新元素钋 和镭，这两种元素均为天然放射性元素，能 够自发地从不稳定原子核内部放出粒子或射 线（如α粒子、β射线、γ射线等），同时释 放出能量，最终形成稳定核素的一类元素， 这一过程叫做放射性衰变。
x
（2）根据函Hale Waihona Puke Baidu式列表：
年份 X(年)
2010 2011 0 1
甲国人口 乙国人口 数（千） 数（千）
75967 77486
79832 80950
2012
2013 2014
2
3 4
79036
80617 82229
82083
83232 84397
2015
2016 2017 2018 2019
5
6 7 8 9
x
(阅读材料)指数型函数简介 形如 y ka (a 0, a 1, k 0,1) 的函数称为 指数型函数.
x
y ka x
y ka x
k 0,0 a 1
k 0, a 1
作业：
讲义 §4.2（2）
83874
85551 87262 89007 90788
85579
86777 87992 89224 90473
从图可以看到，经过约9年，甲国的人口数超过 乙国的人口数。
某种储蓄按复利计算，若本金为a元， 每期利率为r，设存期是x，本利和（本金 5 1.0225 1.1176 加上利息）为y元。已知： （1）写出本利和y随存期x变化的函数关 系式。 （2）如果存入本金1000元，每期利率为 2.25%,试计算5期后的本利和。
例1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1年，剩留的这种物质是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)作出上述函数图像； (3)结合图像，大约经过几年剩留量是原来的一半？
分析：在解决实际应用问题时候，首先要根 据题目要求进行恰当的假设，并注意自变量 的取值范围。其次试写几个特殊的例子，利 用归纳法得出关系式子。