典型例题：复数的代数形式及其运算

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2、3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．已知：z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a 、b 、c 、d ∈R )，若z 1＋z 2是纯虚数，则有( )A ．a －c ＝0且b －d ≠0B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0且b －d ≠0D ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0[答案] D[解析] z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，又z 1＋z 2为纯虚数所以a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.2．[(a －b )－(a ＋b )i ]－[(a ＋b )－(a －b )i ]等于( )A ．－2b －2biB ．－2b ＋2biC ．－2a －2biD ．－2a －2ai [答案] A[解析] 原式＝[(a －b )－(a ＋b )]＋[(a －b )－(a －b )]i ＝－2b －2bi .3．若|z －1|＝1，则|z －2i －1|的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] |z －1|＝1表示以(1,0)为原心，半径为1的圆，而|z －2i －1|表示圆上的点到点(1,2)的距离故最大距离为(1－1)2＋22＋1＝3故选C.4．设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i [答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1 ∴a ＋bi ＝－2－i5．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 本题考查了复数与复平面上点的对应关系及中点坐标公式．由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4， ∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.6．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( )A ．1－5iB ．－2＋9iC ．－2－iD ．5＋3i [答案] D[解析] ∵z 1－z 2＝(3＋4i )－(－2－i )＝5＋5i∴f (z 1－z 2)＝5＋5i －2i＝5＋3i7．若z ∈C 且|z ＋2－2i |＝1，则|z －2－2i |的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] ∵|z ＋2－2i |＝1，∴z 在以(－2,2)为圆心，半径为1的圆上，而|z －2－2i |是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值为3，如图8．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1、z 2、z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心[答案] D[解析] 由几何意义知，z 到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应点是△ABC 的外心．二、填空题9．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝______.[答案] ±23－2i[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i (a ∈R )，由|z |＝4得a 2＋4＝16∴a 2＝12，∴a ＝±23，∴z ＝±23－2i .10．(2010·徐州高二检测)在复平面内，O 是原点，O A →，O C →，A B →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么B C →对应的复数为______．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i )＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i11．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i (a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝______.[答案] 3[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i ]－[－33b ＋(b ＋2)i ] ＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝4 3 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43a －b ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1∴a ＋b ＝3 12．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是______．[答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R )则|(a －1)＋bi |＝|(a ＋1)＋bi |∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2即a ＝0∴z ＝bi ，b ∈R ∴|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－1)2＋b 2故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1.解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题13．计算：(1)(3＋5i )＋(3－4i )；(2)(－3＋2i )－(4－5i )；(3)(5－6i )＋(－2－2i )－(3＋3i )．[解析] (1)(3＋5i )＋(3－4i )＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i .(2)(－3＋2i )－(4－5i )＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i .(3)(5－6i )＋(－2－2i )－(3＋3i )＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i .14．(2010·株洲高二检测)已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i ，2＋i ，求点D 对应的复数．[解析] 方法一：设D 点对应复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为(32，2)，BD 中点为(x 2，y －12)． ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5 即点D 对应的复数为3＋5i .方法二：设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )．则A D →对应的复数为(x ＋yi )－(1＋3i )＝(x －1)＋(y －3)i ，又B C →对应的复数为(2＋i )－(－i )＝2＋2i .由已知A D →＝B C →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i .15．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i .求复数z .[分析] 常规解法为：设出z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a 、b .[解析] 解法一：设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2代入方程得：a ＋bi ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，，⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8解得： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝8，即z ＝－15＋8i . 解法二：原式可化为：z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实数，于是|z |＝(2－|z |2)＋82即：|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17代入z ＝2－|z |＋8i ，得：z ＝－15＋8i .16．(2010·徐州高二检测)已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[分析] 由题目可获取以下主要信息：①|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1；②求|z 1＋z 2|.解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或利用“数形结合”的思想求解．[解析] 方法一：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1①(a －c )2＋(b －d )2＝1②由①②得2ac ＋2bd ＝1∴|z1＋z2|＝(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.方法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的复数分别为A、B、C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.。

3.2.2复数代数形式的乘除运算

设复数 z 12i (m∈R)在复平面内 mi
对应的点为Z，若点Z位于第一象限，求实
数m的取值范围.
课堂小结
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2 换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.共轭复数的相关概念. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 5.体会类比的方法.
1.理解复数代数形式的乘除运算法则. 2.会进行复数代数形式的乘除运算. 3.了解互为共轭复数的概念.
类比(a+b)×(c+d)
=ac+ad+bc+bd
计算：(1+3i)(2-3i)
=1×2+1×(-3i)+2×3i+3i×(-3i) =2-3i+6i-9i2 =11+3i
合作探究
探究1：复数代数形式的乘法运算设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
探究2：复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例2 计算: (1)(1+i)2; (2)(3+4i)(3-4i)；
这与作根式除法时的处理是很类似的.

典型例题：复数代数形式的乘除运算

复数代数形式的乘除运算【典型例题】例1. 计算：（）（）（）1122342113122100()()()()()()-+-+--+i i i i i i解：（）原式1433425=--=-()()i i i（）原式2224=--=i i i ()或利用平方差公式：原式=++-+--==[()()][()()]()1111224i i i i i i（）注意到3122()+=i i()[()]()11222210025050505050250+=+====-i i i i i例2. 在复数集内分解因式：（）（）（，）1122342a x x a x R -++∈解：（）111111422a a a a i a i a a -=+-=+-+-()()()()()() （）22312121222x x x x i x i ++=++=+++-()()()例3. 求及的平方根。

--486i解：（）设的平方根为（，）14-+∈x yi x y R则()x yi +=-24即()x y xyi 2224-+=-由复数相等，得或x y xy x y x x y y x y 222222*********-=-=⎧⎨⎩⇒-=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩⇒==±⎧⎨⎩ ∴--422的平方根为或i i（）设的平方根为（，）286-+∈i x yi x y R则()x yi i +=-286即()x y xyi i 22286-+=-由复数相等，得或x y xy x y x y 228263131-==-⎧⎨⎩⇒==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩ ∴---+8633i i i 的平方根为或注：求一个复数的平方根，只需利用平方根的定义，以及复数相等的条件，即可把问题转化为已知的问题。

例4. 设，求复数的模。

z i z z z =+=-++13612ω分析：只需把z ＝1＋i 代入关于z 的表达式，即可经过复数的乘除加减运算，得到复数ω，进一步根据模的定义，求出|ω|。

复数的有关运算

z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线：双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线：射线 |
(7).圆环圆环: r <| z − z0 |< R 圆环复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值（2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)

人教a版数学【选修2-2】练习：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(含答案)

选修2-2 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝( ) A ．23－2i B ．－23－2i C ．±23－2i D ．23±2i[答案] C[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )，由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.4．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4[答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.5．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1[答案] D[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.6．▱ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数4＋i 、3＋4i 、3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8i D ．1＋4i[答案] C[解析] AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ，设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB →＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C. 二、填空题7．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则 |AB →|＝________. [答案] 5[解析] |AB →|对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，所以|AB →|＝(－4)2＋(－3)2＝5. 8．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.9．在复平面内，O 是原点，O A →、O C →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C →对应的复数为________________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数； (2)求D B →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， PB →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0，于是P A →·P B →＝－54，而|P A →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos ∠APB ＝－54，因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717，故S △APB ＝12|P A →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.[点评] (1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，∴z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.∴点Z 位于复平面内的第一象限．故应选A.12．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0，a －1≠0.∴a ＝3.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ． [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]．二、填空题14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________________． [答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则|(a －1)＋b i|＝|(a ＋1)＋b i|. ∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2，即a ＝0，∴z ＝b i ，b ∈R ，∴|z －1|m i n ＝|b i －1|m i n ＝(－1)2＋b 2，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x 、y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.*17.已知关于t 的方程t 2＋2t ＋2xy ＋(t ＋x －y )i ＝0(x 、y ∈R )，求使该方程有实根的点(x ，y )的轨迹方程．[解析] 设原方程的一个实根为t ＝t 0，则有(t 20＋2t 0＋2xy )＋(t 0＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0， ①t 0＋x －y ＝0， ② 把②代入①中消去t 0，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.[点评] 因为t 0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x ，y )的轨迹方程，故应用代入消元法将t 0消去整理即可．。

复数代数形式的乘除运算

如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1

i2
(
1

i
)
i2 2
2 2
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1
1

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1

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32
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i
（
3
）

3

2
i 3

2
i (
3

23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i

高考数学复数典型例题附答案

1, 已知复数求k的值。

的值。

解：解：，∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评：点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。

均为实数。

比较大小，更无正负之分，因此，（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。

2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。

的值，并求出此实根。

解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。

点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。

充要条件求解。

3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。

的取值范围。

解：设，。

由得①对应点在第二象限，故有对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得，即于是由②，④得再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。

此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。

4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；的实部与虚部都是整数。

（2）z的实部与虚部都是整数。

，则解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由得①∴由注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。

此时①式无解。

（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。

的值。

（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。

特征。

解：解：（1）解法一：解法一：由于∴由解：由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z，下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时，上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时，方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z，则21z z > (3) (3)若若b a >，则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（的点的轨迹是（））A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数，且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（内的椭圆的个数是（）A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解：解：根据题意，根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．的正整数．但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972´=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________．．解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程．解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221xb =±-，，所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= ．当且仅当22b =时，S 取到最大值1．（Ⅱ）由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+．②．②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为21b d k=+，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，232b =，代入①式检验，0D >，故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAFD 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（，则两条渐近线的夹角为（）A ．30º．30ºB ．45º．45ºC ．60º．60ºD ．90º．90º解：解：D D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程，x ab y =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c ab c S OAF =´´=D ，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90°，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，本题考查双曲线中焦距，准线方程，准线方程，准线方程，渐近线方程，渐近线方程，渐近线方程，三角形面积，三角形面积，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（的最大值为（））A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例例6．已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．点．（Ⅰ）若动点M 满足1111F M F A F B FO=++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î，即12124x x x y y y +=-ìí+=î，，于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø，．当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y yxx x x-==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数．为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)l >．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB为定值；为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f l =的表达式，并求S 的最小值．的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0l >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →，即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-，îïíïì－x 1＝λx 2 ①①1－y 1＝λ(y 2－1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－＝－44λy 2＝－＝－44，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x (x－－x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x (x－－x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－，－1)1)1)．．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－，－2)2)2)··(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM ABM 中，中，FM FM FM⊥⊥AB AB，因而，因而S ＝12|AB||FM||AB||FM|．．|FM||FM|＝＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)4)＋＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．＋＋λ＋λ)＝|AB||FM||AB||FM|＝(λ＋λ)λ＋1λ≥2m ÷ø，m+=m +=2my -，2my -，211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解：（Ⅰ）在P AB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．方程为：2211x y l l -=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--．因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î．由①②知，51223l -£<．。

复数的代数运算与形式

即：
两个复数的和（或差）仍然是一个复数，它们的实部是原来两个复数的实部的和（或差），它的虚部是原来两个复数的虚部的和（或差）.
或：
实部和实部相加减作为实部，虚部和虚部相加减作为虚部.
思考：
1.复数的加法满足交换律和结合律吗？即z1+z2=z2+z1吗？请举例说明
复数的加法满足交换律和结合律即对任意的复数z1，z2，z3，有
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
分母实数化！
=
ac+bd + c2+d2
bc-ad c2+d2
i (c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
例题分析
例1 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
（2i）8 2
i8 1
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 • z2 1 i,则复数z2 ______ 2.计算：
(1) (7 - 6i)(3i)
(2) (3 4i)(-2 3i)
(3) (1 2i)(3 4i)(2 i) (4) (1 i)(2 i) i
例4 解下列一元二次方程：（1）2x2 3x 1 0; (2)x2 4x 4 0; (3)x2 x 1 0.
z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）.
例题分析
例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算： (1) z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.

复数的概念及复数代数形式的运算

复数的概念及复数代数形式的运算班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( )A ．2B.12 C ．－12 D ．－2解析：由(1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i ，因为(1＋b i)(2＋i)是纯虚数，因此⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝02b ＋1≠0⇒b ＝2. 答案：A2．在复平面内，复数1＋i 2009(1－i )2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：在复数运算中，要注意几个常用的结论：(1)i n 是以4为周期变化的，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n＋3＝－i ，i 4n ＝1；(2)(1±i)2＝±2i ；(3)复数的除法运算，一般是把分子和分母同乘以分母的共轭复数后化简，本题中，1＋i 2009(1－i )2＝1＋i －2i ＝(1＋i )i －2i 2＝－1＋i 2＝－12＋12i ，所以对应点在第二象限，故选B. 答案：B3．已知z 是复数，且z (1＋i)＝1，则z 的共轭复数等于( )A ．1＋iB ．1－i C.12＋12i D.12－12i 解析：z ＝11＋i＝1－i 2＝12－12i ， ∴z 的共轭复数为12＋12i. 答案：C4．(2010·全国Ⅰ)复数3＋2i 2－3i＝( ) A ．iB ．－iC ．12－13iD ．12＋13i 解析：3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝13i 13＝i ，故选A. 答案：A5．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中元素个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个解析：∵1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ∴f (n )＝i n ＋(－i)n ，又f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0∴{x |x ＝f (n )}＝{－2,0,2}故选C.答案：C6．设复数z (z ∈C )在映射f 下的象是z ·i ，则－1＋2i 的原象为( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2＋iD ．－1＋3i 解析：设原象为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ·i ＝(x ＋y i )·i ＝(x －y i)i ＝y ＋x i ＝－1＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1∴z ＝2－i. 答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知1＋3i ＝z ·(1－3i)，则复数z ＝_________________.解析：z ＝1＋3i 1－3i＝1－3＋23i 4＝－12＋32i. 答案：－12＋32i 8．(2010·江苏)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i， ∴|z |＝2|3＋2i||2－3i|＝2. 答案：29．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________．解析：∵z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a ＋6i ＋4i a －825＝3a －8＋(6＋4a )i 25，又z 1z 2为纯虚数，∴3a －8＝0，且6＋4a ≠0.∴a ＝83. 答案：8310．(2010·江西九校)a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若a 1－i ＋b 1－2i ＝5i 3＋i，则a ＋b ＝________. 解析：原式左边＝a ＋a i 2＋b ＋2b i 5＝⎝⎛⎭⎫a 2＋b 5＋⎝⎛⎭⎫a 2＋2b 5i ，右边＝5＋15i 10，两边对比得⎩⎨⎧ a 2＋b 5＝12a 2＋2b 5＝32，解得a ＝－1，b ＝5，∴a ＋b ＝4. 答案：4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．当实数m 为何值时，z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．解析：(1)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0. 解得m ＝3.(2)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0. 解得m ＝－1或m ＝－2.(3)若z 的对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ lg (m 2－2m －2)<0，m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2>0.解得－1<m <1－3或1＋3<m <3.12．已知z ＝(1＋i )＋3(1－i )4＋4i，求z 2＋1z 的值．解析：z ＝(1＋3)＋(1－3)i 4(1＋i )＝[(1＋3)＋(1－3)i](1－i )4(1＋i )(1－i ) ＝2－23i 8＝1－3i 4， z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 42＝－1－3i 81z ＝41－3i ＝4(1＋3i )(1＋3i )(1－3i )＝1＋3i ， ∴z 2＋1z ＝7＋73i 8. 13．已知M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b .分析：利用集合之间的关系，建立复数之间的等量关系，再利用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题．解析：由于8≠3i ，故依题意得：(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ③由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴a ＝－3，b ＝2.由②得a ＝±3，b ＝－2.又a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴a ＝3，b ＝－2.由③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2⇒⎩⎨⎧ a ＝1±172b ＝1±132又a ，b ∈Z ，故不合题意，舍去．综上得a ＝3，b ＝－2或a ＝－3，b ＝2.。

高中数学复数的四则运算(3) 例题解析

复数的四则运算(3) 例题解析【要点梳理】１．复数的除法法则：=++di c bi a ２．特殊结论：=i 1 =-+i i 11 =+-i i 11【典型例题】例1．已知i i ab b a b a b ab a 2382722222+-=+++++，求实数b a ,．解析：可先由已知等式变形左边＝abi b a abib a abi b a abi b a abi b a abi b a -+=++-+++=++-+))(()()(22 右边＝i i i i i i 65137865)23)(23()23)(827(-=-=-+-- 所以i abi b a 65-=-+由复数相等的定义知：⎩⎨⎧==+65ab b a解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3223b a b a 或点评：本题解答是否简便关键在于采取的变形方法．例２．计算：（１）54)31()22(i i -+ （２）199********⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-i i i解析：（１）原式[]ωωωωω22242)2(23212)1(2312)1(325252254==--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i i i i i i 3123212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= （其中i 2321+-=ω）（２）原式＝2249499899899822212321)321(+⨯+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++i i i i i i i i i ii i i +-=+=12点评：代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质，i 2321±-=ω的性质及i ±1的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度．例３．已知,682i z +=求z z z 100163--的值．解析：z i z z z z z z z z 164)6(164)8(1001610016222243-=--=--=--z200-= 又[])3(,)3(6822i z i i z +±=∴+±=+=Θ．当,3i z +=i i i z z z z 206010)3(2003200200100163+-=--=+-=-=-- 当),3(i z +-=i i i z z z z 206010)3(2003200200100163-=-=+=-=-- 点评：对于复数计算题，尤其是对条件求值问题．正确的处理是先审清题意，选准正确的切入方向．。

复数的代数形式的乘除运算(含答案)

复数的代数形式的乘除运算
一、单选题（共 50 题；共 100 分）
1.已知复数 z=2+i，则
（）
A.
B.
C. 3
D. 5
2.已知复数
，为虚数单位，则的实部为（）
A. 1
B.
C.
D.
3.若为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.已知复数
耀，则⺂䁕耀等于（）
A.
B.
C.
D.
14.若复数满足
，则（）
A.
或
B.
或
C.
或
15.已知复数⺂⺂
（是虚数单位），则的共轭复数（）
A.
B.
C.
D.
D. ±
16.已知
，则 z （）
A.
B.
17.已知复数 z 满足
，且
A. 2
B. 2i
18.设复数满足⺂
，则
A.
B. 2
19. ⺂
2.已知复数
，为虚数单位，则的实部为（）
A. 1
B.
C.
【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为
故答案为：D
【分析】根据完全平方和公式和复数的乘方运算法则进行运算化简复数
义求解即可.
3.若为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
h ⺂cos
sin ，已知⺂
，则
（）
A.
B. 4

复数代数形式的乘除运算

把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质：分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a

电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算

复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式：在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a

O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。简化画法

复数的代数形式及运算

第三节复数的代数形式及运算【目录】题型1 复数代数形式的运算题型2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型1 复数代数形式的运算1．计算：（1）54)31()22(i i -+；（2）1996)12(32132i ii-+++-。

解：（1）原式===-=+--+=-⋅+w wi i i i i 22)2()2321(2])1[()231(2)1(5252254i i 31)2321(2+-=+-。

（其中ω=i 2321+-）。

（2）原式=9989989982)22(])12[(321)321(i i i i i ii i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.2．设f(x, y)=x 2y-3xy+y 2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值；（2）[f(2-5i, 2-5i)]-1的值。

解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ；（2）若x=y ，则f(x, y)=x 3-2x 2-x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2=(-5i)2，即x 2-4x+9=0，而x 3-2x 2-x+8=(x 2-4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i,∴[f(2-5i, 2-5i)]-1=i i i 108510872165221614)52()14(521422--=--=+---. （3）∵(1-i 3)10=1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2-C 310·(i 3)3+…，∴(1-i 3)10的展开式中奇数项之和为复数(1-i 3)10的实数。

又(1-i 3)10=[-2·10)]2321(i +-=210ω10=210ω=210)2321(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10的展开式中各奇数项的和为-29。

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义知识总结及练习训练课件人教版数学选修2-2

结论： 1.减法法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_.
2.几何意义复数的差z1-z2与向量 OZ1 OZ2 Z2Z1 的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是( )
（1)2 32 10.
主题2 复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等于什么？提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)， z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？提示：x=a-c，y=b-d.
类型一复数代数情势的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则
复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算： ①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).
【解析】(1)因为 AO＝，O所A 以表示AO的复数为 -3-2i. (2)因为 CA＝OA，所OC以表示CA的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 OB＝OA，＋O所C以表示O的B 复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.