机械振动的能量与合成

2、运动方程
振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反
dx
阻尼
Fr Cv C dt
系数
动力学方程：
d2 x
dx
m dt 2 C dt kx
2 0
k m
C
2m
d2 x dt 2
2
dx dt
02 x
0
固有频 率
3、讨论
x(t)
•情况1：欠阻尼
2
2 0
x(t) Aet cos(t )
A1 cos1 A2 cos2 cos t A1 sin1 A2 sin2 sin t
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
2、应用旋转矢量法
y
A
A2
2
A1
1
A1 cos1 A2 cos2
x Acos t
3、讨论
合成振动 2 1
是简谐运动 情况1
x2 y2 2xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
y x
讨论2 2 1
x2 y2 2 xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
y
x
讨论3
2 1 / 2
x2 y2 A12 A22 1
机械振动的能量与合成
• 简谐运动的能量 • 简谐运动的合成 • 阻尼振动、受迫振动、共振
复习题
1．什么是简谐运动？简谐运动 有何特征？如何证明一个物体是 否作简谐运动？ 2．描述简谐运动的特征量有哪 些？它们是如何计算的？ 3．什么是旋转矢量？它有何作 用？ 4．什么是单摆？什么是复摆？
9－5 简谐运动的能量
2 0
)
t
2
情况3：临界阻尼
2
2 0
x(t) (C1 C2t)e t
x(t)
无振动发生
t
过阻尼
x(t)
x 是从有周期性因子
2 0
2
三种阻尼的比较
到无周期性的临界点。
b
oc
tt
临界阻尼
a
二、受迫振动
经过足够长的时间，称为定态解：
强迫力 F cos pt
2 0
2
t
欠阻尼
阻力使周期增大
由初始条件决定A和初相位 0 ,设
t 0, x (0) x0 , v t0 v0
即有： x0 Acos v0 A sin A cos
A
x02
(v0
x0 2
)2
tg0
v0 x0 x0
情况2：过阻尼
2
2 0
x(t) C1e(
2
2 0
)
t
C e(
2
一、能量的公式
x
弹簧振子
oA
x Acost v A sint
E＝ 1 m A2 2＝ 1 kA2
2
2
动能 势能 总能量
Ek
Leabharlann Baidu
1 2
mv 2
1 2
mA2 2 sin2 t
Ep
1 2
kx 2＝ 1 2
kA2
cos2
t
E＝Ek＋E p
1 2
mA 2
2
sin2 t
＋ 1
2
kA2
cos2 t
合振动的轨迹是的椭圆 方程，且顺时针旋转
讨论4
2 1 3 / 2
x2 y2 A12 A22 1
合振动的轨迹是的椭圆 方程，且逆时针旋转
讨论5 2 1 / 2,3 / 2
A1 A2
x2 y2 A12 A22 1
合振动的轨迹是的圆
讨论6
2
1
2k 2
1
k 0，1，2，
2 1 2k k 0，1，2，
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动 A
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2t 2
2 A2
合振动 假设
A1
x
A2
xA1 0，x12
2
0
1 A1
1 2 1 2
o
x
x1 A1 cos1t＝A0 cos 2 1t
x2 A2 cos2t＝A0 cos 2 2t
简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
1 2
kA2
•简谐运动方程
d2 x m v dt 2 k xv 0
d2 x dt 2
k m
x
0
d
dt
Ek Ep
0
例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的
运动方程。
令 2＝ k
m
解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒
x2 A2 cos t 2
Acos A1 cos1 A2 cos2
合振动 x x1 x2
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
x x1 x2 A0 cos 2 1t A0 cos 2 2t
2 A0
cos
2
2
1
2
t
cos
2
2
1
2
t
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动 的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现 象叫拍.
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
2 1
拍的应用：
•用音叉的振动来校准乐器 •测量超声波的频率 •测定无线电波频率以及调制
则为任一椭圆方程
四、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
1 0
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
,π 2
1 m 2 n
应用：
•测量振动频率 •测量相位
李萨如图形
9－7 阻尼振动、受迫振动、共振
一、谐振子的阻尼振动
1、基本概念
振幅随时间的变化而减小
A2 sin 2
2k
A A1 A2
A1 sin 1 情况2
x (2k 1)
A A1 A2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 ) 情况3：一般情况
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
| A1 A2 | A | A1 A2 |
1 m v2 1 kx2 1 kA2 C
2
2
2
d2 x dt 2
2
x
0
两边对时间求导，得
1 m 2v dv 1 k 2x dx 0
x Acost
9－6 简谐运动的合成
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
质点——两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 Asin A1 sin1 A2 sin2
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x A1 cos( t 1) y A2 cos( t 2 )
合振动的轨迹方程为
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos 2
1
sin2 2
1
是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。
讨论1
2 1 0