青岛科技大学概率论与数理统计考研真题试题2012、2016、2017年
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4、（15 分）设连续随机变量 X 的密度函数 p(x) 是一个偶函数， F (x) 为 X 的分布函数， 求证：对任意实数 a 0 ，有：
a
（1） F (a) 1 F (a) 0.5 p(x)dx ； 0
（2） P(| X | a) 2F (a) 1 ； （3） P(| X | a) 2[1 F (a)] .
青岛科技大学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计
注意事项：1．本试卷共 9 道大题（共计 17 个小题），满分 150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷 上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
0.05
0.06
5
0.09
0.08
0.06
0.05
试求 E( X Y 2) 和 E(Y X 0) 。
3、（15 分）设随机变量 X 服从区间（0，2）上的均匀分布。（1）求 Y X 2 的密度函数； （2） P(Y 2) 。
第 1 页（共 2 页）
4、（20
分）设二维随机变量 ( X ,Y )
8、（20 分）设 X1，X1，…，Xn 为总体 X 的一个样本，总体的密度函数为:
f
(x)
c
x(
1)
,
xc
, 其中 c>0 为已知，θ>1，θ 为未知参数.
0, 其它
求： （1）参数 θ 的矩估计量；（2）参数 θ 的极大似然估计量.
9、（15分）某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg，
电子元件损坏的概率；（2）在电子元件损坏的条件下，电压超过 240V 的概率。
2、（15 分）设二维离散随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布列为
Y
0
1
2
3
X
0
0
0.01
0.01
0.01
1
0.01
0.02
0.03
0.02
2
0.03
0.04
0.05
0.04
3
0.05
0.05
0.05
0.06
4
0.07
0.06
﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 1、（15 分）假设在电源电压不超过 200V, 200~240V, 和超过 240V 三种情况下，某电子元
件损坏的概率分别为 0.3，0. 1 和 0.2，电源电压 X~N(220, 252 ),（ (0.8) 0.79 ）求：(1)
从某天产品中抽取容量为 25 的样本，测量其熔化时间并计算得 x 62.24 ， s2 404.77 ，
问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著差异（取 0.05 ，假定熔化时间服从正态
分布）？
参考数据:
2 0.025
(24)
12.4012
，
2 0.975
(24)
39.3641
,
t0.975
(15)
p(x)
1 / 0,
,
0<x< , 其他。
其中常数 0 ，令Yn max{X1, X 2 ,, X n}，试证：Yn P 。
8、（20 分）设总体 X 的概率密度函数为 p x;
1
x
e
,
x
，其中
0为
2
未知参数。（1）求 的最大似然估计量A ；（2）A 是否为 的无偏估计？
9、（15 分）某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为 400，今
2.1314
。
第 2 页（共 2 页）
青岛科技大学
二○一七年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计
注意事项：1．本试卷共 9 道大题（共计 16 个小题），满分 150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草 纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
(2) 随机变量 X 与 Z 的相关系数 XZ 。
0, x 0
6、（15
分））设随机变量
X
的分布函数为
F
x
=
Ax
2
,
0 x 1 ，试求
1, x 1
（1）常数 A ；(2) P 0.3 X 0.7 ；（3）X 的概率密度函数。
7、（15 分）设随机变量序列X n 独立同分布，其密度函数为
第 1 页（共 2 页）
5、（15 分）设二维随机变量（X, Y）的概率密度函数为:
f
(x,
y)
2e ( 2 x
y)
,
x
0,
y
0.
0, 其他.
（1）求分布函数 F x, y ； （2）求概率 PY X .
6、（15 分）设随机变量（X，Y）的概率密度函数为：
f
(x,
y)
be (x y)
,
0
,
0 x 1,0 y 其它
（1）试确定常数 b；
（2）求边缘概率密度 fX (x)，fY (y)； （3）求函数 U=max (X, Y)的分布函数.
7、（25 分）设随机变量（X1，X2）具有概率密度函数为： f (x, y) 1 (x y) ， 0≤x≤2, 0≤y≤2 8
求：E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2）， D( X1 X 2 ) .
（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了 3 轮还没有确定付账人. 2、（15 分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通 所需电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 3、（20 分）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4，0.5，0.7.飞机被 一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被 击落，求飞机被击落的概率.
有密度函数：
f
(x,
y)
Ae4x3y ,
x 0, y 0;
0,
其他.
（1）求常数 A ；Leabharlann Baidu
（2）求边缘概率密度 f X x , fY y ；
（3） X ,Y 是否相互独立。
5、（20 分）设随机变量
X
~N
1,9 ，Y
~N
0,16 ，相关系数 XY
1 2
，设 Z
X 3
Y 2
求： (1) 随机变量 Z 的期望 E Z 与方差 D Z ；
﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡
1、（10分）有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如 果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就 重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账．求以下事件的概率：
a
（1） F (a) 1 F (a) 0.5 p(x)dx ； 0
（2） P(| X | a) 2F (a) 1 ； （3） P(| X | a) 2[1 F (a)] .
青岛科技大学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计
注意事项：1．本试卷共 9 道大题（共计 17 个小题），满分 150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷 上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
0.05
0.06
5
0.09
0.08
0.06
0.05
试求 E( X Y 2) 和 E(Y X 0) 。
3、（15 分）设随机变量 X 服从区间（0，2）上的均匀分布。（1）求 Y X 2 的密度函数； （2） P(Y 2) 。
第 1 页（共 2 页）
4、（20
分）设二维随机变量 ( X ,Y )
8、（20 分）设 X1，X1，…，Xn 为总体 X 的一个样本，总体的密度函数为:
f
(x)
c
x(
1)
,
xc
, 其中 c>0 为已知，θ>1，θ 为未知参数.
0, 其它
求： （1）参数 θ 的矩估计量；（2）参数 θ 的极大似然估计量.
9、（15分）某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg，
电子元件损坏的概率；（2）在电子元件损坏的条件下，电压超过 240V 的概率。
2、（15 分）设二维离散随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布列为
Y
0
1
2
3
X
0
0
0.01
0.01
0.01
1
0.01
0.02
0.03
0.02
2
0.03
0.04
0.05
0.04
3
0.05
0.05
0.05
0.06
4
0.07
0.06
﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 1、（15 分）假设在电源电压不超过 200V, 200~240V, 和超过 240V 三种情况下，某电子元
件损坏的概率分别为 0.3，0. 1 和 0.2，电源电压 X~N(220, 252 ),（ (0.8) 0.79 ）求：(1)
从某天产品中抽取容量为 25 的样本，测量其熔化时间并计算得 x 62.24 ， s2 404.77 ，
问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著差异（取 0.05 ，假定熔化时间服从正态
分布）？
参考数据:
2 0.025
(24)
12.4012
，
2 0.975
(24)
39.3641
,
t0.975
(15)
p(x)
1 / 0,
,
0<x< , 其他。
其中常数 0 ，令Yn max{X1, X 2 ,, X n}，试证：Yn P 。
8、（20 分）设总体 X 的概率密度函数为 p x;
1
x
e
,
x
，其中
0为
2
未知参数。（1）求 的最大似然估计量A ；（2）A 是否为 的无偏估计？
9、（15 分）某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为 400，今
2.1314
。
第 2 页（共 2 页）
青岛科技大学
二○一七年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计
注意事项：1．本试卷共 9 道大题（共计 16 个小题），满分 150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草 纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
(2) 随机变量 X 与 Z 的相关系数 XZ 。
0, x 0
6、（15
分））设随机变量
X
的分布函数为
F
x
=
Ax
2
,
0 x 1 ，试求
1, x 1
（1）常数 A ；(2) P 0.3 X 0.7 ；（3）X 的概率密度函数。
7、（15 分）设随机变量序列X n 独立同分布，其密度函数为
第 1 页（共 2 页）
5、（15 分）设二维随机变量（X, Y）的概率密度函数为:
f
(x,
y)
2e ( 2 x
y)
,
x
0,
y
0.
0, 其他.
（1）求分布函数 F x, y ； （2）求概率 PY X .
6、（15 分）设随机变量（X，Y）的概率密度函数为：
f
(x,
y)
be (x y)
,
0
,
0 x 1,0 y 其它
（1）试确定常数 b；
（2）求边缘概率密度 fX (x)，fY (y)； （3）求函数 U=max (X, Y)的分布函数.
7、（25 分）设随机变量（X1，X2）具有概率密度函数为： f (x, y) 1 (x y) ， 0≤x≤2, 0≤y≤2 8
求：E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2）， D( X1 X 2 ) .
（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了 3 轮还没有确定付账人. 2、（15 分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通 所需电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 3、（20 分）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4，0.5，0.7.飞机被 一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被 击落，求飞机被击落的概率.
有密度函数：
f
(x,
y)
Ae4x3y ,
x 0, y 0;
0,
其他.
（1）求常数 A ；Leabharlann Baidu
（2）求边缘概率密度 f X x , fY y ；
（3） X ,Y 是否相互独立。
5、（20 分）设随机变量
X
~N
1,9 ，Y
~N
0,16 ，相关系数 XY
1 2
，设 Z
X 3
Y 2
求： (1) 随机变量 Z 的期望 E Z 与方差 D Z ；
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1、（10分）有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如 果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就 重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账．求以下事件的概率：