2011考研数学模拟题(数一到数三)2011考研数学三模拟题
2011年考研数学一真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学试题答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)(1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是 （C ） (A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0)(2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn k k S a n ===∑ 无界，则幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的收敛域为 （C ） (A) (1,1]-(B) [1,1)- (C) [0,2) (D) 0,2]((3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f x f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （A ）(A) (0)1,(0)0f f ''>> (B) (0)1,(0)0f f ''>< (C) (0)1,(0)0f f ''<> (D) (0)1,(0)0f f ''<<(4) 设4ln sin I xdx π=⎰,40ln cot J xdx π=⎰,40ln cos K xdx π=⎰, 则,,I J K 的大小关系为（B ）(A) I J K <<(B) I K J <<(C) J I K <<(D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，2100001010⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P ，则A = （D ）(A) 12P P (B) 112-P P (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设1234(,,,)αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵.若(1,0,1,0)T是方程组0x =A的一个基础解系，则*0x =A 的基础解系可为 （D ）(A)13,αα(B)12,αα (C) 123,,ααα(D)234,,ααα(7) 设1()F x 与2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （D ） (A) 12()()f x f x(B) 212()()f x F x (C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =，则()E UV = （B ） (A)EU EV ⋅ (B) EX EY ⋅ (C) EU EY ⋅ (D) EX EV ⋅ 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s =ln(12)(10) 微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y =sin xe x -(11) 设函数20sin (,)1xyt F x y dt t =+⎛⎜⎠，则2202x y F x==∂=∂ 4 .(12) 设L 是柱面221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22y Lxzdx xdy dz ++=⎰π.(13) 设二次曲面的方程22232224x y z a x y x z y z +++++=经正交变换化为221144y z +=，则a = 1 .(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =23μσμ+.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. )(15)（本题满分10分）求极限110ln(1)lim xex x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭.解：记11ln(1)xex y x -+⎛⎫=⎪⎝⎭. 当0x >时，ln[ln(1)]ln ln 1xx xy e +-=-， 00011ln[ln(1)]ln (1)ln(1)lim ln lim lim 11x x x x x x x x xy e +++→→→-+-++==- ……4分 0(1)ln(1)lim (1)ln(1)x x x x x x x +→-++=++20(1)ln(1)lim x x x x x+→-++= 01ln(1)11lim 22x x x +→-+-==-. ……9分当0x <时，ln[ln(1)]ln()ln 1x x x y e -+--=-， 00ln[ln(1)]ln()1lim ln lim 12x x x x x y e --→→-+--==--.综上可知，110ln(1)lim xex x x e-→+⎛⎫=⎪⎝⎭. ……10分(16)（本题满分9分）设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y z x y==∂∂∂.解：由题意(1)0g '= ……2分因为12()zyf yg x f x ∂'''=+∂，……4分 21111222122[()]()()[()]zf y xfg x f g x f yg x xf g x f x y∂''''''''''''=+++++∂∂， ……8分 所以211x y z x y==∂∂∂11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++.……9分(17)（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数.解：令()arctan f x k x x =-，则()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且221(0)0,()1k x f f x x --'==+. ……3分 当10k -≤即1k ≤时，()0(0)f x x '<≠，()f x 在(,)-∞+∞内单调减少，方程()0f x = 只有一个实根0x =.……5分当10k ->即1k >时，在1)k -内，()0f x '>，()f x 单调增加；在(1,)k -+∞内，()0f x '<，()f x 单调减少，所以(1)f k -是()f x 在(0,)+∞内的最大值. 由于(0)0f =，所以(1)0f k ->. 又arctan lim ()lim (1)x x k xf x x x→+∞→+∞=-=-∞，所以存在(1,)k ξ∈-+∞，使得()0f ξ=. 由()f x 是奇函数及其单调性可知：当1k >时，方程()0f x =有且仅有三个不同实根,0,x x x ξξ=-==. ……10分(18)（本题满分10分）（I ） 证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+成立.（II ） 设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛. 解：（I ）根据拉格朗日中值定理，存在(,1)n n ξ∈+，使得 11ln(1)ln(1)ln n n n ξ+=+-=，所以1111ln(1)1n n nξ<+=<+.……4分 （II ）当1n ≥时，由（I ）知111ln(1)01n n a a n n+-=-+<+， ……6分且11111ln ln(11)ln(1)ln(1)ln 22n a n n n n=+++->++++++-ln(1)ln 0n n =+->，所以数列{}n a 单调下降且有下界，故{}n a 收敛. ……10分(19)（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰.解： 因为(1,)0f y =，(,1)0f x =，所以(1,)0y f y '=，(,1)0x f x '=. ……2分 从而11I (,)xy xdx yf x y dy ''=⎰⎰……4分111000(,)|(,)y x y x x yf x y f x y dy dx ==⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰ ……7分 111000(,)(,)x x x f x y f x y dx dy ==⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)dy f x y dx a ==⎰⎰. ……11分(20)（本题满分11分）设向量组1(1,0,1)T a =，2(0,1,1)T a =，3(1,3,5)T a =不能由向量组T1(1,1,1β=），T 2(1,2,3β=），T3(3,4,a β=）线性表示. （I ）求a 的值； （II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.解：（I ）4个3维向量123,,,i βββα线性相关(1,2,3)i =，若123,,βββ线性无关，则i α 可由123,,βββ线性表示(1,2,3)i =，与题设矛盾. 于是123,,βββ线性相关. ……3分从而 123113|,,|1245013a aβββ==-=，于是5a =此时，1α不能由向量组123,,βββ线性表示.……5分（II ）令 123123(,,|,,)αααβββ=A .对A 施以初等行变换1011131002150131240104210115135001102⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， 从而112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-. …… 11分(21)（本题满分11分）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .（I ）求A 的所有特征值与特征向量； （II ）求矩阵A . 解：（I ）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得110011⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，110011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ， 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为1(1,0,1)T k -，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值,且属于1的特征向量为2(1,0,1)T k .2k 为任意非零常数； ……4分 设123(,,)T x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则123(1,0,1)0x x x ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，123(1,0,1)0x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即131300x x x x -=⎧⎨+=⎩. 于是属于0的特征向量为3(0,1,0)T k ，3k 为任意非零常数； ……6分（II ）令 110001110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ， 则 1100010000--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP ， ……8分1100010000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P 1122112211010000010010100000110000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……11分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 0 1 Y -1 0 1 P1/32/3P1/31/31/3且22{}1P X Y ==.（I ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； （II ）求Z XY =的概率分布； （III ）求X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（I ）由22{}1P X Y ==，得22{}0P X Y ≠=，所以{0,1}{0,1}{1,0}0P X Y P X Y P X Y ==-=======.故(,)X Y 的概率分布为X Y-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3……4分（II ）Z XY =的可能取值为1,0,1-. 由(,)X Y 的概率分布可得Z 的概率分布为……7分 （III ）由X ，Y 及Z 的概率分布得222,,0,,()0393EX DX EY DY EZ E XY ======，所以 (,)0,Cov X Y =0XY ρ=.…… 11分(23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未 知.X 和2S 分别表示样本均值和样本方差.（I ）求参数2σ的最大似然估计 2σ； （II ）计算 2E σ 和2D σ. 解：（I ）设12,,,n x x x 为样本观测值，则似然函数20211()2222()(2).ni i nx L eμσσπσ=---∑=，2220211ln ()ln(2)()22n i i n L x σπσμσ==---∑，Z 1-0 1 P1/31/31/3令 2ln 0()d Ld σ=，得 202411()022n i i n x μσσ=-+-=∑， 从而得2σ的最大似然估计 22011()n i i X n σμ==-∑. ……6分（II ）解法1 由于2202122()()nii Xn n μσσσ=-=~χ∑，……8分所以 222E n n σσσ=⋅=， 442222D n n nσσσ=⋅=. ……11分 解法2 222011()n i i E E X n σμσ==-=∑， ……8分4422221001021112()()()n i i X D D X D X D n n n nμσσσμμσ=-=-=-==∑. ……11分数 学（二）一．选择题（1～8小题，每小题4分，共32分）．(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 (C) (A) 1,4k c ==(B) 1,4k c ==-(C) 3,4k c ==(D) 3,4k c ==-(2) 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x →-= (B) (A) 2(0)f '- (B) (0)f '- (C) (0)f ' (D) 0(3) 函数()ln |(1)(2)(3)|f x x x x =---的驻点个数为 (C) (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为 (C)(A) ()x x a e e λλ-+ (B) ()x x ax e e λλ-+ (C) ()x xx ae be λλ-+ (D) 2()x x x ae be λλ-+(5) 【 同数学一（3）题 】 (6) 【 同数学一（4）题 】 (7) 【 同数学一（5）题 】 (8) 【 同数学一（6）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 1012lim 2xxx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2.(10) 【 同数学一（10）题 】 (11) 【 同数学一（9）题 】(12) 设函数,0,()00,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩，则()xf x dx +∞-∞=⎰1λ.(13) 设平面区域D 由直线y x =，圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰712.(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 2 .三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分）已知函数20ln(1)()xt dt F x x α+=⎰.设0lim ()lim ()0x x F x F x +→+∞→==，试求α的取值范围. 解：因为2201ln(1)ln(1)lim ()limlim x x x x t dt x F x x x ααα-→+∞→+∞→+∞++==⎰ 22112211lim lim(1)(1)x x x x x x αααααα--→+∞→+∞+==--， 由题意lim ()0x F x →+∞=，得1α>. ……5分又因为2201000ln(1)ln(1)lim ()limlim xx x x t dt x F x x x ααα+++-→→→++==⎰231001lim lim x x x x x αααα++--→→==， 由题意 0lim ()0x F x +→=，得3α<. 综上所述，13α<<. ……10分(16)（本题满分11分）设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩-确定，求()y y x = 的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.解：令22101dy t dx t -==+，得1t =±.当1t =时，53x =； 当1t =-时，1x =-. ……3分令222222344(1)01(1)td y t t dx t t +===++，得0t =，即13x =. ……6分 列表如下：由此可知，函数()y x 的极大值为1(1)|1t y y =--==，极小值为151()|33t y y ===-. 曲线()y y x =的凹区间为1(,)3+∞，凸区间为1(,)3-∞.由于011()|33t y y ===，所以曲线()y y x =的拐点为11(,33）. ……11分(17)（本题满分10分）【 同数学一（16）题 】 (18)（本题满分10分）设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点. 记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若d dydx dxα=，求()y x 的表达式. 解：由于tan y α'=，即arctan y α'=，所以 ……2分21d y dx y α''='+.于是有21y y y '''='+，即2(1)y y y ''''=+ ① ……4分令y p '=，则"y p '=，代入①式得2(1)p p p '=+，分离变量得2(1)dpdx p p =+， 两边积分得212ln 2ln 1p x C p=++ ② 由题意(0)1y '=，即当0x =时1p =，代入②式 得112C =，于是有 22121x e xy p e'==- ……7分两边积分得222221()x xx e e e y dx C ==+-，由(0)0y =得24C π=-.所以24x e y π=-. ……10分(19)（本题满分10分）【 同数学一（18）题 】(20)（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（I ）求容器的容积；（II ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位：m ，重力加速度为g 2/m s ，水的密度为3310/kg m .） 解： (I) 由对称性，所求的容积为12212V x dy π-=⎰……3分122192(1)4y dy ππ-=-=⎰，即该容器的容积为94π立方米.……5分（II ）123232211210(1)(2)10[1(1)](2)W y y gdy y y gdy ππ-=--+--⎰⎰－ ……8分132323232112271010(22)(44)8g y y y dy y y y dy g ππ-⎡⎤⨯=--++-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰.即所求的功为32710/8g π⨯焦耳. ……11分(21)（本题满分11分）【 同数学一（19）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (23)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】数 学（三）一．选择题 (1～8小题，每小题4分，共32分) . (1) 【 同数学二（1）题 】 (2) 【 同数学二（2）题 】(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) (A) 若1nn u ∞=∑收敛，则2121()n n n u u ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛 (C) 若1n n u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 【 同数学一（4）题 】 (5) 【 同数学一（5）题 】(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为 (C) (A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 【 同数学一（7）题 】(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自该总体的简单随机样本.则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n -==+-∑，有 (D) (A)1212,ET ET DT DT >> (B) 1212,ET ET DT DT >< (C) 1212,ET ET DT DT <>(D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 设0()lim (13)x tt f x x t →=+，则()f x '=3(13)xx e +.(10) 设函数(1)x yxyz =+，则(1,1)|dz =(12ln 2)()dx dy +-.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为2y x=-.(12) 曲线21y x =-2x =及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为4/3π. (13) 设二次型123(,,)T f x x x =x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Q =x y 下的标准形为213y .(14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分） 求极限 012sin 1x x x →+--.解：0012sin 112sin 1x x x x x x →→+--+--= ……2分 0112sin x x→-+= ……4分 0cos 12sin 12sin x x x x →-+=+0sin 12sin x x x →--+= ……8分 12=-.……10分 (16)（本题满分10分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,))z f x y f x y =+.求2(1,1)z x y∂∂∂.解：121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ……3分 2111212(,(,))(,(,))(,)(,)(,(,))zf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''''=+++⋅+⋅+∂∂22 12122()(,(,))(,(,))(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ⎡⎤''''''+++++⋅⎣⎦2 ……7分由题意知，1(1,1)0f '=，2(1,1)0f '=， ……9分从而2(1,1)z x y ∂∂∂11212(2,2)(2,2)(1,1)f f f '''''=+.……10分(17)（本题满分10分） 求不定积分arcsinln x xx+⎛⎜⎠.解：arcsinln 2ln )x xx x x x+=⎰……2分2(arcsin ln )21x x x x x =--⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……6分 2(arcsinln )41x x x x x=+-- ……8分2(arcsin ln )214x x x x x C =+- ……10分(18)（本题满分10分）证明方程44arctan 303x x π-+=恰有两个实根. 证：设 4()4arctan 3f x x x π=-+24(3)(3)()11x x f x x -+'=-=+ ……2分 令()0f x '=，解得驻点123,3x x =-=.由单调性判别法知()f x 在(,3]-∞-上单调减少，在[3,3]-上单调增加，在[3,)+∞上单调减少. ……5分 因为(3)0f -=，且由上述单调性可知(3)f -是()f x 在(3]-∞上的最小值， 所以3x =()f x 在(,3]-∞-上的唯一的零点. ……7分又因为4(3)2(3)03f π=>，且l i m ()x f x →+∞=-∞，所以由连续函数的介值定理知()f x 在(3,)+∞内存在零点，且由()f x 的单调性知零点唯一.综上可知，()f x 在(,)-∞+∞内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根. ……10分(19)（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有连续导数，(0)1f =，且满足()()ttD D f x y dxdy f t dxdy '+=⎰⎰⎰⎰，其中{(,)|0,0}(01)tD x y y t x x t t =≤≤-≤≤<≤.求()f x 的表达式.解：()()tt t x D f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰……2分(()())()()ttf t f x dx tf t f t dx =-=-⎰⎰. ……4分又2()()2tD t f t dxdy f t =⎰⎰，由题设有20()()()2t t tf t f t dx f t -=⎰. ……6分两边求导整理得 (2)()2()t f t f t '-=，解得2()(2)Cf t t =-. ……9分代入(0)1f =，得4C =，故24()(01)(2)f x x x =≤≤-. ……10分(20)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (21)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（22）题 】 (23) （本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0x y -=，2x y +=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 解：(I) (,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其他.X 的概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.（1）当0x <或2x >时，()0X f x =； （2）当01x ≤≤时，0()xX f x dy x ==⎰； （3）当12x <≤时，20()2xXf x dy x -==-⎰；综上所述 ,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其 他……7分(II) Y 的概率密度为2,01,2(1),01,()(,)0,0,y yY dx y y y f y f x y dx -+∞-∞⎧≤≤-≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰=其他其他； 在(01)Y y y =≤<时，X 的条件概率密度为|1,2,(,)2(1)(|)()0,X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其他. ……11分。
考研数学(数学三)模拟试卷280(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的取值范围为A．｜k｜>2．B．｜k｜>1．C．｜k｜<1．D．｜k｜<2正确答案：A解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点y=f(x)只有以下三种情形f(x)只有一个零点同号f(一1)，f(1)>0k>2；f(一1)，f(1)k｜k｜>2．故选A．2．设函数则f10(1)=A．101×210B．111×211．C．一101×210．D．一101×211正确答案：C解析：故选C．3．在反常积分①②③④中收敛的是A．①，②B．①，③C．②，④D．③，④正确答案：B解析：由题设选项可知，这4个反常积分中有两个收敛，两个发散．方法1。
找出其中两个收敛的．①由知①收敛③知③收敛．因此选B．方法2。
找出其中两个发散的．对于②：由而发散，知发散，即②发散．④由可知发散，即④发散．故选B．4．下列级数中属于条件收敛的是A．B．C．D．正确答案：D解析：【分析一】A，B，C不是条件收敛．由其中收敛，发散→A发散．由其中均收敛→B绝对收敛．由→C绝对收敛．因此应选D．【分析二】直接证明D条件收敛单调下降趋于零(n→∞)→交错级数收敛．又而发散→发散→D条件收敛．故应选D．5．设A是m×n矩阵，且方程组Ax=b有解，则A．当Ax=b有唯一解时，必有m=n．B．当Ax=b有唯一解时，必有r(A)=nC．当Ax=b有无穷多解时，必有m<n．D．当Ax=b有无穷多解时，必有r(A)<m．正确答案：B解析：方程组Ax=b有唯一解的列数，所以B正确．注意方程组有唯一解不要求方程的个数，n和未知数的个数n必须相等，可以有m>n．例如方程组Ax=b 有无穷多解的列数．当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩r(A)必小于方程的个数，例如6．下列矩阵中不能相似对角化的是A．B．C．D．正确答案：C解析：A～AA有n个线性无关的特征向量．记C项的矩阵为C，由可知矩阵C的特征值为λ=1(三重根)，而那么n—r(E—C)=3—2=1．说明齐次线性方程组(E—C)x=0只有一个线性无关的解，亦即λ=1只有一个线性无关的特征向量，所以C不能对角化．故选C．7．设随机变量X的密度函数为且已知，则θ=A．3B．ln3C．D．正确答案：C解析：本题有两个参数，先由密度函数的性质确定k的值，再由已知概率确定θ的值．故即又所以故选C．8．设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于可知X～(一3，2)，而A，B，C三个选项都不符合，只有D符合，可以验证即填空题9．=__________.正确答案：解析：【分析一】于是【分析二】其中用到了从(*)式也可以再用罗毕达法则．10．x轴上方的星形线：与x轴所围区域的面积S=________．正确答案：解析：x轴上方的星形线表达式为11．若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且f(0)=8，则f(x)=________．正确答案：解析：令t=cosx+2→cosx=t-2,cos2x=(t-2)2由因此12．一阶常系数差分方程yt+1一4t=16(t+1)4t满足初值y0=3的特解是yt=___________．正确答案：(2t2+2t+3)4t．解析：应设特解为yt=(At2+Bt+c)B,C其中A，B，C为待定常数．令t=0可得y0=C，利用初值y0=3即可确定常数C=3．于是待求特解为yt=(At2+Bt+3)4t．把yt+1=[A(t+1)2+B(t+1)+3]4t+1=4[At2+(2A+B)t+4+B+3]4t与yt代入方程可得yt+1—4yt=4(2At+A+B)4t，由此可见待定常数A与B应满足恒等式4(2At+A+B)≡16(t+1)A=B=2．故特解为yt=(2t2+2t+3)4t．13．已知．A*是A的伴随矩阵，则=________．正确答案：解析：因为AA*=A*A=｜A｜E，又所以于是14．设X1，X2，…，Xn+1是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，则服从____________分布．正确答案：解析：由于Xi(i=1，2，…，n+1)均来自同一总体，且相互独立．故EXi=p，DXi=σ2，Y是X的线性组合，故仍服从正态分布．所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研數學（三）真題及答案詳解一．選擇題1.已知當错误！未找到引用源。
0x →時，函數()3sin sin3f x x x =-错误！未找到引用源。
與kcx 是等價無窮小，則（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==-（C ） 错误！未找到引用源。
（D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =處可導，且()00f =，則()()2332limx x f x f x x→-=（A ）()'20f - （B ）()'0f -(C) ()'0f (D)0 3．設{}n u 是數列，則下列命題正確の是 （A ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=+∑收斂（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂（C ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=-∑收斂（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂4．設4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，則,,I J K の大小關係是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．設A 為3階矩陣，將A の第二列加到第一列得矩陣B ，再交換B の第二行與第一行得單位矩陣.記1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,則A =（A ）12PP （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．設A 為43⨯矩陣，123,,ηηη是非齊次線性方程組Ax β=の3個線性無關の解，12,k k 為任意常數，則Ax β=の通解為 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- 7．設()()12,F x F x 為兩個分佈函數，其相應の概率密度()()12,f x f x 是連續函數，則必為概率密度の是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．設總體X 服從參數為λ()0λ>の泊松分佈，()12,,,2n X X X n ≥ 為來自總體の簡單隨機樣本，則對應の統計量111n i i T X n ==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空題9．設0()lim (13)xtt f x x t →=+，則()f x '=10．設函數(1)xy xz y=+，則(1,0)dz =11．曲線tan()4y x y e π++=在點(0,0)處の切線方程為12．曲線y =2x =及x 軸所圍成の平面圖形繞x 軸旋轉所成の旋轉體の體積為13．設二次型123(,,)T f x x x x Ax =の秩為1，A 中行元素之和為3，則f 在正交變換下x Qy =の標準為14．設二維隨機變數(,)X Y 服從22(,;,;0)N μμσσ，則2()E XY =三、解答題15．求極限0x →16.已知函數(,)f u v 具有連續の二階偏導數，(1,1)2f =是(,)f u v の極值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011年考研数学试题及参考答案(数学一)
（C） P2P1
（D） P2−1P1
【答案】 D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论
即可。
【 解 析 】 由 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系 知 AP1 = B ， P2B = E ， 所 以
A = BP1−1 = P2−1P1−1 = P2P1−1 ，故选（D）
n=1
） （A） (-1，1]
（B） [-1，1) （C） [0，2) （D）
(0，2]
【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项
级数收敛性的一些结论，综合性较强。
n
【解析】 Sn = ak (n = 1,2)无界，说明幂级数 an ( x −1)n 的收敛半径 R 1；
y
=
−
e
1dx
[
e−x cos x e1dxdx + C] = e−x[
cos xdx + C] = e−x[sin x + C]
由 y(0) = 0，得 C = 0 ，故所求解为 y = sin xe−x
11、设函数 F(x, y) =
xy sin t 0 1+t2
dt
，则
2F x 2
y(2) 0 ， y(3) = y(4) = 0 ， y(3) 0, y(4) = 0 ，故（3，0）是一拐点。
n
2、
设 数 列 an 单 调 减 少 ，
lim
n→
an
=0
，
Sn
=
ak (n
k =1
= 1,2) 无 界 ， 则 幂 级 数
an ( x −1)n 的收敛域为（
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2011考研数学真题和答案详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0s inlim1xxx→=1lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解xe ．sin x ．c o s x ．ln (1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程 考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线 性 代 数一、行列式 考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵 考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()0xef x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x >0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2分布t分布F 分布 分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1n i i S X X n ==--∑2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
考研数学三(概率统计)模拟试卷11(题后含答案及解析)
考研数学三（概率统计）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．以下4个结论：(1)教室中有r个学：生，则他们的生日都不相同的概率是(2)教室中有4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是(3)将C，C，E，E，J，N，S共7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词SCIENCE的概率是(4)袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，则3个球的最小号码为5的概率为正确的个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：对于4个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题．任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将r个球随机放入不同的r个盒子中的概率”．设A1=“他们的生日都不相同”，则(2)设A2=“至少有两个人的生日在同一个月”，则考虑对立事件，(3)设A1=“恰好排成SCIENCE”，将7个字母排成一列的一种排法看做基本事件，所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，共有C72种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C52种占法，字母I，N，S剩下的3个位置上全排列的方法共3 !种，故基本事件总数为C72C523 !=1 260，而A3中的基本事件只有一个，故(4)设A4=“最小号码为5”，则综上所述，有3个结论正确，选择(C)．知识模块：概率论与数理统计2．设X1，X2为独立的连续型随机变量，分布函数分别为F1(x)，F2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为( )A．F1(x)+F2(x)B．F1(x)一F2(x)C．F1(x)F2(x)D．F1(x)／F2(x)正确答案：C解析：用排除法．因为F1(x)，F2(x)都是分布函数，所以知识模块：概率论与数理统计3．设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y —X的概率密度fZ(z)为( )A．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z-x)dxB．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，x-x)dxC．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z+x)dxD．fZ(z)=∫-∞+∞f(-x，z+x)dx正确答案：C解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则其中Dz={(x，y)|y—x≤z)如图3-1的阴影部分所示，将②代入①得FZ(z)=∫-∞+∞dx∫-∞z f(x，u+x)du=∫-∞z du ∫-∞+∞f(x，u+x)dx．知识模块：概率论与数理统计4．设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X与Y的相关系数为，则( )A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：概率论与数理统计填空题5．事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致A 与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为________ ．正确答案：(1一a)(1—b)解析：知识模块：概率论与数理统计6．已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为________．正确答案：解析：这是独立重复试验概型，记A=“成功”，则P(A)=p，X=“n次试验中A发生的次数”，则X～B(n，p)，“在没有全部失败的条件下，‘成功’不止一次”的概率为知识模块：概率论与数理统计7．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则对x＞0，fY|X(y|x)=________．正确答案：解析：由f(x，y)的表达式知X与y相互独立，且关于X与关于Y的边缘概率密度分别为知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y均服从，且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系ρ=________．正确答案：1解析：由题设知识模块：概率论与数理统计9．设二维随机变量(X，Y)的分布律为则X与Y的协方差Cov(X，Y)为________．正确答案：解析：关于X与关于Y的边缘分布律分别为知识模块：概率论与数理统计10．设X1，X2是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，则查表得概率等于________ ．正确答案：0.9解析：(X1，X2)服从二维正态分布，所以(X1+X2，X1一X2)也服从二维正态分布，并且由X1+X2～N(0，2σ2)，X1一X2～N(0，2σ2)知Cov(X1+X2，X1一X2)=D(X1)一D(X2)=0，即X1+X2与X1一X2相互独立．此外，知识模块：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为________ ．正确答案：解析：似然函数为知识模块：概率论与数理统计12．设总体X～N(a，2)，y～N(b，2)，且独立，由分别来自总体X和Y 的容量分别为m和n的简单随机样本得样本方差SX2和SY2，则统计量服从的分布是________ ．正确答案：γ2(m+n一2)解析：因为由题设条件知，T1和T2分别服从自由度为m一1和n一1的γ2分布且相互独立，所以T服从自由度为(m一1)+(n一1)=m+n一2的γ2分布．知识模块：概率论与数理统计13．设总体X的密度函数为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2， (x)是X的一组样本值，则参数θ的最大似然估计值为________ ．正确答案：解析：似然函数为知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2011年数学三考研试题与答案
（B）
η2 − η3 + k2 (η2 − η1 ) 2 η − η3 （D） 2 + k2 (η2 − η1 ) + k3 ( η3 − η1 ) 2
7．设 F1 ( x ) , F2 ( x ) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) 是连续函数，则必为 概率密度的是 （A） f 1 ( x ) f 2 ( x ) （C） f 1 ( x ) F2 ( x ) （B） 2 f 2 ( x ) F1 ( x ) （D） f 1 ( x ) F2 ( x ) + f 2 ( x ) F1 ( x )
1 n −1 1 1 n X i ， T2 = Xi + Xn ∑ ∑ n i =1 n − 1 i =1 n
二、填空题
x
9．设 f ( x ) = lim x (1 + 3t ) t ，则 f ′( x ) =
t →0
10．设函数 z = (1 +
x y ) ，则 dz = (1, 0) y π ) = e y 在点 (0, 0) 处的切线方程为 4
2011 年考研数学（三）真题及答案详解
一．选择题
1.已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3x 与 cx 是等价无穷小，则 （A） （C）
k
k = 1, c = 4
（B） k = 1, c = −4 （D） k
k = 3, c = 4
= 3, c = −4
x2 f ( x ) − 2 f ( x3 ) x3
x
11．曲线 tan( x + y + 12． 曲线 y = 为
x 2 − 1 ，直线 x = 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1.1．已知y=y(x)由方程．正确答案：方程两边对自变量x求导，得涉及知识点：微积分2．设，求n及a的值．正确答案：由此可知n=2，a=-2e2．涉及知识点：函数、极限、连续3．已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B正确答案：由题意可知A-1存在，A*=｜A｜A-1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A｜=8，即｜A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因式得，(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E．且由已求结果｜A｜=2，知涉及知识点：矩阵4．求A的特征值．正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E一3E，就容易求特征值了．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为一3，一3，3．涉及知识点：线性代数5．已知抛物线y=ax2+bx(其中a＜0，b＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S 最大?最大值是多少?正确答案：由图1—5—3可知，抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程①代入方程②得ax2+(b+1)x一5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0，因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值．解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题．知识模块：微积分6．已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程BA－1=2AB+4E，且A*α=α，其中α=[1，1，－1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．正确答案：由条件知A的特征值为2，－1，－1，则｜A｜=2，因为A*的特征值为，所以A*的特征值为1，－2，－2．由已知，α是A*关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．由得2ABA－1=2AB+4E=>B=2(E－A)－1，则B的特征值为－2，1．1，且Bα=－2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x1，x2，x3]T，又B是实对称阵，α与β正交，故x1+x2－x3=0，解出β1=[1，－1，0]T，β2=[1，0，1]T，令故XTBX=－2x1x2+2x1x3+2x2x3．涉及知识点：线性代数7．求直线与平面x－y＋2z＝3之间的夹角．正确答案：涉及知识点：综合8．设≥一1，求正确答案：当一1≤x≤0时，当x＞0时，因此涉及知识点：定积分及应用9．设L：y＝sinx(0≤x≤)，由x＝0，L及y＝sinx围成面积S1(t)；由y＝sint，L及x＝围成面积S2(t)，其中0≤t≤．(1)t取何值时，S(t)＝S1(t)＋S2(t)取最小值?(2)t取何值时，S(t)＝S1(t)＋S2(t)取最大值?正确答案：S1(t)＝tsint－∫0tsinxdx＝tsint＋cost－1，S2(t)＝sint，S(t)＝S1(t)＋S2(t)＝2(t－)sint＋2cost－1．由S’(t)＝2(t－，．(1)当t＝时，S(t)最小，且最小面积为－1；(2)当t＝0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)＝1．涉及知识点：微积分10．设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．正确答案：涉及知识点：微积分11．将f(x)=展开x的幂级数．正确答案：涉及知识点：无穷级数12．已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a,b,c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。
2011考研数学三真题及答案(免费版)
k1 2 1
（B）
k2 2 1 2 3 （ D） 2 k2 2 1 k3 3 1 2
2 3
7．设 F1 x , F2 x 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 x , f 2 x 是连续函数，则必为概率密 度的是 （A） f1 x f 2 x （C） f1 x F2 x （B） 2 f 2 x F1 x （D） f1 x F2 x f 2 x F1 x
17．求
arcsin x ln x dx x
18．证明 4arctan x x
4 3 0 恰有 2 实根. 3
，且 19． f ( x)在[0,1]有连续的导数，f (0) 1
f ( x y)dxdy f ( x y)dxdy
' ' Dt Dt
Dt ( x, y) | 0 y t ,0 x t (0 t 1), 求f ( x)的表达式。
1 1 1 1 21． A 为三阶实矩阵， R( A) 2 ，且 A 0 0 0 0 1 1 1 1
（1）求 A 的特征值与特征向量（2）求 A
22. X P Y P -1 1/3 0 1/3 0 1/3 1 2/3 1 1/3
P X 2 Y 2 1
求： （1） X , Y 的分布； （2） Z XY 的分布； （3） XY .
23.
X , Y 在 G 上服从均匀分布， G 由 x y 0, x y 2 与 y 0 围成。
①求边缘密度 f X ( x) ；②求 f X |Y ( x | y)
考研数学三(多维随机变量及其分布)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X>a，Y>b}，下列结论正确的是( )A．为对立事件．B．为互不相容事件．C．为相互独立事件．D．P{X≤a，Y≤b}>P{X＞a，Y＞b}．正确答案：B解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(Y，X)的分布函数G(x，y)为( )A．F(x，y)．B．F(y，x)．C．F(－x，－y)．D．F(－y，－x)．正确答案：B解析：G(x，y)=P{Y≤x，X≤y}：P{X≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为则常数A和B的值依次为( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：F(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(－∞，－∞)=F(x，－∞)=F(－∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故满足此条件的只有(C)．知识模块：多维随机变量及其分布4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )A．FZ(2z)=2F(z)．B．FZ(2z)=[F(z)]2C．FZ(2z)≤[F(z)]2D．FZ(2z)≥[F(z)]2正确答案：D解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}－P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，从而[F(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，Y≤z对应区域B，显然故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．知识模块：多维随机变量及其分布5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和fZ(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是( )，A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．正确答案：D解析：由已知条件，有选项(A)不正确；例如令故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．知识模块：多维随机变量及其分布6．已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为随机变量Y的概率分布为则下列式子正确的是( )A．X=YB．P{X=Y}=0．C．D．P{X=Y}=1．正确答案：C解析：知识模块：多维随机变量及其分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷422(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷422(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列命题正确的是( )．A．若收敛B．设收敛C．若收敛D．设an＞0，bn＞0，且收敛正确答案：D解析：2．设f(x，y)在(0，0)处连续，且，则( )．A．f(x，y)在(0，0)处不可偏导B．f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C．fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分D．fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分正确答案：D解析：3．设A为三阶矩阵的解，则( )．A．当t≠2时，r(A)=1B．当t≠2时，r(A)=2C．当t=2时，r(A)=1D．当t=2时，r(A)=2正确答案：A解析：当t≠2时,为AX=0的两个线性无关的解，从而3一r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，应选A．4．设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：C解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3—λ4=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)一1，所以r(A)=1．因为4一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．5．设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为( )．A．0．36B．0．44C．0．64D．1正确答案：B解析：设X1～E(1)，其密度函数为其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，则E(X12)=D(X1)+EE(X1)]2=2．6．设X1，X2，X3，X4，X5是来自总体N(1，4)的简单随机样本，则a=( ) A．2B．C．D．1正确答案：C解析：7．设随机变量x与y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是( )A．E(X－Y)=0。
2011年考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当时，与是等价无穷小，则(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】(洛必达法则)(洛必达法则)()由此得。
【方法二】由泰勒公式知则故。
【方法三】故综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知在处可导，且,则(A)(B)(C)(D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑处导数定义【方法二】拆项用导数定义由于，由导数定义知所以【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于在处可导，则综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设是数列，则下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛。
(B)若收敛，则收敛。
(C)若收敛，则收敛。
(D)若收敛，则收敛。
【答案】A。
【解析】若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设,则的大小关系为(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当时，又因为为上的单调增函数，所以,故即综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行和第3行得单位矩阵，记,,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意，从而，从而所以【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为(A)(B)(C)(D)【答案】C。
2011年考研数学(一)真题(含答案解析)
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
an = 1 + 1 / 2 + … +
′′ ( x, y )dxdy = ∫ xdx ∫ yf xy ′′ ( x, y )dy I = ∫∫ xyf xy
0 0
1
1
D
∫
19.解：
1
0
′′ ( x, y )dy = ∫ ydf x′( x, y ) = y f xy ′ ( x, y ) 1 ′ yf xy 0 − ∫ f x ( x, y ) dy ,
∫
π 4
0
4 4 ln sin xdx , J = ∫ ln cot xdx , K = ∫ ln cos xdx 则I、J、K的大小关系是
π
π
0
0
A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I 5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单
显然 g ( 0 ) = 0 , 因为 g ′( t ) = 2 t arctan t > 0 , 所以 g ( t ) > g ( 0 ) = 0 (当 t > 0 ),
k −1 −
k − 1 > 0 , 极小值 − k arctan k − 1 > 0,
2011年考研数学三真题及全面解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）k=1, c =4 （B ） k=1,c =-4 （C ） k=3,c =4 （D ） k=3,c =-4 【答案】 （C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim kx x x x x xcx →--=()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ )(4)](!3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x xx x f +=+--+-=-=故3,4==k c ，选（C ）.（2）已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ） -()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0. 【答案】（B ）【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故应选（B ）（3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A ）若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 （B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ） 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 （D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析：由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u ∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.（4）设4l n s i n I x d x π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I <<【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<时，0sin cos cot x x x <<<<，因此ln sin ln cos lnx x <<444lnsin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）（5）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = （ ）（A ） 12P P （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ） 121-P P【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（6）设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为（ ）（A ）23121()2k ηηηη++-（B ）23121()2k ηηηη-+-（C ） 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- （D ） 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+- 【答案】（C ）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：1213,ηηηη--为0=Ax 的解，因为321,,ηηη线性无关，故1213,ηηηη--线性无关，232ηη+为β=Ax 的解，故β=Ax 的通解为)()(212213132ηηηηηη-+-++k k 所以应选（C ）.（7）设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）（A ）1()f x 2()f x （B ）22()f x 1()F x（C ）1()f x 2()F x （D ）1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】（D ）【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】解析：[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.（8）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n-==+-∑，有 （ ） （A ）1ET >2ET ,1DT >2DT （B ）1ET >2ET ,1DT <2DT （C ）1ET <2ET ,1DT >2DT （D ）1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】（D ）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】解析：由于12,,,n X X X 是简单随机样本，0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，且12,,,n X X X 相互独立，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9） 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313x e x + 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+x f x e x .（10） 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】解析：两边取对数得ln ln(1)x xz y y=+， 由一阶微分形式不变性，两边求微分得dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy yx yxdx y x y y x dy y x dx y y x yx d y x y x d y x dz z ])()1ln([])()1ln(1[)111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(122222+-+-++++=+-+++-+=+++=将1x =，1y =，2)1,1(=z 代入得()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-（11） 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法【详解】解析：两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4(sec 2π，所以在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-. （12）曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析：()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰（13） 设二次型()123,,Tf x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y=下的标准形为 . 【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：A 的各行元素之和为3，即1113111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以13λ=是A 的一个特征值.又因为二次型Tx Ax 的秩1)(==A r 230λλ⇒==. 因此，二次型的标准形为：213y .（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E X Y = .【答案】22()μμσ+【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【详解】解析：因为(),~X Y ()22,;,;0μμσσN ，所以2~(,)X N μσ，,2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX又因为0=ρ，所以X ，Y 相互独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅22()μμσ=+。
考研数学三模拟试题(附答案)
全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试卷（模拟考试）身份证号 姓名 电话 成绩数学三答题号及分值：(4+2+2，4+1+1，5+2+2)1-8题共32分9-14共24分 15 10分1610分1710分1810分1910分20 11分2111分2211分2311分成绩一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．函数∫++=xdt t t x f 02)1ln()(为（）。
(A)偶函数,且在上为单调减。
(B)偶函数，且在),0(+∞),0(+∞上为单调增。
(C)奇函数，且在上为单调减。
(D)奇函数，且在),0(+∞),0(+∞上为单调增。
【解】 答案：（B）。
（函数奇偶性，定积分的换元积分公式） 因为对任意的),(+∞−∞∈x ，∫++=xdt t t x f 02)1ln()(都存在，且∫∫−−++−=++=−−xxdu u u dt t t x f 0202))()(1ln()1ln()()()1ln(11ln202x f du u u du u u xx=++=++−=∫∫。
所以∫++=xdt t t x f 02)1ln()(是偶函数，且在),0(+∞上0)1ln()(2>++=′x x x f 。
2．设在的某邻域内有二阶连续导数，且满足)(x f 0=x 1)1ln()(lim 30=+→x x f x , 则（ ）。
(A),,在0)0(=′f 0)0(≠′′f )(x f 0=x 处有极值(B),在处有极值0)0()0(=′′=′f f )(x f 0=x (C), 在处取得拐点0)0()0(=′′=′f f 0=x (D), 在处取得拐点0)0(,0)0(=′′≠′f f 0=x 【解】13)(lim )(lim )1ln()(lim203030=′==+→→→x x f x x f x x f x x x ，0)0(=′f ，)(x f ′在0=x 的两侧不变号，因此不为极值点。
考研数学三(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)模拟
考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，Sn=X1+X2+...+X2n，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2， (X)A．有相同期望和方差．B．服从同一离散型分布．C．服从同一均匀分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X1，X2，…，Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在．选项(A)不成立，因为X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．知识模块：大数定律和中心极限定理2．假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C．X1，2X2，…，nXn，…D．正确答案：C解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X1，…，X2，…，还是X1+1，X2+2，…，Xn+n，…，X1，2X2，…，nXn，…以及X1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EXn=λ，DXn=λ，E(Xn+n)=λ+n，D(Xn+n)=λ，E(nXn)=nλ，D(nXn)=n2λ，．因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差DX1，…，DXn，…有公共上界，即DXn＜c，c是与n 无关的常数．对于(A)：DXn=λ＜λ+1；对于(B)：D(Xn+n)=DXn=λ＜λ+1；对于(C)：D(nXn)=n2DXn=n2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n →∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的数学期望．B．有相同的方差．C．服从同一泊松分布．D．服从同一连续型分布，正确答案：C解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理4．设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理5．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的期望．B．有相同的方差．C．有相同的分布．D．服从同参数p的0．1分布．正确答案：D解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D). 知识模块：大数定律和中心极限定理6．设随机变量X1，…，X2，…相互独立，记Yn=X2n-X2n-1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1}A．数学期望存在．B．有相同的数学期望与方差．C．服从同一离散型分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：B解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXN=μ，DXN=σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意ε＞0有知识模块：大数定律和中心极限定理7．设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是A．B．C．D．正确答案：C解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且以Ф(x)为极限，故应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理8．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，EXi=μ，DXi=2，i=1，2，…，令=P{Yn＜p}，则A．{Xn：n=1，2，…}满足辛钦大数定律．B．{Xn：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律．C．p可以用列维一林德伯格定理近似计算．D．p可以用拉普拉斯定理近似计算．正确答案：B解析：由于X1，X2，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DYi=2＜l(l＞2)，因此{Xn：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律，应选(B)．知识模块：大数定律和中心极限定理9．设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1-α，则x=A．B．C．D．正确答案：A解析：由P{X≤x}=1-α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)．又由F1-α(n1，n2)=．故选(A)．知识模块：数理统计的基本概念填空题10．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于______.正确答案：7／2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：大数定律和中心极限定理11．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn=X2n-X2n-1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于_______．正确答案：2σ2．解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn=X2n-X2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以=DYn+(EYn)2=2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．知识模块：大数定律和中心极限定理12．随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，Xn，对任何ε＞0，，则a=_______，b=_______．正确答案：3，11解析：依题意X1，…，Xn相：互独立且有相同的概率分布：P{Xi=k}=(k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EXi=(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，依概率收敛于3，即a=3．同理，依概率收敛于11，即b=11．知识模块：大数定律和中心极限定理13．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，则=________(结果用标准正态分布函数Ф(x)表示)．正确答案：解析：由于Xn相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DXn=，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有知识模块：大数定律和中心极限定理14．设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=_________．正确答案：0.84解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率≈Ф(3)-Ф(-1)=Ф(3)-[1-Ф(1)]=0．9987-(1-0．8413)=0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．知识模块：大数定律和中心极限定理15．设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则P{≤4．392}≈_________．正确答案：0.975解析：由于EXk=DXk=4，．因为n=100充分大，故由列维一林德伯格定理知，近似地服从正态分布N(4，0．22)．因此，有知识模块：大数定律和中心极限定理16．设随机变量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且Xi服从参数为λ的泊松分布，Yi服从参数为的指数分布，i=1，2，…，n，则当n充分大时，近似服从_______分布，其分布参数为_______与________．正确答案：正态，2nλ，n(λ+λ2)解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互独立同分布．因EXi=DXi=λ，EYi=λ，DYi=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，当n充分大时，近似服从正态分布，其分布参数知识模块：大数定律和中心极限定理17．设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2， (X)的联合概率密度f(x1，x2，…，xn)=________.正确答案：解析：总体X的概率密度由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此知识模块：数理统计的基本概念18．设总体X-P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值的概率分布为_________．正确答案：解析：由泊松分布的可加性可知，当X1，X2独立时，X1+X2～P(2λ)，继而有X1，X2，…，Xn独立同为P(λ)分布时，的概率分布为知识模块：数理统计的基本概念19．设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体X的简单随机样本值，则总体X 的经验分布函数Fn(x)=_________.正确答案：解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为知识模块：数理统计的基本概念20．已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)=_______．正确答案：n解析：由χ2分布的典型模式，而Xi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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(A) (B)
(C) (D)
(3)设有下列命题：
①若 收敛，则 收敛；②若 收敛，则 收敛；
③若 ，则 发散；④若 收敛，则 ， 收敛
正确的是（）
（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④
(4)设 ，则（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
(5)设 是 阶矩阵，齐次线性方程组（I） 有非零解，则非齐次线性方程组（II） ，对任何
（I） ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 。
， 。
，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 。
， 。
（II） 。显然 。
所以
（23）（本题满分11分）
解：（I） ；
所以 ，得
（II）
，得
（III）
所以
因此 是 的无偏估计量
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
(9)已知 ， ，则 。
(10)方程 满足 的特解为。
(11) 。其中 为 。
(12) 。
(13)设 是三阶矩阵，已知 ， 与 相似，则 的相似对角形为。
(14)设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。
（9）应填 。
解：由 ， 得
(10)应填
解：令 ，原方程变为
方程两边对 求导得
再两边对 求导得 ，即
由 得 ，故
(11)应填
(12)应填
解：因
故原式
(13)应填 【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】
解：由 ，知 的特征值为 ，相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值也为 ，故 相似的标准形为
所以，
(2)B
解：由于函数可导（除 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。
(3)B
解：因级数 是 删除前1000项而得，故当 收敛时，去掉有限项依然收敛，因此 收敛，
若 ，则存在正整数 ，使得 是， 不变号。若 ，有正项级数的比值判别法知 发散。同理可知，如果 ，则正项级数 发散，因此 发散。故②③正确，选B
(21)（本题满分11分）设 为三阶方阵， 为三维线性无关列向量组，且有 ， ， 。求
（I）求 的全部特征值。（II） 是否可以对角化？
（22）（本题满分11分）设两随机变量 在区域 上均匀分布，其中 ，又设 ， ，试求：
（I） 与 的概率密度 与 ；
（II） 与 的协方差 和相关系数
（23）（本题满分11分）设总体 的概率密度函数为 ，其中 。 是总体 的一个容量为 的样本。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）设函数 具有二阶连续偏导数，且满足等式 。确定 的值，使等式在变换 下简化为 。
(16)（本题满分10分）求幂级数 的收敛域及其在收敛域内的和函数；
(17)（本题满分10分）设 在 连续，且 ， 。证明：至少 ，使得 。
所以
所以 ， 时， 在 处可导
(20)（本题满分11分）证明：若 是 的解，显然 是 的解；反之，设 是 的解，则 。即 ，从而
，于是 ，即 是 的解。 与 是同解方程组
（II）既然 与 是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩 =秩
(21)（本题满分11分）
解：（I）由已知得， ， ， ，
又因为 线性无关，所以 ， ，
（4）A
解： ，因 ，则
，故 。而
，故 ，所以
【也可以用泰勒公式计算】
（5）A
解： 有非零解，充要条件是 ，由此即可找到答案。
（6）D
解： = =
（7）C
解：由 ，所以
故 ，
（8）B
因为 服从正态分布，股根据题设 知，
，从而有 ，显然只有（B）满足要求。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
2011考研数学三模拟题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1） 是在 内单调增加的连续函数，对任何 ，记 ， ，则必有（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；
（2）设函数 在 内连续，在 内可导，函数 的图像为
(18)（本题满分10分）过椭圆 上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(19)（本题满分10分）设 ，其中 在 处二阶可导，且 。
（I） 、 为何值时 在 处连续？
（II） 、 为何值时 在 处可导？
(20)（本题满分11分）设 是实矩阵。证明：（I） 与 是同解方程组；（II）秩 =秩
它与两坐标轴的交点为 和 。
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为
则只须求 在条件 下的极值即可。
设
由
解得 或 。
由此分别求的 或
所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为
(19)（本题满分10分）解：（I）
若要 在 处连续，必须 ，即
故 ， 为任意实数时， 在 处连续。
（II）若要 在 处可导，则必须 在 处连续（ ），且
(14)应填0.2
解：设A：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”，B：“所取的两件都是不合格品”
因为 ，
所以
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）解： ，
，
将以上各式代入原等式，得
，
由题意，令
且
故
(16)（本题满分10分）解：（I）由于 ，所以 ，即 ，
所以 ,2是 的特征值， ， ， 是相对应的特征向量。
又由 线性无关，得 ， ， 也线性无关，所以 是矩阵 的二重特征值，即 得全部特征值为 ,2
（II）由 线性无关，可以证明 ， ， 也线性无关，即 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 可相似对角化。
（22）（本题满分11分）
解：区域 实际是以 为顶点的正方形区域， 的面积为2， 的联合概率密度为 ；有了 就可以求概率密度 与 ，特别可利用 的对称性。
（A）不可能有唯一解；（B）必有无穷多解；
（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解
(6)设 均是 阶可逆矩阵，则行列式 的值为
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
(7)总体 ， 为来自 的样本， 为样本均值，则（）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） ；
(8)设随机变量 相互独立且均服从正态分布 ，若概率 则（）
当 和 时幂级数变为 及 ，均发散，故原级数的收敛域为
设
则 ，
所以 ，则
(17)（本题满分10分）证明：作函数 ，有
。
所以由积分中值定理，存在 ，
使 即 。
又 ，所以，由极限的保号性，存在 ，
使 ，即 。
因此，由介值定理，至少存在一个 ，使 ，即 。
(18)（本题满分10分）解：设 为所给椭圆上任一点，则可求得在 处的切线方程为
（I）求参数 的矩估计量；
（II）求参数 的最大似然估计量；
（III）说明由最大似然估计法所得 的估计量是否为无偏估计量。
2011考研数学三模拟题参考答案
二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）A
解：设 ，则