2017中考复习题型七几何图形探究题(针对演练)

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2017年长沙中考数学之几何经典专题(含解析)

2017年长沙中考数学之几何经典专题1.女口图，ABCD 为正方形，0 为 AC 、BD 的交点，△ DCE 为 Rt △，/ CED=90 ° Z DCE=30 °若 0E= 「〜,2则正方形的面积为( ) A . 5 B . 4 C . 3 D . 2 3. 如图，正方形 ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H , BE 、AH 交于点G ,则下列结论: ① AG 丄BE ;② BG=4GE ;③ JBHE =S A CHD ；④ Z AHB= Z EHD . 其中正确的个数是()A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4.已知点D 与点A (0, 6), B( 0, - 4), C( x, y )是平行四边形的四个顶点，其中x, y 满足3x - 4y+12=0 , 则CD 长的最小值为() A . 10 B . 2 " C . — D .42.如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ,AD 上，若 CE=3 ，，且Z ECF=45 ，贝U CF的长为（）A . 2 —i B .3 -55. _____________________________________________________________________ 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC , BC=10 ,Z BCD=60 °两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ____________________________________________________ .7. 如图，在 △ ABC 中，/ BAC=90 ° AB=6 , AC=8，点P 是BC 边上任意一点(B 、C 除外)PE 丄AB 于点E , PF 丄AC 于点F ,连接EF ，则EF 的最小值为 ___________________________ .& 如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 0,以AD 为边向外作 Rt △ ADE , / AED=90 °连接0E , DE=6 , 0E=8二，则另一直角边 AE 的长为 _____________________ .9.若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是10. 如图，正方形 0ABC 的边0A , 0C 在坐标轴上，点 B 的坐标为(-3, 3).点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 x 轴向点0运动；点Q 从点0同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点P 到达点0时，点Q 也停止运动.连接 BP ，过P 点作BP 的垂线，与过点 Q 平行于y 轴的直线I 相交于点D . BD 与y 轴交于点E ,连接PE .设点P 运动的时间为t ( s ).(1) 求/ EBP 的度数；(2) 求点D 运动路径的长；(3) 探索△ P0E 周长是否随时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值.AC=12 , P 为边BC 上一动点，PE 丄AB 于E , PF 丄AC11. 如图，把△ EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4，EF=4 近，/ BAD=60 ° 且AB > 4 晶.(1)求/ EPF的大小；(2)若AP=6，求AE+AF 的值；(3)若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.12. 知，四边形ABCD是正方形，/ MAN=45 °它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH丄MN，垂足为点H(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；(2)如图2，已知/ BAC=45 ° AD丄BC于点D，且BD=2 , CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图① 发现，△ ABM和厶AHM关于AM对称，△ AHN和厶ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③ 进行翻折变换，解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？图②13. 如图1 , BC是O O的直径，点A在O O上，点D在CA的延长线上，DE丄BC ,垂足为点E, DE与O O相交于点H，与AB相交于点I，过点A作O O的切线AF，与DE相交于点F.(1)求证：/ DAF= / ABO ;(2)当AB=AD 时，求证：BC=2AF ;(3)如图2，在(2)的条件下，延长FA, BC相交于点G,若tan/ DAF= ' , EH=2 ~，求线段CG的长.14. 如图，一次函数y= - x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线I，点P为直线I上的动点，点Q为直线AB与厶OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合.(1) 写出点A的坐标；(2) 当点P在直线I上运动时，是否存在点P使得△ OQB与厶APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.(3) 若点M在直线l上，且/ POM=90 °记厶OAP外接圆和△ OAM外接圆的面积分别是参考答案与试题解析一 •选择题（共4小题）1. 女口图，ABCD 为正方形，0 为 AC 、BD 的交点，△ DCE 为 Rt △，/ CED=90 ° Z DCE=30 °若 0E== 一 A . 5 B . 4 C . 3 D . 2【解答】解：如图，过点 0作0M 丄CE 于M ,作ON 丄DE 交ED 的延长线于 N ,•••Z CED=90 °•••四边形OMEN 是矩形，•••Z MON=90 °• Z COM+ Z DOM= Z DON+ Z DOM ,• Z COM= Z DON ,• •四边形ABCD 是正方形，• OC=OD ,在厶COM 和厶DON 中，Nc 陆 ZDON-ZN=ZCIO-90QL OC =OD•••△ COM ◎△ DON （AAS ）,• OM=ON ,•四边形OMEN 是正方形，设正方形ABCD 的边长为2a ,• Z DCE=30 ° Z CED=90 °• DE=a , CE= ■ . a ,设 DN=x , x+DE=CE - x ，解得: （V5+1）a• NE=x+a=——: -----------2 •/ OE = G 「NE ,• —_ -= p 一后:71• a=1,• S 正方形ABCD =4 故选B .2. 如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB , AD 上，若CE=3伍，且/ ECF=45 °则CF 的长为（）x= （V3 - 1）a则正方形的面积为（A. 2 厂B. 3 =C.-」D.上:，【解答】解：如图，延长FD到G,使DG=BE ; 连接CG、EF;•••四边形ABCD为正方形，在△ BCE与△ DCG中，r CB=CD-ZCBE=ZCDG ,,BE=DG•••△ BCE◎△ DCG (SAS),••• CG=CE，/ DCG= / BCE,•••/ GCF=45 °在厶GCF与厶ECF中，r GC=EC£ZGCF=ZECF ,L CF=CF•••△ GCF ◎△ ECF ( SAS),•GF=EF,•/ CE=3 二，CB=6 ,•BE= J 「J=：：」,"3，•AE=3 ,设AF=x，贝U DF=6 - x, GF=3+ (6 - x) =9 - x,•EF=• J=，2 2••( 9 - x) =9+x ,•x=4 ,即AF=4 ,•GF=5,•DF=2,•CF=-二「厂1宀二=2 ''，故选：A.3. 如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H , BE、AH交于点G,则下列结论:① AG 丄BE;② BG=4GE ;③ S^BHE=S^CHD；④/ AHB= / EHD .其中正确的个数是（）【解答】证明：•••四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点, ••• AE=DE , AB=CD，/ BAD= / CDA=90 °在△ BAE和△ CDE中r AB=DEiAB二CD•△ BAE ◎△ CDE (SAS),•••/ ABE= / DCE ,•••四边形ABCD是正方形，•AD=DC，/ ADB= / CDB=45 °,•••在△ ADH和厶CDH中，r AD=CD円ZADH=ZCDH,L DH=DH•△ ADH ◎△ CDH ( SAS),•••/ HAD= / HCD ,•••/ ABE= / DCE•••/ ABE= / HAD ,•••/ BAD= / BAH+ / DAH=90 °•••/ ABE+ / BAH=90 °•••/ AGB=180。

2017年中考数学专题复习《几何证明》压轴题(含答案解析)(2021年整理精品文档)

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几何证明压轴题(中考）1、如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下,当BE ：CE=1:2,∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值。

［解析］ (1)过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M ，则AM=BC=2。

又tan ∠ADC=2，所以212DM ==.即DC=BC 。

（2)等腰三角形.证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=。

所以，△DEC ≌△BFC所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠。

所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.(3)设BE k =,则2CE CF k ==,所以EF =。

因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒.所以3BF k == 所以1sin 33k BFE k ∠==.2、已知：如图,在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；EBFCDA（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论．[解析］（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝21AB ,CF ＝21CD ． ∴AE ＝CF∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝BE ＝DE ． ∴∠1＝∠2,∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．(1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN的长度，猜想BM ,FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1)中的猜想还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．［解析]（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ．∴ BM =FN ．（2） BM =FN 仍然成立．（3）证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．又∵∠MOB =∠NOF , ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5. （1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长；（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4:1，求扇形OAC （阴影部分)的面积（结果保留π）。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大，而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ，由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538，因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ，又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ，在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10，又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3，由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ，在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ，在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ，由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ，同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形，又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013，解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5，解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43，解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ，又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12，即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12，又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)，当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ，设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ，又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ，在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下：由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°，即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下：如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2，由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ，又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF，由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

2017全国部分省市中考数学真题汇编---图形的运动(pdf版)

2017全国部分省市中考数学真题汇编----图形的运动图形的运动一．选择题1．经过圆锥顶点的截面的形状可能是（）A．B． C．D．2．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（）A．B．C．D．3．下列几何体中，截面图不可能是三角形的有（）①圆锥；②圆柱；③长方体；④球．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到的新图形上的对应点P1，Q1，下列变换中不一定保证PQ=P1Q1的是（）A．平移B．旋转C．翻折D．位似5．观察下图，请把如图图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来（）A．B． C． D．6．下列说法：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④7．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（）A．B．C．D．8．用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（）A．梯形B．五边形C．六边形D．七边形9．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似二．填空题10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为 cm3．（结果保留π）11．如图，长方形硬纸板以其中任意一边为轴旋转都可得到一个圆柱，你认为以厘米长的边为轴旋转得到的圆柱体积较大．12．把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为．13．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．14．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．15．如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为 cm2．）小题）（共10小题解答题（三．解答题16．（1）图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图（2），（3），（4），（5）的木块．我们知道，图（1）的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（2），（3），（4），（5）中木块的顶点数，棱数，面数填入表：图顶点数棱数面数（1）8126（2）（3）（4）（5）（2）观察表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：．（3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为，棱数为，面数为．这与你（2）题中所归纳的关系是否相符？17．如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片（1）若将此长方形纸片绕长边或短边所在直线旋转一周，能形成的几何体是，这能说明的事实是．（2）求：当此长方形纸片绕长边所在直线旋转一周时（如图1），所形成的几何体的体积．（3）求：当此长方形纸片绕短边所在直线旋转一周时（如图2），所形成的几何体的体积．18．如图所示，已知直角三角形纸板ABC ，直角边AB=4cm ，BC=8cm ．（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到种大小不同的几何体？（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积=πr 2h ，其中π取3）19．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周．（温馨提示：①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V 圆柱=πr 2h ，V 球体=πR 3，V 圆锥=πr 2h ）．（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是．（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？（3）如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？20．探究：有一长6cm ，宽4cm 的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（2）如果该矩形的长宽分别是5cm 和3cm 呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？参考答案与解析考答案与解析一．选择题1．经过圆锥顶点的截面的形状可能是（）A．B． C．D．【分析】根据已知的特点解答．【解答】解：经过圆锥顶点的截面的形状可能B中图形，故选：B．【点评】本题考查的是用一个平面去截一个几何体，掌握圆锥的特点是解题的关键．2．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（）A．B．C．D．【分析】上面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，下面的长方形旋转一周后是一个圆柱．所以应是圆锥和圆柱的组合体．【解答】解：根据以上分析应是圆锥和圆柱的组合体．故选：B．【点评】本题考查的是点、线、面、体知识点，可把较复杂的图象进行分解旋转，然后再组合．3．下列几何体中，截面图不可能是三角形的有（）①圆锥；②圆柱；③长方体；④球．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据截面的概念、结合图形解答即可．【解答】解：圆锥的轴截面是三角形，①不合题意；圆柱截面图不可能是三角形，②符合题意；长方体对角线的截面是三角形，③不合题意；球截面图不可能是三角形，④符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是截一个几何体的知识，截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．4．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到的新图形上的对应点P1，Q1，下列变换中不一定保证PQ=P1Q1的是（）A．平移B．旋转C．翻折D．位似【分析】根据平移、旋转变换、翻折变换和位似变换的性质进行判断即可．【解答】解：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，故PQ=P1Q1；旋转的性质：旋转前、后的图形全等，故PQ=P1Q1；翻折的性质：成轴对称的两个图形全等，故PQ=P1Q1；位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定保证PQ=P1Q1；故选：D．【点评】本题考查的是平移、旋转变换、翻折变换和位似变换，理解并掌握平移、旋转变换、翻折变换和位似变换的性质是解题的关键．5．观察下图，请把如图图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来（）A．B． C． D．【分析】根据面动成体的原理以及空间想象力即可解．【解答】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体．故选D．【点评】考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．6．下列说法：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④【分析】根据点动成线，可以判断①；根据线动成面，可以判断②；根据面动成体，可以判断③；根据平移的性质，可以判断④．【解答】解：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段是正确的；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形是正确的；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱是正确的；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个圆柱，原来的说法错误．故选：B．【点评】此题考查了点、线、面、体，关键是掌握平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力．7．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（）A．B．C．D．【分析】如图本题是一个平面图形围绕一条边为中心对称轴旋转一周根据面动成体的原理即可解．【解答】解：由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周可得到圆柱体，如图立体图形是两个圆柱的组合体，则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在直线旋转一周即可得到，故选：A．【点评】本题考查面动成体，需注意可把较复杂的体分解来进行分析．8．用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（）A．梯形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形．故选D．【点评】本题考查正方体的截面．正方体的截面的四种情况应熟记．9．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似【分析】开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．【解答】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换．故选D．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．小题））填空题（二．填空题（共13小题10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为 27πcm3．（结果保留π）【分析】首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3cm，底面直径为6cm，再找出主视图的形状可得答案．【解答】解：直线AB为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3cm，底面直径为6cm，∴所得几何体的体积=32π•3=27π故答案为：27πcm3．【点评】此题主要考查了点、线、面、体，以及三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．11．如图，长方形硬纸板以其中任意一边为轴旋转都可得到一个圆柱，你认为以 3厘米长的边为轴旋转得到的圆柱体积较大．【分析】圆柱的体积公式是：V=sh=πr2h，分别计算以3cm和4cm长的边为轴旋转得到的圆柱体积，进相比较即可．【解答】解：以3cm长的边为轴旋转得到的圆柱体积=π×42×3=48π，以4cm长的边为轴旋转得到的圆柱体积=π×32×4=36π，∵36π＜48π，∴以3厘米长的边为轴旋转得到的圆柱体积较大．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆柱体体积的计算公式的运用，解决问题的关键是掌握圆柱的体积公式：V=πr2h．12．把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为 7，8，9，10．【分析】结合长方体，动手操作，得出结果即可．【解答】解：把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为7，8，9，10，故答案为：7，8，9，10【点评】此题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．13．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 10．【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．【解答】解：依题意有n（n+1）+1=56，解得n1=﹣11（不合题意舍去），n2=10．答：n的值为10．故答案为：10．【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．14．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 ②③④ （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．【解答】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）．故答案为：②③④．【点评】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键．15．如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为 24cm2．【分析】由于是在正方体的顶点上截取一个小正方体，去掉小正方形的三个面的面积，同时又多出小正方形的三个面的面积，表面积没变，由此求得答案即可．【解答】解：过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为2×2×6=24cm2．故答案为：24．【点评】此题考查截一个几何体，求几何体的表面积，理解截取的面与增加的面之间的关系是解决问题的关键．三．解答题16．（1）图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图（2），（3），（4），（5）的木块．我们知道，图（1）的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（2），（3），（4），（5）中木块的顶点数，棱数，面数填入表：图顶点数棱数面数（1）8126（2）695（3）8126（4）8137（5）10157（2）观察表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：顶点数+面数﹣2=棱数．（3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 8，棱数为 12，面数为 6．这与你（2）题中所归纳的关系是否相符？【分析】根据欧拉公式，可得答案．【解答】解：观察表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：顶点数+面数﹣2=棱数．（3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为8，棱数为12，面数为6．这与你（2）题中所归纳的关系是相符．故答案为：6，9，5；8，12，6；8，13，7；10，15，7；顶点数+面数﹣2=棱数；12，6．【点评】本题考查了欧拉公式，利用欧拉公式是解题关键．17．如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片（1）若将此长方形纸片绕长边或短边所在直线旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．（2）求：当此长方形纸片绕长边所在直线旋转一周时（如图1），所形成的几何体的体积．（3）求：当此长方形纸片绕短边所在直线旋转一周时（如图2），所形成的几何体的体积．【分析】（1）矩形旋转一周得到圆柱；（2）绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为6cm，从而计算体积即可；（3）绕宽旋转得到的圆柱底面半径为6cm，高为4cm，从而计算体积即可．【解答】解：（1）若将此长方形纸片绕长边或短边所在直线旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体；（2）绕长边旋转得到的圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，体积=π×32×4=36πcm3；（3）绕短边旋转得到的圆柱底面半径为4cm，高为3cm，体积=π×42×3=48πcm3．故答案为：圆柱；面动成体．【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的关键，另外要掌握圆柱的体积计算公式．18．如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB=4cm，BC=8cm．（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到 3种大小不同的几何体？（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积=πr2h，其中π取3）【分析】（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体．（2）如果以AB所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是8厘米，高是4厘米；如果以BC所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是4厘米，高是8厘米，根据圆锥的体积公式：v=πr2h，把数据代入公式解答．【解答】解：（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体．（2）以AB为轴：×3×82×4=×3×64×4=256（立方厘米）；以BC为轴：×3×42×8=×3×16×8 =128（立方厘米）．答：以AB 为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC 为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．故答案为：3．【点评】此题考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用．19．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周．（温馨提示：①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V 圆柱=πr 2h ，V 球体=πR 3，V 圆锥=πr 2h ）．（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是两个圆锥形成的几何体．（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？（3）如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？【分析】（1）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转即可；（2）确定圆锥的高与半径即可求出体积；（3）分别求出两种图形的体积，再比较即可．【解答】解：（1）两个圆锥形成的几何体，故答案为：两个圆锥形成的几何体．（2）V 圆锥=πr 2h=π×82×6=128π，（3）①如图=，解得r=，所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为V 圆锥=πr 2h=π×（）2×10=76.8π=πr2h=π×62②绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为V圆锥×8=96π，故绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．【点评】本题主要考查了几何体的旋转，主要培养学生空间的想象能力．20．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；（2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；（3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案．【解答】解：（1）方案一：π×32×4=36π（cm3），方案二：π×22×6=24π（cm3），∵36π＞24π，∴方案一构造的圆柱的体积大；（2）方案一：π×（）2×3=π（cm3），方案二：π×（）2×5=π（cm3），∵π＞π，∴方案一构造的圆柱的体积大；（3）由（1）、（2），得以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大．【点评】本题考查了点线面体，利用矩形旋转得圆柱是解题关键．。

浙江新中考2017年中考数学总复习第七章图形的相似与解直角三角形综合测试课件

2．如图，在△ ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，DE∥BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是( )
AD AE A．＝ AB AC AD DE C．＝ DB BC
DF AE B．＝ FC EC DF EF D．＝ BF FC
【解析】∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC，△ DEF∽△ CBF， AD AE DF DE DF EF ∴ ＝＝，＝＝ . 故选 A． AB AC FC BC FC BF 【答案】 A
8．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB 的角平分线交 AB，BD 于 M，N 两点，若 AM ＝2，则线段 ON 的长为( )
2 A． 2
3 B． 2
C．1
6 D． 2
【解析】如图，过点 M 作 MH⊥ AC，垂足为 H，∴∠ AHM＝ 90° .∵正方形 ABCD，
3．如图，DE 是△ ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF＝DE，连结 CF，则 S△ CEF∶S 四边形 BCED 为( A )
A．1∶3
B．2∶3
C．1∶4
D．2∶5
4．如图，在△ ABC 中， BF 平分∠ ABC， AF⊥ BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连结 DF 延长交 AC 于点 E.若 AB＝ 10， BC＝ 16，则线段 EF 的长为 ( )
∵∠ PDH＝∠PCD＝ 30° ，∠ DPH＝∠ DPC， PD PH 2 ∴△ DPH∽△ CPD，∴ ＝ .∴ PD ＝PH· CD． CD PD ∵ PB＝ CD， ∴PD2＝PH· PB，故③正确；
如图，过点 P 作 PM⊥ CD， PN⊥ BC，设正方形 ABCD 的边长是 4，△ BPC 为正三角形， ∴∠ PBC＝∠ PCB＝ 60° ，PB ＝ PC ＝ BC ＝ CD ＝ 4.∴∠ PCM ＝ 3 30° .∴ PN＝PB· sin 60° ＝ 4× ＝ 2 3， 2 PM＝ PC· sin 30° ＝ 2. S△ BPD ＝ S 四边形 PBCD － S△ BCD＝ S△

重庆市2017年中考数学第二部分题型研究题型七几何图形探究题课件

题型七
类型一
几何图形探究题
几何图形旋转探究
类型二
类型三
几何图形动点探究
几何图形背景变换探究
类型一
几何图形旋转探究
典例精讲
例 1 如图①，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D 为
BC边上一点，且DE＝CD，连接BE. (1)若CE＝4，BC＝6 3 ，求线段BE的长； (2)如图②，取BE中点P，连接AP、PD、AD，求证： AP⊥PD且AP＝ 3 PD； (3)如图③，把图②中的△CDE 绕点 C 顺时针旋转任
(2)如图②，求证：BC＝ 2 (AE＋AF)；
(3)如图③，点M是线段EF的中点，连接AM，在
线段AB上是否存在点E，使得BC＝4AM？若存在，
求∠EAM的度数；若不存在，请说明理由．
(1)【思维教练】要求EF的长，已知点D、E分别为 BC、AB的中点，且∠FDE＝90°，可想到运用中位线的知识，只需证明F为AC的中点即可．证明：∵点D、E分别是BC、AB的中点， ∴DE∥AC，又∵DF⊥DE， ∴∠FDE＝∠AFD＝90°， ∵∠BAC＝90°，
例2题解图①
∵∠C＝45°，∴∠EAD＝∠C， ∵∠ADE＋∠ADF＝90°，∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，
∠EAD＝∠C
∠ADE＝∠CDF
例2题解图①
AD＝CD
∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC，
∴BC＝ 2 AC＝ 2 (FC＋AF)＝ 2 (AE＋AF)．
解：成立．
证明：如解图③，延长DP到M，使得PM＝PD，连
接AM、BM，延长ED交BC于N，
在△BPM和△EPD中，
BP PE BPM EPD PM PD

【中考专题2017】2017年九年级数学中考专题练习相似三角形50题（含答案）

【中考专题2017】2017年九年级数学中考专题练习相似三⾓形50题（含答案）2017年九年级数学中考专题练习相似三⾓形50题⼀、选择题：1.如图，DE∥BC，在下列⽐例式中，不能成⽴的是（）A.＝B.＝C.＝D.＝2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的⾯积与四边形BCED的⾯积的⽐为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：13.两个相似多边形⼀组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似⽐为( )4.如图，F是平⾏四边形ABCD对⾓线BD上的点，BF:FD=1:3，则BE:EC=（）5.如图，⼩正⽅形的边长均为1，则图中三⾓形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A． B． C． D．6.下列各组数中，成⽐例的是（）A.-7,-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，127.如图,铁路道⼝的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升⾼（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中，⼀定相似的是( )A.正⽅形与矩形B.正⽅形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形9.如图所⽰，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三⾓形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．311.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似⽐为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（）A.6B.5C.9D.12.如图，正⽅形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的⾯积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以⽤图象表⽰为( )A. B. C. D.13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的⽅向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象⼤致是( )A． B． C． D．14.如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直⾓三⾓形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三⾓形相似（相似⽐不等于1），则n的值是（）A.2B.3C.4D.515.如图,正⽅形ABCD的两边BC,AB分别在平⾯直⾓坐标系的x轴，y轴的正半轴上,正⽅形A/B/C/D/与正⽅形ABCD是以AC的中点O/为中⼼的位似图形,已知AC=3,若点A/的坐标为(1,2),则正⽅形A/B/C/D/与正⽅形ABCD的相似⽐是( )A. B. C. D.16.如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A.4对B.1对C.2对D.3对17.如图，△ABC和△AMN都是等边三⾓形，点M是△ABC的重⼼，那么的值为（）A. B. C. D.18.将⼀副三⾓尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针⽅向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（）A. B. C. D.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.P是AB边上⼀动点,PD⊥AC于点D,点E在P的右侧，且PE=1，⼤⼩变化情况是（）A.⼀直不变B.⼀直减⼩C.⼀直增⼤D.先减⼩后增⼤20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上⼀点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ 的外⼼；④AC2=AE?AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④⼆、填空题：21.若△ABC与△AB1C1的相似⽐为2:3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似⽐为2:3，那么△ABC与△A2B2C2的相似⽐为122.如图，(1)若AE:AB=________,则△ABC∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.23.如图，在□ABCD中，对⾓线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q. 则的值为________．24.在△ABC中，已知AB=3，BC=5。

重庆市2017年中考数学二轮复习几何图形探究题真题演练

题型七几何图形旋转探究类型一几何图形旋转探究针对演练1. (2016甘孜州)如图①，AD 为等腰直角△ABC 的高，点A 和点C 分别在正方形DEFG 的边DG 和DE 上，连接BG 、AE . (1)求证：BG ＝AE ；(2)将正方形DEFG 绕点D 旋转，当线段EG 经过点A 时(如图②所示)． ①求证：BG ⊥GE ；②设DG 与AB 交于点M ，若AG ∶AE ＝3∶4，求GM MD的值．第1题图2. 四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 上(不与端点B 、C 重合)，点F 在对角线AC 上，且EF ⊥AC ，连接AE ，点G 是AE 的中点，连接DF 、FG . (1)若AB ＝72，BE ＝2，求FG 的长； (2)求证：DF ＝2FG ；(3)将图①中的△CEF 绕点C 按顺时针旋转，使边CF 恰好在正方形ABCD 的边BC 上(如图②)，连接AE ，点G 仍是AE 的中点，猜想BF 与FG 之间的数量关系，并证明你的猜想．第2题图3. (2016重庆南开九下半期考试)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F，使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH；(3)如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α(0°<α<360°)得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN.已知CD＝AE＝4，直接写出DN的取值范围．第3题图4. (2016重庆西大附中第七次月考)已知如图①，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于F，连接AF，G为AF中点，连接EG，CG.(1)如果BE＝2，∠BAF＝30°，求EG，GC的长；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取AF中点G，连接EG，CG.延长CG至M，使GM＝GC，连接EM、EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，取AF中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？证明你的结论．第4题图5. (2016重庆巴蜀中学上期期末考试)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE ＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF.(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，不需要证明；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长．第5题图6. (2016重庆育才二诊)菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 和点F 分别是BC 和CD 上一动点，且∠EOF ＋∠BCD ＝180°，连接EF .(1)如图①，当∠ABC ＝90°，若AC ＝42，EC ＝32，求线段EF 的长；(2)如图②，当∠ABC ＝60°时，求证：CE ＋CF ＝12AB ；(3)如图③，当∠ABC ＝90°时，将∠EOF 的顶点移到AO 上任意一点O ′处，∠EO ′F 绕点O ′旋转，仍满足∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，O ′E 交BC 的延长线于点E ，射线O ′F 交CD 的延长线于点F ，连接EF ，探究在整个运动变化过程中，线段CE 、CF ，O ′C 之间满足的数量关系，并证明你的结论．第6题图答案类型一几何图形旋转探究针对演练1. (1)证明：∵AD 为等腰直角△ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠BDG ＝90°， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ，在△BDG 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=DE DG ADE BDG AD BD90， ∴△BDG ≌△ADE (SAS)， ∴BG ＝AE.(2)①证明：如解图，第1题解图∵四边形DEFG 为正方形， ∴△DEG 为等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°，∵DE ＝DG ，由(1)得AD ＝BD ， BG ＝AE ，∴△BDG ≌△ADE(SSS)， ∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE ＝90°， ∴BG ⊥GE ；②解：设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，GE ＝7x ， ∴DG ＝22GE ＝722x ， ∵△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝22)3()4(x x +＝5x ， ∵△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ， ∴∠3＝∠4，又∵∠BDM ＝∠GDB ， ∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM ∶BD ，即522x ∶722x ＝DM ∶522x ，解得：DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝x x142257212＝2425. 2. (1)解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ABC ＝90°，根据勾股定理得，AE ＝AB 2＋BE 2＝10， ∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°， ∵点G 是AE 中点，∴FG ＝12AE ＝5.(2)证明：连接BF ，BG ，如解图①，第2题解图①∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴AB ＝AD ，∠DAC ＝∠BAC ， ∵AF ＝AF ，∴△AFD ≌△AFB (SAS)， ∴DF ＝BF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°， ∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°， ∵G 为AE 的中点， ∴AG ＝FG ＝BG ，∴∠GAF ＝∠GFA ，∠GAB ＝∠GBA ，又∵∠BAF ＝45°，∴∠BGF ＝∠EGF ＋∠EGB ＝∠GAF ＋∠GFA ＋∠GAB ＋∠GBA ＝45°＋45°＝90°， ∴△BGF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2FG ， ∵DF ＝BF ， ∴DF ＝2FG .(3)解：BF ＝2FG .证明：连接BG ，CG ，如解图②，第2题解图②∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°， AB ＝BC ，根据旋转性质可知，∠CFE ＝90°，∠ECF ＝45°， ∴∠ACE ＝90°， ∵点G 是AE 的中点， ∴EG ＝CG ＝AG ，∴△ABG ≌△CGB (SSS)，∴∠ABG ＝∠CBG ＝12∠ABC ＝45°，∵在△EFG 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧===FG FG CF EF CG EG ， ∴△EFG ≌△CFG (SSS)，∴∠EFG ＋∠CFG ＝360°－∠CFE ＝360°－90°＝270°， ∴∠EFG ＝135°， ∵∠BFE ＝90°， ∴∠BFG ＝45°，∴△BGF 为等腰直角三角形， ∴BF ＝2FG .3. (1)解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝90°. ∵∠ECD ＝30°， ∴CD ＝CE ·cos30°＝4×32＝23，AD ＝2CD ＝43，又∵DE ＝CE ·sin30°＝4×12＝2,∴AE ＝AD －DE ＝43－2.∴△AEC 的面积为：12×(43－2)×23＝12－2 3.(2)证明：如解图①，在HF 上取点M ，使MF ＝DH , 连接AM .第3题解图①∵AF ∥DC ， ∴∠F ＝∠DGH . ∵DH ⊥FG ，∴∠DHG ＝∠EDG ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DGH ＝∠F . ∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ， ∴AF ＝AD .在△AMF 和△AHD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AF ADH F HD MF ∴△AMF ≌△AHD (SAS)， ∴AM ＝AH ，∠FAM ＝∠DAH. ∵∠FAM ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＋∠DAH ＝90°，即∠MAH ＝90°，∴MH 2＝2AH 2,∴MH ＝2AH ，∴FH ＝FM ＋MH ＝DH ＋2AH ，即FH ＝2AH ＋DH.(3)解：25－2≤DN ≤25＋2.【解法提示】如解图②，取AC 的中点O ，连接DO 、NO ，则ON ＝12AE ′＝2.第3题解图②∵CD ＝4，AD ＝2CD ＝8，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝42＋82＝45， ∴ OD －ON ≤DN ≤OD ＋ON ，∴DN 的取值范围是25－2≤DN ≤25＋2. 4. (1)解：∵EF ⊥AB ，∠BAF ＝30°， ∴∠EFA ＝60°， ∵G 是AF 的中点，∴CG ＝EG ＝12AF ＝GF ，∴EG ＝EF ＝GF ， ∵∠B ＝45°， ∴BE ＝EF ＝2， ∴GC ＝EG ＝EF ＝2.(2)证明：连接MF ，如解图①，第4题解图①在△AGC 和△FGM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GM GC FGM AGC FG AG ∴△AGC ≌△FGM (SAS)，∴AC ＝FM ，∠CAG ＝∠MFG ＝45°，由旋转性质可知，∠E BF ＝∠BFE ＝45°，BE ＝EF ， ∴∠EFM ＝∠EBC ＝90°， ∵BC ＝AC ＝MF ， ∴△BCE ≌△FME ，∴EC ＝EM ，∠BEC ＝∠FEM ，∴∠BEC ＋∠CEF ＝∠FEM ＋∠CEF ＝90°， ∴△EMC 是等腰直角三角形． (3)解：GE ⊥GC ，EG ＝GC .证明：连接EC ，延长CG 到M ，使GM ＝GC ，如解图②，易证△ACG ≌△FMG ，得∠MFG ＝∠CAG ，MF ＝CA ＝CB ，第4题解图②∵∠EBF ＝∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∴∠EFM ＝360°－∠BFE －∠AFB －∠MFG ＝360°－45°－(180°－∠ABF －∠BAF )－(45°＋∠BAF )＝90°＋∠ABF ，∠CBE ＝∠EBF ＋∠ABF ＋∠ABC ＝90°＋∠ABF ， ∴∠CBE ＝∠MFE ， ∵BE ＝EF ，∴△BCE ≌△FME (SAS)， ∴EC ＝EM ，∠BCE ＝∠FME ， ∵∠ACG ＝∠FMG ，∴∠FME ＋∠FMG ＋∠MCE ＝∠BCE ＋∠A CG ＋∠MCE ，即∠EMG ＋∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴∠MEC ＝90°， ∵CG ＝MG ，∴GE ⊥GC ，EG ＝GC.5. 解：(1)DF ＝CF ，DF ⊥CF.【解法提示】∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，点F 为BE 中点，∴DF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF .∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°， ∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF ，∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ， ∴∠DFE ＝2∠DBF ，同理得：∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°， ∴DF ＝CF ，DF ⊥CF.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①所示，此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .第5题解图①∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°， ∴DE ∥BC ，∴∠D EF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF . ∵F 为BE 中点， ∴EF ＝BF.在△DEF 和△GBF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BF EF BGF EDF GBF DEF ,∴△DEF ≌△GBF (AAS)， ∴DE ＝GB ，DF ＝GF . ∵AD ＝DE ， ∴AD ＝GB ， ∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ， ∴DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形， ∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .(3)延长DF 交BA 于点H ，如解图②，第5题解图②∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，AD ＝DE ， ∴∠AED ＝∠ABC ＝45°.∵由旋转性质可知，∠CAE ＝∠BAD ＝90°， ∴AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ， ∴∠DEF ＝∠HBF . ∵F 是BE 的中点， ∴EF ＝BF ，在△DEF 和△HBF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BFH EFD BFEF HBF DEF ∴△DEF ≌△HBF (ASA)， ∴ED ＝BH ， ∵AC ＝22，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝4， ∵AD ＝1， ∴ED ＝BH ＝1，∴AH ＝3，在Rt △HAD 中，由勾股定理，得DH ＝10， ∴DF ＝102， ∴CF ＝DF ＝102. 6. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形，∴OC ⊥OD ，OC ＝OD ，∠OCE ＝∠ODF ＝45°，∠BCD ＝90°. ∵∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EOF －∠COF ＝∠COD －∠COF ， ∴∠EOC ＝∠FOD . 在△COE 和△DOF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODF OCE ODOC DOF COE ∴△COE ≌△DOF (ASA)，∴DF ＝CE ＝32.∵CD ＝AC ·sin45°＝42×22＝4， ∴CF ＝CD －DF ＝4－32＝52，在Rt △ECF 中，由勾股定理得， ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝（32）2＋（52)2＝342. (2)证明：如解图①，取BC 的中点G ，连接OG ，第6题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴OC ⊥OD ，∴OG ＝12BC ＝BG ＝CG .∵∠ABC ＝60°， ∴∠BCD ＝120°，∴∠BCA ＝60°，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∴OC ＝12AC ＝12BC ，∴OG ＝OC ＝CG ，∴∠OGC ＝∠COG ＝60°.∵∠BCD ＝120°，∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝60°，∴∠COF ＝30°， ∴∠EOF ＝∠COG ＝60°， ∴∠GOE ＝∠COF. 在△COF 和△GOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OGE OCOG COF GOE ∴△COF ≌△GOE (ASA)， ∴CF ＝GE.∵EG ＋CE ＝CG ＝12BC ＝12AB ，∴CE ＋CF ＝12AB .(3)解：CF －CE ＝2O ′C.证明：如解图②，第6题解图②过O′作O′G ⊥AC ，与CF 相交于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形， ∴∠ACD ＝45°. 又∵O′G ⊥AC ，∴∠O ′GC ＝∠ACD ＝45°，∴O ′C ＝O′G ，∠O ′GF ＝∠O′CE ＝135°. ∵∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，∠BCD ＝90°， ∴∠EO ′F ＝90°， ∵∠CO ′G ＝90°，∴∠EO ′F －∠EO′G ＝∠CO′G －∠EO′G ，即∠GO′F ＝∠CO′E ，在△O′GF 和△O′CE 中，,''''''⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CE O GF O CO G O E CO F GO ∴△O ′GF ≌△O ′CE (ASA)， ∴GF ＝CE.∵CF －GF ＝CG ， ∴CF －CE ＝CG.∵CG ＝O′C 2＋O′G 2＝2O′C， ∴CF －CE ＝2O′C .类型二几何图形动点探究针对演练1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F分别在边AD、AB上．(1)如图①，若点P与点O重合；①求证：AF＝DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE＝15°时，求线段EF的长；(2)如图②，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD＝3BP时，证明：PE＝2PF.第1题图2. (2016重庆南开阶段测试三)已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB；(3)如图③，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图，P为正方形ABCD边BC上任意一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.(1)如图①，若正方形的边长为22，PB＝1，求BG的长度；(2)如图②，当P点为BC的中点时，求证：CE＝2BG；(3)如图③，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN＋DN＝2AN.第3题图4. △ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，点D 在AB 边上(不与点A 、B 重合)，以CD 为腰作等腰直角△CDE ，∠DCE ＝90°.(1)如图①，作EF ⊥BC 于F ，求证：DB ＝FC ； (2)在图①中，连接AE 交BC 于M ，求ADBM的值；(3)如图②，过点E 作EH ⊥CE 交CB 的延长线于点H ，过点D 作DG ⊥DC ，交AC 于点G ，连接GH .当点D 在边AB 上运动时，式子HE －GDGH的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．第4题图5. (2016重庆十一中一诊)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF ＝AE ，连接BE 、EF .(1)如图①，当E 是线段AC 的中点，且AB ＝2时，求△ABC 的面积；(2)如图②，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE ＝EF ；(3)如图③，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．第5题图6. (2016重庆A 卷)在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°.点D 是BC 上一点，连接AD .过点A 作AG ⊥AD .在AG 上取点F ，连接DF ，延长DA 至E ，使AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF . (1)若AB ＝22，求BC 的长；(2)如图①，当点G 在AC 上时，求证：BD ＝12CG ；(3)如图②，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接．．写出ABCG的值．第6题图7. (2016重庆一中一模)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．(1)如图①，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长；(2)如图②，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE；(3)如图③，若点E在CB的延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．第7题图答案类型二几何图形动点探究针对演练1. (1)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OD ，∠OAF ＝∠ODE ＝45°，∠AOD ＝90°， ∴∠AOE ＋∠DOE ＝90°， ∵∠EPF ＝90°，∴∠AOF ＋∠AOE ＝90°， ∴∠DOE ＝∠AOF ，在△AOF 和△DOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODE OAF ODOA DOE AOF ∴△AOF ≌△DOE (ASA )． ∴AF ＝DE ；②如解图①，过点O 作OG ⊥AB 于G ，第1题解图①∵正方形的边长为23，∴OG ＝12BC ＝3，∵∠DOE ＝15°，由①知△AOF ≌△DOE ， ∴∠AOF ＝15°，∴∠FOG ＝45°－15°＝30°， ∵cos ∠FOG ＝OG OF， ∴OF ＝︒30cos OG ＝332＝2，又∵OE ＝OF ，∴EF ＝2OF ＝2 2.(2)证明：如解图②，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，第1题解图②则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPB ＝90°， ∴HP ＝BP ， ∵BD ＝3BP ， ∴PD ＝2BP ， ∴PD ＝2HP ，又∵∠HPF ＋∠HPE ＝90°，∠DPE ＋∠HPE ＝90°， ∴∠HPF ＝∠DPE ，又∵∠BHP ＝∠EDP＝45°， ∴△PHF ∽△PDE ， ∴PF PE ＝PH PD ＝12，即PE ＝2PF.2. (1)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BF ＝DF ，∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°， ∴∠ABD ＝90°，AB ＝2BF ，∴在Rt △ABF 中，根据勾股定理得AF 2＝AB 2＋BF 2，即(5)2＝5BF 2，解得BF ＝1，AB ＝2，∴在Rt △ABD 中，AD ＝2AB ＝2 2.(2)证明：过B 作BP ⊥AD 于P ，交AF 于Q ，如解图①，第2题解图①则∠ABQ ＝∠QBD ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C ＝∠BAD ＝45°，∠CDB ＝∠ABD ＝90°， ∴∠DBH ＝45°＝∠ABQ ，又∵∠AFB ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠DGF ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠BDH ， ∵AB ＝BD ，∴△ABQ ≌△DBH ， ∴BQ ＝BH ，又∵∠QBF ＝∠HBF ＝45°，BF ＝BF ， ∴△BQF ≌△BHF ， ∴∠BFQ ＝∠BFH . 即∠AFB ＝∠HFB. (3)解：AF ＝3FH .【解法提示】延长FH 交AB 延长线于P ，如解图②，第2题解图②∵由(2)知∠AFB ＝∠P FB ，∠ABF ＝∠PBF ＝90°，FB ＝FB ， ∴△ABF ≌△PBF ， ∴PF ＝AF ，AB ＝BP ，过B 作BQ ∥FH ，交AM 于Q ，∴∠BQM ＝∠FHM ，∠QBM ＝∠HFM ， ∵BM ＝FM ，∴△BMQ ≌△FMH ， ∴BQ ＝FH .∵BQ ∥FH ，AB ＝BP ，∴BQ ＝12PH ，∴FH ＝13FP ，即AF ＝3FH .3. (1)解：∵AB ＝22，BP ＝1，∠ABP ＝90°，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝3，∵S △ABP ＝12A P ·BG ＝12AB ·BP ，∴BG ＝223.(2)证明：过点C 作CH ⊥AE 于H ，如解图①，则∠BGP ＝∠CHP ＝90°，第3题解图①∵P 为BC 的中点， ∴PB ＝PC ，∵∠BPG ＝∠CPH ， ∴△BPG ≌△CPH ，∴BG ＝CH ，∠PBG ＝∠PCH ，∵∠PBG ＋∠ABG ＝∠ABG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠BAG ， ∴∠BAG ＝∠P CH ，∵AB ＝BE ，∴∠BAG ＝∠BEG ， ∴∠PCH ＝∠BEG ， ∵AB ＝BE ＝BC ， ∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴∠HCE ＝∠HEC ， ∴HC ＝HE ，∵HC 2＋HE 2＝CE 2， ∴2CH ＝CE ， ∴CE ＝2BG .(3)证明：过D 作DH ⊥AE 于H ，如解图②，第3题解图②∵BN 平分∠CBE ， ∴∠CBN ＝∠EBN ，由(2)知∠GBP ＝∠BEP. ∵BG ⊥AE ，∴∠GBN ＝∠GNB ＝90°2＝45°，∴BG ＝GN ，∵DH ⊥AP ，∠DAB ＝90°，∴∠DAH ＋∠ADH ＝∠DAH ＋∠BAG ＝90°， ∴∠ADH ＝∠BAG ，∵∠AHD ＝∠AGB ＝90°，AD ＝AB ， ∴△ADH ≌△BAG (AAS)， ∴AH ＝BG ＝GN ，DH ＝AG ， ∴HN ＝HG ＋GN ＝HG ＋AH ＝AG ， ∴DH ＝HN .∵∠DHN ＝90°，∴DN ＝2HN ＝2AG ，∴BN ＋DN ＝2GN ＋2AG ＝2AN .4. (1)证明：∵△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝90°， ∴CD ＝CE ，∠DCB ＋∠ECF ＝90°. ∵EF ⊥BC ，∴∠ECF ＋∠CEF ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CEF ，在△DBC 和△CEF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC CD CEF DCB CFE DBC ∴△DBC ≌△CFE ， ∴DB ＝CF .(2)解：如解图①，连接AE ，第4题解图①∵△DBC ≌△CFE ， ∴BD ＝CF ，BC ＝EF ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°， ∴AB ＝BC ，∴AB ＝EF ，AD ＝BF ，在△ABM 和△EFM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF AB EFM ABM EMF AMB ∴△ABM ≌△EFM ， ∴BM ＝FM ， ∴BF ＝2BM ， ∴AD ＝2BM ， ∴AD BM的值为2. (3)解：HE －GDGH的值不变．在EH 上截取EQ ＝DG ，如解图②，第4题解图②在△CDG 和△CEQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD CEQ CDG EQ DG ∴△CDG ≌△CEQ ，∴CG ＝CQ ，∠DCG ＝∠ECQ ， ∵∠DCG ＋∠DCB ＝45°， ∴∠ECQ ＋∠DCB ＝45°，而∠DCE ＝90°，∴∠HCQ ＝45°，∴∠HCQ ＝∠HCG ，在△HCG 和△HCQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CQ CG HCQ HCG HC HC ∴△HCG ≌△HCQ ， ∴HG ＝HQ ， ∴HE －GD GH ＝HQ ＋QE －GD HG ＝HG ＋DG －GDHG＝1. 5. (1)解：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ＝BC ＝2， ∵E 是线段AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，∴BE ＝AB ·sin60°＝2×32＝3， ∴S △ABC ＝12AC ·BE ＝ 3.(2)证明：连接DE和DF ，如解图①，第5题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°，在△ABE 和△ADE 和△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB ∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ， ∴∠ADE ＋∠CDE ＝∠CDF ＋∠CDE ， ∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ＝EF ， ∴BE ＝EF .(3)解：仍然成立．证明：连接DE 和DF ，如解图②，第5题解图②∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°，在△ABE 和△ADE 和△CD F 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB ∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ， ∴∠ADE －∠CDE ＝∠CDF －∠CDE ， ∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ＝EF ， ∴BE ＝EF .6. (1)解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，如解图①，第6题解图①在Rt △ABH 中，∠ABH ＝45°，AB ＝22， ∴BH ＝AH ＝2，在Rt △ACH 中，∠ACH ＝30°， ∴CH ＝23，∴BC ＝BH ＋CH ＝2＋2 3.(2)证明：过点A 作AM ⊥AB 交BC 于点M ，连接GM ，如解图②， ∵∠BAM ＝90°，∠ABM ＝45°，第6题解图②∴AB ＝AM ，∠AMB ＝45°， ∵AG ⊥AD ，∴∠DAG ＝∠EAG ＝90°， ∵AE ＝AF ，GE ＝DF ， ∴△ADF ≌△AGE ， ∴AD ＝AG ，∵∠BAM ＝∠DAG ＝90°， ∴∠BAD ＝∠MAG ， ∴△ABD ≌△AMG ，∴BD ＝GM ，∠B ＝∠AMG ＝45°， ∵∠AMB ＝45°， ∴∠GMC ＝90°，在Rt △CGM 中，∠C ＝30°， ∴12CG ＝GM ＝BD . (3)解：1＋32.【解法提示】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点G 作GQ ⊥AC 于Q ，过点C 作CM ⊥AG ，与其延长线相交于点M ，如解图③，第6题解图③∵GQ 为AC 的垂直平分线，由(2)同理可得AD ＝AG ， ∴AD ＝AG ＝CG ，又∵AH ＝12AC ，易证△ADH ≌△AGQ ≌△CGQ ，得∠DAH ＝∠GAC ＝∠GCA ＝12(∠DAG －∠CAH )＝12(90°－60°)＝15°，∴∠MGC ＝30°，设CM ＝a ，则GA ＝GC ＝2a ，GM ＝3a ，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝222)348()23(a a a a +=++＝(6＋2)a ， ∴AH ＝12AC ＝12(6＋2)a ，∴AB ＝2AH ＝(1＋3)a ， ∴AB CG＝aa 2)13(+＝3＋12.7. (1)解：在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AB ∥DE ，∴∠A ＝∠ADE ＝45°， ∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠ABF ＝∠FDE ＝∠FED ＝45°，AF ＝BF ，DF ＝EF ，则△AFB ，△DEF 为等腰直角三角形， ∴AF ＝22AB ＝22×6＝3， DF ＝EF ＝AD －AF ＝6－3，∴DE ＝2DF ＝23－ 6.(2)证明：延长BE 至K ，使EK ＝ED ，连接AK ，如解图，第7题解图在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∵2∠AEB ＝180°－∠BED ，∴∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ＝∠AEK ，在△AEK 和△AED 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED EK AED AEK AE AE , ∴△AEK ≌△AED ，则AK ＝AD ＝AB ， ∵∠ABK ＝60°，∴△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BE ＋KE ＝AB ＝BC ，即：BC ＝BE ＋DE . (3)解：∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD.【解法提示】∵点E 在CB 的延长线上， ∴CE ∥AD ， ∴∠E ＝∠ADE ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝2∠ABD ， ∴∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD.类型三几何图形背景变换探究针对演练1. △ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，∠AFD ＝60°. (1)如图①，求证：BD ＝CE ；(2)如图②，FG 为△AFC 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG ＝CD ，连接HA 、HC ，求证：∠AHC ＝60°；(3)在(2)的条件下，若AD＝2BD，FH＝9，求AF长．第1题图2. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的垂直平分线交AD 的延长线于点E，交BC于点F，连接CE、BE.(1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；(2)如图②，若∠ABE＝60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AC＋AB＝3AE，求∠BAC的度数．第2题图3. (2016重庆八中阶段测试一)如图①，矩形ABCD 中，AB ＝BE ，BF ＝CE ，点G 是FD 的中点，连接GA ，GE .(1)若AB ＝3，AD ＝4，求GA 的长； (2)求证：GA ＝GE ；(3)如图②，若将矩形ABCD 改为平行四边形ABCD ，其他条件均不变，(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．第3题图4. (2016泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠DCE ，若∠A ＝60°(如图①)．求证：EB ＝AD ； (2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其他条件不变，则EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第4题图5. 在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°.(1)如图①，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5.①求证：AF⊥BD；②求AF的长度；(2)如图②，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；(3)如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．第5题图6. (2016重庆育才模拟)已知，如图①，以△ABC中的AB和AC为斜边，分别向△ABC的外侧作等腰直角△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM.(1)若MF＝3，求AC的长；(2)求证：MD＝ME；(3)如图②，在△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM，猜想：△MDE 是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第6题图7. (2016沙坪坝区一诊)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，点D是边AB上任意一点，连接CD.(1)如图①，若∠BCD＝30°，且BD＝2，求线段CD的长；(2)如图②，若∠BCD＝15°，以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE，连接BE，点F在线段CD上，且CF＝BD，连接BF.求证：BE＝BF；(3)如图③，若以点C为直角顶点，线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE，点O是线段DE的中点，连接BO，猜想线段OB与CD有怎样的数量关系，请直接写出结论(不需证明)．第7题图8. (2015重庆A卷)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点．过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F 是BD的中点．DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF.(1)如图①，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB，BD的长；(2)如图①，求证：HF＝EF；(3)如图②，连接CF，CE.猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第8题图答案类型三几何图形背景变换探究针对演练1. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＋∠ACD＝60°，∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠CAE，在△ACE 和△CBD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CAE BCD ACBC ACE B ∴△ACE ≌△CBD (ASA)， ∴BD ＝CE .(2)证明：如解图①，作CM ⊥AE 交AE 的延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，第1题解图①∵∠EFC ＝∠AFD ＝60°， ∴∠AFC ＝120°，∵FG 为△AFC 的角平分线， ∴∠CFH ＝∠AFH ＝60°， ∴∠CFH ＝∠CFE ＝60°， ∵CM ⊥AE ，CN ⊥HF ， ∴CM ＝CN ，∵∠CEM ＝∠ACE ＋∠CAE ＝60°＋∠CAE ， ∠CGN ＝∠AFH ＋∠CAE ＝60°＋∠CAE ， ∴∠CEM ＝∠CGN ，在△ECM 和△GCN 中， ,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒CN CM CNG CME CGN CEM∴△ECM ≌△GCN (AAS )，∴CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ， ∴∠MCN ＝∠ECG ＝60°，由(1)知△ACE ≌△CBD ， ∴AE ＝CD ， ∵HG ＝CD ， ∴AE ＝HG ，∴AE ＋EM ＝HG ＋GN ，即AM ＝H N ，在△AMC 和△HN C 中， ,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒CN CM HNC AMC HN AM∴△AMC ≌△HNC (SAS)， ∴∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，∴∠ACM －∠ECM ＝∠HCN －∠GCN ，即∠ACE ＝∠HCG ＝60°， ∴△ACH 是等边三角形，∴∠AHC ＝60°.(3)解：如解图②，在FH 上截取FK ＝FC ，第1题解图②∵∠HFC ＝60°，∴△FCK 是等边三角形，∴∠FKC ＝60°，FC ＝KC ＝FK ， ∵由(2)知∠ACH ＝60°， ∴∠ACF ＝∠HCK ，在△AFC 和△HKC 中， ,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=HC AC HCK ACF KC FC∴△AFC ≌△HKC (SAS )， ∴AF ＝HK ，∴HF ＝HK ＋FK ＝AF ＋FC ＝9，∵AD ＝2BD ，BD ＝CE ＝CG ，AB ＝AC ， ∴AG ＝2CG ， ∴CFG AFG S S ∆∆＝AG GC ＝21，作GW ⊥AE 于W ，GQ ⊥DC 于Q ， ∵FG 为△AFC 的角平分线， ∴GW ＝GQ ，∵CFGAFG S S ∆∆＝GQ CF GWAF ⋅⋅2121＝AF CF ＝21，∴AF ＝2CF ， ∴AF ＝6.2. 解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过点D 作DG ⊥AB 交AB 于点G ，如解图①所示，第2题解图①∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DG ，∴Rt △ACD ≌Rt △AGD (HL)， ∴AC ＝AG ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，即△BDG 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DG ＝GB ，∴AB ＝AG ＋GB ＝AC ＋CD. (2)AB ＝AC ＋CE.证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示，第2题解图②∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ，在△ACE 和△AHE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE HAE CAE AH AC ∴△ACE ≌△AHE (SAS )， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴BE ＝HE .又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE .(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示，第2题解图③同(2)问可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ，∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ， ∵在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32， ∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.3. (1)解：∵AB ＝BE ，AB ＝3， ∴BE ＝3， ∵BC ＝AD ＝4，∴EC ＝BC －BE ＝4－3＝1， ∵BF ＝CE ， ∴BF ＝1，∴AF ＝AB －BF ＝3－1＝2，∴DF ＝AF 2＋AD 2＝25，∵∠DAF ＝90°，G 是DF 的中点，∴AG ＝12DF ＝ 5.(2)证明：如解图①，连接DE、EF ，第3题解图①∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠C ＝90°， ∵AB ＝BE ，∴CD ＝BE ，在△BEF 和△CDE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BF C B CD BE ∴△BEF ≌△CDE (SAS)， ∴∠BEF ＝∠CDE ，∵∠CED ＋∠CDE ＝90°， ∴∠CED ＋∠BEF ＝90°， ∴∠DEF ＝90°， ∵点G 是DF 的中点，∴GE ＝12DF ，∵AG ＝12DF ，∴GA ＝GE . (3)解：成立．证明：如解图②，延长CG ，与BA 的延长线相交于点M ，第3题解图②∵AB ∥CD ，∴∠M ＝∠DCG ，在△GMF 和△GCD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GD GF CGD MGF GCD M ∴△GMF ≌△GCD (AAS)， ∴GM ＝GC ，FM ＝DC ， ∵AB ＝CD ＝BE ， ∴AB ＝FM ， ∵BF ＝CE ，∴BE ＋CE ＝FM ＋BF ， ∴BM ＝BC ，∴∠ABG ＝∠EBG ，在△ABG 和△EBG 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BG BG EBG ABG EB AB ∴△ABG ≌△EBG (SAS )， ∴GA ＝GE .4. (1)证明：如解图①，过点D 作DF ∥BC 交AC 于F ，则AD ＝AF ＝DF ， ∠FDC ＝∠ECD ， ∵∠DEC ＝∠DCE ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°， ∴∠DBE ＝∠DFC ＝120°， ∴△DBE ≌△CFD ， ∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD .第4题解图①(2)解：EB ＝AD 成立，理由如下： ∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．如解图②，过D 点作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，第4题解图②则AD ＝AF ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ，又∵∠DEC ＝∠ECD ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，又∵∠DBE ＝∠DFC ＝60°， ∴△DBE ≌△CFD ， ∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD . (3)解：EB AD＝ 2.【解法提示】作DF ∥BC 交AC 于F ，如解图③，第4题解图③同(1)得：△DBE ≌△CFD (AAS)， ∴EB ＝DF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，DF ∥BC ， ∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝2AD ， ∴DF AD＝2，∴EB AD＝ 2.5. (1)①证明：如解图①，第5题解图①∵在△ACE 和△BCD 中，,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒DC EC BCD ACB BC AC ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴∠BFE ＝∠ACE ＝90°， ∴AF ⊥BD ；②解：∵∠ECD ＝90°，BC ＝AC ＝12，DC ＝EC ＝5，∴BD ＝122＋52＝13，∵S △ABD ＝12AD ·BC ＝12BD ·AF ，即12×17×12＝12×13·AF ∴AF ＝20413.(2)证明：如解图②，第5题解图②∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB ＋∠ACD ＝∠ECD ＋∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE ，在△ACE 与△BCD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴∠BFA ＝∠BCA ＝90°， ∴AF ⊥BD .(3)解：∠AFG 是一个固定的值，理由如下：如解图③，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，第5题解图③∵由(2)知△ACE ≌△BCD ， ∴S △ACE ＝S △BCD ，AE ＝BD ，∵S △ACE ＝12AE ·CN ，S △BCD ＝12BD ·CM ，∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AE ， ∴CF 平分∠BFE ， ∵AF ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°， ∴∠EFC ＝45°， ∴∠AFG ＝45°.6. (1)解：∵DF ⊥AB ，DB ＝DA ， ∴AF ＝BF ， ∵BM ＝MC ，∴FM ＝12AC ，∴AC ＝2FM ＝6.(2)证明：如解图①，取AC 中点G ，连接MG 、EG.第6题解图①∵△ADB 、△AEC 都是等腰直角三角形，AF ＝FB ，AG ＝GC ， ∴DF ＝AF ＝FB ，GE ＝AG ＝GC ，EG ⊥AC ，∴∠DFB ＝∠EGC ＝90°， ∵AF ＝BF ，BM ＝MC ，AG ＝GC ， ∴FM ∥AG ，MG ∥AF .∴四边形AFMG 是平行四边形，∴FM ＝AG ＝GE ，MG ＝AF ＝DF ，∠BFM ＝∠BAC ＝∠CGM ， ∵∠DFM ＝∠DFB ＋∠BFM ，∠EGM ＝∠EGC ＋∠CGM ， ∴∠DFM ＝∠EGM ，在△DFM 和△MGE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GE FM MGE DFM MG DF ∴△DFM ≌△MGE ， ∴DM ＝EM .(3)解：△EMD 是等腰直角三角形，证明：如解图②中，取AC 中点G ，连接MG 、EG ，DF 交MG 于点O .第6题解图②∵△ADB 、△AEC 都是等腰直角三角形，AF ＝FB ，AG ＝GC ， ∴DF ＝AF ＝FB ，GE ＝AG ＝GC ，EG ⊥AC ， ∴∠DFB ＝∠EGC ＝90°， ∵AF ＝BF ，BM ＝MC ，AG ＝GC ， ∴FM ∥AG ，MG ∥AF .∴四边形AFMG 是平行四边形，∴FM ＝AG ＝GE ，MG ＝AF ＝DF ，∠BFM ＝∠BAC ＝∠CGM ， ∵∠DFM ＝∠DFB －∠BFM ，∠EGM ＝∠EGC －∠CGM ， ∴∠DFM ＝∠EGM ，在△DFM 和△MGE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GE FM MGE DFM MG DF ∴△DFM ≌△MGE .∴DM ＝EM ，∠MDF ＝∠EMG ， ∵AB ∥MG ，∴∠MOD ＝∠BFD ＝90°， ∴∠OMD ＋∠MDO ＝90°， ∴∠EMG ＋∠OMD ＝90°，∴∠EMD ＝90°，∴△EMD 是等腰直角三角形．7. (1)解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，如解图①，第7题解图①在Rt △BDE 中，BD ＝2，∠B ＝45°， ∴DE ＝BD ·sin45°＝2，在Rt △CDE 中，∠BCD ＝30°， ∴CD ＝2DE ＝2 2.(2)证明：连接EF ，如解图②，第7题解图②∵△DCE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∠ECD ＝∠CDE ＝∠CED ＝60°，∵∠ADC ＝∠BCD ＋∠CBD ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDE ＝60°，在△CEF 和△DEB 中，,60⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒DB CF EDB ECF DE CE ∴△CEF ≌△DEB ，∴EF ＝EB ，∠CEF ＝∠DEB ，∴∠CEF ＋∠DEF ＝∠DEB ＋∠DEF ，即∠CED ＝∠BEF ＝60°， ∴△BEF 是等边三角形， ∴BE ＝BF . (3)解：OB ＝22CD. 【解法提示】连接BE ，如解图③，第7题解图③∵∠DCE ＝90°，CD ＝CE ， ∴DE ＝2CD ，∵∠CED ＝∠ABC ＝45°， ∠CGE ＝∠DGB ， ∴△CGE ∽△DGB ， ∴CG DG ＝GE GB，∵∠DGC ＝∠BGE ， ∴△CDG ∽△EBG ，∴∠EBG ＝∠CDG ＝45°，∴∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∵O 是DE 的中点，∴OB ＝12DE ，∵DE ＝2CD ， ∴OB ＝22CD . 8. (1)解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝23， ∴AB ＝2AC ＝4 3. ∵点H 是AC 中点，∴AH ＝12AC ＝ 3.∵AD ⊥AB ，∴∠DAH ＝90°－60°＝30°. ∵DH ⊥AC ，∴在Rt △ADH 中，cos30°＝AH AD， ∴AD ＝30cos AH ＝332＝2，∴BD ＝22＋（43）2＝213. (2)证明：连接AF ，如解图①.在Rt △ABD 中，F 为BD 中点，第8题解图①∴DF ＝AF ，∴∠FDA ＝∠FAD . ∵∠BAC ＝60°， AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAE ＝30°，由(1)知∠DAH ＝30°，∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠CAD ＝30°＋30°＝60°. ∵DH ⊥AC ，∴∠ADH ＝60°＝∠DAE ，又∵AD ＝AD ，∠AHD ＝∠AED ＝90°， ∴△AHD ≌△DEA (AAS)， ∴DH ＝AE .∵∠FDA ＝∠FAD ，∠ADH ＝∠DAE ， ∴∠FDH ＝∠FAE ，∴△FDH ≌△FAE (SAS)， ∴HF ＝EF.(3)解：△CEF 是等边三角形．证明：取AB 的中点M ，连接FM 、CM ，如解图②，第8题解图②∵F 为BD 的中点，M 为AB 的中点，∴FM ∥AD 且FM ＝12AD .由(2)知，∠CAE ＝30°，且在Rt △ADE 中，AE ＝12AD ，∴AE ＝MF .在Rt △ABC 中，M 为AB 中点， ∴AM ＝CM .∵∠MAC ＝60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AC ＝CM ，∠AMC ＝∠ACM ＝60°. ∵∠AMF ＝90°，∴∠CMF ＝90°－60°＝30°＝∠CAE， ∴△CAE ≌△CMF (SAS)，∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF，∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°，∴△CEF为等边三角形．拓展类型几何图形折叠探究1. 如图①，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE.(1)若AB＝BC，DE＝1，BE＝3，求△ABC的周长；(2)如图②，若AB＝BC，AD＝BD，∠ADB的平分线DF交BE于点F，求证：BF＝2DE；(3)如图③，若AB≠BC，AD＝BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．第1题图2. 已知Rt△ABC≌Rt△CDE.现将它们摆放成图①所示位置，其中B、C、D三点在同一直线上，连接AE.(1)如图①，若AB＝2，BC＝4，求AE的长；(2)如图②，取AE的中点M，连接BM、DM，证明：BM＝DM；(3)如图③，将图①的Rt△CDE以直线CD为对称轴向下翻折，仍然连接AE，取AE的中点M，连接BM、DM，请问：BM＝DM还成立吗？请说明理由．第2题图答案拓展类型几何图形折叠探究1. (1)解：∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，∠AEB ＝90°， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴DE ＝12AC ＝AE ，∴AC ＝2DE ＝2，AE ＝1，∴AB ＝12＋32＝10， ∴BC ＝10，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝210＋2. (2)证明：连接AF ，如解图①，第1题解图①∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ， ∴∠3＝∠4，∵∠ADB ＝90°，AD ＝BD ， ∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠DAB ＝∠DBA ＝45°， ∴∠3＝22.5°，∵∠1＋∠C ＝∠3＋∠C ＝90°， ∴∠1＝∠3＝22.5°， ∵DF 平分∠ADB ， ∴∠ADF ＝∠BDF ，在△ADF 和△BDF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF DF BDF ADF BD AD ∴△ADF ≌△BDF (SAS )，∴AF ＝BF ，∠2＝∠3＝22.5°， ∴∠EAF ＝∠1＋∠2＝45°， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF ＝2AE ，∵DE ＝AE ，AF ＝BF ， ∴BF ＝2DE .(3)解：BE ＝DG ＋AE .理由如下：作DH ⊥DE 交BE 于H ，如解图②，第1题解图②∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＋∠ACD ＝∠2＋∠ACD ＝90°， ∴∠1＝∠2，∴∠ADE ＝90°－∠ADH ＝∠BDH ，在△ADE 和△BDH 中，,21⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BDH ADE BDAD ∴△ADE ≌△BDH (ASA)， ∴DH ＝DE ，AE ＝BH ，∴△DHE 是等腰直角三角形， ∴∠DEH ＝45°，∴∠3＝90°－∠DEH ＝45°， ∵△ADC 沿着AC 翻折至△AGC ，∴DE ＝GE ，∠3＝∠4＝45°， ∴∠DEG ＝∠EDH ＝90°，DH ＝GE ， ∴DH ∥GE ，∴四边形DHEG 是平行四边形， ∴DG ＝EH ，∴BE ＝EH ＋BH ＝DG ＋AE .2. (1)解：∵Rt △ABC ≌Rt △CDE ， ∴∠BAC ＝∠DCE ，AC ＝CE ，在Rt △AB C 中，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°， ∴∠DCE ＋∠BCA ＝90°， ∵B ，C ，D 三点共线，∴∠ACE ＝180°－(∠DCE ＋∠BCA )＝90°， ∴AC ⊥CE ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∵AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AE ＝2AC ＝2·AB 2＋BC 2＝2×25＝210. (2)证明：连接CM ，如解图①，第2题解图①∵△ACE 是等腰直角三角形，点M 是AE 的中点， ∴CM ＝AM ＝ME ，∠CAE ＝∠CEA . 在△ABM 和△CDM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CM AM DCM BAM CD AB ∴△ABM ≌△CDM ， ∴BM ＝DM.(3)解：成立．理由如下：如解图②，延长BM 交DE 于点N ，第2题解图②∵∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∴AB ∥DE ，。

中考数学------几何图形探究题专项练习1、2

中考数学------几何图形探究题专项练习1类型一与三角形、四边形有关的探究题1、问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝ 3.迁移应用：如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．图①图②图③2、四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．3、【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝12BC.(不需要证明)【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_ _(只添加一个条件)；(2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积．类型二与图形的变换结合的探究题1、在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.(1)若四边形ABCD为正方形．①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系_ _；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE，DF的数量关系并说明理由；(2)如图③，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图③中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系．2、边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC＝2 3.(1)如图①，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由；(2)如图②，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)图①图②3、如图，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针方向旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.(1)如图①，当点C在射线AN上时．①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC、AD和BE的数量关系，写出结论并证明；(2)如图②，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝3，请直接写出AD和DF的长．图①图②4、如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是_ _，位置关系是_ _；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．类型三动点问题1、如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P 的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB.(1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；(2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；(3)如图③，∠MON＝60°，连接AP，设APOQ＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．2、正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC 所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，①请直接填空：ON_ (可能，不可能)过D点；(图①仅供分析)②如图②，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形EFCH为正方形；(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于点G，且OG＝1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO ＝4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q运动23秒后，点P从点D出发以与点Q相同的速度沿DA向终点A运动，设点P运动的时间为t(秒)，将△APQ沿直线PQ翻折，得到△EPQ.(1)用含t的代数式表示：AP＝_ _；AQ＝_ _；(2)连接BD，在运动过程中，当△PQE∽△BDC时，求t的值；(3)在运动过程中，∠PQE能否等于∠ABD的一半？如果能，求出此时的t的值；如果不能，请说明理由(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．题型三二次函数与几何图形综合题：类型一与图形判定结合1、直线y ＝－2x ＋4交y 轴于点A ，交抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 于点B(3，－2)，抛物线经过点C(－1，0)，交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；(3)在(2)的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折后点E 的对称点坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，点B(3，0)，经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为C(4，52)，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点(不与A ，C 重合)．(1)求该抛物线的解析式；(2)过点P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ∥y 轴交直线AC 于点F ，设点P 的横坐标为t ，线段EF 的长度为m ，求m 与t 的函数关系式；(3)点Q 在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．中考数学------几何图形探究题专项练习1类型一与三角形、四边形有关的探究题答案：1、迁移应用：①证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝120°，∴∠DAB ＝∠CAE ，在△DAB 和△EAC 中，⎩⎨⎧DA ＝EA ，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△EAC ；②解：CD ＝3AD ＋BD ；拓展延伸：①证明：如解图，作BH ⊥AE 于点H ，连接BE.∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，∴△ABD ，△BDC 是等边三角形，∴BA ＝BD ＝BC ， ∵E 、C 关于BM 对称，∴BC ＝BE ＝BD ＝BA ，FE ＝FC ，∴A 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠ADC ＝∠AEC ＝120°，∴∠FEC ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，②解：∵AE ＝5，EC ＝EF ＝2，∴AH ＝HE ＝2.5，FH ＝4.5，在Rt △BHF 中，∵∠BFH ＝30°， ∴HF BF ＝cos 30°，∴BF ＝4.532＝3 3. 2、解：(1)作FH ⊥AB 于点H ，如解图①所示：则∠FHE ＝90°，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD ＝CD ＝4，EF ＝CE ，∠ADC ＝∠DAH ＝∠BAD ＝∠CEF ＝90°，∴∠FEH ＝∠CED ，在△EFH 和△CED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FHE ＝∠EDC ＝90°，∠FEH ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△EFH ≌△CED(AAS )，∴FH ＝CD ＝4，AH ＝AD ＝4，∴BH ＝AB ＋AH ＝8，∴BF ＝BH 2＋FH 2＝82＋42＝45；(2)过F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ，作FM ⊥AB 交BA 延长线于点M ，如解图②所示：则FM ＝AH ，AM ＝FH ，①∵AD ＝4，AE ＝1，∴DE ＝3，同(1)得：△EFH ≌△CED(AAS )， ∴FH ＝DE ＝3，EH ＝CD ＝4，即点F 到AD 的距离为3；②∴BM ＝AB ＋AM ＝4＋3＝7，FM ＝AE ＋EH ＝5，∴BF ＝BM 2＋FM 2＝72＋52＝74； (3)AE的长为1或2＋41.图① 图② 3、解：【探究】平行四边形．【应用】(2)如解图，由【探究】得，四边形EFGH 是平行四边形，∵F ，G 是BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴△CFG ∽△CBD ， ∴S △CFG S △BCD＝14，∴S △BCD ＝4S △CFG ，同理：S △ABD ＝4S △AEH ，∵四边形ABCD 面积为5，∴S △BCD ＋S △ABD ＝5， ∴S △CFG ＋S △AEH ＝54，同理：S △DHG ＋S △BEF ＝54，∴S 四边形EFGH ＝S 四边形ABCD －(S △CFG ＋S △AEH ＋S △DHG ＋S △BEF )＝5－52＝52，设AC 与FG ，EH 相交于点M ，点N ，EF 与BD 相交于点P ，∵FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴CM ＝OM ＝12O C ，同理：AN ＝ON ＝12OA ，∵OA ＝OC ，∴OM ＝ON ，易知，四边形ENOP ，FMOP 是平行四边形，∴S 阴影＝12S 四边形EFGH ＝54.类型二与图形的变换结合的探究题1、解：(1)②DF ＝2AE.理由如下：∵△EBF 绕点B 逆时针旋转，∴∠ABE ＝∠DBF ， ∵BF BE ＝2，BD AB ＝2，∴BF BE ＝BD AB ，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF AE ＝BF BE ＝2，即DF ＝2AE ； (2)如解图，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝1＋m 2AB ， ∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴BF BE ＝BD BA ＝1＋m 2，∵△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E ′BF ′，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ， ∴BF ′BE ′＝BD BA ＝1＋m 2，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴DF ′AE ′＝BD BA ＝1＋m 2，即DF ′＝1＋m 2AE ′.图① 图② 2、解：(1)当CC ′＝3时，四边形MCND ′是菱形．理由：由平移的性质得，CD ∥C ′D ′，DE ∥D ′E ′，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°，∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝12∠ACC′＝60°＝∠B＝∠D′E′C′，∴D′E′∥CN，∴四边形MCND′是平行四边形，∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′是等边三角形，∴MC＝CE′，NC＝CC′，∵四边形MCND′是菱形，∴CN＝CM，∴CE′＝CC′.又∵E′C′＝EC＝23，∴CC′＝12E′C′＝3；(2)①AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD′＝∠BCE′，由(1)知，AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′，当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即：AD′＝BE′，综上可知：AD′＝BE′.②如上解图①，连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC＋CP，∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，如上解图②，在△D′CE′中，由P为D′E′的中点，得AP⊥D′E′，PD′＝3，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9，在Rt△APD′中，由勾股定理得，AD′＝AP2＋PD′2＝221.3、解：(1)①BC＝BD；②AC＋AD＝3BE，证明如下：如解图，过点 B作BH⊥AE于点H，∵∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，∴∠1＝∠2＝12∠MAN＝30°，∵将∠ABC绕点B顺时针方向旋转120°，∴旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E，∴∠CBD＝∠ABE＝120°，∴∠CBD－∠ABD＝∠ABE－∠ABD，即：∠3＝∠4，∵∠ABE＝120°，∠1＝30°∴∠5＝180°－∠ABE－∠1＝30°，∵∠5＝∠1，∴BA＝BE，∵∠5＝∠2＝30°，∠3＝∠4，∴△ABC≌△EBD，∴AC＝DE，∴AC＋AD＝DE＋AD＝AE，∵BH⊥AE于点H，BA＝BE，∴AH＝EH＝12AE，∵∠5＝30°，∴EH＝BE·cos30°＝32B E，即：12AE＝32BE，∴AE＝3BE，∴AC＋AD＝3BE；(2)AD＝53，DF＝313 7.4、解：(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同(1)的方法得，PM ∥CE ， ∴∠DPM ＝∠DCE ，同(1)的方法得，PN ∥BD ，∴∠PNC ＝∠DBC ，∵∠DPN ＝∠DCB ＋∠PNC ＝∠DCB ＋∠DBC ，∴∠MPN ＝∠DPM ＋∠DPN ＝∠DCE ＋∠DCB ＋∠DBC ＝∠BCE ＋∠DBC ＝∠ACB ＋∠ACE ＋∠DBC ＝∠ACB ＋∠ABD ＋∠DBC ＝∠ACB ＋∠ABC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＋∠ABC ＝90°，∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形；(3)如上解图，同(2)的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，在△AMN 中，MN<AM ＋AN ，∴当A 、M 、N 共线时MN 最大．∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝90°，∴AM ＝22，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52，∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12×MN 2＝14×(72)2＝492. 类型三动点问题1、解：(1)AB ＝PB ；(2)存在．理由：如下解图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ ＝OB ， ∴∠BQC ＝∠BOC ，∵OF 平分∠MON ，∴∠MOF ＝∠NOF ，∴∠NOF ＝∠BOC ，∴∠BQC ＝∠MOF ， ∴180°－∠BQC ＝180°－∠MOF ，∴∠AOB ＝∠BQP ，又∵PQ ＝AO ，∴△BQP ≌△BOA ， ∴AB ＝PB ；(3)存在最小值，k 最小值＝0.5.2、解：(1)②∵EH ⊥CD ，EF ⊥BC ，∴∠EHC ＝∠EFC ＝90°，且∠HCF ＝90°，∴四边形EFCH 为矩形，∵∠MON ＝90°，∴∠EOF ＝90°－∠AOB ，在正方形ABCD 中，∠BAO ＝90°－∠AOB ，∴∠EOF ＝∠BAO ，在△OFE 和△ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOF ＝∠BAO ，∠EFO ＝∠B ，OE ＝AO ，∴△OFE ≌△ABO(AAS )，∴EF ＝OB ，OF ＝AB ，又OF ＝CF ＋OC ＝AB ＝BC ＝BO ＋OC ＝EF ＋OC ，∴CF ＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形；(2)如上解图，∵∠POK ＝∠OGB ，∠PKO ＝∠OBG ，∴△PKO ∽△OBG ，∵S △PKO ＝4S △OBG ， ∴S △PKOS △OBG ＝(OP OG )2＝4，∴OP ＝2，∴S △POG ＝12OG ·OP ＝12×1×2＝1，设OB ＝a ，BG ＝b ，则a 2＋b 2＝OG 2＝1，∴b ＝1－a 2，∴S △OBG ＝12ab ＝12a 1－a 2＝12－a 4＋a 2＝12－（a 2－12）2＋14. 当a 2＝12时，△OBG 面积有最大值14，此时S △PKO ＝4S △OBG ＝1， ∴四边形PKBG 的最大面积为1＋1＋14＝94. 3、解：(2)∵将△APQ 沿直线PQ 翻折，得到△EPQ ，∴△PQA ≌△PQE ，当△PQE ∽△BDC 时，∴△PQA ∽△BDC ，∴AP BC ＝AQ CD ，即6－t 6＝t ＋233，解得t ＝149； (3) 不能．理由如下：如下解图，延长AB 至点M ，使BM ＝BD ，连接DM ，∵BM ＝BD ， ∴∠BDM ＝∠BMD ，∵∠ABD ＝∠BDM ＋∠BMD ，∴∠BDM ＝∠BMD ＝12∠ABD ，当∠PQE ＝12∠ABD 时，∵∠PQE ＝∠PQA ，∴∠PQA ＝∠BMD ＝12∠ABD ，∴PQ ∥DM ，∴AP AD ＝AQ AM ，在Rt △BCD 中，BD ＝CD 2＋BC 2＝35，∴BM ＝BD ＝35， ∴6－t 6＝t ＋233＋35，解得t ≈3.5，∵0≤t ≤73.所以在运动过程中，∠PQE 不能等于∠ABD 的一半．图① 图② 题型三二次函数与几何图形综合题：类型一与图形判定结合1、解：(1)抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2；(2)∵点D 是抛物线与y 轴的交点， ∴点D 的坐标为(0，－2)，∴BD ∥x 轴，∵点P 是抛物线上一点，则设点P 的坐标为(p ，12p 2－32p －2)，∵PE ⊥BD ，∴点E 的坐标为(p ，－2)， ∴DE ＝|p|，PE ＝|12p 2－32p －2－(－2)|＝|12p 2－32p|，∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE ＝DE ，∴|12p2－32p|＝|p|，当12p2－32p＝p时，解得p＝0或p＝5，当12p2－32p＝－p时，解得p＝0或p＝1，∴这样的点P有两个，坐标分别为(5，3)，此时PE＝5，或(1，－3)，此时PE＝1；(3)当点P的坐标为(5，3)时，点E的坐标为(5，－2)，此时BE＝2，如解图①，过E作EF⊥AB于F，延长EF到R，使得FR＝EF，则点R为点E关于AB的对称点，即为所求点．过R作RG⊥DE于G.∵点A是直线与y轴的交点，∴点A的坐标为(0，4)，∴AD＝6，∵BD＝3，∴AB＝36＋9＝35，∵BEAB＝BFDB，∴BF＝255，∵tan∠EBF＝EFBF＝tan∠ABD＝ADBD＝2，∴EF＝455，∴ER＝855，易得∠REG＝∠BAD，∴EG＝2GR，∴GR＝85，GE＝165，∴DG＝5－165＝95，此时点R的坐标为(95，－185)；当点P的坐标为(1，－3)时，点E的坐标为(1，－2)，过点E作EF⊥AB于F，延长EF到R使得EF＝FR，过R作RG⊥BD于G，如解图②，同上易得BE＝2，∴GR＝85，GE＝165，∴DG＝215，∴点R的坐标为(215，－25)．综上可得，翻折后点E的对称点坐标为(95，－185)或(215，－25)．2、解：(1)该抛物线解析式为y＝12x2－x－32；(2)令y＝0得12x2－x－32＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1，0)．C(4，52)，∴直线AC的解析式为y＝12x＋12.∵点D是直线AC与y轴的交点，∴点D的坐标为(0，12)．在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝12，由勾股定理得AD＝52，∴cos∠ADO＝DOAD＝55.∵PF∥y轴，点P的横坐标为t，且点P在抛物线上，点F在直线AC上，∴点F的坐标为(t，12t＋12)，点P的坐标为(t，12t2－t－32)，∵点F在点P的上方，∴PF＝12t＋12－(12t2－t－32)＝－12t2＋32t＋2.∵PF∥y轴，∴∠PFE＝∠ODA，∴cos∠PFE＝FEPFcos∠ODA＝55，∴m＝55PF＝－510t2＋3510t＋255；（3）满足条件的点P的坐标为(1＋2，－1)或(1－2，－1)或(1＋6，1)或(2－5，1－5)或(5，1－5)．中考数学------几何图形探究题专项练习2类型二与线段问题结合1、已知点A(－1，1)、B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．图①图②2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．3、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－3经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式；(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST＝TD时，求线段MN的长．类型三与面积问题结合1、如图，已知抛物线y＝ax2＋c过点(－2，2)，(4，5)，过定点F(0，2)的直线l：y＝kx＋2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、＝)，并证明你的判断；(3)P为y轴上一点，以B，C，F，P为顶点的四边形是菱形，设点P(0，m)，求自然数m的值；(4)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．2、如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b，c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC 交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．3、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，并经过B(4，4)和C(6，0)两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．类型四与相似三角形结合1．如图，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒 2 个单位的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；(3)过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；(4)设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．2、如图，直线y ＝－23x ＋c 与x 轴交于点A(3，0)，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过点A ，B 。

2017中考数学冲刺复习--第22题几何探索压轴题

2017中考数学冲刺复习--第22题几何探索压轴题《动态几何、类比探索专题》在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。

学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。

在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。

同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。

图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。

图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。

二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。

在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。

2017中考数学作图型试题复习.doc

作图型试题一、网格问题点阵中对称点、对称图形问题及利用格点进行面积计算已经成为最近几年中考试题的考点问题——考查学生平移变换，利用勾股定理进行三角形的有关计算，全等及相似三角形的判定。

例1、已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 分析：本题关键是计算出△ABC 的三边的长度，然后找一个不等于1的相似比，比如相似比为2，计算出△DEF 三边长或计算出一边长后，利用平移得出△DEF 。

答案：（1）（2）答案不唯一.练习一1、在4×4的正方形网格中，每个小方形的边长都是1。

线段AB 和CD 分别是（图1）中1×3的两个矩形的对角线，显然AB ∥CD 。

请你用类似的方法画出过点E 且垂直于AB 的直线，并证明。

图2F D E A B C 图1 A B C 图1A 1B 1C 1 图2F D EG F E D C B A图12、如图2，在55 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．3、如图3，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．图（一）图（二）（图2）图3 DCBAB 图5A B C D 备用图⑴A B C D 备用图⑵4、如图，ABC ∆是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与ABC ∆全等的一个格点三角形．5、已知：如图，□ABCD.(1)画出□A 1B 1C 1D 1使□A 1B 1C 1D 1与□ABCD 关于直线MN 对称; (2)画出□A 2B 2C 2D 2,使□A 2B 2C 2D 2与□ABCD 关于点O 中心对称;(3) □A 1B 1C 1D 1与□A 2B 2C 2D 2是对称图形吗?若是,请在图上画出对称轴或对称中心二、图形分割对于图形分割，是历年来各省市的中考试题的一个考点也是难点之一。

2017山东数学中考真题,分类汇编--,几何综合大题

AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此根底上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=6°0〞改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=4°5〞，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．〔2〕小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=6°0〞改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α〞，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．4、〔XX，24．〕〔本小题总分值12分〕来源中国#%&教育出@版网：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放〔点P与点B重合〕，点F，B〔P〕，C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。

如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。

过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停顿运动时，△EFP也停顿运动．设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜6〕，解答以下问题：〔1〕当t为何值时，PQ∥BD？〔2〕设五边形AFPQM的面积为y〔cm2〕，求y与t之间的函数关系式；〔3〕在运动过程中，是否存在某一时刻t，使:9:8S五边形AFPQMS？矩形ABCD 假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在PG的垂直平分线上？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．5、〔日照，21．〕阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P〔x0，y0〕到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P0〔0，0〕到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0〔0，0〕到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决以下问题：问题1：点P1〔3，4〕到直线y=﹣x+的距离为；问题2：：⊙C是以点C〔2，1〕为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，XX数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0 上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．中国教育出@版网6、〔威海，24．〕如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停顿，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠局部的面积为y．〔1〕当x为何值时，直线AD1过点C？〔2〕当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？〔3〕求出y与x的函数表达式．7、〔潍坊，24．〕边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2 来源%:z#zstep&.co^m]〔1〕如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′，C边′D′E与′AC的交点为M，边C′D与′∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCN′D为菱形？并说明理由．〔2〕如图2，将△DEC绕点C旋转∠α〔0°＜α＜360°〕，得到△D′E′，C连接AD′、BE′．边D′的E′中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．〔结果保存根号〕来~%#源:*中教网8、〔X X23．〔10分〕〕【操作发现】〔1〕如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转〔旋转角大于0°且小于30°〕，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②D E与E F 相等吗？请【类比探究】〔2〕如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=9°0，先将三角板的90°角与∠ A C B 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转〔旋于0°且小于45°〕，旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板另一直角边上取一点F ，使 C F =C D A B 上取点E ，使∠D C E =45°，连接A F ，E F ，请直接写出探：①求∠EAF 的度数； AE ，ED ，DB 之间的数量关系． 9、〔X X 23．〕如图，将片ABCD 沿直线MN 折叠，顶点B 恰好与CD 边上的动点P重合〔点P 不与点C ，D 重合〕，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连接MB ， MP ，BP ，BP 与MN 相交于点F ．〔1〕△BFN ∽△BCP ；〔2〕①在图2中，过M ，D ，P 三点的⊙O 〔要求保存作图痕迹，不写作法〕； AB ＝4，随着点P 在CD 上的运动，假设①中的⊙O 恰好与BM ，BC 同时相切，求此时DP 的长．来源~:中&#教网%] DDDAMAMA PPFF BNCBNCBC 〔图1〕〔图2〕〔图3〕来@源:zzstep%&#^]〔第23题图〕〔2021?X X 10．〔3分〕〕如图，四边形A B C D 、C E F G 都是正方形，点G CD 上，连接B G 、D E ，D E 和F G 相交于点AB=a ，CG=b 〔a ＞b 〕．以下结论：①△BCG ≌△DCE ； ②BG ⊥DE ；③=；④〔a ﹣b 〕2?S 2 △EFO=b?S △DGO ．其中结论正确的个数是〔〕 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC ，CG=CE ， ∠B C D =∠E C G =9°0，那么可根据S A S 证得①△BC G ≌△D CE ；然后根据全等三角应角相等，求得∠CDE+∠DGH=9°0，那么可得②BH ⊥DE ．由△DGF 与△DCE 相似即可判定 ③错误，由△GOD 与△FOE 相似即可求得④．解答：证明：①∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形， ∴BC=DC ，CG=CE ，∠BCD=∠ECG=9°0， ∴∠BCG=∠DCE ，在△BCG 和△DCE 中，， ∴△BCG ≌△DCE 〔SAS 〕， ②∵△BCG ≌△DCE ， ∴∠CBG=∠CDE ，又∠CBG+∠BGC=9°0， ∴∠CDE+∠DGH=9°0， ∴∠DHG=9°0， ∴BH ⊥DE ； ③∵四边形GCEF 是正方形， ∴GF ∥CE ，∴=，∴=是错误的． ④∵DC ∥EF ， ∴∠GDO=∠OEF ，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=〔〕22=〔〕=，∴〔a﹣b〕2?S2△EFO=b?S△DGO．故应选B此题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．。

中考数学几何图形专题训练50题(含答案)

中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．下列四个图形中，不是正方体展开图的（）A．B．C．D．2．小军从A地沿北偏西60°方向走10m到B地，再从B地向正南方向走20m到C 地，此时小军离A地().A．B．10m C．15m D．3．如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条4．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．5．下列四个立体图形中，是棱锥的是（）A．B．C ．D ．6．已知线段10cm AB =，点C 是直线AB 上一点，4cm BC =，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．3cmB ．5cmC ．3cm 或7cmD ．5cm 或7cm7．下列说法正确的是( )A ．一个平角就是一条直线B ．连接两点间的线段，叫做这两点的距离C ．两条射线组成的图形叫做角D ．经过两点有一条直线，并且只有一条直线8．如图，OC 平分∠AOB ，若∠AOC ＝27°32′，则∠AOB ＝（）A ．55°4′B ．55°24′C ．54°14′D ．54°4′ 9．图，有一块含有30︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果242∠=︒，那么1∠的度数是（）A ．18︒B ．17︒C ．16︒D ．15︒ 10．下列各图都是由6个正方形组成的平面图形，其中不能看做是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．11．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上标的字是（）A．我B．的C．梦D．国12．如图所示，以O为顶点且小于180 的角有（）A．6个B．7个C．8个D．9个13．下列说法中，正确的是().A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．两条射线组成的图形是角D．一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角14．如图，是一个正方体骰子的表面展开图，将其折叠成正方体骰子（点数朝外），如果1点在上面，3点在左面，在前面的点数为（）A．2B．4C．5D．615．如图是一个小正方形的展开图，把展开图折叠成小正方形后，有“祝”字一面的相对面上的字是（）A．考B．试C．成D．功16．如图，点C，D在线段AB上，AC=13AB，CD=12CB，若AB=3，则图中所有线段长的和是（）A．6B．8C．10D．1217．下列几何体中，由曲面和平面围成的是（）A．三棱柱B．圆锥C．球体D．正方体18．已知：如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，AB＝20 cm，那么线段AD等于()A．15 cm B．16 cm C．10 cm D．5 cm19．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角；B．各边相等的多边形叫做正多边形；C．一个圆分割成圆心角度数比位1∠2∠3的三个扇形，则最小扇形的圆心角是60°；D．小于平角的角可分为锐角和钝角两类．20．A、B两辆汽车沿着笔直的公路行驶，A车从甲地出发，B车从乙地出发，行驶到途中两车相遇，各自仍朝前进的方向行驶，到了目的地后立即返回，过了某一时刻，两车又在原地点相遇，则两车必定是（）A．沿着同一条公路行驶B．沿着两条不同的公路行驶C．以上两种情况都有可能D．以上都不对二、填空题21．已知36a∠=︒,则a∠的补角的度数是__________．22．已知∠α＝65°30′，则∠α的余角大小是_______．23．图中以A 为端点的线段共有______条．24．计算：34°25′20″×3=_______________25．一个角的余角比它的补角的14还少12︒，则这个角的度数为_______． 26．如图，从A 处观测C 处仰角30CAD ∠=︒，从B 处观测C 处的仰角45CBD ∠=︒，从C 处观测A 、B 两处的视角ACB =∠______度．27．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC 与DM 、DN 分别交于点E 、F ，把∠DEF 绕点D 旋转到一定位置，使得DE=DF ，则∠BDN 的度数是_________ ．28．数轴上的点P 对应的数是1-，将点P 向右移动8个长度单位得到点Q ，则线段PQ 的中点在数轴上对应的数是____________．29．在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，且∠BOC =110°，则∠A 的度数是____________．30．若∠α=20°40′，则∠α的补角的大小为_____．31．如图，A 岛在B 岛的北偏东30°方向，C 岛在B 岛的北偏东80°方向，A 岛在C 岛北偏西40°方向，从A 岛看B ，C 两岛的视角∠BAC 是______ 度．32．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的_____方向．33．已知线段AB=10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，则线段BM 的长是_cm ．34．如图，O 的弦AB 长为2，CD 是O 的直径，30,15ADB ADC ∠=︒∠=︒．∠O 的半径长为_________．∠P 是CD 上的动点，则PA PB +的最小值是_________．35．如图，将一副直角三角尺按图∠放置，使三角尺∠的长直角边与三角尺∠的某直角边在同一条直线上，则图∠中的∠1=______°．36．如图，已知∠ABC 的内角∠A=α°，分别作内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线，两条平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…以此类推得到∠A 2014，则∠A 2014的度数是_______．37．一副直角三角板叠放如图，90C E ∠=∠=︒．现将含45°角的三角板ADE 固定不动，把含30°角的三角板ABC （其中30CAB ∠=︒）绕顶点A 顺时针旋转角α（0180α︒<<︒）．当旋转角在30°~180°的旋转过程中，使得两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）互相平行，此时符合条件的α=________．38．已知∠AOB ＝80°，OC 为从O 点引出的任意一条射线，若OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数是_____．39．如图所示，若图中共有m 条线段，n 条射线，则m n +=__________________.40．如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是____________ (填序号，任填一组即可)．三、解答题41．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，35BOD ∠=︒，OA 平分EOC ∠，求EOD ∠的度数．42．图中哪些图形是立体图形，哪些是平面图形？平面图形：_______________；立体图形：_______________．43．如图，已知长方形ABCD 的长AB x =米，宽BC y =米，x ，y 满足()2540x y -+-=，一动点P 从A 出发以每秒1米的速度沿着A D C B →→→运动，另一动点Q 从B 出发以每秒2米的速度沿B C D A →→→运动，P ，Q 同时出发，运动时间为t ．(1)x =______________，y =______________．(2)当 4.5t =时，求APQ △的面积；(3)当P ，Q 都在DC 上，且PQ 距离为1时，求t 的值44．如图1，已知A 、O 、B 三点在同一直线上，射线OD 、OE 分别平分∠AOC 、∠BOC ．（1）求∠DOE 的度数；（2）如图2，在∠AOD 内引一条射线OF OC ⊥，其他不变，设()090DOF αα∠=︒︒<<︒．∠求∠AOF 的度数（用含α的代数式表示）；∠若∠BOD 是∠AOF 的2倍，求∠DOF 的度数．45．如图，在77⨯的正方形网格中有一个格点ABC ．(1)在图中作出ABC 关于直线l 对称的111A B C △(2)在直线l 上找到一点D ，使得AD CD +的值最小（在图中标出D 点位置，保留作图痕迹）46．如图，直线,EF CD 相交于点,,O OA OB OC ⊥平分AOF ∠．（1）若40AOE ∠=︒，求∠BOD 的度数；（2）若30BOE ∠=︒，求∠DOE 的度数．47．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，且13AD AB =．（1）若4cm AD =，求线段CD 的长．（2）若3cm CD =，求线段AB 的长．48．（1）如图1，将两个正方形的一个顶点重合放置，若40AOD ∠=︒，则COB ∠=______度；（2）如图2，将三个正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数；（3）如图3，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF 平分DOB ∠，那么OE 平分AOC ∠吗？为什么？49．如图，90,60AOB COD AOC ∠=∠=︒∠=︒，射线ON 以10度/秒的速度从OD 出发绕点O 顺时针转动到OA 时停止，同时射线OM 以25度/秒的速度从OA 出发绕点O 逆时针转动到OD 时停止，设转动时间为t 秒．(1)当OM ON 、重合时，求t 的值；(2)当ON 平分BOD ∠时，试通过计算说明OM 平分AOD ∠；(3)当t 为何值时，MON ∠与AOD ∠互补？参考答案：1．D【分析】由正方体展开图的特征即可判定出正方体的展开图．【详解】解：由正方体展开图的特征即可判定D不是正方体的展开图，故选：D．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是熟记正方体展开图的特征．2．D【详解】试题分析：根据题意可得：A、B、C三点构成直角三角形，BC为斜边，则根据直角三角形的性质可得：，故选D．3．B【详解】线段有：AB、AC、BC.故选：B.4．D【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案.【详解】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D．【点睛】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半.5．B【分析】逐一判断出各选项中的几何体的名称即可得答案．【详解】A是棱柱，不符合题意；B是棱锥，符合题意，C是球体，不符合题意；D是圆柱，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了几何体的识别，熟练掌握常见几何体的图形特征是解题的关键．6．C=-；点C在点B右侧时，【分析】根据题意知，点C在点B左侧时，MN BM BN+MN BM BN =，因为点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，分别算出,BM BN 长度，代入计算即可．【详解】解：因为点C 是直线AB 上一点，所以需要分类讨论：（1）点C 在点B 左侧时，作图如下：∠10cm AB =，4cm BC =， ∠152BM AB cm ==，122BN BC cm ==，又∠MN BM BN =-，∠=523MN cm -=．（2）当点C 在点B 右侧时，作图如下：由（1）知，152BM AB cm ==，122BN BC cm ==， ∠+MN BM BN =，∠+=5+2=7cm MN BM BN =，综上所述，MN 的长度是3cm 或7cm ．故选：C【点睛】本题考查线段长度的计算，根据题意分类讨论是解题关键．7．D【分析】根据平角、两点间的距离、角的定义和直线公理逐项进行解答即可得.【详解】A 、平角的两条边在一条直线上，故本选项错误；B 、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误；C 、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；D 、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确，故选：D ．【点睛】本题考查了平角、两点间的距离、角的概念以及直线公理的内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．A【分析】由OC 平分∠AOB 可得到∠AOB=2∠AOC ，代入计算可得解.【详解】解：OC 平分∠AOB ，则227322?554AOB AOC ∠=∠=︒'⨯=︒'，故选：A【点睛】本题考查了角平分线和角的计算，比较基础.9．A【分析】如解图所示，依据60ABC ∠=︒，242∠=︒，即可得到18EBC ∠=︒，再根据BE CD ，即可得出118EBC ∠=∠=︒．【详解】：如图，∠60ABC ∠=︒，242∠=︒，∠18EBC ∠=︒，∠BE CD ，∠118EBC ∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解决此题的关键． 10．D【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】解：正方体共有11种表面展开图，A 、B 、C 项都是正方体的展开图，D 出现了“田”字格，故不是正方体的展开图；故选择：D.【点睛】本题考查的是正方体的展开图，以及学生的立体思维能力．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．11．C【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“国”与面“我”相对，面“梦”与面“的”相对，“中”与面“梦”相对．故选：C．12．D【分析】根据图形，找出以O为顶点的所有小于180°的角即可.【详解】解：以O为顶点且小于180°的角有：∠AOC，∠COD，∠DOE，∠EOB，∠AOD，∠AOE，∠COE，∠COB，∠DOB.一共有9个；故选择：D.【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是要找到图中两两相交直线的交点，作为角的顶点，且找出的角要小于180°．13．D【分析】根据角的定义即可判断.【详解】如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角，故A错误；当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角，故B错误；有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，故C错误；一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角，故D正确.故选D.【点睛】此题考查了角的定义，掌握角的两种定义和周角、平角的定义是解题的关键. 14．A【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可知“3点”和“4点”相对，“5点”和“2点”相对，“6点”和“1点”相对，当1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，继而可得出2点在前面．【详解】这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“3点”和面“4点”相对，面“5点”和面“2点”相对，面“6点”和面“1点”相对，如果1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，2点在前面；故选A．【点睛】此题考查学生的空间想象能力，先找到每个面的对面，进而确定它们的位置. 15．D【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∠“祝”与“功”是相对面．故选：D．【点睛】本题主要考查了展开与折叠，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．16．C【详解】解：∠AB=3，∠AC=13AB=13×3=1，∠BC=3-1=2，∠CD=12CB=12×2=1，∠AD=1+1=2，CB=1+1=2，DB=2-1=1，即图中所有线段长的和是AC+AD+AB+CD+CB+DB=1+2+3+1+2+1=10．故选C．17．B【分析】三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成，结合各图形的特点可得出答案．【详解】解：三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成；故选：B【点睛】此题考查了认识立体图形的知识，熟练掌握是解题的关键.18．A【分析】根据C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，可知AC=CB=12AB，CD=12CB，AD=AC+CD，又AB=4cm，继而即可求出答案．【详解】∠点C是线段AB的中点，AB=20cm，∠BC=12AB=12×20cm=10cm，∠点D是线段BC的中点，∠BD=12BC=12×10cm=5cm，∠AD=AB-BD=20cm-5cm=15cm．故选A．【点睛】本题考查了两点间的距离的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．19．C【详解】A. 由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故不正确；B. 各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确；C. 一个圆分割成圆心角度数比位1∠2∠3的三个扇形，则最小扇形的圆心角是1360123⨯++=60°，正确； D. 小于平角的角可分为锐角，直角和钝角三类，故不正确．故选C ．【点睛】本题考查了角、正多边形、圆心角的定义，以及角的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．20．A【详解】解：根据题意，两车必定沿着同一条公路行驶．故选A ．21．144°【分析】根据补角的定义即可求出a ∠的补角的度数．【详解】解: a ∠的补角的度数是180°－a ∠=180°－36°=144°故答案为: 144°．【点睛】此题考查的是求一个角的补角,掌握补角的定义是解决此题的关键．22．24°30′##24.5°【分析】如果两个角的和为90°，则这个两个角互为余角，根据互为余角的两个角的和为90°作答．【详解】解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣65°30′＝24°30′．故答案为：24°30′．【点睛】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单． 23．3【分析】根据线段的定义分别写出各条线段即可【详解】解：图中以A 为端点的线段有线段AB ，线段AC ，线段AD ，共3条故答案为：3【点睛】本题考查了线段的定义，属于基础题，较简单24．10316'︒【分析】直接根据角的运算计算即可．【详解】160',1'60''︒==3425'20''310316'∴︒⨯=︒故答案为：10316'︒．【点睛】本题主要考查角的运算，掌握度分秒之间的关系是解题的关键．25．76︒【分析】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-,根据题意列出方程即可求解．【详解】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-()190180124x x ∴-=-- 19045124x x -=-- 3574x = 4573x =⨯ 76x =︒即这个角为76︒故答案为76︒．【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是根据题意列出方程求解．26．15【分析】根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∠CBD ∠是ABC 的外角，∠CBD CAD ACB ∠=∠+∠，∠453015ACB CBD CAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15【点睛】本题考查了仰角的概念和三角形外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．27．120°【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DFC ，进一步利用三角形外角的性质即可得到结果．【详解】解：如图，∠DE=DF ，∠EDF=30°， ∠∠DFC=12（180°-∠EDF ）=75°，∠∠C=45°，∠∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的性质是解题的关键．28．3【分析】利用数轴得到点Q表示的数，再根据线段中点定义可得答案．【详解】解：∠点P对应的数是-1，将点P向右移动8个长度单位得到点Q，∠点Q表示的数为：-1+8=7，∠线段PQ的中点对应的数是1713 2-+-=故答案为：3．【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离是解决此题的关键．29．40°【分析】根据三角形内角和定理列式求出∠OBC+∠OCB，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，在∠BOC中，∠BOC = 110°，∴∠OBC + ∠OCB = 180°- 110°= 70°，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠ABC +∠ACB = 2×70°= 140°，∴在∠ABC中，∠A = 180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°- 140°= 40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．30．159°20′【详解】试题分析：根据∠α的补角=180°﹣∠α，代入求出即可．解：∠∠α=20°40′，∠∠α的补角=180°﹣20°40′=159°20′，故答案为159°20′．考点：余角和补角；度分秒的换算．31．70°【详解】由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，∠∠ABC=50°，又∠DB∠EC，∠ECA=40°，∠∠ECB=100°，∠∠ACB=60°，∠∠BAC=180°-60°-50°=70°32．南偏西14°．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．【详解】由题意可知，∠1＝14°，∠AC∠BD，∠∠1＝∠2＝14°，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14°方向．故答案为：南偏西14°．【点睛】此题考查的知识点是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，即可解答．33．3或7【分析】根据线段的和差，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得答案．【详解】当点C在线段AB上时，AC＝AB−BC＝10−4＝6，点M是线段AC的中点，AC＝3，MA＝12BM＝AB−AM＝10−3＝7；当点C在线段的反向延长线上时，AC＝AB＋BC＝10＋4＝14，点M是线段AC的中点，AM＝1AC＝7，2BM＝AB−AM＝10−7＝3，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差、线段中点的性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．34． 2 【分析】∠连接,OA OB ，易证AOB 是等边三角形，弦AB 长为2，2OA OB ==，即可得到答案；∠先证90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：∠连接,OA OB ，∠30,ADB ∠=︒ ∠60AOB ∠=︒, ∠OA OB =，∠AOB 是等边三角形， ∠弦AB 长为2， ∠2OA OB ==，即O 的半径长为2，故答案为：2 ∠∠15ADC ∠=︒， ∠230AOC ADC ︒∠=∠=, ∠90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，∠60BAO ∠=︒，∠2OA OE ==， ∠30OAE AEB ︒∠=∠=， ∠90BAE BAO OAE ∠=∠+∠=︒，∠AE ==即PA PB +的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键． 35．105【分析】利用三角形外角性质求解．【详解】如图，∠∠2=30︒，∠3=45︒， ∠∠4=∠2+∠3=75︒， ∠∠1=1804105︒-∠=︒，故答案为：105．．【点睛】此题考查三角板的角度计算，三角形外角的性质，观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的关键． 36．201420141A 2α∠=【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC ，而∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），即∠A 1=12∠A ，同理可得，∠A 2=12∠A 1，依此类推即可．【详解】∠∠ACD 是∠ABC 的外角， ∠∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠1B A 平分∠ABC ，1CA 平分∠ACD ，∠112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠， ∠1A CD ∠是1A CB 的外角， ∠111ACD A BC A ∠=∠+∠， ∠11122ACD ABC A ∠=∠+∠， ∠()11122A ACD ABC A ∠=∠-∠=∠，同理可得：1212A A ∠=∠，根据规律可得：201420141A 2α∠=【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，找出规律是解答此题的关键．37．60°或105°或135°【分析】分类讨论：当//BC AD 时，当//AC DE 时，当//AB DE 时，利用角度之间的关系计算即可；【详解】解：如图当//BC AD 时，，90C CAD ︒∠=∠=∠903060a DAB ︒=-︒=∠=︒，如图，当//AC DE 时，90E CAE ︒∠=∠=，则459030105DAB α︒=∠=︒+︒-︒=，如图，当//AB DE 时，90A E B E ∠=∠=︒，∠4590135BAD α=∠=︒+︒=︒；综上：符合条件的α为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．【点睛】本题考查角度之间的计算，平行的性质，解题的关键是对平行的边进行分情况讨论．38．40°或140°【分析】根据角平分线的定义求得∠MOC ＝12∠AOC ，∠CON ＝12∠BOC ；然后根据图形中的角与角间的和差关系来求∠MON 的度数．【详解】解：∠OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．∠∠MOC＝12∠AOC，∠CON＝∠BON＝12∠BOC．如图1，∠MON＝∠MOC-∠CON＝12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB＝12×80°＝40°；如图2，∠MON＝∠MOC+∠CON＝12（∠AOC+∠BOC）＝12（360°﹣∠AOB）＝12×280°＝140°．如图3，∠MON＝∠MOC+∠CON＝12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB＝12×80°＝40°；故答案为：40°或140°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义．注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．39．26【分析】根据射线、线段的定义进而判断得出m，n的值再代入计算即可．【详解】解：图中共有10条线段，共有16条射线，则m=10,n=16,所以m n+=10+16=26.故答案为26.【点睛】此题主要考查了射线、线段的定义，熟练掌握它们的定义是解题关键．40．∠∠或∠∠或∠∠或∠∠【分析】观察所给图形结合正方体的平面展开图的特点进行填涂即可．【详解】根据正方体的展开图的特点，按如下方式进行填涂后可以构成正方体表面的展开图：故答案为：∠∠或∠∠或∠∠或∠∠．【点睛】本题主要考查正方体展开图的2-3-1型和2-2-2-型，掌握正方体的展开图是解题关键．41．110EOD ∠=︒．【分析】根据对顶角相等先求出∠AOC 的度数，然后根据角平分线的定义求出∠COE 的度数，最后根据∠OCE 与∠EOD 互为邻补角即可得出答案．【详解】35BOD ∠=︒，35AOC ∴∠=︒OA 平分EOC ∠，223570COE AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒ 180110EOD COE ∴∠=︒-∠=︒．【定睛】本题主要考查了角的和差运算，根据对顶角相等和角平分线的定义求出∠COE 是解决此题的关键．42． ②③⑧ ①④⑤⑥⑦【分析】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断．【详解】解：∠∠∠是平面图形；∠∠∠∠∠是立体图形．【点睛】本题考查认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 43．(1)5，4(2)1APQ S =△平方米 (3)4t =【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；（2）根据题意得：当t =4.5时，点P 在CD 上，DP =0.5米，点Q 刚好到达点D 处，可得12PQ =米，再由12APQ S PQ AD =⋅⋅△，即可求解；（3）当P ，Q 都在DC 上，可得4 4.5t ≤≤，然后分两种情况讨论：当P 左Q 右时，当Q 左P 右时，即可求解．【详解】（1）解∠∠()2540x y -+-=， ∠50,40x y -=-=， ∠x =5，y =4，故答案为：5，4；（2）解：当t =4.5时，P 走过的路程为4.5米，此时点P 在CD 上，DP =0.5米，Q 走过的路程为9米，刚好到达点D 处， ∠12PQ =米， ∠11141222APQ S PQ AD =⋅⋅=⨯⨯=△平方米；（3）解：点P 在DC 上，49t ≤≤，点Q 在DC 上，2 4.5t ≤≤， ∠4 4.5t ≤≤，当P 左Q 右时，4DP t =-，24CQ t =-，∠()()5424133PQ CD DP CQ t t t =--=----=-， ∠1331t -=，解得：4t =当Q 左P 右时，4DP t =-，24CQ t =-，∠()()4245313PQ DP CQ CD t t t =+-=-+--=-， ∠3131t -=，解得144.53t =>，不符题意，舍去．综上，满足题意的4t =．【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．44．（1）90°；（2）∠90°-2α°∠18°【分析】（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可求解；（2）∠根据余角的性质得：∠COE=∠DOF=α°，根据角平分线的定义，可得∠BOC=2α°，进而即可求解；∠用α分别表示出∠BOD和∠AOF的度数，结合∠BOD是∠AOF的2倍，列出关于α的方程，即可求解．【详解】（1）∠点A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∠∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12×180°=90°，∠∠DOE=∠COD+∠COE=90°；（2）∠∠OE平分∠BOC，∠∠BOC=2∠COE，∠OF∠OC，∠∠COF=∠COD+∠DOF=90°，∠∠COE+∠COD=90°，∠∠COE=∠DOF=α°，∠∠BOC=2α°，∠∠AOF+∠BOC=90°，∠∠AOF=90°-2α°；∠∠∠BOE=∠COE=α°，∠∠BOD=∠BOE+∠DOE=90°+α°，∠∠BOD=2∠AOF=2（90°-2α°）=180°-4α°，∠90°+α°=180°-4α°，∠α=18，即：∠DOF=18°．【点睛】本题主要考查角的和差倍分，涉及余角的定义和性质，平角的定义，角平分线的定义，根据题意，列出一元一次方程，是解题的关键．45．(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点111A B C ，，即可；（2）连接1AA ，1CA 交l 于点D ，点D 即为所求．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，最短问题，解决本题的关键是熟练掌握基本知识．46．（1）20°；（2）60°【分析】（1）先求出∠AOF =140°，然后根据角平分线的定义求出∠AOC =70°，再由垂线的定义得到∠AOB =90°，则∠BOD =180°-∠AOB -∠AOC =20°；（2）先求出∠AOE =60°，从而得到∠AOF =120°，根据角平分线的性质得到∠AOC =60°，则∠COE =∠AOE +∠AOC =120°，∠DOE =180°-∠COE =60°．【详解】解：（1）∠∠AOE =40°， ∠∠AOF =180°-∠AOE =140°， ∠OC 平分∠AOF ， ∠∠AOC =12∠AOF =70°， ∠OA ∠OB ， ∠∠AOB =90°，∠∠BOD =180°-∠AOB -∠AOC =20°；（2）∠∠BOE=30°，OA∠OB，∠∠AOE=60°，∠∠AOF=180°-∠AOE=120°，∠OC平分∠AOF，∠∠AOC=12∠AOF=60°，∠∠COE=∠AOE+∠AOC=60°+60°=120°，∠∠DOE=180°-∠COE=60°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．47．（1）2 cm；（2）18cm【分析】（1）先求出AB的长，再结合线段中点的定义求出AC的长，进而即可求解；（2）设AB=x cm，则13AD x=cm，根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求解．【详解】（1）∠13AD AB=，AD=4 cm，∠AB=3×4=12 cm，∠点C是线段AB的中点，∠AC=12AB=11262⨯=cm，∠CD=AC-AD=6-4=2 cm；（2）设AB=x cm，则13AD x=cm，∠点C是线段AB的中点，∠AB=2（AD+CD），即x=2（13x+3），解得：x=18，∠AB=18cm．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决问题，是解题的关键．48．（1）140；（2）20°；（3）OE平分∠AOC，见解析【分析】（1）根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB=180°，再根据∠AOD=40°，∠COB=∠COD+∠AOB-∠AOD，即可得出答案；（2）根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3=90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3-（∠1+∠2+∠3），即可求出∠1的度数；（3）根据∠COD=∠AOB和等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，∠EOA=∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF=∠FOB=12∠DOB和∠EOA=12∠DOB=12∠COA，从而得出答案．【详解】解：（1）∠两个图形是正方形，∠∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠∠COD+∠AOB＝180°，∠∠AOD＝40°，∠∠COB＝∠COD+∠AOB－∠AOD＝140°故答案为：140；（2）如图，由题意知，∠1+∠2＝50°∠，∠1+∠3＝60°∠，又∠1+∠2+∠3＝90°∠，所以：∠+∠－∠得：∠1＝20°；（3）OE平分∠AOC，理由如下：∠∠COD＝∠AOB，∠∠COA＝∠DOB（等角的余角相等），同理：∠EOA＝∠FOB，∠OF平分∠DOB，∠12DOF FOB DOB∠=∠=∠，∠1122EOA DOB COA ∠=∠=∠，∠OE平分∠AOC．【点睛】本题考查了角的和差运算，与余角和补角的有关的计算，根据所给出的图形，找到角与角的关系是本题的关键．49．（1）307t =；（2）见解析；（3）247t =或367t = 【分析】（1）根据题意10,25150DON t AOM t AOD ∠=∠=∠=︒， ,当OM ON 、重合时，+DON AOM AOD ∠∠=∠，计算即可；（2）根据题意可得=60BOD AOC ∠∠=︒，由ON 平分BOD ∠可计算出3t =，故25375AOM ∠=⨯=︒,即可说明OM 平分AOD ∠；（3）根据题意可得30MON ∠=︒分两种情况说明，当OM ON 、重合之前和OM ON 、重合之后分别计算即可．【详解】由题意：10,25DON t AOM t ∠=∠=()190,60COD AOC ∠=∠=150AOD COD AOC ∴∠=∠+∠=当,ON OM 重合时，DON AOM AOD ∠+∠=∠1025150t t ∴+= 解得：307t = ()290AOB COD ∠=∠=90AOC BOC BOD BOC ∴∠+∠=∠+∠=60BOD AOC ∴∠=∠= ON 平分BOD ∠1302DON BOD ∴∠=∠= ∠30103t =÷= ∠1253752AOM AOD ∠=⨯==∠ OM ∴平分AOD ∠()3150,180AOD AOD MON ∠=∠+∠=30MON ∴∠=当OM 与ON 重合前150DON MON AOM ∠+∠+∠=103025150 t t++=解得：247 t=当OM与ON重合后150 DON AOM MON∠+∠-∠= 102530150t t+-=解得：367 t=∴当247t=或367t=时，MON∠与AOD∠互补【点睛】本题考查的是角的综合题，一元一次方程的解法，旋转的性质，有一定的难度，分情况讨论是难点．。

中考针对性训练——几何探究压轴题(有答案详解)

针对性训练-----几何探究题1.如图1,在正方形ABCD 内有一点P 满足AP=AB ，PB=PC ，连结AC 、PD. （1）求证:△APB ≌△DPC ；（2）求证:∠PAC=21∠BAP ；（3）若将原题中的正方形ABCD 变为等腰梯形ABCD(如图2),AD ∥BC,且BA=AD=DC,形内一点P 仍满足AP=AB ，PB=PC,试问(2)中结论还成立吗若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.ABDCP图PCDAB图2．如图1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB AC =，90BAC =o∠，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．(3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值。

图1E图2EC图3BDCE图2BAEBD图13.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．（1）求证：CE ＝CF ；（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗为什么（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．A BCD ER PH QBHQABCD E R PHQABCDE M N图18ABCDEM N 图19图17N M EDCBA5．如图17，点A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC ＋∠DAE ＝180°，AB ＝k ·AE ，AC ＝k ·AD ，点M 是DE 的中点，直线AM 交直线BC 于点N ．⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．① 如图18，k ＝1；②如图19，AB ＝AC ．⑵若△ADE 绕点A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系．6.已知，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E F ，分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F ，在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图9-1，若90BCA ∠=o，90α∠=o，则BE CF ；EFAF -（填“>”，“<”或“=”）；②如图9-2，若0180BCA <∠<oo，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图9-3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF BE AF ，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．ABCE FDDABCE F ADFC EB图9-1图9-2图9-37．在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC V 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．GDE FA参考答案1. (1)略（2）略（3）设︒=∠︒=∠y BAP x PAC ,，︒-=∠=∠)60(x DCA CAD 则 ︒=∠y PDCx y x X -+=+6060型得，由得x y 2=即BAP PAC ∠=∠212．（1）①垂直，相等；……………1分②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．………………2分由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90º．∵∠BAC ＝90º，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ，又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90º， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45º，∴∠ACF ＝45º，∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90º．即 CF ⊥BD .…………5分（2）当∠ACB ＝45º时，CF ⊥BD （如图）． …………6分理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90º， ∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上，由（1）①可知CF ⊥BD . …7分BA G DE图1（3）如图：作AQBC 于Q ∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ ∽△DPC ∴DQ PC =AQCD设CD 为x （0＜x ＜3）则DQ=CQ －CD=4－x 则x PC -4=4x∴PC=41(－x 2+4x)=－41(x －2)2+1≥1 当x=2时，PC 最长，此时PC=13.（1）证明：如图1，在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ．…….3分（2）GE ＝BE ＋GD 成立．理由是： ∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ． ∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°， ∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°．∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ， ∴△ECG ≌△FCG ． ……..4分∴GE ＝GF ∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．…..5分（3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ＝90°．又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ， ∴四边形ABCG 为正方形． ………6分∴AG ＝BC ＝12．已知∠DCE ＝45°，根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ．.. 7分设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝AG －DG=12－（x －4）=16－x ．在Rt △AED 中， ∵222AE AD DE +=，即()222816+-=x x ．解这个方程，得：x ＝10． ∴DE ＝10．BA EG4.（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． Q 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠． BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g ．---------------2分（2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o． C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． -------5分（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． --------8分 ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=． -------10分 ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA ==Q ，366528x -+∴=，152x ∴=． -----13分综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形． -----14分5．（1）∠ANB +∠BAE =180º．……1分证明：（法一）如图1，延长AN 到F ，使MF =AM ，连接DF 、EF . ………………2分 ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME ， ∴四边形ADFE 是平行四边形，……………3分 ∴AD ∥EF ，AD =EF ， ∴∠DAE +∠AEF =180º， ∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠BAC =∠AEF ，………4分 ∵AB =kAE ，AC =kAD ，A BCD ERPH QM2 1 BHQAB CDE R PH QM ADNEBCF图1∴AD AC AE AB =， ∴EFACAE AB =……6分 ∴△ABC ∽△EAF ∴∠B =∠EAF …………8分∵∠ANB +∠B +∠BAF =180º ∴∠ANB +∠EAF +∠BAF =180º 即∠ANB +∠BAE =180º，…………10分（法二）如图2，延长DA 到F ，使AF =AD ，连接EF .………2分∵∠BAC +∠DAE =180º，∠DAE +∠EAF =180º，∴∠BAC =∠EAF ，………………3分 ∵AB =kAE ，AC =kAD ，∴AD AC AE AB=， ∴AFAC AE AB =，………4分 ∴△ABC ∽△AEF ，………5分∴∠B =∠AEF ，………6分 ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME ，又∵AF =AD ， ∴AM 是△DEF 的中位线， ∴AM ∥EF ，……7分 ∴∠NAE =∠AEF ，∴∠B =∠NAE ，……8分 ∵∠ANB +∠B +∠BAN =180º， ∴∠ANB +∠NAE +∠BAN =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．………10分(2)变化．如图3（仅供参考），∠ANB =∠BAE ．……12分选取（ⅰ），如图4.证明：延长AM 到F ，使MF =AM ，连接DF 、EF . ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME∴四边形ADFE 是平行四边形，…………4分 ∴AD ∥FE ，AD =EF ， ∴∠DAE +∠AEF =180º， ∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠BAC =∠DAE ， ………6分 ∵AB =kAE ，AC =kAD ，1=k ， ∴AB =AE ，AC =AD ，∴AC =EF ，……7分 ∴△ABC ≌△EAF ， ∴∠B =∠EAF ， …8分 ∵∠ANB +∠B +∠BAF =180º， ∴∠ANB +∠EAF +∠BAF =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．……10分M ADNEBCFK H图2F图4图3ABCDEM N选取（ⅱ），如图5. 证明：∵AB =AC ，∴∠B =21（180º-∠BAC ），…………3分 ∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠DAE =180º-∠BAC ， ∴∠B =21∠DAE ， ∵AB =kAE ，AC =kAD ， ∴AE =AD ， ∵AM 是△ADE 的中线，AB =AC ， ∴∠EAM =21∠DAE ， ∴∠B =∠EAM ，………4分 ∵∠ANB +∠B +∠BAM =180º， ∴∠ANB +∠EAM +∠BAM =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．…5分6.（1）①=；=； 2分 ②所填的条件是：180BCA α∠+∠=o． 4分证明：在BCE △中，180180CBE BCE BEC α∠+∠=-∠=-∠oo ．180BCA α∠=-∠o Q ，CBE BCE BCA ∴∠+∠=∠．又ACF BCE BCA ∠+∠=∠Q ，CBE ACF ∴∠=∠．又BC CA =Q ，BEC CFA ∠=∠， ()BCE CAF AAS ∴△≌△．BE CF ∴=，CE AF =．又EF CF CE =-Q ，EF BE AF ∴=-． 7分（2）EF BE AF =+．7.（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ．（II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．ΘCD BD =,且ο120=∠BDC ．∴ο30=∠=∠DCB DBC ．ABC DMN 图5E又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=o．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CEBM ∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠∴ο60=∠-∠=∠MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BM AMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB ∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q=2x +L 32（用x 、L 表示）．8.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．（1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B ，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，QP N FE D CBMA24--3DEQ ANF B MCD 24--2EQPNAFMBCF EQMDNP B A C探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。

中考数学几何图形专题训练50题-含答案

中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，是某个几何体的展开图，该几何体是（）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．球D ．圆锥 2．如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的表面展开图，在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是（）A ．保B ．定C ．古D ．城 4．如图，已知AC BC ⊥，190A ∠+∠=︒，则2∠与A ∠的关系是（）A．2∠大C．相等D．无法确定∠大B．A5．若一个锐角的余角比这个角大30°，则这个锐角的度数是（）A．30︒B．150︒C．60︒D．155︒6．图中的立方体展开后，应是下图中的（）A．B．C．D．7．如图，直线与相交于点，，则与（）A．是对顶角B．相等C．互余D．互补8．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（）．A ．B ．C ．D ． 9．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 10．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是（）A ．B ．C ．D ． 11．如图，在长方形ABCD 中，点E ，点F 分别为BC 和AB 上任意一点，点B 和点M 关于EF 对称，EN 是MEC ∠的平分线，若60BFE ∠=︒，则MEN ∠的度数是( )A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．50︒12．如图是正方形纸盒展开图，那么在原正方体中，与“沉”字所在面相对面的汉字是（）A．冷B．静C．应D．考13．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（）A．正方体B．球C．圆锥D．圆柱体14．如图，用平面去截一个正方体，所得截面的形状应是（）A．A B．B C．C D．D15．如图，点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD=（）A．110°B．115°C．120°D．135°16．下列说法正确的是（）A．射线PA和射线AP是同一条射线B．射线OA的长度是3cmC．直线,AB CD相交于点P D．两点确定一条直线17．如图，一个底面直径为30cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A ．24cmB ．C ．25cmD ．30cm 18．如图，等边ABC 的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC 与A BC ''△关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．419．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，如图：（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；（3）连结AP 并延长交BC 于点D ．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的中垂线上 D ．:1:3DAC ABD S S =△△20．如图，在Rt 直角△ABC 中，45B ∠=︒，AB =AC ，点D 为BC 中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：△△DEF 是等腰直角三角形；△ AE =CF ；△△BDE △△ADF ；△ BE +CF =EF ，其中正确结论是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△二、填空题21．在_______内填上适当的分数：135等于________平角．22．如图，AB △CD ，CB 平分△ABD ，若△ABC ＝40°，则△D 的度数为_______．23．如果△α＝26°，那么△α的余角等于__________．24．如图，点A在点O北偏东32︒方向上，点B在点O南偏东43︒方向上，则AOB∠= ______．25．如图，是一副三角板拼成的图案，则AED=∠____．26．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是___________．27．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答（1）如果A面在长方体的底部，那么_________面会在上面；（2）这个长方体的体积为_________米3．28．若α∠的补角是它的3倍，则α∠的度数为________________．29．两根长度分别为8cm 和10cm 的直木条，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条中点之间的距离为________．30．已知，如图4090COD AOC BOD ∠∠∠=︒==︒，，则AOB ∠=_______度．31．若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条侧棱的长为______．32．小红从O 点出发向北偏西32°17＇方向走到A 点，小明从O 点出发向南偏西54°28＇方向走到B 点，则∠AOB 的度数是_____．33．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“社”在相对面上的字是_____．34．5400秒化成度数是____________度35．如图，OA 的方向是北偏东20°，OC 的方向是北偏西40°，若AOC AOB ∠=∠，则OB 的方向是______．36．已知，如图，A 、O 、B 在同一直线上，OF 平分AOB ∠，12∠=∠，3=4∠∠．（1）射线OD 是_______的角平分线；（2）AOC ∠的补角是_______；（3）AOC ∠的余角是_______；（4）_______是2∠的余角；（5）DOB ∠的补角是_______；（6）_______是COF ∠的补角．37．线段AB ＝12cm ，点C 在线段AB 上，且AC ＝13BC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为_______cm.38．如图，在△O 中，AB 是△O 的直径，10,AB AC CD DB ===，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：△60BOE ︒∠=；△12CED DOB ∠=∠；△DM CE ⊥；△CM DM +的最小值是10．上述结论中正确的个数是_________．39．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AC 为边，作ACD ，满足AD AC =，点E 为BC 上一点，连接AE ，12BAE CAD ∠=∠，连接DE ．下列结论中正确的是__________．（填序号）△AC DE ⊥；△ADE ACB ∠=∠；△若//CD AB ，则AE AD ⊥；△2DE CE BE =+．40．如图，在△ABC 中，AB = AC = 8，S △ABC = 16，点P 为角平分线AD 上任意一点，PE △AB ，连接PB ，则PB+PE 的最小值为_____．三、解答题41．线段4AB =cm ，延长线段AB 到C ，使BC =14AB ，再反向延长AB 到D ，使AD=3cm ，E 是AD 中点，F 是CD 的中点，求EF 的长度．42．已知图为一几何体从不同方向看的图形．(1)写出这个几何体的名称；(2)任意画出这个几何体的一种表面展开图；(3)若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积． 43．如图△，点O 为直线MN 上一点，过点O 作直线OC ，使60NOC ︒∠=．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边 OA 在射线OM 上，另一边OB 在直线AB 的下方，其中30OBA ︒∠=()1将图△中的三角尺沿直线OC 翻折至''A B O ∆，求'A ON ∠的度数；()2将图△中的三角尺绕点O 按每秒10︒的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<，在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA 恰好平分锐角NOC ∠． ()3将图△中的三角尺绕点O 顺时针旋转；当点A 点B 均在直线MN 上方时(如图△所示)，请探究MOB ∠与AOC ∠之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．44．如图，在直线AB 上，线段20AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB 上运动，M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，设点P 的运动吋间为t 秒．(1)若点P 在线段AB 上运动，当7MP =时，NP = ；(2)若点P 在射线AB 上运动，当2MP NP =时，求点P 的运动时间t 的值；(3)当点P 在线段AB 的反向延长线上运动时，线段AB 、MP 、NP 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．45．已知：点M ，N ，P 在同一条直线上，线段MN a =，线段()PN b a b =>，点A 是MP 的中点．求线段MP 与线段AN 的长．（用含a ，b 的代数式表示） 46．如图所示，l 为河岸，B 处为草地，牧马人要将A 处的马牵到河边喝水，再牵到B 地吃草，问怎样走路程最短？47．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．48．某产品的形状是长方体，长为8cm ，它的展开图如图所示，求长方体的体积．49．如图，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC△CD△DB ＝2△3△4，E ，F 分别为AC ，DB 的中点，EF ＝2.4 cm ，求线段AB 的长．50．综合与探究已知△AOB 、△BOC ，△AOB ＝90°，(1)若△BOC 为锐角，OE 、OD 分别平分△AOB 和△BOC ，△如图1，当射线OC 在△AOB 外部，△BOC ＝40°时，求△EOD 的度数；△当△BOC ＝α(090α︒<<︒)时，则△EOD 的度数是_____；(2)若△AOC 和△BOC 均为小于平角的角，OE 、OD 分别平分△AOC 和△BOC ，△当△BOC ＝40°，OC 位置如图2所示时，求△EOD 的度数．△当△BOC ＝α时（0°＜α＜180°），则△EOD 的度数是_____．参考答案：1．A【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图，是解题的关键． 2．C【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．3．A【分析】本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．【详解】正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是“保”，故选A ．【点睛】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体相对两个面上的文字的知识．4．C【分析】由190A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒，可知2A ∠=∠，进而可得答案．【详解】解：△190A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒△2A ∠=∠故选C ．【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等．5．A【分析】根据余角的定义解决此题．【详解】解：设这个角的度数为x ．由题意得，9030x x -=+︒︒．△30x =︒．△这个角的度数为30︒．故选：A ．【点睛】本题主要考查余角，熟练掌握余角的定义是解决本题的关键．6．D【详解】由正方体的展开图可知，D 项符合题意，故选D ．7．C【详解】试题分析：因为CD 是一条直线，又，所以△AOE=90°所以△1+△2=180°-90°=90°，所以他们的关系是互余考点：角的互余关系点评：难度小，理解角与角的各种的关系是关键．8．A【分析】从正面看作出相应图象即可得.【详解】解：从正面看，共2列，左边是1个正方形，右边是2个正方形，且下齐．故选A.【点睛】题目主要考查小正方体的主视图的作法，理解题意，掌握视图的作法是解题关键. 9．B【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．【详解】解：△钟面分成12个大格，每格的度数为30°，△钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°故选B ．【点睛】考核知识点：钟面角.了解钟面特点是关键.10．B【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，即可解得．【详解】将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是圆锥；故答案为：B．【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．11．B∠的平分线，可算出△MEN 【分析】根据对称的性质可得△MEF的度数，再由EN是MEC的度数.【详解】解：由题意可得：△B=90°，△△BFE=60°，△△BEF=30°，△点B和点M关于EF对称，△△BEF=△MEF=30°，△△MEC=180-30°×2=120°，∠的平分线，又△EN是MEC△△MEN=120÷2=60°.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质和角平分线的性质，根据已知角利用三角形内角和、角平分线的性质计算相关角度即可，难度不大.12．B【分析】根据正方体的展开图的特点，确定出相对的面即可．【详解】解：根据正方体表面展开图可知，与“沉”字所在面相对面的汉字是“静”．故答案为B．【点睛】本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是解答本题的关键．13．D【分析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．14．B【详解】试题解析：正方体的截面，经过正方体的四个侧面，正方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为矩形．故选B．点睛：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．15．B【分析】先根据△COE=90°，△COD=25°，由角的和差关系求得△DOE=90°﹣25°=65°，再根据OD平分△AOE，由角平分线的定义得出△AOD=△DOE=65°，最后根据邻补角的定义得出△BOD=180°﹣△AOD=115°．【详解】△△COE=90°，△COD=25°，△△DOE=90°﹣25°=65°．△OD平分△AOE，△△AOD=△DOE=65°，△△BOD=180°﹣△AOD=115°．故选B．【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得△AOD的度数，再根据邻补角进行计算．16．D【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、射线是无限长的，故本选项错误；C、直线AB、CD可能平行，没有交点，故本选项错误；D、两点确定一条直线是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．17．C【分析】根据题意首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【详解】解：将此圆柱展成平面图得：△有一圆柱，它的高等于20cm ，底面直径等于30πcm ， △底面周长＝3030ππ⋅=cm ，△BC ＝20cm ，AC ＝12×30＝15（cm ），△AB 25=（cm ）．答：它需要爬行的最短路程为25cm ．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．18．B【分析】连接CA '交BC '于点E ，C ，A '关于直线BC '对称，推出当点D 与B 重合时，AD CD +的值最小，最小值为线段AA '的长2=．【详解】解：连接CA '交BC '于点E ，直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，A ∴，B ，A '共线，60ABC A BC ∠=∠''=︒，60CBC ∴∠'=︒，C BA C BC ∴∠''=∠'，BA BC '=，'BE CA ∴⊥，CD DA ='，C ∴，A '关于直线BC '对称，∴当点D与B重合时，AD CD+的值最小，最小值为线段AA'的长2=，故选B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．19．D【分析】根据作图的过程可以判定AD是△BAC的角平分线；利用角平分线的定义可以推知△CAD=30°，则由直角三角形的性质来求△ADC的度数；利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：A、根据作图方法可得AD是△BAC的平分线，正确；B、△△C=90°，△B=30°，△△CAB=60°，△AD是△BAC的平分线，△△DAC=△DAB=30°，△△ADC=60°，正确；C、△△B=30°，△DAB=30°，△AD=DB，△点D在AB的中垂线上，正确；D、△△CAD=30°，△CD=12AD，△AD=DB，△CD=12DB，△CD=13 CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，△S△ACD：S△ACB=1：3，△S△DAC：S△ABD≠1：3，错误，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．20．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得△CAD=△B=45°，根据同角的余角相等求出△ADF=△BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出△正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出△正确；再求出AE=CF，判断出△正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出△错误．【详解】△△B=45°，AB=AC，△△ABC是等腰直角三角形，△点D为BC中点，△AD=CD=BD，AD△BC，△CAD=45°，△△CAD=△B，△△MDN是直角，△△ADF+△ADE=90°，△△BDE+△ADE=△ADB=90°，△△ADF=△BDE，在△BDE和△ADF中，CAD BAD BDADF BDE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△BDE△△ADF（ASA），故△正确；△DE=DF、BE=AF，又△△MDN是直角，△△DEF是等腰直角三角形，故△正确；△AE=AB-BE，CF=AC-AF，△AE=CF，故△正确；△BE+CF=AF+AE＞EF，△BE+CF＞EF，故△错误；综上所述，正确的结论有△△△；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．21．3 4【分析】根据一平角等于180°解答即可.【详解】△135÷180=34，△135等于34平角．故答案为3 4 .【点睛】本题考查了平角的定义，熟练掌握一平角等于180°是解答本题的关键. 22．100°【分析】根据角平分线定义和平行线的性质即可求出△D的度数．【详解】解：△CB平分△ABD，△ABC＝40°，△△ABD＝2△ABC＝80°，△AB△CD，△△ABD+△D＝180°，△△D＝180°﹣80°＝100°，则△D的度数为100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．23．64°【详解】△△α＝26°，△△α的余角=90°-26°=64°．故答案为：64°【点睛】本题考查了余角的定义，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．24．105°【分析】直接利用方向角结合互补的性质得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得，△1=32°，△2=43°，则△AOB=180°-△1-△2=105°．故答案为：105°．【点睛】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键．25．135°【详解】本题主要考查了三角板的知识及平角的定义根据三角板的知识可知△DEC的度数，再根据平角的定义即可求得结果．由题意得△DEC=45°，则△AED=180°-△DEC=135°.思路拓展：解答本题的关键是掌握好三角板的知识及平角的定义．26．明【分析】这种展开图是属于“1，4，1”的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面.【详解】由正方体的展开图特点可得：“建”和“明”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“三”相对；故答案为：明.【点睛】此题考查正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键.27．F6【分析】（1）根据展开图，可得几何体，、、A B C 是邻面，D F E 、、是邻面，根据A 面在底面，F 会在上面，可得答案；（2）由体积计算公式解答．【详解】解：（1）如图所示，A 与F 是对面，所以如果A 面在长方体的底部，那么 F 面会在上面；故答案是：F ；（2）这个长方体的体积是：1236⨯⨯=（米3）．故答案是：6【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体展开图组成几何体时面与面之间的关系．28．45︒##45度【分析】设α∠为x ，根据互为补角的两个角的和等于180︒表示出这个角的补角，然后列出方程求解即可．【详解】解：设α∠为x ，则α∠的补角为180x ︒-，根据题意得1803x x ︒-=，解得45x =︒，故答案为：45︒．【点睛】本题考查了互为补角的定义，根据题意表示出这个角的补角，然后列出方程是解题的关键．29．1cm 或9cm##9cm 或1cm【分析】设较长的木条为AB ，较短的木条为BC ，根据中点定义求出BM 、BN 的长度，然后分两种情况：BC 不在AB 上和BC 在AB 上时，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：设较长的木条为AB =10cm ，较短的木条为BC =8cm ，△M 、N 分别为AB 、BC 的中点，△BM =5cm ，BN =4cm ，△如图1，BC 不在AB 上时，MN =BM +BN =5+4=9(cm)，△如图2，BC 在AB 上时，MN =BM −BN =5−4=1(cm)，综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或9cm ，故答案为：1cm 或9cm ．如图，【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．30．140【分析】利用角的和差关系先求出50COB ∠=︒，，再利用角的和差关系求出AOB ∠的度数．【详解】解：△4090COD AOC BOD ∠∠∠=︒==︒，，△ 50COB BOD COD ∠∠∠=-=︒，△ 140AOB AOC COB ∠∠∠=+=︒．故答案为：140．【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是熟练掌握角的运算中的和差关系．31．8【分析】先根据这个棱柱有10个面，求出这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，再根据所有侧棱的和为64cm ，即可得出答案．【详解】解：△这个棱柱有10个面，△这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，△所有侧棱的和为64cm ，△每条侧棱长为64÷8=8（cm ）；故答案为：8【点睛】本题主要利用了棱柱面的个数比侧棱的条数多２的关系求解，是一道基础题． 32．93°15＇【分析】利用平角的定义计算即可．【详解】△从O 点出发向北偏西32°17＇方向走到A 点，小明从O 点出发向南偏西54°28＇方向走到B 点，△∠AOB =180°-54°28＇-32°17＇=93°15＇．【点睛】本题考查了方位角，平角，角的和与差，熟练掌握方位角和平角的定义是解题的关键．33．和．【分析】本题考查了正方体的展开图，一般从相对面入手进行分析与解答；【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“建”与“谐”是相对面，“社”与“和”是相对面，“会”与“构”是相对面，由此可知与“社”相对的面上的字是“和”．【点睛】本题主要考查学生对正方体展开图形的理解和掌握，解答本题的关键是根据相对的面相隔一个面得到相对的两个面．34．1.5【详解】试题解析：△5400÷60=90，90÷60=1.5，△5400″=1.5°．35．北偏东80°【分析】先根据角的和差得到△AOC 的度数，根据△AOC =△AOB 得到△AOB 的度数，再根据角的和差得到OB 的方向．【详解】解：△OA 的方向是北偏东20°，OC 的方向是北偏西40°，△△AOC =20°+40°=60°，△△AOC =△AOB ，△△AOB =60°，20°+60°=80°，故OB 的方向是北偏东80°．故答案为：北偏东80°．【点睛】考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．利用角的和差得出OB 与正北方的夹角是解题关键．36． AOC ∠ COB ∠ 3∠和4∠ DOF ∠ 1∠和2∠ EOA ∠【分析】由角平分线的定义，补角、余角的定义，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，（1）△12∠=∠△射线OD 是AOC ∠的角平分线；（2）△180AOC BOC ∠+∠=︒，△AOC ∠的补角是COB ∠；（3）△OF 平分AOB ∠，180AOB ∠=︒，△90AOF BOF ∠=∠=︒，△390AOC ∠+∠=︒，△3=4∠∠，△490AOC ∠+∠=︒；△AOC ∠的余角是3∠和4∠；（4）△12∠=∠，190DOF ∠+∠=︒，△290DOF ∠+∠=︒，△DOF ∠是2∠的余角；（5）△1180DOB ∠+∠=︒，12∠=∠△2180DOB ∠+∠=︒，△DOB ∠的补角是1∠和2∠；（6）△4180AOE ∠+∠=︒，4COF ∠=∠，△180COF EOA ∠+∠=︒，△EOA ∠是COF ∠的补角．故答案为：AOC ∠；COB ∠；3∠和4∠；DOF ∠；1∠和2∠；EOA ∠．【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的定义，解题的关键是熟练掌握几何图形中角的运算．37．7.5【分析】可先作出简单的图形，进而依据图形分析求解．【详解】解：如图，△点C 在AB 上，且AC=13BC ， △AC=14AB=3cm ，△BC=9cm ，又M 为BC 的中点， △CM=12BC=4.5cm ，△AM=AC+CM=7.5cm ．故答案为7.5.【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．38．3【分析】△根据点E 是点D 关于AB 的对称点可知BD BE ，进而可得1180603DOB BOE COD ︒︒∠=∠=∠=⨯=； △根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得结论；△根据等弧对等角，可知只有当M 和A 重合时，60,30MDE CED ︒︒∠=∠=，DM CE ⊥； △作点C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，DF ，此时CM DM +的值最短，等于DF 的长，然后证明DF 是O 的直径即可得到结论．【详解】解：AC CD DB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，BD BE ∴=， 1180603DOB BOE COD ︒︒∴∠=∠=∠=⨯=，△正确；1116030222CED COD DOB ︒︒∠=∠=⨯==∠，△△正确； BE 的度数是60°，AE ∴的度数是120°，△只有当M 和A 重合时，60,︒∠=MDE ，30︒∠=CED△只有M 和A 重合时，DM CE ⊥，△错误；作C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，交AB 于点N ，连接DF 交AB 于点M ，此时CM DM +的值最短，等于DF 的长．连接,CD AC CD DB AF ===，并且弧的度数都是60°，1112060,6030,22︒︒︒︒∴∠=⨯=∠=⨯=D CFD 180603090,︒︒︒︒∴∠=--=FCDDF ∴是O 的直径，即10DF AB ==，△当点M 与点O 重合时，CM DM +的值最小，最小值是10，△△正确．故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的综合知识，涉及圆周角、圆心角、弧、弦的关系、最短距离的确定等，掌握圆的基本性质并灵活运用是解题关键．39．△△△【分析】因为12BAE DAC ∠=∠，且90ABC ∠=︒，所以需要构造2倍的BAC ∠，故延长EB 至G ，使BE BG =，从而得到GAE CAD ∠=∠，进一步证明GAC EAD ∠=∠，且AE AG =，接着证明GAC EAD ≌，则ADE ACG ∠=∠，DE CG =，所以△是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出△是正确的，设BAE x ∠=，则2DAC x ∠=，因为//CD AB ，所以90BAC ACD x ∠=∠=︒-，接着用x 表示出EAC ∠，再计算出=90DAE ∠︒，故△是正确的，当CAE BAE ∠=∠时，可以推导出AC DE ⊥，否则AC 不垂直于DE ，故△是错误的．【详解】解：如图，延长EB 至G ，使BE BG =，设AC 与DE 交于点M ，90ABC ∠=︒，AB GE ∴⊥，AB ∴垂直平分GE ，AG AE ∴=，12GAB BAE DAC ∠=∠=∠， 12BAE GAE ∠=∠， GAE CAD ∴∠=∠，GAE EAC CAD EAC ∴∠+∠=∠+∠，GAC EAD ∴∠=∠，在GAC 与EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GAC EAD ∴≌（SAS ），G AED ∴∠=∠，ACB ADE ∠=∠，故△是正确的；AG AE =，G AEG AED ∴∠=∠=∠，AE ∴平分BED ∠，当BAE EAC ∠=∠时，90AME ABE ∠=∠=︒，则AC DE ⊥，当BAE EAC ∠≠∠时，AME ABE ∠≠∠，则无法说明AC DE ⊥，故△是不正确的；设BAE x ∠=，则2CAD x ∠=，1802902x ACD ADC x ︒-∴∠=∠==︒-， //AB CD ，90BAC ACD x ∴∠=∠=︒-，90902CAE BAC EAB x x x ∴∠=∠-∠=︒--=︒-，902290DAE CAE DAC x x ∴∠=∠+∠=︒-+=︒，AE AD ∴⊥，故△是正确的；GAC EAD ≌，CG DE ∴=，2CG CE GE CE BE =+=+，2DE CE BE ∴=+，DE BE BE CE ∴-=+，2DE CE BE ∴=+，故△是正确的．故答案为：△△△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的BAE ∠，是本题解题的关键．40．4【分析】利用角平分线定理确定当BF△AC 时，PB+PE 的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.【详解】如图，△AB = AC = 8，AD 平分CAB ∠△'''P E P F =△当BF△AC 时，PB+PE 的值最小=BF1162ABC S AC BF ∆== △BF=4 △PB+PE 的最小值为4.【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB 最小值的情况并画出图形，是解题的关键.41．2.5cm ．【分析】结合图形和题意，利用线段的和差知CD ＝AD ＋AB ＋BC ，即可求CD 的长度；再利用中点的定义，求得DF 和DE 的长度，又EF ＝DF−DE ，即可求得EF 的长度．【详解】△4AB =cm ，BC =14AB ， △BC=1cm ，△CD ＝AD ＋AB ＋BC ＝3＋4＋1＝8cm ；△E 是AD 中点，F 是CD 的中点，△DF ＝12CD ＝8×12＝4cm ，DE ＝12AD ＝12×3＝1.5cm ．△EF ＝DF−DE ＝4−1.5＝2.5cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，解题的关键是运用数形结合思想． 42．(1)直三棱柱(2)见解析(3)这个几何体的侧面积为120cm 2【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；（2）画出三个长方形，两个三角形；（3）侧面积为长方形，计算出3个长方形的面积求和即可．【详解】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，且俯视图是三角形，故该立体图形是直三棱柱；（2）解：展开图如图所示：；（3）解：这个几何体的侧面积23104120cm ⨯⨯＝．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体、几何体的展开图、棱柱的侧面积等知识点，根据题意得到该几何体是直三棱柱是解答本题的关键．43．（1） '60A ON ︒∠=；（2）15秒或33秒；（3）30MOB AOC ︒∠-∠=或30MOB AOC ︒∠+∠=【分析】（1）如图△中，延长CO 到C′．利用翻折不变性求出△A′O′C′即可解决问题；（2）设t 秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ．构建方程即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题，△当OB ，OA 在OC 的两旁时，△当OB ，OA 在OC 的同侧时，求出MOB ∠与AOC ∠之间的数量关系即可.【详解】解：（1）如图△中，延长CO 到C′，△三角尺沿直线OC 翻折至△A′B′O ，△△A′OC′=△AOC′=△CON=60°，△△A′ON=180°-60°-60°=60°；（2）设t 秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ，由题意10t=150或10t=330，解得t=15或33s ，则第15或33秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ；（3）△当OB ，OA 在OC 的两旁时，△△AOB=90°，△120°-△MOB+△AOC=90°，△△MOB-△AOC=30°；△当OB ，OA 在OC 的同侧时，△MOB+△AOC=120°-90°=30°.综上，30MOB AOC ︒∠-∠=或30MOB AOC ︒∠+∠=.【点睛】本题考查翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．44．(1)3； (2)203或20； (3)12NP MP AB -=，理由见解析．【分析】（1）由中点的含义先求解7AM MP ==，证明12PN BN BP ==，再求解6PB AB AB =-=，从而可得答案；（2）△当点P 在线段AB 上，2MP NP =， △当点P 在线段AB 的延长线上，2MP NP =，再建立方程求解即可；（3）先证明12MP AP t ==，()1102NP AB AP t =+=+，可得()1010NP MP t t -=+-=，从而可得结论．【详解】（1）解：△M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，7MP =，△7AM MP ==，12PN BN BP ==， △14AP =，。

22.1几何图形综合性问题-中考真题(含参考答案)-2015-2017年全国中考数学真题分类特训

第六章综合性问题专题6.1 几何图形综合性问题2017年中考真题1. 题型特点：几何图形综合性问题是指综合研究图形中点与线之间的位置关系，数量关系，角的关系以及特定图形的判定和性质的问题，图形可能是由若干个基本几何图形组合而成；问题由多个小题组成，小题之间有“并列”关系或“递进”关系两种．几何图形综合性问题命题呈现方式：(1)几何推断类问题，以选择和填空题出现；(2)几何图形性质或判定的综合题；(3)几何图形与函数联系的综合题．2. 解题思路(1)寻找突破口法如通过添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息等等．(2)各个击破法几何综合题一般有多个小问题组成，第(1)问一般比较简单，可先解决，并从中获得灵感，再根据后面小题与之关系寻找突破口．(3)针对问题选方法几何推断类问题，一般可采用顺推法、逆推法、尝试法等解答．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．几何图形性质或判定的综合题①注意观察，分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．②掌握常规的证题方法和思路；③运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用其他的数学思想方法等．另外，要注意分析问题的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，是递进的要会运用已获得的结论帮助思考解题．几何图形与函数联系的综合题．①观察几何图形的特征；②依据相关图形的性质(如特殊三角形的性质、特殊平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的性质等等)找出几何元素之间的联系；③将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其他的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围．【例1】(2017·湖北咸宁)如图，在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM ，ON 上滑动，下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA ＝23；②C ，O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2. 其中正确的是________(把你认为正确结论的序号都填上)．图6.11思路点拨①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB ，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以OA ＝AC ；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C ，O 两点距离的最大值为4；③如图(2)，当∠ABO ＝30°时，易证四边形AOBC 是矩形，此时AB 与CO 互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A ，C ，B ，O 四点共圆，则AB 为直径，由垂径定理相关推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC 是直径时，AB 与OC 互相平分，但AB 与OC 不一定垂直；④如图(3)，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．具体推理过程如下：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠BAC ＝30°，∴AB ＝4，AC ＝42－22＝2 3.①若C ，O 两点关于AB 对称，如图(1)，图6.11(1)∴AB 是OC 的垂直平分线．则OA ＝AC ＝2 3.所以①正确．②如图(1)，取AB 的中点为E ，连接OE ，CE ，∵∠AOB ＝∠ACB ＝90°，∴OE ＝CE ＝12AB ＝2. 当OC 经过点E 时，OC 最大，则C ，O 两点距离的最大值为4.所以②正确；③如图(1)，同理取AB 的中点E ，则OE ＝CE ，∵AB 平分CO ，∴OF ＝CF .∴AB ⊥OC .所以③正确．④如图(2)，图6.11(2)斜边AB 的中点D 运动路径是：以O 为圆心，以2为半径的圆周的14，则90π×2180＝π，所以④不正确．综上所述，本题正确的有：①②③.完全解答①②③.归纳交流本例题属于推断类综合题，采用各个击破方法．整题考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键．【例2】(2017·江苏苏州)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CD 交OE 边于点F .(1)求证：△DOE ∽△ABC ；(2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求sin A 的值．图6.12(1)思路点拨 (1)根据圆周角定理和垂直求出∠DEO ＝∠ACB ，根据平行得出∠DOE ＝∠ABC ，根据相似三角形的判定得出即可；(2)根据相似三角形的性质得出∠ODE ＝∠A ，根据圆周角定理得出∠A ＝∠BDC ，推出∠ODE ＝∠BDC 即可；(3)根据△DOE ∽△ABC 求出S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1，求出S △BOC ＝2S 1，求出2BE ＝OE ，解直角三角形求出即可．完全解答 (1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°.∴∠DEO ＝∠ACB .∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC .∴△DOE ∽△ABC .(2)∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A .∵∠A 和∠BDC 是BC 所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC .∴∠ODE ＝∠BDC .∴∠ODF ＝∠BDE .(3)∵△DOE ∽△ABC ，图6.12(2)∴S △DOE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫OD AB 2＝14. 即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1，∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1. ∵S 1S 2＝27， S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1. ∴BE ＝12OE . 即OE ＝23OB ＝23OD ， ∴sin A ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝23. 归纳交流本例题属于几何图形性质和判定的综合题．涉及相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积，三角函数等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．【例3】(2017·吉林长春)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点P 从点A 出发，沿折线AB －BC 向终点C 运动，在AB 上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒43个单位长度的速度运动，P ，Q 两点同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．设点P 运动的时间为t 秒．(1)求线段AQ 的长；(用含t 的代数式表示)(2)连接PQ ，当PQ 与△ABC 的一边平行时，求t 的值；(3)如图(2)，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，以PE ，EQ 为邻边作矩形PEQF ，点D 为AC 的中点，连接DF .设矩形PEQF 与△ABC 重叠部分图形的面积为S .①当点Q 在线段CD 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；②直接写出DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1∶2时t 的值．(1)(2)图6.13思路点拨 (1)利用勾股定理先求出AC ，根据AQ ＝AC －CQ 即可解决问题；(2)分两种情形列出方程求解即可；(3)①分三种情形．a .如图(3)中，当0≤t ≤32时，重叠部分是四边形PEQF .b .如图(4)中，当32＜t ≤2时，重叠部分是四边形PNQE .c .如图(5)中，当2＜t ≤3时，重叠部分是五边形MNPCQ .分别求解即可；②分两种情形．a .如图(6)中，当DE ∶DQ ＝1∶2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1∶2.b .如图(7)中，当NE ∶PN ＝1∶2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1∶2.分别列出方程即可解决问题．完全解答 (1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，∴AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.∵CQ ＝43t ， ∴AQ ＝8－43t (0≤t ≤4)． (2)①当PQ ∥BC 时，AP AB ＝AQ AC， ∴5t 10＝8－43t 8. ∴t ＝32. ②当PQ ∥AB 时，CQ CA ＝CP CB，综上所述，t ＝32s 或3s 时，PQ 与△ABC 的一边平行． (3)①如图(3)中，a .当0≤t ≤32时，重叠部分是四边形PEQF .图6.13(3)S ＝PE ·EQ ＝3t ·⎝⎛⎭⎫8－4t －43t ＝－16t 2＋24t . b . 如图(4)中，当32＜t ≤2时，重叠部分是四边形PNQE .图6.13(4)S ＝S 四边形PEQF －S △PFN ＝(16t 2－24t )－12·45⎣⎡5t －54 ⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－43t ·35⎣⎡⎦⎤5t －54⎝⎛⎭⎫8－43t ＝163t 2＋8t －24. c . 如图(5)中，当2＜t ≤3时，重叠部分是五边形MNPCQ .图6.13(5)S ＝S 四边形PCQF －S △FNM ＝43t ·[6－3(t －2)]－12⎣⎡⎦⎤43t －4 t －2 ·34⎣⎡⎦⎤43t －4 t －2 ＝－203t 2＋32t －24. ②a . 如图(6)中，当DE ∶DQ ＝1∶2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1∶2.则有(4－4t )∶⎝⎛⎭⎫4－43t ＝1∶2，解得t ＝35s ，图6.13(6)b . 如图(7)中，当NE ∶PN ＝1∶2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1∶2.图6.13(7)∴DE ∶DQ ＝NE ∶FQ ＝1∶3.∴(4t －4)∶⎝⎛⎭⎫4－43t ＝1∶3. 解得t ＝65s ，综上所述，当t ＝35s 或65s 时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1∶2. 归纳交流本例题属于几何图形与函数联系的综合题，需要利用几何知识列出函数关系式进行解答．整题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程或函数解决问题．一、选择题1. (2017·江苏常州)如图，已知▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，连接AC . 若EF ＝2，FG ＝GC ＝5，则AC 的长是( )．(第1题)A. 12B. 13C. 6 5D. 8 3二、填空题2. (2017·广东广州)如图，平面直角坐标系中O 是原点，▱ABCO 的顶点A ，C 的坐标分别是(8,0)，(3,4)，点D ，E 把线段OB 三等分，延长CD ，CE 分别交OA ，AB 于点F ，G ，连接FG .则下列结论：①F 是OA 的中点；②△OFD 与△BEG 相似；③四边形DEGF 的面积是203；④OD ＝453.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．(第2题)3. (2017·四川达州)如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P .若AB ＝6，BC ＝33，则下列结论：①F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE ＝92CE ；④S 阴影＝32.其中正确结论的序号是________．(第3题)三、解答题4. (2017·四川成都)问题背景：如图(1)，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BD AB＝3；(第4题(1))迁移应用：如图(2)，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD .(第4题(2))①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图(3)，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .(第4题(3))①证明△CEF 是等边三角形；②若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．5. (2017·云南)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，点B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f .(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值； (3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围．(第5题)6. (2017·黑龙江哈尔滨)已知：AB 是⊙O 的弦，点C 是AB 的中点，连接OB ，OC ，OC 交AB 于点D .(1)如图(1)，求证：AD ＝BD ；(第6题(1))(2)如图(2)，过点B 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP ，BP ，求证：∠APB －∠OMB ＝90°；(第6题(2))(3)如图(3)，在(2)的条件下，连接DP ，MP ，延长MP 交⊙O 于点Q ，若MQ ＝6DP ，sin∠ABO ＝35，求MP MQ的值．(第6题(3))7. (2017·山东菏泽)正方形ABCD的边长为6 cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于点F，过点M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.(1)(2)(第7题)(1)如图(1)，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；(2)如图(2)，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以 2 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s.①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．8. (2017·湖北荆门)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C＝90°，OB＝25，OC＝20，若点M是边OC上的一个动点(与点O，C不重合)，过点M作MN∥OB交BC于点N.(1)求点C的坐标；(2)当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；(3)在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN 的长；若不存在，请说明理由．(第8题)2016年中考真题1. 题型特点：几何图形综合性问题是指综合研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，角的关系以及特定图形的判定和性质的问题，图形可能是由若干个基本几何图形组合而成；问题由多个小题组成，小题之间有“并列”关系或“递进”关系两种．2. 命题呈现方式：(1)几何推断类问题，以选择和填空题出现；(2)几何图形性质或判定的综合题；(3)几何图形与函数联系的综合题．3. 解题方法：1. 寻找突破口法如通过添加辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息等等．2. 各个击破法几何综合题一般有多个小问题组成，第(1)问一般比较简单，可先解决，并从中获得灵感，再根据后面小题与之关系寻找突破口．3. 针对问题选方法(1)几何推断类问题，一般可采用顺推法、逆推法、尝试法等解答．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．(2)几何图形性质或判定的综合题①注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；②掌握常规的证题方法和思路；③运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用其他的数学思想方法等．另外，要注意分析问题的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，是递进的要会运用已获得的结论帮助思考解题．(3)几何图形与函数联系的综合题①观察几何图形的特征；②依据相关图形的性质(如特殊三角形的性质、特殊平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的性质等等)找出几何元素之间的联系；③将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围．【例1】(2016·湖北咸宁)如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB上的一动点(不与A，B重合)，点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有下列结论：①AE＝BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是________．(把你认为正确结论的序号都填上)．思路点拨①根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，根据等弦对等弧得到AE＝BF，可以判断①；②根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH＝90°，OG＝OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；④根据△BOG≌△COH可知BG＝CH，则BG＋BH＝BC＝4，设BG＝x，则BH＝4－x，根据勾股定理得到GH＝BG2＋BH2＝x2＋ 4－x 2，可以求得其最小值，可以判断④.具体解答过程如下：①连接OA，OB，如图，根据正方形的性质，知∠AOB ＝90°＝∠EOF ，∠AOB －∠BOE ＝∠EOF －∠BOE ，即∠AOE ＝∠BOF ，根据相等的圆心角所对的弧相等，可得AE ＝BF ，故①正确；②连接OB ，OC ，如图，则OB ＝OC ，由①知AE ＝BF ，∵ABCD 为正方形，∴AB ＝BC .∴AB ＝BC .∴AB －AE ＝BC －BF .即BE ＝CF .∴∠BOG ＝∠COH .又∠OBG ＋∠OBC ＝90°，∠OCH ＋∠OBC ＝90°，∴∠OBG ＝∠OCH .在△OGB 和△OHC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠OBG ＝∠OCH ，∠BOG ＝∠COH ，OB ＝OC ，∴△OGB ≌△OHC .∴OG ＝OH .又∠EOF ＝90°∴△OGH 是等腰直角三角形，故②正确．③如图，过点O 作OM ⊥BC ，ON ⊥AB .∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴OM ＝ON .由②知，OG ＝OH ，在Rt △OGN 和Rt △OHM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OG ＝OH ，OM ＝ON ， ∴Rt △OGN ≌Rt △OHM .∴S △OGN ＝S △OHM .∵四边形BMOG 公共，∴不管点E 的位置如何变化，四边形OGBH 的面积不变；故③错误．④过点B 作B 关于OF 的对称点P (易知点P 在⊙O 上)，连接PH ，则PH ＝BH ；过点B 作B 关于OE 的对称点Q (易知点Q 在⊙O 上)，连接QG ，则QG ＝BG .连接PQ ，易证明PQ 过圆心O ，∴PQ ＝42＋42＝42≠4＋2，故④错误．综上，①②正确，③④错误．完全解答①②.归纳交流本例题属于推断类圆的综合题．考查了正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题．运用圆心角定理是解答①的关键；在②中连接OB ，OC ，证明三角形全等是解题的关键；在③中，运用证明三角形全等，从而证明面积相等以解决不管点E 的位置如何变化，四边形OGBH 的面积不变的问题；解答④的关键是运用轴对称解决最小周长问题. 作为填空题，解题时要注意技巧．【例2】(2016·江苏泰州)已知正方形ABCD ，P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线段CB 的延长线上，连接EA ，EC .(1)如图(1)，若点P 在线段AB 的延长线上，求证：EA ＝EC ；(1)(2)若点P 在线段AB 上．①如图(2)，连接AC ，当P 为AB 的中点时，判断△ACE 的形状，并说明理由；(2)②如图(3)，设AB ＝a ，BP ＝b ，当EP 平分∠AEC 时，求a ∶b 及∠AEC 的度数．(3)思路点拨(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE ≌△CFE ，根据全等三角形的性质证明结论；(2)①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；②根据PE ∥CF ，得到PE BC ＝PG GB，代入a ，b 的值计算求出a ∶b ，根据角平分线的判定定理得到∠HCG ＝∠BCG ，证明∠AEC ＝∠ACB ，即可求出∠AEC 的度数．完全解答(1)∵四边形ABCD 和四边形BPEF 是正方形，∴AB ＝BC ，BP ＝BF .∴AP ＝CF .在△APE 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AP ＝CF ，∠APE ＝∠CFE ，PE ＝EF ，∴△APE ≌△CFE .∴EA ＝EC .(2)①∵P 为AB 的中点，∴P A ＝PB .又PB ＝PE ，∴P A ＝PE .∴∠P AE ＝45°.又∠DAC ＝45°，∴∠CAE ＝90°，即△ACE 是直角三角形．②∵EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ，∴AP ＝PG ＝AB －BP ＝a －b ，BG ＝BP －PG ＝b －(a －b )＝2b －a .∵PE ∥CF ，∴PE BC ＝PG GB ，即b a ＝a －b 2b －a. 解得a ＝2b .作GH ⊥AC 于H .∵∠CAB ＝45°，∴HG ＝22AG ＝22×2(a －b )＝2(2b －b ) ＝(2－2)b .又BG ＝2b －a ＝(2－2)b ，∴GH ＝GB ，GH ⊥AC ，GB ⊥BC .∴∠HCG ＝∠BCG .∵PE ∥CF ，∴∠PEG ＝∠BCG .∴∠AEC ＝∠ACB ＝45°.∴a ∶b ＝2∶1.∴∠AEC ＝45°.归纳交流这是一道几何图形性质和判定的综合题，其中涉及正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助线是解题的关键．【例3】(2016·上海)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，AD ＝15，AB＝16，BC ＝12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且∠AGE ＝∠DAB .(1)求线段CD 的长；(2)如果△AEG 是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；(3)如果点F 在边CD 上(不与点C ，D 重合)，设AE ＝x ，DF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．备用图思路点拨(1)作DH ⊥AB 于H ，如图(1)，易得四边形BCDH 为矩形，则DH ＝BC ＝12，CD ＝BH ，再利用勾股定理计算出AH ，从而得到BH 和CD 的长；(2)分类讨论：当EA ＝EG 时，则∠AGE ＝∠GAE ，则判断点G 与点D 重合，即ED ＝EA ，作EM ⊥AD 于M ，如图(1)，则AM ＝12AD ＝152，通过证明Rt △AME ∽Rt △AHD ，利用相似比可计算出此时的AE 长；当GA ＝GE 时，则∠GAE ＝∠AEG ，可证明AE ＝AD ＝15；(3)作DH ⊥AB 于H ，如图(2)，则AH ＝9，HE ＝AE －AH ＝x －9，先利用勾股定理表示出DE ＝122＋ x －9 2，再证明△EAG ∽△EDA ，则利用相似比可表示出EG ＝AE 2DE ×x 222＋ x －9 2，则可表示出DG ，然后证明△DGF ∽△EGA ，于是利用相似比可表示出x 和y 的关系．完全解答(1)作DH ⊥AB 于H ，如图(1)，(1)易得四边形BCDH 为矩形，∴DH ＝BC ＝12，CD ＝BH .在Rt △ADH 中，∴AH ＝AD 2－DH 2＝9.∴BH ＝AB －AH ＝16－9＝7.∴CD ＝7.(2)①EA ＝EG 时，则∠AGE ＝∠GAE .∵∠AGE ＝∠DAB ，∴∠GAE ＝∠DAB .∴点G 与点D 重合，即ED ＝EA .作EM ⊥AD 于M ，如图(1)，则AM ＝12AD ＝152. ∵∠MAE ＝∠HAD ，∴Rt △AME ∽Rt △AHD .∴AE ∶AD ＝AM ∶AH ，即AE ∶15＝152∶9. ∴AE ＝252. ②GA ＝GE 时，则∠GAE ＝∠AEG ，∵∠AGE ＝∠DAB ，而∠AGE ＝∠ADG ＋∠DAG ，∠DAB ＝∠GAE ＋∠DAG ，∴∠GAE ＝∠ADG .∴∠AEG ＝∠ADG .∴AE ＝AD ＝15.综上所述：当△AEG 是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为15或252. (3)作DH ⊥AB 于H ，如图(2)，(2)则AH ＝9，HE ＝AE －AH ＝x －9，在Rt △DHE 中，∠DHE ＝90°.DE ＝DH 2＋EH 2＝122＋ x －9 2.∵∠AGE ＝∠DAB ，∠AEG ＝∠DEA ，∵△AEG ∽△DEA ，∴AE DE ＝EG AE. ∴EG ＝AE 2DE ＝x 2122＋ x －9 2. ∴DG ＝DE －EG ＝122＋ x －9 2－x 2122＋ x －9 2. ∵DF ∥AE ，∴△DGF ∽△EGA .∴DF AE ＝DG EG ，即y x ＝122＋ x －9 2－x 2x 2. ∴y ＝225－18x x ，其中x 的取值范围为9<x <252. 归纳交流本例题属于几何图形与函数联系的综合题．熟练掌握几何图形的性质，常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想是解题的关键．一、选择题1. (2016·辽宁丹东)如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE ＝45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE ，BE 分别交于点G ，H ，∠CBE ＝∠BAD .有下列结论：①FD ＝FE ；②AH ＝2CD ；③BC ·AD ＝2AE 2；④S △ABC ＝4S △ADF .其中正确的有( )．(第1题)A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个2. (2016·黑龙江龙东)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，下列结论正确的个数是( )．①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP ＝45；④S 四边形ECFG ＝2S △BGE .(第2题)A. 4B. 3C. 2D. 1 3. (2016·湖北鄂州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 是⊙O 的两条切线，D ，C 分别在AM ，BN 上，DC 切⊙O 于点E .连接OD ，OC ，BE ，AE, BE 与OC 相交于点P , AE与OD 相交于点Q, 已知AD ＝4，BC ＝9. 以下结论：①⊙O 的半径为132；②OD ∥BE ；③PB ＝181313；④tan ∠CEP ＝23. 其中正确结论有( )．(第3题)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题4. (2016·安徽)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是 ________.(把所有正确结论的序号都选上)(第4题)5. (2016·广东广州)如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG .则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；②△AED ≌△GED ；③∠DFG ＝112.5°；④BC ＋FG ＝1.5.其中正确的结论是________．(第5题)三、解答题 6. (2016·重庆B)已知△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，CD ＝12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．(1)如图(1)，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；(第6题(1))如图(2)，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证MN ⊥AE ；(3)如图(3)，将图(2)中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N是BD 中点，连接MN ，探索MN AC的值并直接写出结果．(第6题(3))7.(2016·安徽)如图(1)，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且∠MON 为钝角．现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．(1)求证：△PCE ≌△EDQ ；(2)延长PC，DQ交于点R.①如图(2)，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；(第7题(2))②如图(3)，若ΔARB∽ΔPEQ，求∠MON大小和ABPQ的值．(第7题(3))8. (2016·江苏淮安)问题背景：如图(1)，在四边形ADBC 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处(如图(2))，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CE ＝2CD ，从而得出结论：AC ＋BC ＝2CD .(1)(2)(第8题)简单应用： (1)在图(1)中，若AC ＝2，BC ＝22，则CD ＝________.(2)如图(3)，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙上，AD ＝BD ，若AB ＝13，BC ＝12，求CD 的长．(第8题(3))拓展延伸：(3)如图(4)，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，若AC ＝m ，BC ＝n (m ＜n )，求CD 的长(用含m ，n 的代数式表示)．(4)如图(5)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 为AB 的中点，若点E 满足AE ＝13AC ，CE ＝CA ，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是________．(4)(5)(第8题)9. (2016·辽宁沈阳)如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,1)，点C 为边AB 的中点，正方形OBDE 的顶点E 在x 轴的正半轴上，连接CO ，CD ，CE .(1)线段OC 的长为________；(2)求证：△CBD ≌△COE ；(3)将正方形OBDE 沿x 轴正方向平移得到正方形O 1B 1D 1E 1，其中点O ，B ，D ，E 的对应点分别为点O 1，B 1，D 1，E 1，连接CD 1，CE 1，设点E 1的坐标为(a,0)，其中a ≠2，△CD 1E 1的面积为S .①当1＜a ＜2时，请直接写出S 与a 之间的函数表达式；②在平移过程中，当S ＝14时，请直接写出a 的值．(第9题)10. (2016·四川眉山)如图， △ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠BEC ＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD ，线段BE 与CD 相交于点F .(1)求证：PC CD ＝CE CB； (2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由；(3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．(第10题)2015年中考真题【题型特点】1. 几何图形综合性问题是指综合研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，角的关系以及特定图形的判定和性质的问题，图形可能是由若干个基本几何图形组合而成．它不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题. 一般以相似为中心，以四边形和圆为重点，考查三角形、四边形、圆以及相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用．一般说来，综合题由多个小题组成，小题之间有两种关系，一是并列关系，整个大题由这小题“拼装”而成．它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，同样(2)的结论与(3)的解题无关；二是“递进”关系，(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一，(3)与(2)也是同样的关系．在有些较难的综合题里，这两种关系经常是兼而有之．2. 几何图形综合性问题命题呈现方式：(1)几何图形多选型综合题；(2)几何图形性质或判定的综合题；(3)几何图形与函数联系的综合题．【解题思路】(1)几何图形多选型综合题要充分利用题设和已给结论两方面所提供的信息作出判断．一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．(2)几何图形性质或判定的综合题①注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．②掌握常规的证题方法和思路；③运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用其他的数学思想方法等．另外，要注意分析问题的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，是递进的要会运用已获得的结论帮助思考解题．(3)几何图形与函数联系的综合题．①观察几何图形的特征；②依据相关图形的性质(如特殊三角形的性质、特殊平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的性质等等)找出几何元素之间的联系；③将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围．【例1】 (2015·广西来宾)已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，BD 交AC 于点F .(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)延长AC 到点P ，使PF ＝PB ，求证：PB 是⊙O 的切线；(3)如果AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求AD .【思路点拨】(1)先由OD ∥BC ，根据两直线平行内错角相等得出∠D ＝∠CBD ，由OB ＝OD ，根据等边对等角得出∠D ＝∠OBD ，等量代换得到∠CBD ＝∠OBD ，即BD 平分∠ABC ；(2)先由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB ＋∠CBF ＝90°.再由PF ＝PB ，根据等边对等角得出∠PBF ＝∠CFB ，而由(1)知∠OBD ＝∠CBF ，等量代换得到∠PBF ＋∠OBD ＝90°，即∠OBP ＝90°，根据切线的判定定理得出PB 是⊙O 的切线；(3)连接AD .在Rt △ABC 中，由cos ∠ABC ＝BC AB ＝BC 10＝35，求出BC ＝6，根据勾股定理得到AC ＝AB 2－BC 2＝8.再由OD ∥BC ，得出△AOE ∽△ABC ，∠AED ＝∠OEC ＝180°－∠ACB ＝90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE ＝4，OE ＝3，那么DE ＝OD －OE ＝2，然后在Rt △ADE 中根据勾股定理求出AD ＝AE 2＋DE 2＝2 5.【完全解答】(1)∵OD ∥BC ，∴∠D ＝∠CBD .∵OB ＝OD ，∴∠D ＝∠OBD .∴∠CBD ＝∠OBD .∴BD 平分∠ABC .(2)∵⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，。

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目录题型七几何图形旋转探究 (2)类型一几何图形旋转探究 (2)类型二几何图形动点探究 (24)类型三几何图形背景变换探究 (46)拓展类型几何图形折叠探究 (73)题型七几何图形旋转探究类型一几何图形旋转探究针对演练1. (2016甘孜州)如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG、AE.(1)求证：BG＝AE；(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时(如图②所示)．①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG∶AE＝3∶4，求GMMD的值．第1题图2. 四边形ABCD是正方形，点E在边BC上(不与端点B、C重合)，点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG.(1)若AB＝72，BE＝2，求FG的长；(2)求证：DF＝2FG；(3)将图①中的△CEF绕点C按顺时针旋转，使边CF恰好在正方形ABCD的边BC上(如图②)，连接AE，点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．第2题图3. (2016重庆南开九下半期考试)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F，使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH；(3)如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α(0°<α<360°)得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN.已知CD＝AE＝4，直接写出DN的取值范围．第3题图4. (2016重庆西大附中第七次月考)已知如图①，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于F，连接AF，G为AF中点，连接EG，CG.(1)如果BE＝2，∠BAF＝30°，求EG，GC的长；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取AF中点G，连接EG，CG.延长CG至M，使GM＝GC，连接EM、EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，取AF中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？证明你的结论．第4题图5. (2016重庆巴蜀中学上期期末考试)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF.(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，不需要证明；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC ＝22，求此时线段CF的长．第5题图6. (2016重庆育才二诊)菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E 和点F分别是BC和CD上一动点，且∠EOF＋∠BCD＝180°，连接EF.(1)如图①，当∠ABC＝90°，若AC＝42，EC＝32，求线段EF的长；(2)如图②，当∠ABC＝60°时，求证：CE＋CF＝12AB；(3)如图③，当∠ABC＝90°时，将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处，∠EO′F绕点O′旋转，仍满足∠EO′F＋∠BCD＝180°，O′E交BC的延长线于点E，射线O′F交CD的延长线于点F，连接EF，探究在整个运动变化过程中，线段CE、CF，O′C之间满足的数量关系，并证明你的结论．第6题图答案类型一几何图形旋转探究针对演练1. (1)证明：∵AD 为等腰直角△ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠BDG ＝90°， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ，在△BDG 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=DE DG ADE BDG AD BD 90，∴△BDG ≌△ADE (SAS)， ∴BG ＝AE .(2)①证明：如解图，第1题解图∵四边形DEFG 为正方形， ∴△DEG 为等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°，∵DE ＝DG ，由(1)得AD ＝BD ， BG ＝AE ，∴△BDG ≌△ADE(SSS)，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE ＝90°，∴BG ⊥GE ；②解：设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，GE ＝7x ，∴DG ＝22GE ＝722x ，∵△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝22)3()4(x x ＝5x ， ∵△ABD 为等腰直角三角形，∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ，∴∠3＝∠4，又∵∠BDM ＝∠GDB ，∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM ∶BD ，即522x ∶722x ＝DM ∶522x ，解得：DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝x x 142257212＝2425.2. (1)解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，根据勾股定理得，AE＝AB2＋BE2＝10，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∵点G是AE中点，∴FG＝12AE＝5.(2)证明：连接BF，BG，如解图①，第2题解图①∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，∵AF＝AF，∴△AFD≌△AFB(SAS)，∴DF＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∵G为AE的中点，∴AG＝FG＝BG，∴∠GAF＝∠GF A，∠GAB＝∠GBA，又∵∠BAF＝45°，∴∠BGF＝∠EGF＋∠EGB＝∠GAF＋∠GF A＋∠GAB＋∠GBA＝45°＋45°＝90°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝2FG，∵DF＝BF，∴DF＝2FG.(3)解：BF＝2FG.证明：连接BG，CG，如解图②，第2题解图②∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，根据旋转性质可知，∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点G是AE的中点，∴EG＝CG＝AG，∴△ABG≌△CGB(SSS)，∴∠ABG＝∠CBG＝12∠ABC＝45°，∵在△EFG和△CFG中，⎪⎩⎪⎨⎧===FG FG CF EF CG EG ，∴△EFG ≌△CFG (SSS)，∴∠EFG ＋∠CFG ＝360°－∠CFE ＝360°－90°＝270°，∴∠EFG ＝135°，∵∠BFE ＝90°，∴∠BFG ＝45°，∴△BGF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2FG .3. (1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°.∵∠ECD ＝30°，∴CD ＝CE ·cos30°＝4×32＝23，AD ＝2CD ＝43，又∵DE ＝CE ·sin30°＝4×12＝2,∴AE ＝AD －DE ＝43－2.∴△AEC 的面积为：12×(43－2)×23＝12－2 3.(2)证明：如解图①，在HF 上取点M ，使MF ＝DH , 连接AM .第3题解图①∵AF ∥DC ，∴∠F ＝∠DGH .∵DH ⊥FG ，∴∠DHG ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADH ＝∠DGH ＝∠F .∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ，∴AF ＝AD .在△AMF 和△AHD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AF ADH F HD MF∴△AMF ≌△AHD (SAS)，∴AM ＝AH ，∠F AM ＝∠DAH.∵∠F AM ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＋∠DAH ＝90°，即∠MAH ＝90°，∴MH 2＝2AH 2,∴MH ＝2AH ，∴FH ＝FM ＋MH ＝DH ＋2AH ，即FH ＝2AH ＋DH.(3)解：25－2≤DN≤25＋2.【解法提示】如解图②，取AC的中点O，连接DO、NO，则ON＝12AE′＝2.第3题解图②∵CD＝4，AD＝2CD＝8，∴AC＝AD2＋CD2＝42＋82＝45，∴OD－ON≤DN≤OD＋ON，∴DN的取值范围是25－2≤DN≤25＋2.4. (1)解：∵EF⊥AB，∠BAF＝30°，∴∠EF A＝60°，∵G是AF的中点，∴CG＝EG＝12AF＝GF，∴EG＝EF＝GF，∵∠B＝45°，∴BE＝EF＝2，∴GC＝EG＝EF＝2.(2)证明：连接MF，如解图①，第4题解图①在△AGC 和△FGM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GM GC FGM AGC FG AG∴△AGC ≌△FGM (SAS)，∴AC ＝FM ，∠CAG ＝∠MFG ＝45°，由旋转性质可知，∠E BF ＝∠BFE ＝45°，BE ＝EF ，∴∠EFM ＝∠EBC ＝90°，∵BC ＝AC ＝MF ，∴△BCE ≌△FME ，∴EC ＝EM ，∠BEC ＝∠FEM ，∴∠BEC ＋∠CEF ＝∠FEM ＋∠CEF ＝90°，∴△EMC 是等腰直角三角形．(3)解：GE ⊥GC ，EG ＝GC .证明：连接EC ，延长CG 到M ，使GM ＝GC ，如解图②，易证△ACG ≌△FMG ，得∠MFG ＝∠CAG ，MF ＝CA ＝CB ，第4题解图②∵∠EBF＝∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠EFM＝360°－∠BFE－∠AFB－∠MFG＝360°－45°－(180°－∠ABF－∠BAF)－(45°＋∠BAF)＝90°＋∠ABF，∠CBE＝∠EBF＋∠ABF＋∠ABC＝90°＋∠ABF，∴∠CBE＝∠MFE，∵BE＝EF，∴△BCE≌△FME(SAS)，∴EC＝EM，∠BCE＝∠FME，∵∠ACG＝∠FMG，∴∠FME＋∠FMG＋∠MCE＝∠BCE＋∠A CG＋∠MCE，即∠EMG＋∠ECM＝∠ACB＝90°，∴∠MEC＝90°，∵CG＝MG，∴GE⊥GC，EG＝GC.5.解：(1)DF＝CF，DF⊥CF.【解法提示】∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴DF＝12BE，CF＝12BE，∴DF＝CF.∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF ，∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ，∴∠DFE ＝2∠DBF ，同理得：∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①所示，此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .第5题解图①∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴∠D EF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF .∵F 为BE 中点，∴EF ＝BF .在△DEF 和△GBF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BF EF BGF EDF GBF DEF ,∴△DEF≌△GBF(AAS)，∴DE＝GB，DF＝GF.∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，∴DC＝GC.∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF.(3)延长DF交BA于点H，如解图②，第5题解图②∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∴∠AED＝∠ABC＝45°.∵由旋转性质可知，∠CAE＝∠BAD＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.∵F 是BE 的中点，∴EF ＝BF ，在△DEF 和△HBF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BFH EFD BFEF HBF DEF ∴△DEF ≌△HBF (ASA)，∴ED ＝BH ，∵AC ＝22，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝4，∵AD ＝1，∴ED ＝BH ＝1， ∴AH ＝3，在Rt △HAD 中，由勾股定理，得DH ＝10，∴DF ＝102，∴CF ＝DF ＝102.6. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形，∴OC ⊥OD ，OC ＝OD ，∠OCE ＝∠ODF ＝45°，∠BCD ＝90°. ∵∠EOF ＋∠BCD ＝180°，∴∠EOF ＝90°，∴∠EOF －∠COF ＝∠COD －∠COF ，∴∠EOC ＝∠FOD .在△COE 和△DOF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODF OCE ODOC DOF COE ∴△COE ≌△DOF (ASA)，∴DF ＝CE ＝32. ∵CD ＝AC ·sin45°＝42×22＝4，∴CF ＝CD －DF ＝4－32＝52，在Rt △ECF 中，由勾股定理得，∴EF ＝CE 2＋CF 2＝（32）2＋（52)2＝342. (2)证明：如解图①，取BC 的中点G ，连接OG ，第6题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ⊥OD ，∴OG ＝12BC ＝BG ＝CG .∵∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°，∴∠BCA ＝60°，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ， ∴OC ＝12AC ＝12BC ， ∴OG ＝OC ＝CG ， ∴∠OGC ＝∠COG ＝60°.∵∠BCD ＝120°，∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝60°，∴∠COF ＝30°， ∴∠EOF ＝∠COG ＝60°， ∴∠GOE ＝∠COF . 在△COF 和△GOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OGE OCOG COF GOE ∴△COF ≌△GOE (ASA)， ∴CF ＝GE.∵EG ＋CE ＝CG ＝12BC ＝12AB ， ∴CE ＋CF ＝12AB .(3)解：CF －CE ＝2O ′C.证明：如解图②，第6题解图②过O′作O′G ⊥AC ，与CF 相交于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形， ∴∠ACD ＝45°. 又∵O′G ⊥AC ，∴∠O ′GC ＝∠ACD ＝45°，∴O ′C ＝O′G ，∠O ′GF ＝∠O′CE ＝135°. ∵∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，∠BCD ＝90°， ∴∠EO ′F ＝90°， ∵∠CO ′G ＝90°，∴∠EO ′F －∠EO′G ＝∠CO′G －∠EO′G ，即∠GO′F ＝∠CO′E ，在△O′GF 和△O′CE 中，,''''''⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CE O GF O CO G O E CO F GO ∴△O ′GF ≌△O ′CE (ASA)， ∴GF ＝CE.∵CF－GF＝CG，∴CF－CE＝CG.∵CG＝O′C2＋O′G2＝2O′C，∴CF－CE＝2O′C.类型二几何图形动点探究针对演练1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F分别在边AD、AB上．(1)如图①，若点P与点O重合；①求证：AF＝DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE＝15°时，求线段EF的长；(2)如图②，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD ＝3BP时，证明：PE＝2PF.第1题图2. (2016重庆南开阶段测试三)已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E 为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC 于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB；(3)如图③，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH 的数量关系．第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图，P为正方形ABCD边BC上任意一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.(1)如图①，若正方形的边长为22，PB＝1，求BG的长度；(2)如图②，当P点为BC的中点时，求证：CE＝2BG；(3)如图③，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN＋DN＝2AN.第3题图4. △ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上(不与点A、B重合)，以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°.(1)如图①，作EF⊥BC于F，求证：DB＝FC；(2)在图①中，连接AE交BC于M，求ADBM的值；(3)如图②，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH.当点D在边AB上运动时，式子HE－GDGH的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．第4题图5. (2016重庆十一中一诊)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC 上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF.(1)如图①，当E是线段AC的中点，且AB＝2时，求△ABC的面积；(2)如图②，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE＝EF；(3)如图③，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．第5题图6. (2016重庆A卷)在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°.点D是BC上一点，连接AD.过点A作AG⊥AD.在AG上取点F，连接DF，延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF.(1)若AB＝22，求BC的长；(2)如图①，当点G在AC上时，求证：BD＝12CG；(3)如图②，当点G在AC的垂直平分线上时，直接．．写出ABCG的值．第6题图7. (2016重庆一中一模)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD 外任意一点．(1)如图①，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长；(2)如图②，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE；(3)如图③，若点E在CB的延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．第7题图答案类型二几何图形动点探究针对演练1. (1)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OD ，∠OAF ＝∠ODE ＝45°，∠AOD ＝90°，∴∠AOE ＋∠DOE ＝90°，∵∠EPF ＝90°，∴∠AOF ＋∠AOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠AOF ，在△AOF 和△DOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODE OAF ODOA DOE AOF ∴△AOF ≌△DOE (ASA )．∴AF ＝DE ；②如解图①，过点O 作OG ⊥AB 于G ，第1题解图①∵正方形的边长为23，∴OG ＝12BC ＝3，∵∠DOE ＝15°，由①知△AOF ≌△DOE ，∴∠AOF ＝15°，∴∠FOG ＝45°－15°＝30°，∵cos ∠FOG ＝OG OF ，∴OF ＝30cos OG ＝332＝2，又∵OE ＝OF ，∴EF ＝2OF ＝2 2.(2)证明：如解图②，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，第1题解图②则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPB ＝90°，∴HP ＝BP ，∵BD ＝3BP ，∴PD ＝2BP ，∴PD ＝2HP ，又∵∠HPF ＋∠HPE ＝90°，∠DPE ＋∠HPE ＝90°，∴∠HPF ＝∠DPE ，又∵∠BHP ＝∠EDP ＝45°，∴△PHF ∽△PDE ，∴PF PE ＝PH PD ＝12，即PE＝2PF.2. (1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BF＝DF，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，AB＝2BF，∴在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF2＝AB2＋BF2，即(5)2＝5BF2，解得BF＝1，AB＝2，∴在Rt△ABD中，AD＝2AB＝2 2.(2)证明：过B作BP⊥AD于P，交AF于Q，如解图①，第2题解图①则∠ABQ＝∠QBD＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝45°，∠CDB＝∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°＝∠ABQ，又∵∠AFB＝∠DFG，∠ABF＝∠DGF＝90°，∴∠BAQ＝∠BDH，∵AB＝BD，∴△ABQ≌△DBH，∴BQ＝BH，又∵∠QBF＝∠HBF＝45°，BF＝BF，∴△BQF≌△BHF，∴∠BFQ＝∠BFH.即∠AFB＝∠HFB.(3)解：AF＝3FH.【解法提示】延长FH交AB延长线于P，如解图②，第2题解图②∵由(2)知∠AFB＝∠P FB，∠ABF＝∠PBF＝90°，FB＝FB，∴△ABF≌△PBF，∴PF＝AF，AB＝BP，过B作BQ∥FH，交AM于Q，∴∠BQM＝∠FHM，∠QBM＝∠HFM，∵BM＝FM，∴△BMQ≌△FMH，∴BQ＝FH.∵BQ∥FH，AB＝BP，∴BQ＝12PH，∴FH＝13FP，即AF＝3FH.3. (1)解：∵AB＝22，BP＝1，∠ABP＝90°，∴AP＝AB2＋BP2＝3，∵S△ABP ＝12AP·BG＝12AB·BP，∴BG＝22 3.(2)证明：过点C作CH⊥AE于H，如解图①，则∠BGP＝∠CHP＝90°，第3题解图①∵P为BC的中点，∴PB＝PC，∵∠BPG＝∠CPH，∴△BPG≌△CPH，∴BG＝CH，∠PBG＝∠PCH，∵∠PBG＋∠ABG＝∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠PBG＝∠BAG，∴∠BAG＝∠P CH，∵AB＝BE，∴∠BAG＝∠BEG，∴∠PCH＝∠BEG，∵AB＝BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠HCE＝∠HEC，∴HC＝HE，∵HC2＋HE2＝CE2，∴2CH＝CE，∴CE＝2BG.(3)证明：过D作DH⊥AE于H，如解图②，第3题解图②∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝∠EBN，由(2)知∠GBP＝∠BEP.∵BG⊥AE，∴∠GBN＝∠GNB＝90°2＝45°，∴BG＝GN，∵DH⊥AP，∠DAB＝90°，∴∠DAH＋∠ADH＝∠DAH＋∠BAG＝90°，∴∠ADH＝∠BAG，∵∠AHD＝∠AGB＝90°，AD＝AB，∴△ADH≌△BAG(AAS)，∴AH＝BG＝GN，DH＝AG，∴HN＝HG＋GN＝HG＋AH＝AG，∴DH＝HN.∵∠DHN＝90°，∴DN＝2HN＝2AG，∴BN ＋DN ＝2GN ＋2AG ＝2AN .4. (1)证明：∵△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝90°， ∴CD ＝CE ，∠DCB ＋∠ECF ＝90°.∵EF ⊥BC ，∴∠ECF ＋∠CEF ＝90°，∴∠DCB ＝∠CEF ，在△DBC 和△CEF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC CD CEF DCB CFE DBC∴△DBC ≌△CFE ，∴DB ＝CF .(2)解：如解图①，连接AE ，第4题解图①∵△DBC ≌△CFE ，∴BD ＝CF ，BC ＝EF ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，∴AB ＝BC ，∴AB ＝EF ，AD ＝BF ，在△ABM 和△EFM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF AB EFM ABM EMF AMB∴△ABM ≌△EFM ，∴BM ＝FM ，∴BF ＝2BM ，∴AD ＝2BM ， ∴AD BM 的值为2.(3)解：HE －GDGH 的值不变．在EH 上截取EQ ＝DG ，如解图②，第4题解图②在△CDG 和△CEQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD CEQ CDG EQ DG∴△CDG ≌△CEQ ，∴CG ＝CQ ，∠DCG ＝∠ECQ ，∵∠DCG ＋∠DCB ＝45°，∴∠ECQ ＋∠DCB ＝45°，而∠DCE ＝90°，∴∠HCQ ＝45°，∴∠HCQ ＝∠HCG ，在△HCG 和△HCQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CQ CG HCQ HCG HC HC∴△HCG ≌△HCQ ，∴HG ＝HQ ， ∴HE －GD GH ＝HQ ＋QE －GD HG ＝HG ＋DG －GD HG＝1. 5. (1)解：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝BC ＝2，∵E 是线段AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ＝AB ·sin60°＝2×32＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BE ＝ 3.(2)证明：连接DE 和DF ，如解图①，第5题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°，在△ABE 和△ADE 和△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ＋∠CDE ＝∠CDF ＋∠CDE ，∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ＝EF ，∴BE ＝EF .(3)解：仍然成立．证明：连接DE 和DF ，如解图②，第5题解图②∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°，在△ABE 和△ADE 和△CD F 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE －∠CDE ＝∠CDF －∠CDE ，∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ＝EF ，∴BE ＝EF .6. (1)解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，如解图①，第6题解图①在Rt △ABH 中，∠ABH ＝45°，AB ＝22，∴BH ＝AH ＝2，在Rt △ACH 中，∠ACH ＝30°，∴CH ＝23，∴BC ＝BH ＋CH ＝2＋2 3.(2)证明：过点A 作AM ⊥AB 交BC 于点M ，连接GM ，如解图②， ∵∠BAM ＝90°，∠ABM ＝45°，第6题解图②∴AB ＝AM ，∠AMB ＝45°，∵AG ⊥AD ，∴∠DAG ＝∠EAG ＝90°，∵AE ＝AF ，GE ＝DF ，∴△ADF ≌△AGE ，∴AD ＝AG ，∵∠BAM ＝∠DAG ＝90°，∴∠BAD ＝∠MAG ，∴△ABD ≌△AMG ，∴BD ＝GM ，∠B ＝∠AMG ＝45°，∵∠AMB ＝45°，∴∠GMC ＝90°，在Rt △CGM 中，∠C ＝30°，∴12CG ＝GM ＝BD .(3)解：1＋32.【解法提示】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点G 作GQ ⊥AC 于Q ，过点C 作CM ⊥AG ，与其延长线相交于点M ，如解图③，第6题解图③∵GQ 为AC 的垂直平分线，由(2)同理可得AD ＝AG ，∴AD ＝AG ＝CG ，又∵AH ＝12AC ，易证△ADH ≌△AGQ ≌△CGQ ，得∠DAH ＝∠GAC ＝∠GCA ＝12(∠DAG －∠CAH )＝12(90°－60°)＝15°， ∴∠MGC ＝30°，设CM ＝a ，则GA ＝GC ＝2a ，GM ＝3a ，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝222)348()23(a a a a +=++＝(6＋2)a ，∴AH ＝12AC ＝12(6＋2)a ，∴AB ＝2AH ＝(1＋3)a ，∴AB CG ＝aa 2)13(+＝3＋12. 7. (1)解：在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AB ∥DE ，∴∠A ＝∠ADE ＝45°，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠ABF ＝∠FDE ＝∠FED ＝45°，AF ＝BF ，DF ＝EF ，则△AFB ，△DEF 为等腰直角三角形，∴AF ＝22AB ＝22×6＝3，DF ＝EF ＝AD －AF ＝6－3，∴DE ＝2DF ＝23－ 6.(2)证明：延长BE 至K ，使EK ＝ED ，连接AK ，如解图，第7题解图在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∵2∠AEB ＝180°－∠BED ，∴∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ＝∠AEK ，在△AEK 和△AED 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED EK AED AEK AE AE ,∴△AEK ≌△AED ，则AK ＝AD ＝AB ，∵∠ABK ＝60°，∴△ABK 为等边三角形，∴BK＝BE＋KE＝AB＝BC，即：BC＝BE＋DE.(3)解：∠BED＋∠CDE＝2∠ABD.【解法提示】∵点E在CB的延长线上，∴CE∥AD，∴∠E＝∠ADE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠BED＋∠CDE＝2∠ABD.类型三几何图形背景变换探究针对演练1. △ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°.(1)如图①，求证：BD＝CE；(2)如图②，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC，求证：∠AHC＝60°；(3)在(2)的条件下，若AD＝2BD，FH＝9，求AF长．第1题图2. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC 的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接CE、BE.(1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；(2)如图②，若∠ABE＝60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AC＋AB＝3AE，求∠BAC的度数．第2题图3. (2016重庆八中阶段测试一)如图①，矩形ABCD中，AB＝BE，BF＝CE，点G是FD的中点，连接GA，GE.(1)若AB＝3，AD＝4，求GA的长；(2)求证：GA＝GE；(3)如图②，若将矩形ABCD改为平行四边形ABCD，其他条件均不变，(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．第3题图4. (2016泰安)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB 上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图①)．求证：EB ＝AD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“若∠A＝90°”，其他条件不变，则EB AD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第4题图5. 在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°.(1)如图①，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5.①求证：AF⊥BD；②求AF的长度；(2)如图②，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；(3)如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．第5题图。