一道高考模拟试题的再思考

如 果 将 定 理 １中 长轴 的 两个 顶 点 Ａ， Ｂ改 为 过 原 点 的一 条 直 线 与 椭 圆 交 于 Ａ， Ｂ两 点 ， 结 论 仍 然 成
立。 于 是 又得 到 ：
定理 １ 若 Ａ， Ｂ是 椭 圆 ２ ＋ ２ —１ （ ａ＞ ６ ＞ｏ ）
长轴的两个顶点 ， 点 Ｐ是椭 圆上异于Ａ， Ｂ两 点 的任
线ｚ 经 过点 Ｂ 且 垂 直 于 ｚ轴 ， 点 Ｐ是 椭 圆 上 异 于 Ａ ，
１ （ 口＞ ６＞ 。 ）的 焦 距 为 ２ ， 且 过 点
，
） ．
（ １ ） 求 椭 圆 Ｅ的 方 程 ．
Ｊ ～ Ｊ ，
Ｂ的 任 意 一 点 ， 直线 Ａ 尸交ｚ 于 点 Ｍ． 设直线 Ｏ Ｍ 的斜 率为 忌 ， 直线 Ｂ Ｐ 的斜 率 为 是 ， 则是 是 。 一一 ．
一
＝ 二 ＝ ｊ
图 ２
象限 ， 过 点 Ｂ作 ｚ轴 的垂
证 明
设 Ｐ（
一 一 — —
是 一
， 是 Ｐ Ａ．志 ‘ ∞一 一 — １
一
． 又 Ｘ
线， 垂 足为 Ｍ， 连结 Ｃ Ｍ 并
——■一 ， Ｐ Ｂ一 一— —
０十 ａ
延 长 交 椭 圆 于点 Ａ ， 则忌 ． （ 证明略）
Ｍ
（ ２ ）若 点 Ａ， Ｂ 分 别 是
椭 圆 Ｅ 的左 、 右顶 点 ， 直线 ｚ ０ 经 过 点 Ｂ且 垂 直 于 轴 ， 点 Ａ Ｐ是 椭 圆 上 异 于 Ａ ， Ｂ 的 任 ０
．
证明
一 一 ，
由 定 理 １知 ： 愚 ． 愚 一一 ， 所以 愚 Ａ Ｐ
，
所 以
’
（ｊ）设 直 线 ＯＭ 的 斜 率 为 ｋ ， 直线 Ｂ Ｐ 的 斜 翠
一
，
所
一
一
．
为ｋ ： ， 求证 ： 志 ｋ 为 定 值 ；
（ｉ ｉ ）设 过 点 Ｍ 垂 直 于 ＰＢ 的 直 线 为 ｍ ， 求证 ： 直 由此 可 以 推 广 到 双 曲线 中
线 ｍ恒过定点 ， 并 求 出该 定 点 的 坐标 ．
，
—
１ ， 而 一 ２ ｂ ２ 也等于
一
号 ， 这 两 者 之 间 相 等 是 巧 合 还 ｋ ｋ 。：
９厶
． （ 证 明略 ）
是 必 然 ？ 笔 者 进 行 如 下 探 究 并 进 行 了推 广 ， 恳 请 读
者批评指正． 我 们 首 先 得 到 并 证 明如 下 的定 理 ．
［ １ ］ 张城兵． 一道 高考模 拟试题 的多角度 剖析 ［ Ｊ ］ ． 数 学
教学研 究 ， ２ ０ １ ３ （ １ ｏ ） ．
定理 ２ 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｏｖ中 ， 若 点 Ａ， Ｂ
２ ０ １ ４年第 ３ 期
中学数 学月 刊
・ ６ ５ ・
一
道 高考模 拟 试 题 的再 思考
方 芹 （ 江 苏省连 云港 市外 国语 学校 ２ ２ ２ ０ ０ ０ ）
题 目： 如图 １ ， 在 平 面直 角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ， 椭 圆
Ｅ： Ｘ ２＋
一
分别是椭 圆 ＋ 一１ （ 口 ＞６ ＞ｏ ） 的左 、 右 顶点 ， 直
十 ．
＼ 、 ～ ／。 ． ，
—
口 息，
所 以 直 线 ＡＰ 的方 程 为 一 一
ａ 忽 ，
又 知直 线 ｆ 的方 程 为 一。， 联 立 两 方 程 解 得 点 Ｍ（ ａ ，
图 １
一
意一点 ， 直线 Ａ Ｐ交 ｚ 于 点
Ｍ ．
艘
９
） ， 所 以直 线 ０Ｍ 的方 程 为 一 一 ａ
文Ｅ １ ］对 试 题 第 （ ２ ）问 的 （ｉ ）进 行 了 多 角 度 剖 析， 给 出 了 ５种解 法 ， 笔者读了之后 ， 意犹未尽 ， 发 现
定理 ３ 在平面直角坐标系 ： ｃ Ｏ ｙ中 ， 若 点 Ａ， Ｂ
分 别 是 双 曲线 一 一 １ （ ａ＞ ０ ， ｂ＞ ｏ ）实 轴 上 的
定理 ４ 已 知 椭 圆 方
２
，
～
＾Ｊ ２
。
程为 ＋ 鲁 一 １ （ ＆＞ ｂ ＞
ｆ
意一点 ， 直线 Ｐ Ａ与Ｐ Ｂ 的斜 率 分别 为 ｋ ， 是 ， 则
是 忌 一 一 ．
ｏ
Ｏ ） ， 过 原 点 的 直 线 与 椭 圆交 于 Ｂ， ｃ两 点 ， 其 中点 Ｂ在 第
一２ ｋ ． 惫 一 一 ．
“
， ２ ２ ０一 ａ
Ｘｏ 一 “
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ｚ 一 ａ
因 为 点 Ｐ在 椭 圆上 ， 所 以 ２ 十 ２
—
１ ， 得 ｊ 一 （ 。 ２ 一 一一 ．
ｚ ） ， 代 人并 化 简 得 尼 ｍ・ 忌 —
于是 ， 得 到
参 考 文 献
ａ Ｄ
左、 右顶 点 ， 直线 ｆ 经 过 点 Ｂ且 垂 直 于 轴 ， 点 Ｐ是 双
曲线 上 异 于 Ａ， Ｂ的 任 意 一 点 ， 直 线 ＡＰ 交 ｚ于 点 Ｍ ． 设 直 线 ＯＭ 的斜 率 为 ｋ ， 直线 Ｂ Ｐ 的斜率 为 ｋ 。 ， 则
十百 ｙ ２ 是 是 。的定 值 为 一 ３ 求 得 的 椭 圆 Ｅ的 方 程 为 ２